專題07 一次函數(shù)（5大考點(diǎn)）（原卷版）

第三部分函數(shù)

專題07一次函數(shù)（5大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一一次函數(shù)的概念

核心考點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱

核心考點(diǎn)四一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

核心考點(diǎn)五一次函數(shù)的應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一一次函數(shù)的概念

例1（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐，菜地的一邊靠墻，

另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為xm，另一邊長(zhǎng)為ym，當(dāng)x在一定范圍

內(nèi)變化時(shí)，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

A．正比例函數(shù)關(guān)系B．一次函數(shù)關(guān)系

C．反比例函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系

例2（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y2x1的圖像分別交x、

y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是

__________．

例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，

(2,0)，且與y軸交于點(diǎn)A．

(1)求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x0時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)yxn的值大于函數(shù)ykxb(k0)的值，直接寫出n的取值范

圍．

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知識(shí)點(diǎn)、定義

一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時(shí)，y叫做x的正

比例函數(shù)．

一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實(shí)數(shù).

注意：

（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

（3）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量x的式子是一次的，系數(shù)k不等于0，而b可以為任

意實(shí)數(shù)．

（4）判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.

（5）一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程.

知識(shí)點(diǎn)、一次函數(shù)表達(dá)式的確定

先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫

做待定系數(shù)法。

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟

設(shè)：設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．

列：把兩個(gè)已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一

次方程組．

解：解二元一次方程組，求出k，b．

還原：將求得的k，b的值代入解析式．

【變式1】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊AOB的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)上，

OA在x軸上，OA4，C為AB邊的中點(diǎn)，將等邊AOB向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線MN：yx4上時(shí)，

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）

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A．2,3B．13,3C．3,3D．43,3

【變式2】（2021·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？家荒＃┒x：對(duì)于給定的一次函數(shù)

axbx0

yaxb（a、b為常數(shù)，且a0，把形如y的函數(shù)稱為一次函數(shù)yaxb的“相依函數(shù)”，

axbx0

已知一次函數(shù)yx1，若點(diǎn)P2,m在這個(gè)一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，則m的值是（）

A．1B．2C．3D．4

【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)yxb的圖象過點(diǎn)A0,2022，

B2022,m，則m的值為______．

【變式4】（2021·山東東營(yíng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC滿足點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A坐

標(biāo)為（2，0），∠AOC＝60°，直線y＝﹣3x＋b與菱形OABC有交點(diǎn)，則b的取值范圍是___．

【變式5】（2022·廣東佛山·校考三模）我們把一個(gè)函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為這個(gè)函數(shù)的不

動(dòng)點(diǎn)．

(1)請(qǐng)直接寫出函數(shù)y2x的不動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

3x8

(2)若函數(shù)y有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)A，B，求a的值；

xa

(3)已知函數(shù)yax2(b1)x(b1)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值

范圍．

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核心考點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸

交于點(diǎn)B，將AOB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖△AOB的位置，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在直線AB上，連接BB，

則BB的長(zhǎng)度為（）

333

A．B．3C．2D．

22

例2（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)D為OB的

中點(diǎn)，?OCDE的頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．

1

例3（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，

2

經(jīng)過點(diǎn)A′和y軸上的點(diǎn)B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．

(1)求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

(2)確定直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

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2、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)

k>0k<0

k，b的符號(hào)

b0b0b0b0b0b0

大致圖像

經(jīng)過的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四

性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

與坐標(biāo)軸的

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

交點(diǎn)

k

【變式1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）函數(shù)ykx5與yk0在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）

x

A．B．C．D．

【變式2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y3x向上平移3個(gè)單位，與y

k

軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)y(x0)

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為（）

A．2B．3C．4D．6

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2abab

【變式3】（2022·江蘇泰州·?？家荒＃┒x一個(gè)新的運(yùn)算：abb2則運(yùn)算x2的最小值為

(ab)

a

_________．

【變式4】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D，

點(diǎn)E，點(diǎn)F為直線y=x+6上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為-4．把直線DE繞F點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸

分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)C，若SADF=SFEC，則直線AC的解析式為______．

△△

【變式5】（2022·河北保定·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中

m＞0，直線y＝kx﹣1與y軸相交于C點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)．

(2)若m＝2，

①求△ABC的面積；

②若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y＝kx﹣1的兩側(cè)，求k的取值范圍；

(3)當(dāng)k＝﹣1時(shí)，直線y＝kx﹣1與線段AB的交點(diǎn)為P點(diǎn)（不與A點(diǎn)、B點(diǎn)重合），且AP＜2，求m的取值

