專(zhuān)題02 整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第一部分?jǐn)?shù)與式

專(zhuān)題02整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值

核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四整式的化簡(jiǎn)求值

核心考點(diǎn)五因式分解

核心考點(diǎn)六規(guī)律探索題

新題速遞

核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值

4432234

例1（2022·貴州六盤(pán)水·中考真題）已知xya1xa2xya3xya4xya5y，則a1a2a3a4a5

的值是（）

A．4B．8C．16D．12

例2（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3ab2，求代數(shù)式

6a2b1的值．”可以這樣解：6a2b123ab12213．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若x2是

關(guān)于x的一元一次方程axb3的解，則代數(shù)式4a24abb24a2b1的值是________．

例3（2022·貴州六盤(pán)水·中考真題）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形秧田A，B，

其中不能使用的面積為M．

(1)用含a，M的代數(shù)式表示A中能使用的面積___________；

(2)若ab10，ab5，求A比B多出的使用面積．

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代數(shù)式及求值

(1)概念：用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代

數(shù)式．單．獨(dú)．的．一．個(gè)．?dāng)?shù)．或．一．個(gè)．字．母．也．是．代．?dāng)?shù)．式．；．

(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過(guò)程；

(3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來(lái)的運(yùn)算順序計(jì)算求值．

【變式1】（2022·山東濟(jì)寧·三模）若m，n是方程2x24x70的兩個(gè)根，則2m23mn的值為（）

A．9B．8C．7D．5

【變式2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)三模）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號(hào)fx的形式來(lái)表示關(guān)

于x的多項(xiàng)式，把x等于某數(shù)n時(shí)一的多項(xiàng)式的值用fn來(lái)表示．例如x1時(shí)，多項(xiàng)式fx2x2x3的

值可以記為f1，即f14．我們定義fxax33x22bx5．若f318，則f3的值為（）

A．18B．22C．26D．32

【變式3】（2022·浙江麗水·一模）已知，實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足mn3，m2nmn230．

（1）若mn，則mn_______；

（2）若np5，則代數(shù)式m2pn2pm3mn2的值是______________．

【變式4】（2022·福建省福州屏東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知m23na，n23ma，且mn，則代數(shù)式

m22mnn2的值是______．

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【變式5】（2022·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，完成后面的問(wèn)題．

材料1：如果一個(gè)四位數(shù)為abcd（表示千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d的四位

數(shù)，其中a為1～9的自然數(shù)，b，c，d為0～9的自然數(shù)），我們可以將其表示為：abcd1000a100b10cd；

材料2：把一個(gè)自然數(shù)（個(gè)位不為0）的各位數(shù)字從個(gè)位到最高位倒序排列，得到一個(gè)新的數(shù)．我們稱(chēng)該數(shù)

為原數(shù)的兄弟數(shù)．如數(shù)“123”的兄弟數(shù)為“321”．

(1)四位數(shù)x5y5______；（用含x，y的代數(shù)式表示）

(2)設(shè)有一個(gè)兩位數(shù)xy，它的兄弟數(shù)比原數(shù)大63，請(qǐng)求出所有可能的數(shù)xy；

(3)求證：四位數(shù)abab一定能被101整除．

核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

例1（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）整式3xy2的系數(shù)是（）

A．-3B．3C．3xD．3x

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例2（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，

它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威

力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專(zhuān)門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)

學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2200的理解如下：

YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（覺(jué)醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；

103

QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道21024,101000，所以我估計(jì)2200比1060大．

其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是___________（填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）．

例3（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：

222

第1個(gè)等式：21122122，

222

第2個(gè)等式：22134134，

222

第3個(gè)等式：23146146，

222

第4個(gè)等式：24158158，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________；

(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．

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整式及有關(guān)概念

(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的_次

數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．單．獨(dú)．的．?dāng)?shù)．、．字．母．也．是．單．項(xiàng)．式．；

