專題05 不等式（組）及不等式的應用（5大考點）（原卷版）

第二部分方程（組）與不等式（組）

專題05不等式（組）及不等式的應用

核心考點一不等式的基本性質

核心考點二一元一次不等式（組）的解法

核心考點核心考點三含參不等式（組）問題

核心考點四不等式的實際應用

核心考點五方程與不等式結合的實際應用

新題速遞

核心考點一不等式的基本性質

例1（2022·內蒙古包頭·中考真題）若mn，則下列不等式中正確的是（）

11

A．m2n2B．mnC．nm0D．12m12n

22

11

例2（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別表示實數(shù)a、b，則______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

3x1

例3（2020·江蘇淮安·中考真題）解不等式2x1．

2

解：去分母，得2(2x1)3x1．

……

（1）請完成上述解不等式的余下步驟：

（2）解題回顧：本題“去分母”這一步的變形依據(jù)是（填“A”或“B”）

A．不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；

B．不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

第1頁共18頁.

知識點1：不等式及其基本性質

1、定義：用不等號（>,≥,<,≤或≠）表示不等關系的式子叫做不等式。

2、基本性質

性質1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方

向不變，即如果ab，那么ac

性質2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性質3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性質4如果ab，那么ba

性質5如果ab，bc，那么ac

112

【變式1】．（2022·安徽·合肥市五十中學西校三模）已知實數(shù)a，b，c滿足ac2b，．則下列結

acb

論正確的是（）

A．若ab0，則cb0B．若ac1，則b1

C．a(chǎn)，b，c不可能同時相等D．若a2，則b28c

【變式2】（2022·江蘇南通·一模）若關于x的不等式mx﹣n＞0的解集為x＜2，則關于x的不等式（m+n）

x＞m﹣n的解集是（）

A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13

【變式3】（2022·江蘇宿遷·三模）若不等式mx3m，兩邊同除以m，得x3，則m的取值范圍為__________．

2

【變式4】（2022·安徽·模擬預測）已知關于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集為x＜，化簡：|1﹣a|﹣a

1a

＝_____．

第2頁共18頁.

【變式5】（2022·浙江杭州·一模）已知Mx22x4，Nx24x4，請比較M和N的大?。?/p>

以下是小明的解答：

22

∵Mx133，Nx20，

∴MN．

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答．

核心考點二一元一次不等式（組）的解法

例1（2022·遼寧大連·中考真題）不等式4x3x2的解集是（）

A．x2B．x<2C．x2D．x2

例2（2022·北京·中考真題）若x8在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是___________．

3x12x2,①

例3（2022·山東菏澤·中考真題）解不等式組x3x2并將其解集在數(shù)軸上表示出來．

1,②

32

第3頁共18頁.

知識點：一元一次不等式及其解法

含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1、且不等號兩邊都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定義一般地，能夠使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個不等式的解，所

有這些解的全體稱為這個不等式的解集。

求不等式解集的過程叫做解不等式。

一般步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法類似，不同的是當不等

驟

式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號方向要改變。

xa

解集在xa“兩定”

數(shù)軸上定邊界

表示xa定方向

xa

2x13x2

例題：解不等式1，并在數(shù)軸上表示解集。

34

解：42x133x212

8x49x612

8x9x6124

x2

x2

解集在數(shù)軸上表示為

知識點：一元一次不等式組及其解法

1、定義

由幾個含有同一個未知的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

這幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

求一元一次不等式組解集的過程叫做解不等式組。

2、解法步驟

（1）分別求出每個不等式的解集；

（2）在同一數(shù)軸上表示出各個解集，找出所有解集的公共部分；

（3）寫出不等式組的解集。

第4頁共18頁.

3、解集表示（假設ab）

不等式組在數(shù)軸上的表示不等式組的解集口訣

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小小大，

axb

xb中間找.

xa大大小小，

無解

xb找不到.