范圍．

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核心考點(diǎn)三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱

例1（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD在第一象限，且BC//x

軸，直線y2x1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長(zhǎng)為a，直線在x軸上

平移的距離為b，a、b間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形ABCD的面積為（）

A．5B．25C．8D．10

例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），將OAB沿x軸向右平移至CDE，點(diǎn)B的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)E恰好落在直線y2x3上，則點(diǎn)A移動(dòng)的距離是______．

例3（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時(shí)，直線的左右位置也發(fā)生

著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖像平移的性質(zhì)”的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．

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(1)如圖1，將一次函數(shù)yx2的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向右平移了______個(gè)單位長(zhǎng)度；

(2)將一次函數(shù)y2x4的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向______（填“左”或“右”）平移了______

個(gè)單位長(zhǎng)度；

(3)綜上，對(duì)于一次函數(shù)ykxbk0的圖像而言，將它向下平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于將它向______

（填“左”或“右”）（k0時(shí)）或?qū)⑺騙_____（填“左”或“右”）（k0時(shí)）平移了n(n0)個(gè)單位長(zhǎng)度，且m，

n，k滿足等式_______．

3、一次函數(shù)圖象的平移

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平

移b個(gè)單位長(zhǎng)度；b<0，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度

4、兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：

①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；

②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；

③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；

④當(dāng)k1·k2=–1時(shí)，兩直線垂直．

【變式1】（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，ABC的頂點(diǎn)A4,0，B1,4，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，

ABAC，將ABC向右平移得到ABC，若AB經(jīng)過點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

77

A．,3B．3,C．2,3D．3,2

44

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【變式2】（2022·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖①，正方形ABCD在直角坐標(biāo)系中，其中AB邊在y軸上，其余

各邊均與坐標(biāo)軸平行，直線l：y=x-1沿y軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，在平移的過程中，該直

線被正方形ABCD的邊所截得的線段長(zhǎng)為m（米），平移的時(shí)間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象如圖②所示，

則圖②中b的值為（）

A．32B．52C．62D．102

1

【變式3】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線yx2與x軸交于點(diǎn)A，以O(shè)A為斜邊在x軸上方

2

1

作等腰直角三角形OAB，將OAB沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)B落在直線yx2上時(shí)，則OAB平移的距離是

2

__．

1x1x1

【變式4】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知直線y＝x+2與函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩

3x1x1

點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____；

（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)把兩個(gè)函數(shù)圖象水平向右平移m個(gè)單位，點(diǎn)A，B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，

B′，連結(jié)OA′，OB′．當(dāng)m＝_____時(shí)，|OA'﹣OB'|取最大值．

【變式5】（2021·山東濱州·二模）閱讀下面材料：

我們知道一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時(shí)，直線通常寫成Ax+By+C

|Ax0By0C|

＝0（A≠0，A、B、C是常數(shù)）的形式，點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離可用公式d＝

A2B2

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計(jì)算．

例如：求點(diǎn)P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離．

解：∵y＝﹣2x+5

∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5

|Ax0By0C||23145|5

∴點(diǎn)P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離為：d＝＝＝＝5

A2B222125

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)求點(diǎn)Q（﹣2，2）到直線3x﹣y+7＝0的距離；

：

(2)如圖，直線l1y＝﹣x沿y軸向上平移2個(gè)單位得到另一條直線l2，求這兩條平行直線之間的距離．

(3)若將l2繞其與y軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度與l1相交，直接寫出l1大于l2時(shí)，x的取值范圍

核心考點(diǎn)四一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

例1（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b

11

（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，x的取值范圍是（）

33

A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1

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11

例2（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：yx與直線l2：y

42

11

yx

＝kx+3相交于點(diǎn)A，則方程組42的解為___．

ykx3

、

例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1axby2cxd，我們稱函數(shù)

、

ym(axb)n(cxd)(manc0)為函數(shù)y1y2的“組合函數(shù)”.

(1)若m=3，n=1，試判斷函數(shù)y5x2是否為函數(shù)y1x1,y22x1的“組合函數(shù)”，并說明理由;

(2)設(shè)函數(shù)y1xp2與y2x3p的圖像相交于點(diǎn)P.

、

①若mn1，點(diǎn)P在函數(shù)y1y2的“組合函數(shù)”圖像的上方，求p的取值范圍；

、

②若p≠1，函數(shù)y1y2的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點(diǎn)P.是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，

都有“組合函數(shù)”圖像與x軸交點(diǎn)Q的位置不變?若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說

明理由.