(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)，一

個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；

(3)整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式；

(4)同類(lèi)項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng)；所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)

項(xiàng)．

整式的運(yùn)算

1．同底數(shù)冪的乘法法則：amanamn（m,n都是正整數(shù)）

同．底．?dāng)?shù)．冪．相．乘．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．加．。

mnmn

2．冪的乘方法則：(a)a（m,n都是正整數(shù)）

冪．的．乘．方．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．乘．。

冪的乘方法則可以逆用：即amn(am)n(an)m

nnn

3．積的乘方法則：(ab)ab（n是正整數(shù)）。

積．的．乘．方．，．等．于．各．因．?dāng)?shù)．乘．方．的．積．。

4．同底數(shù)冪的除法法則：amanamn（a0,m,n都是正整數(shù)，且mn)

同．底．?dāng)?shù)．冪．相．除．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．減．。

0

5．零指數(shù)：任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。即a1（a．≠．0．）

6．負(fù)整數(shù)指數(shù)：任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p次冪的倒數(shù),即

p1

a(．a(chǎn)．≠．0．,．p．是．正．整．?dāng)?shù)．)．。

ap

7．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

8．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

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即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)。

9．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。

10．單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

11．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的

的商相加。

12．添括號(hào)法則：

括號(hào)前面是+號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都不變號(hào)。

括號(hào)前面是—號(hào)，放進(jìn)括號(hào)里面的每一項(xiàng)都要變號(hào)。

【變式1】（2022·河南南陽(yáng)·二模）下列運(yùn)算正確的是（）

A．(a2)2a22a4B．(x2)3x6

C．2a3b5abD．x2x2x4

【變式2】（2022·重慶文德中學(xué)校二模）我們知道，三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a2b2c2，那么，a、b、c

成為一組勾股數(shù)；如果一個(gè)正整數(shù)m能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)x、y的平方和，即mx2y2，那么稱(chēng)m為廣

義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：

①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；

④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)：⑤若xm2n2，y2mn，zm2n2，其中x，y，z，m，n是正

整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)；

其中正確的結(jié)論是（）．

A．①③④⑤B．②④C．②③⑤D．②④⑤

【變式3】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若單項(xiàng)式2ax2yn1與3axmy4的差是ax2y4，則2m3n____．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

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【變式5】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)矩形，其邊長(zhǎng)如圖所示（a＞0），周

長(zhǎng)分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．

(1)用含a的代數(shù)式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．

(2)通過(guò)觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)相等，與a值無(wú)關(guān)”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個(gè)矩形

的面積之差越大”．你認(rèn)為兩位同學(xué)的結(jié)論都正確嗎？如果不正確，請(qǐng)對(duì)錯(cuò)誤同學(xué)的結(jié)論說(shuō)明理由．

核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用

例1（2022·江蘇南通·中考真題）已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m2n22mn，則(2m3n)2(m2n)(m2n)的

最大值為（）

4416

A．24B．C．D．4

33

例2（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a2m2mn,bmn2n2,cm2n2(mn)用“＜”表示a、b、c的

大小關(guān)系為_(kāi)_______.

例3（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史

的一個(gè)里程碑．在該書(shū)的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來(lái)論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何

給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．

(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來(lái)推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面

各圖形均滿(mǎn)足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫(xiě)對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）

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公式①：abcdadbdcd

公式②：abcdacadbcbd

2

公式③：aba22abb2

2

公式④：aba22abb2

圖1對(duì)應(yīng)公式______，圖2對(duì)應(yīng)公式______，圖3對(duì)應(yīng)公式______，圖4對(duì)應(yīng)公式______；

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式ababa2b2的方法，如圖5，請(qǐng)寫(xiě)出

證明過(guò)程；（已知圖中各四邊形均為矩形）

(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)

重合），過(guò)點(diǎn)E作EGBC于點(diǎn)G，作EHADF點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．記△BFG