【變式1】（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級中學三模）若x3是關于x的不等式2xm4的一個整數(shù)解，而x2

不是其整數(shù)解，則m的取值范圍為（）

A．0m2B．0m2C．0m2D．0m2

xa0

【變式2】（2021·河南·模擬預測）關于x的不等式組的整數(shù)解有4個，則a的取值范圍是（）

72x1

A．6＜a＜7B．6＜a7C．6a7D．6a＜7

2xb

【變式3】（2022·安徽·三模）若關于x的分式方程4的解是非負數(shù)，則b的取值范圍是______．

x3

2xa1

【變式4】（2020·河南·模擬預測）已知不等式組的解集為﹣1＜x＜1，則（a+b）（b﹣1）的值為

x4b3

_____．

第5頁共18頁.

【變式5】（2022·貴州·德江縣教育局教研室模擬預測）小明在學習一元二次不等式的解法時發(fā)現(xiàn)，可以應

用初中所學知識，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：

解不等式：x240．

解：∵x24x2x2，

∴原不等式可化為x2x20．

∵兩數(shù)相乘，同號為正，

x20x20

∴①或②

x20x20

由①得x2，由②得x<2，

∴原不等式的解集為x2或x<2．

請用以上方法解下列不等式：

(1)x290；

x1

(2)0

x1

核心考點三含參不等式（組）問題

例1（2020·甘肅天水·中考真題）若關于x的不等式3xa2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為()

A．7a4B．7a4C．7a4D．7a4

例2（2021·四川眉山·中考真題）若關于x的不等式xm1只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是______．

例3（2021·湖北荊州·中考真題）已知：a是不等式5a286a17的最小整數(shù)解，請用配方法解

關于x的方程x22axa10．

第6頁共18頁.

1、給出不等式解的情況，求出參數(shù)取值范圍

總結：給出不等式組解集的情況，只能確定參數(shù)的取值范圍。記住大小小大有解，大大小小無解；端點值

格外考慮；

2、給出不等式解集，求參數(shù)的值

總結：給出不等式組確切的解集，可以求出參數(shù)的值。方法：先解出含參的不等式組中每個不等式的解集，

再利用解集與所求解集之間的對應關系，建立方程；

xa0,

【變式1】（2022·江蘇南通·二模）已知關于x的不等式組的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a

2x30

的最小值為（）

A．2B．3C．4D．5

x1x1

【變式2】（2022·重慶八中三模）若數(shù)a使關于x的不等式組23有且只有四個整數(shù)解，且使關于

5x2ax

ya2a

y的方程2的解為非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)之和為（）

y11y

A．3B．1C．1D．2

2x1x

【變式3】（2022·山東菏澤·二模）滿足不等式組x5的最小整數(shù)解是______．

x1

2

xa0,

【變式4】（2022·山東煙臺·一模）已知關于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且存在以3，a，7

2x17

為邊的三角形，則a的整數(shù)解有______個．

21xx8

【變式5】（2022·山東聊城·一模）不等式組3x2x1

63

第7頁共18頁.

(1)解此不等式組；

(2)若m是此不等式組的最大整數(shù)解，求1mm2m2021m2022的值．

核心考點四不等式的實際應用

例1（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強度I(A)的最大

限度不得超過0.11A．設選用燈泡的電阻為R(Ω)，下列說法正確的是（）

A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω

例2（2022·北京·中考真題）甲工廠將生產(chǎn)的I號、II號兩種產(chǎn)品共打包成5個不同的包裹，編號分別為

A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產(chǎn)品的重量如下：

包裹編號I號產(chǎn)品重量/噸II號產(chǎn)品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．

（1）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案________（寫出要裝

運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產(chǎn)品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，寫出滿足條件的裝運

方案________（寫出要裝運包裹的編號）．

第8頁共18頁.