知識(shí)點(diǎn)3：一次函數(shù)與一次方程（組）、一元一次不等式（組）的關(guān)系

1．一次函數(shù)與一元一次方程

任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．

從函數(shù)的角度來看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為0；從函數(shù)圖象的角度考慮，

解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

2．一次函數(shù)與一元一次不等式

任何一個(gè)一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．

從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）

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0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或

下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件．

3．一次函數(shù)與二元一次方程組

一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，

b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函

數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線．進(jìn)一步可知，一個(gè)二元一次方程對(duì)

應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，因而也對(duì)應(yīng)兩條直線．

從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及

這兩個(gè)函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一

般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

【變式1】（2022·陜西西安·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx4的圖象與x軸、y軸

分別相交于點(diǎn)A、B．若點(diǎn)P(m,m2)在AOB的內(nèi)部，則m的取值范圍是（）

A．4m2B．3m2C．2m0D．1m0

【變式2】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l1、l2、l3所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式分

別為y1x2、y2x3、y3kx2k4（k≠0且k≠1），若l1與x軸相交于點(diǎn)A，l3與l1、l2分別相交于點(diǎn)

P、Q，則APQ的面積（）

△

A．等于8B．等于10C．等于12D．隨著k的取值變化而變化

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【變式3】（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖．在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，

BC3BE且BECF，AEBF，垂足為G，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OG、則OG的長(zhǎng)為________．

【變式4】（2021·四川成都·統(tǒng)考三模）直線l1:ykx與直線l2:yaxb在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖形如

1

圖所示，兩條直線相交于點(diǎn)A，直線xm分別與兩條直線交于M，N兩點(diǎn)，若AMN的面積不小于時(shí)，

2

則m的取值范圍是_______．

【變式5】（2021·重慶綦江·?？既＃┰诤瘮?shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)表達(dá)式畫函數(shù)圖象利用函

數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)利用圖象解決問題”的學(xué)習(xí)過程，小姚同學(xué)根據(jù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)

1

yxx0的性質(zhì)及其應(yīng)用進(jìn)行了探究，請(qǐng)你按要求完成下列問題．

1x

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(1)列表：下表為變量x與y1的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)值：

1111

x311345

2432

10510101726

y12ab2

323345

則a______，b______；

(2)描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

711

(3)觀察函數(shù)圖象：一次函數(shù)yx的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式y(tǒng)y的解集為______．

24412

核心考點(diǎn)五一次函數(shù)的應(yīng)用

1

例1（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

2

將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ的最小值為()

455265

A．B．5C．D．

535

第14頁共25頁.

例2（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）漏刻是我國古代的一種計(jì)時(shí)工具．據(jù)史書記載，西周時(shí)期就已經(jīng)出

現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對(duì)函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用．小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個(gè)簡(jiǎn)單的漏刻

計(jì)時(shí)工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位hcm是時(shí)間tmin的一次函數(shù)，下表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一．

個(gè)．h的．值．記．錄．錯(cuò)．誤．，請(qǐng)排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)h為8cm時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間t為__________min．

tmin…1235…

hcm…2.42.83.44…

例3（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，

B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．

(1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；

(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少

于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？

(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，

哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．

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知識(shí)點(diǎn)4：一次函數(shù)的應(yīng)用

1、一次函數(shù)圖象與圖形面積

解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩條

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長(zhǎng)，或者三角形的高．如果圍成的三角形

沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法．

2、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

主要題型：

（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際問題的最值等．

用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟為：

（1）設(shè)定實(shí)際問題中的自變量與因變量；

（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；

（3）確定自變量的取值范圍；

（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；

（5）檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義；

（6）答．

【變式1】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，張華、李穎兩人沿同一條筆直的公路相向而行，張華從甲地

前往乙地，李穎從乙地前往甲地．張華先出發(fā)3分鐘后李穎出發(fā)，當(dāng)張華行駛6分鐘時(shí)發(fā)現(xiàn)重要物品忘

3

帶，立刻以原速的掉頭返回甲地．拿到物品后以提速后的速度繼續(xù)前往乙地，二人相距的路程y（米）與

2

張華出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）

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3

A．李穎速度是張華提速前速度的B．李穎的速度為240m/min

2

8985

C．兩人第一次相遇的時(shí)間是分鐘D．張華最終達(dá)到乙地的時(shí)間是分鐘

63

【變式2】（2022·河北石家莊·二模）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自

2019年1月開始限產(chǎn)進(jìn)行治污改造，其月利潤(rùn)y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比