與△CEG的面積之和為S1，△ABD與△AEH的面積之和為S2．

S

①若E為邊AC的中點(diǎn)，則1的值為_(kāi)______；

S2

②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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乘法公式

22

1．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。即(ab)(ab)ab

2．完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再加上這兩個(gè)的積的2倍。即：（．a(chǎn)．+．b．）．

2．=．a(chǎn)．2．+．b．2．+．2．a(chǎn)．b．

3.完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再減上這兩個(gè)的積的2倍。即：（．a(chǎn)．-．b．）．

2．=．a(chǎn)．2．+．b．2．-．2．a(chǎn)．b．

(ab)2a22abb2

完．全．平．方．公．式．的．口．訣．：．首．平．方．，．尾．平．方．，．首．尾．2．倍．中．間．放．，．符．號(hào)．和．前．一．個(gè)．樣．。

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若整式4x2M1是完全平方式，下列不滿(mǎn)足要求

的是（）

A．M1B．M4xC．M4x4D．M0

【變式2】（2022·山東山東·三模）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱(chēng)該正整數(shù)為“和

諧數(shù)”．如83212，165232，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過(guò)2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和

等于（）

A．255054B．255064C．250554D．255024

3x22xy12y247

【變式】（浙江麗水一模）已知，滿(mǎn)足方程組，

32022··xy22

2xxy8y36

（1）代數(shù)式x24y2的值是_____．

11

（2）代數(shù)式的值是______．

x2y

【變式4】（2022·江蘇南通·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足ab4，a2b216c，當(dāng)1c2時(shí)，多項(xiàng)式

11

a2abb2的最大值為m，最小值為n，則mn______．

22

第9頁(yè)共28頁(yè).

【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）已知：整式An21，B2n，Cn21，整式C0．

(1)當(dāng)n1999時(shí)，寫(xiě)出整式AB的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；

(2)求整式A2B2；

(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿(mǎn)足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

核心考點(diǎn)四整式的化簡(jiǎn)求值

例1（2022·西藏·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2

C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2

例2（2022·青海西寧·中考真題）3x22xy3=_________

1

例3（2022·廣西·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值xyxyxy22xyx，其中x1,y．

2

合并同類(lèi)項(xiàng)

（1）定義：把多項(xiàng)式中同類(lèi)項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)．

（2）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

（3）合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

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①要掌握同類(lèi)項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類(lèi)項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類(lèi)項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類(lèi)項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化

簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類(lèi)項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)

不變．

【變式1】（2022·河北唐山·三模）在化簡(jiǎn)3a2bab2a2bab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個(gè)運(yùn)

算符號(hào)中的某一個(gè)．當(dāng)a2，b1時(shí)，3a2bab2a2bab◆2ab的值為22，則◆所表示的符號(hào)為（）

A．B．C．＋D．－

【變式2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中為a整數(shù)，且a0）；有下列

結(jié)論，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

M17

①若M·N中不含x2項(xiàng)，則a1；②若為整式，則a2；③若a是MN0的一個(gè)根，則a2．

Na24

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【變式3】（2022·河北唐山·一模）若（x+1）（x+a）＝x2+bx-3，則ab的值為_(kāi)______．

【變式4】（2022·河北保定·二模）已知有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的邊長(zhǎng)如圖所示（m為正整數(shù)），甲、乙

的面積分別為S1，S2．

（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）

（2）若滿(mǎn)足條件|S1﹣S2|＜n≤2021的整數(shù)n有且只有4個(gè)，則m的值為_(kāi)__．

第11頁(yè)共28頁(yè).