例3（2022·浙江衢州·中考真題）金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．

(1)用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費用．

(2)若燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元．

①分別求出這兩款車的每千米行駛費用．

②若燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時，買新

能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）

知識點：一元一次不等式的應用

1、列不等式解應用題的一般步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量。

設：設出未知數(shù)。

列：根據(jù)題目中的不等關系，列出不等式。

解：解不等式。

答：寫出符合題意的答案。

2、不等式的實際問題中，常見關鍵詞與不等號的關系

常見關鍵詞符號

大于，多于，超過，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于≥

至多，不超過，不高于，不大于≤

第9頁共18頁.

【變式1】（2021·浙江·諸暨市暨陽初級中學一模）在某校舉行的冬季籃球賽中，選手王娜在第六、第七、

第八、第九場比賽中分別得了23分、14分、11分和20分．她的前九場的平均成績高于前五場的平均成績，

如果她的前十場的平均成績高于18分，那么她的第十場的成績至少為（）

A．27分B．29分C．31分D．33分

【變式2】（2021·浙江紹興·模擬預測）隨看科技的進步，我們可以通過手機APP實時查看公交車到站情況．小

明想乘公交車，可又不想靜靜地等在A站．他從A站往B站走了一段路，發(fā)現(xiàn)他與公交車的距離為720m

（如圖），此時有兩種選擇：

（1）與公交車相向而行，到A公交站去乘車；

（2）與公交車同向而行，到B公交站去乘車．

1

假設小明的速度是公交車速度的，若要保證小明不會錯過這輛公交車，則A、B兩公交站之間的距離最大

5

為（）

A．240mB．300mC．320mD．360m

【變式3】（2022·北京北京·二模）某甜品店會員購買本店甜品可享受八折優(yōu)惠．“五一”期間該店又推出購物

滿200元減20元的“滿減”活動．

說明：①“滿減”是指購買的甜品標價總額達到或超過200元時減20元．“滿減”活動只享受一次；

②會員可按先享“滿減”優(yōu)惠再享八折優(yōu)惠的方式付款，也可按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款

小紅是該店會員．若購買標價總額為220元的甜品，則最少需支付_____________元；

若購買標價總額為x元的甜品，按先享八折優(yōu)惠再享“滿減”優(yōu)惠的方式付款最劃算，則x的取值范圍是

__________．

【變式4】（2022·黑龍江·肇東市第十一中學校一模）某學校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎

第10頁共18頁.

品．已知購買2個A種獎品和4個B種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元．學

2

校準備購買A,B兩種獎品共20個，且A種獎品的數(shù)量不小于B種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用

5

是_____元．

【變式5】（2022·廣西·博白縣龍?zhí)吨袑W模擬預測）小穎在完成一項“社會調查”作業(yè)時，需要調查城市送餐員

的收入情況，他了解到勞務公司為了鼓勵送餐員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資（固定）＋送餐

單數(shù)獎勵”的方法計算薪資，調查中獲得如下信息：

送餐員小李小楊

月送餐單數(shù)/單292273

月總收入/元33843346

送餐每單獎金為a元，送餐員月基本工資為b元．

(1)列方程組求a、b的值；

(2)若月送餐單數(shù)超過300單時，超過部分每單獎金增加1元，假設月送餐單數(shù)為x單，月總收入為y元，

請寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并求出送餐員小李計劃月總收入不低于5200元時，他每月至少要送餐多

少單？

第11頁共18頁.

核心考點五方程與不等式結合的實際應用

3xax1

例1（2022·重慶·中考真題）關于x的分式方程1的解為正數(shù)，且關于y的不等式組

x33x

y92(y2)

2ya的解集為y≥5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）

1

3

A．13B．15C．18D．20

例2（2021·黑龍江綏化·中考真題）某學校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購買2

個A種獎品和4個B種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元．學校準備購買A,B

2

兩種獎品共20個，且A種獎品的數(shù)量不小于B種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用是_____元．

5

例3（2022·內蒙古內蒙古·中考真題）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品

10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．

(1)求購進A、B兩種紀念品的單價；

(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數(shù)量不少

于B種紀念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？

(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，

哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．

第12頁共18頁.