【變式5】（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）先化簡(jiǎn)，再求值：(xy)(2xy)(xy)2x2，其中

x20231，y20231．

核心考點(diǎn)五因式分解

例1（2022·青海·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

2

A．3x24x37x5B．xyx2y2

C．23x23x9x24D．2xy4xy22xy12y

例2（2022·貴州黔東南·中考真題）分解因式：2022x24044x2022_______．

例3（2022·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

將2a3ab46b因式分解．

【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式2a3ab46ba23b223b23ba2

解法二：原式2a43ab6b2a23ba2a223b

【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方

程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）

【類(lèi)比】

(1)請(qǐng)用分組分解法將x2a2xa因式分解；

【挑戰(zhàn)】

(2)請(qǐng)用分組分解法將axa22abbxb2因式分解；

第12頁(yè)共28頁(yè).

【應(yīng)用】

(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直

角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和bab，

斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a42a3b2a2b22ab3b4因式分解，再求值．

因式分解

1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法.

（2）運(yùn)用公式法.

①平方差公式：a2b2abab

2

②完全平方公式：a22abb2ab

（3）十．字．相．乘．法．。．利．用．十．字．交．叉．線(xiàn)．來(lái)．分．解．系．?dāng)?shù)．，．把．二．次．三．項(xiàng)．式．分．解．因．式．的．方．法．叫．做．十．字．相．乘．法．．.

pqc

①對(duì)于二次三項(xiàng)式x2bxc，若存在，則x2bxcxpxq

pqb

②首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項(xiàng)式2中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)

3.axbxc(a≠0)aaa1a2c

第13頁(yè)共28頁(yè).

可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把，，，排列如下：

cc1c2a1a2c1c2

按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式2的一次項(xiàng)系數(shù)，即

4.a1c2a2c1axbxcb

，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即

a1c2a2c1ba1xc1a2xc2

2

axbxca1xc1a2xc2.

（4）分組分解法

5.對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，

即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目

進(jìn)行分組，然后再分解因式.

6.分解因式的步驟：

(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

7.若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab

＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每個(gè)因式都不能再分解為止.

【變式1】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）解決次數(shù)較高的代數(shù)式問(wèn)題時(shí)，通?？梢?/p>

用降次的思想方法．已知：x2x10，且x0，則x42x33x的值是（）

A．15B．15C．35D．35

第14頁(yè)共28頁(yè).

【變式2】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若a1b24b40，則ab的值為（）

A．3B．-3C．1D．-1

2

【變式3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）分解因式：mn4mmn4m2________．

【變式4】（2022·江蘇南京·二模）一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．若

x281x2022是完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的值為_(kāi)_____．

【變式5】（2022·重慶文德中學(xué)校二模）兩個(gè)不同的多位正整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字和相等，則成這兩

個(gè)多位數(shù)互為“友好數(shù)”．例如：37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別是37，82，378210，

37和82互為“友好數(shù)”．又如：123和51，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別是123，51，123516，

123和51互為“友好數(shù)”．

(1)直接寫(xiě)出103的所有兩位數(shù)的“友好數(shù)”；

(2)若兩個(gè)不同的三位數(shù)m100a40b、n20010c(1?a?5，0?b?5，0?c?9，且a、b、c為整數(shù)）互為友

mn

好數(shù)，且mn是11的倍數(shù)，記P，求P的所有值．

11

第15頁(yè)共28頁(yè).

核心考點(diǎn)六規(guī)律探索題

例1（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第

二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

（）

A．297B．301C．303D．400

例2（2022·四川遂寧·中考真題）“勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形

的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)而得

名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第六

代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．

例3（2022·浙江嘉興·中考真題）設(shè)a5是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4

時(shí)，a5表示的兩位數(shù)是45．

(1)嘗試：

①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；

②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；

第16頁(yè)共28頁(yè).

③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；

……

2

(2)歸納：a5與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．

2

(3)運(yùn)用：若a5與100a的差為2525，求a的值．

找規(guī)律

解題思維過(guò)程：從簡(jiǎn)單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過(guò)提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論.有時(shí)候

還需要通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想才能找到隱含條件.一般有下列幾個(gè)類(lèi)型：

⑴一列數(shù)的規(guī)律：把握常見(jiàn)幾類(lèi)數(shù)的排列規(guī)律及每個(gè)數(shù)與排列序號(hào)n之間的關(guān)系.

⑵一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號(hào)n之間的關(guān)系.

⑶圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個(gè)圖形，確定每個(gè)圖形中圖形的個(gè)數(shù)或圖形總數(shù)與序號(hào)n之間的關(guān)系.

⑷圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點(diǎn)，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個(gè)循環(huán)變換周期，

進(jìn)而觀察商和余數(shù).

⑸數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前n項(xiàng)（一般前3項(xiàng)）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論.

常見(jiàn)的數(shù)列規(guī)律：

⑴1，3，5，7，9，…，2n1（n為正整數(shù)）．

⑵2，4，6，8，10，…，2n（n為正整數(shù)）．

⑶2，4，8，16，32，…，2n（n為正整數(shù)）．

⑷2，5，10，17，26，…，n21（n為正整數(shù)）．

⑸0,3,8,15，24，…，n21（n為正整數(shù)）．

⑹2，6，12，20，…，n(n1)（n為正整數(shù)）．

⑺x，x，x，x，x，x，…，(1)nx（n為正整數(shù)）．

⑻x，x，x，x，x，x，…，(1)n1x（n為正整數(shù)）．

⑼特殊數(shù)列：

第17頁(yè)共28頁(yè).

①斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始每一個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的

和.

n(n1)

②三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21，…，.

2

【變式1】（2022·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，

11a8b2，…，第8個(gè)單項(xiàng)式是（）

A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2

【變式2】（2022·浙江·北大附屬臺(tái)州書(shū)生學(xué)校二模）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P從第一個(gè)數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳

動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，第一次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)1的位置，第二次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)2的位置，

第三次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)3的位置，第四次跳動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動(dòng)

、、

下去，點(diǎn)P從0跳動(dòng)6次到達(dá)P1的位置，點(diǎn)P從0跳動(dòng)21次到達(dá)P2的位置，…，點(diǎn)P1P2P3Pn在一條

直線(xiàn)上，則點(diǎn)P從0跳動(dòng)（）次可到達(dá)P14的位置．

A．887B．903C．90D．1024

【變式3】（2022·寧夏·銀川外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA1B1C1的

兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線(xiàn)OB1為邊做正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對(duì)角線(xiàn)為邊做正方形

以此類(lèi)推，則正方形的邊長(zhǎng)是

OB2B3C3……OB2020B2021C2021_____________

第18頁(yè)共28頁(yè).

【變式4】（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，正方形ABCB1，中，AB1，AB與直線(xiàn)l的夾角為30，延長(zhǎng)CB1

交直線(xiàn)于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線(xiàn)l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長(zhǎng)C2B3交直線(xiàn)l于點(diǎn)

A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此規(guī)律，則A2022B2022________．

【變式5】（2022·山東青島·一模）數(shù)學(xué)問(wèn)題：各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？

為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型：

數(shù)學(xué)模型：在1到21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21，有多少種

不同的取法？

為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化：

（1）在1～4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4，有多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1＋4，2＋3，2＋4，3＋2，3＋4，4＋1，4＋2，4＋3；而1＋4與4＋1，2＋3與3

122342

＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有4種不同的取法．

24

（2）在1～5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5，有多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1＋5，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋2，4＋3，4＋5；5＋1，5＋2，5＋3，5＋4，

而1＋5與5＋1，2＋4與4＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有

12234521

6種不同的取法．

24

（3）在1～6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6，有多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1＋6，2＋5，2＋6，3＋4，3＋5，3＋6，4＋3，4＋5，4＋6，5＋2，5＋3，5＋4，

5＋6，6＋1，6＋2，6＋3，6＋4，6＋5；而1＋6與6＋1，2＋5與5＋2，…是同一種取法，所以上述每一

12334562

種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有9種不同的取法．

24

（4）在1～7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7，有多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1＋7，2＋6，2＋7，3＋5，3＋6，3＋7，4＋5，4＋6，4＋7，5+3，5+4，5+6，5+7，

6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7＋4，7＋5，7＋6；而1＋7與7＋1，2＋6與6＋2，…是

第19頁(yè)共28頁(yè).