方程和不等式是中學數(shù)學的重要組成部分，也是函數(shù)學習的基礎，在各地中考試題中，方程和方程組、不等式和不等式組往往作為填空題、

選擇題和解答題出現(xiàn)，重點都是要求學生掌握方程的概念和解法，不等式解集概念和解集在數(shù)軸上表示出來。這個版塊作為考試的重點，往

往導致很多考生丟分，還有很多考生看見不等式的題目就望而卻步。

技巧與方法：

一、能根據(jù)實際問題列出不等式組，通過求解不等式而解決實際問題；用轉化思想將實際問題中的不等關系抽象出來，用不等式組的知識解

答應用題和方案設計型試題

二、一方面注重不等式組解法和與其它知識點聯(lián)系的考查，另一方面更注重對其與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，加強對解決簡單實際問題的數(shù)學考查

重難點：利用不等式、方程解決實際問題中，在解題過程中審題要細致，題中所求的未知量的特定意義要全部挖掘出來，增設輔助未知數(shù)，

給我們利用等量、不等量關系帶來很大的便利，能起到溝通數(shù)量關系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用。

【變式1】（2020·安徽·合肥38中二模）對于實數(shù)x，我們規(guī)定x表示不大于x的最大整數(shù)，例如1.21，

x4

33，2.53，若5，則x的取值可以是（）

10

A．56B．51C．45D．40

【變式2】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)教師進修學校二模）某校組織10名黨員教師和38名優(yōu)秀

學生團干部去某地參觀學習．學校準備租用汽車，學?？蛇x擇的車輛（除司機外）分別可以乘坐4人或6

人，為了安全每輛車上至少有1名教師，且沒有空座，那么可以選擇的方案有（）

A．2種B．3種C．4種D．5種

【變式3】（2022·重慶·模擬預測）我國過年歷史悠久，在傳承發(fā)展中已形成了一些較為固定的習俗，有許

多還相傳至今，如買年貨、掃塵、貼對聯(lián)、吃年夜飯、守歲、拜歲、拜年、舞龍舞獅、拜神祭祖、祈福攘

災、游神、押舟、廟會、游鑼鼓、游標旗、上燈酒、賞花燈等．某商店新進一批“福”字貼畫和數(shù)對燈籠（燈

1

籠一對為2件），共超過250件但不超過300件，燈籠的對數(shù)正好是“?！弊仲N畫數(shù)量的，每張“?！弊仲N畫

5

第13頁共18頁.

3

進價是4元，每對燈籠的進價是50元（燈籠成對出售），商店將“?！弊仲N畫以高出進價的售出，將燈籠每

4

對按高出進價的40%售出，最后留下了35件物品未賣出，并把這批物品免費送給了自己的親戚朋友，最后

商店經(jīng)過計算總利潤率為20%，則最初購進燈籠___________對．

【變式4】（2021·重慶市開州區(qū)文峰初級中學一模）為響應教育部《大中小學勞動教育指導綱要》，充分發(fā)

揮勞動育人的功能，北關中學啟動甜甜圈農(nóng)場計劃，每個班級分配一塊專屬農(nóng)場用地，學生通過種植各種

花卉、農(nóng)作物，親歷實際的勞動過程．家委會配合統(tǒng)一采購所需種子，包括花卉風信子、雛菊，蔬菜土豆、

菠菜，供各個班級自行選擇品種．經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，雛菊和菠菜每袋種子單價一樣，每種植物單價均為