1233456721

同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有12種不同的取法…

24

問(wèn)題解決：

依照上述研究問(wèn)題的方法，解決上述數(shù)學(xué)模型和提出的問(wèn)題：

（1）在1～21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21，有種不同

的取法；（只填結(jié)果）

（2）在1～n（n為偶數(shù)）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于n，有種

不同的取法；（只填最簡(jiǎn)算式）

（3）在1～n（n為奇數(shù)）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于n，有種

不同的取法；（只填最簡(jiǎn)算式）

（4）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果，不寫(xiě)分析過(guò)程）

問(wèn)題拓展：

（5）在1～100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于100，有種不

同的取法；（只填結(jié)果）

（6）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為11的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果）

（7）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)？（寫(xiě)出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果）

第20頁(yè)共28頁(yè).

【新題速遞】

1．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）在下列運(yùn)算中，正確的是（）．

3

A．(2x)2x34x6B．x2xxC．4x24x6D．3x2(2x)2x2

2．（2022·廣西賀州·三模）觀察下列一行數(shù)：2,1,4,1,8,1,16,1，…，則第16個(gè)數(shù)與第17個(gè)數(shù)的和為（）

A．128B．128C．129D．129

3．（2022·浙江紹興·二模）數(shù)獨(dú)顧名思義----每個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)一次，數(shù)獨(dú)源自18世紀(jì)末的瑞士．?dāng)?shù)獨(dú)盤(pán)面

是個(gè)九宮，每一宮又分為九個(gè)小格，雖然玩法簡(jiǎn)單，但數(shù)字排列方式卻千變?nèi)f化，如圖，在★處應(yīng)填的數(shù)

字是（）

A．2B．6C．7D．8

113

4．（2022·山東濱州·二模）若m3，則m2m1的值是（）

m22

31

A．2B．0C．D．

22

5．（2022·河北邯鄲·二模）若202220222022202020232022n2021，則n的值是（）

A．2023B．2022C．2021D．2020

b2ab

6．（2022·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預(yù)測(cè)）若ab2，則代數(shù)式a的值為（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

7．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）已知多項(xiàng)式Ax22ym和By22xn（m，n為常數(shù)），以下結(jié)論中

正確的是（）

①當(dāng)x2且mn1時(shí)，無(wú)論y取何值，都有AB≥0；

②當(dāng)mn0時(shí)，AB所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；

③當(dāng)xy時(shí)，一定有AB；

第21頁(yè)共28頁(yè).

④若mn2且AB0，則xy；

⑤若mn，AB1且x，y為整數(shù)，則xy1．

A．①②④B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤

8．（2022·重慶市育才中學(xué)一模）下列四種說(shuō)法中正確的有（）

①關(guān)于x、y的方程2x6y199存在整數(shù)解．

②若兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足2(a4b4)(a2b2)2，則a、b互為相反數(shù)．

③若(ac)24(ab)(bc)0，則2bac．

④若x2yzy2xzz2xy，則xyz．

A．①④B．②③C．①②④D．②③④

2

9．（2022·福建省廈門(mén)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若m202210，則m2021m2023______．

10．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損

術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，如果輸出m的值為5，那么輸入x的值為_(kāi)_____．

11．（2022·北京·二模）歷史上數(shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)fx來(lái)表示，把x等于某數(shù)a時(shí)的

22

多項(xiàng)式的值用fa表示．例如多項(xiàng)式fxxx1，當(dāng)x4時(shí)，多項(xiàng)式的值為f444113．已

知多項(xiàng)式fxmx3nx3，若f12022，則f1的值為_(kāi)_____．

12．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）用符號(hào)f（x）表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)x為偶

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x8

數(shù)時(shí)，fx；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）＝3x＋1．例如：f（1）＝3×1＋1，f84．設(shè)x1＝8，x2＝f

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（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn－1）．以此規(guī)律，得到一列數(shù)x1、x2、x3，…，x2022，則這2022個(gè)數(shù)之和

x1x2x3x2021x2022等于___________．

13．（2022·湖北十堰·三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分精

彩的一頁(yè)，上圖是其中的一部分．“楊輝三角”蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的規(guī)律，小明對(duì)此非常著迷．一次，他把寫(xiě)的

楊輝三角數(shù)表用書(shū)本遮蓋住，只漏出其中某一行的一部分的5個(gè)數(shù)字；1，10，45，120，210，讓同桌小聰

說(shuō)出第6個(gè)數(shù)字，小聰稍加思索，便說(shuō)出正確答案，正確答案是_________．

14．（2022·廣西柳州·二模）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式a21可以用如下方法分

解因式：

①a21a2aa1aa1a1a1a1；

又比如多項(xiàng)式a31可以這樣分解：

②a31a3a2a2aa1a2a1aa1a1a1a2a1；

仿照以上方法，分解多項(xiàng)式a51的結(jié)果是______．

15．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）某水果店售賣(mài)A，B，C，D四種水果套餐，其中A，B兩種水果的單價(jià)相同，D

種水果的單價(jià)是C種水果單價(jià)的7倍，第一天，A，C兩種水果的銷(xiāo)量相同，B種水果的銷(xiāo)量是D種水果銷(xiāo)

量的7倍，結(jié)果第一天A，B兩種水果的總銷(xiāo)售額比C、D兩種水果的總銷(xiāo)售額多126元，且四種水果第一

天的單價(jià)與銷(xiāo)量均為正整數(shù)，到了第二天的時(shí)候，由于D種水果不易保存，攤主便將D種水果打八折售賣(mài)，

其他三種水果單價(jià)不變，結(jié)果第二天除了B種水果銷(xiāo)量下降了20%，其他幾種水果的銷(xiāo)量跟第一天一樣，

若A種水果與C種水果的單價(jià)之差超過(guò)6元但不超過(guò)13元，B種水果和D種水果第一天的單價(jià)之和不超過(guò)

35元，則第二天四種水果總銷(xiāo)售額最多為_(kāi)___元．

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16．（2022·河北·育華中學(xué)三模）如圖的長(zhǎng)方體中，已知高為x，S1＝16﹣x，S2＝4x﹣x．

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(1)用x表示圖中S3；

(2)求長(zhǎng)方體的表面積．

17．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）嘉嘉準(zhǔn)備完成題目：

她發(fā)現(xiàn)“口”內(nèi)的系數(shù)與“”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“”是，中的某一個(gè)．

(1)若“口”內(nèi)為2，“”內(nèi)為，請(qǐng)化簡(jiǎn)原式；

(2)在（1）的情況下，是否存在實(shí)數(shù)x，使原式的值為﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)若不論x取何實(shí)數(shù)，原式的值都是一個(gè)固定的常數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出原題中“口”內(nèi)的數(shù)、“”內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)

以及原式的值．

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18．（2022·寧夏吳忠·一模）閱讀以下材料：

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Nplcr，1550-1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，

直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evlcr，1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．

x

對(duì)數(shù)的定義：一般地，若aNa0,a1，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：xlogaN．比如指

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數(shù)式216可以轉(zhuǎn)化為4log216，對(duì)數(shù)式2log525可以轉(zhuǎn)化為525．

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：logaMNlogaMlogaNa0,a1,M0,N0；理由

如下：

mn

設(shè)logaMm，logaNn，則Ma，Na

mnmn

∴MNaaa，由對(duì)數(shù)的定義得mnlogaMN

又∵mnlogaMlogaN

∴l(xiāng)ogaMNlogaMlogaN

解決以下問(wèn)題：

(1)將指數(shù)4364轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：______．