整數(shù)，若購買風信子、雛菊、土豆、菠菜各3袋，2袋，4袋，2袋需要104元；若分別購買3袋，5袋，8

袋，4袋共需180元；現(xiàn)為節(jié)約經(jīng)費，家委會與商家商討打折購買事宜，經(jīng)商定，風信子打6折，雛菊打9

折，土豆打8折，經(jīng)過統(tǒng)計學校共需采購風信子和土豆各18袋，雛菊17袋，菠菜20袋，為了使買種子的

總花費不超過500元，菠菜至少打______折．

【變式5】（2020·貴州·仁懷市教育研究室二模）某商場受疫情影響，決定調整進貨數(shù)量，下表是該商城在

疫情期間購進甲、乙兩種品牌服裝的進價和售價：已知：用10200元購進甲種品牌服裝的數(shù)量與用9600元

購進乙種品牌服裝的數(shù)量相同．

品牌服裝價格甲乙

進價（元/件）mm50

售價（元/件）12001000

(1)求m的值；

(2)要使購進的甲、乙兩種品牌服裝共5件的總利潤（利潤=售價進價）不少于1435元，則商城最少應購

進多少甲種品牌衣服？

(3)若購進的甲、乙兩種品牌服裝共20件，且規(guī)定甲種品牌服裝數(shù)量不超過乙種品牌服裝數(shù)量的4倍．應怎

樣進貨才能使商場在銷售完這批品牌服裝時獲利最多？此時利潤為多少？

第14頁共18頁.

【新題速遞】

1．（2022·四川瀘州·八年級期末）直線ykxb的圖象經(jīng)過點1,0，0,2，則不等式kxb0的解集是

（）

A．x<2B．x1C．x2D．x1

2．（2022·北京·測試·編輯教研五七年級階段練習）已知ab，下列不等式變形不正確的是（）

A．a(chǎn)2b2B．3a3bC．2a2bD．2a12b1

x23x6,

3．（2022·四川瀘州·七年級期末）若不等式組有兩個整數(shù)解，則m的取值范圍是（）

xm.

A．3m4B．3m4C．4m5D．4m5

m3

4．（2022·重慶市萬州第二高級中學九年級期中）已知關于x的分式方程1的解為整數(shù)，且關

22x2x2

m5y3

于y的不等式組恰好有2個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和為（）

3y22y1

A．15B．12C．8D．5

5．（2022·湖南永州·八年級期末）若關于x的不等式3x＋a5只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）

A．4＜a＜1B．4＜a1C．4a＜1D．4a1

6．（2022·吉林·長春力旺實驗初級中學九年級階段練習）某校40名同學去工廠進行暑假實踐活動，每名同

學每天可以加工甲種零件10個或乙種零件8個，已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種

零件可獲利24元，若要使車間每天獲利不低于7000元，加工乙種零件的同學至少為（）

A．18B．19C．20D．21

2x3x3

7．（2021·浙江·寧波市江北區(qū)實驗中學八年級期中）若關于x的不等式組只有5個整數(shù)解，則a

3xa5

的取值范圍是_____．

8．（2022·浙江·杭州北苑實驗中學模擬預測）某班要獎勵學習進步者，班委決定購買A、B、C三檔獎品共

20件，預算費用不超過200元，獎品價格如下表所示：

獎品ABC

售價（單位：元/件）20126

若A檔獎品購買3件，則B檔至多能買____________件．

第15頁共18頁.

xm0

9．（2021·四川·成都外國語學校八年級期中）若關于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是15，則m

132x1

的取值范圍是___________．

4x2y3a

10．（2022·黑龍江大慶·八年級期中）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足2xy5，則

3y2x1

a的取值范圍是_____．

11．（2021·重慶市大學城第一中學校八年級期中）一個三角形的三邊長均為整數(shù)．已知其中兩邊長為4和7，

2

x3x2

第三邊長x是不等式組3的正整數(shù)解．則第三邊的長為___________．

5x162x13

12．（2022·北京·首都師范大學附屬中學八年級期中）將五個1，五個2，五個3，五個4，五個5共25個數(shù)

填入一個5行5列的表格內（每格填入一個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2．每次填滿

表后，考察每行中五個數(shù)之和，記這五個和的最小值為m．

（1）下表所示為符合題意的一種填表方式，則此表的m值等于______；

42244

54533

21311

55354

13212

（2）在所有的填表可能中，m的最大值為_______．

4x2(x1)4