例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)．誤．的是（）

A．4月份的利潤(rùn)為50萬元

B．治污改造完成后每月利潤(rùn)比前一個(gè)月增加30萬元

C．治污改造完成前后共有4個(gè)月的利潤(rùn)低于100萬元

D．9月份該廠利潤(rùn)達(dá)到200萬元

【變式3】（2022·山東濟(jì)南·?？寄M預(yù)測(cè)）兩輛車A和B，從相同標(biāo)記處同時(shí)出發(fā)，沿直線同方向行駛，并

1

且由出發(fā)點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，行駛的距離x與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系分別為：xt32t2和xt28t，求：

A3B

（1）它們剛離開出發(fā)點(diǎn)時(shí)，行駛在前面的一輛車是_____；

（2）它們出發(fā)后，B車相對(duì)A車速度為零的時(shí)刻是_____．

【變式4】（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖1，在底面積為100cm2，高為20cm的長(zhǎng)方體水槽內(nèi)放入一個(gè)圓

柱形燒杯，以恒定不變的速度先向燒杯中注水，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽為止，此過程中，

燒杯本身的質(zhì)量、體積忽略不計(jì)，燒杯在大水槽中的位置始終不變，水槽中水面上升的高度h與注水時(shí)間t

之間的函數(shù)關(guān)系如圖2，則燒杯的底面積是______cm2

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【變式5】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）在某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀1min所叫次數(shù)與當(dāng)?shù)貧鉁刂g近似為一

種函數(shù)關(guān)系．某學(xué)校數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組從函數(shù)角度進(jìn)行了蟋蟀所叫次數(shù)與氣溫變化情況進(jìn)行如下探究：

【觀察測(cè)量】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐小組通過觀察測(cè)量，下面是蟋蟀所叫次數(shù)與氣溫變化情況對(duì)照表：

溫度x（℃）141620

蟋蟀叫的次數(shù)y（次）7791119

【探究發(fā)現(xiàn)】①建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，橫軸表示溫度x（℃），縱軸表示蟋蟀叫的次數(shù)y（次），描出

以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn)．

②觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)

的函數(shù)表達(dá)式，如果不在同一條直線上，說明理由．

【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：

①如果蟋蟀1min叫了63次，那么該地當(dāng)時(shí)的氣溫大約為℃．

②能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測(cè)蟋蟀在10℃時(shí)所鳴叫的次數(shù)為次．

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【新題速遞】

1．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）點(diǎn)A(2,y1)和B(1,y2)都在直線y2xb上，則

y1和y2的大小關(guān)系是（）

A．y1y2B．y1y2C．y1y2D．無法確定

a

2．（2021春·廣東佛山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)yaxb與y(a0,ab0)在同一平面直角坐標(biāo)系

x

中的圖象可能是（）

A．B．C．D．

3．（2021春·陜西咸陽·八年級(jí)咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線ykxk0與yaxba0在

第二象限交于點(diǎn)A，yaxb交x軸于點(diǎn)B，且ABAO，BO8，S△ABO12，則關(guān)于x，y的方程組

ykx

的解為（）

yaxb

x3x4x4x3

A．B．C．D．

y4y3y2y4

4．（2021春·山西太原·九年級(jí)太原十二中?？茧A段練習(xí)）為了預(yù)防“流感”，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏法進(jìn)行消

毒，已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克/立方米）與藥物點(diǎn)燃后的時(shí)間x（分鐘）成

正比例，藥物燃盡后，y與x成反比例（如圖所示）．已知藥物點(diǎn)燃后4分鐘燃盡，此時(shí)室內(nèi)每立方米空氣

中含藥量為8毫克．研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于2毫克時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，

那么此次消毒有效時(shí)間是()

第19頁共25頁.

A．13B．14C．15D．16

5．（2021春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yxm的圖象與y軸交

1

于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)yx的圖象交于點(diǎn)An,2．若動(dòng)點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OBM的面積是OAB

2

1

面積的時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

2

A．3,3或3,9B．3,3或2,8C．2,4或2,8D．2,4或3,9

6．（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸

上，點(diǎn)B3,1在直線l：ykx4上，直線l分別交x軸，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．將正方形ABCD沿y軸向下平

移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)C恰好落在直線l上．則m的值為()

A．0.5B．1C．1.5D．2

7．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果直線ykxbk0是由正比例函數(shù)ykx的圖像向左平

移1個(gè)單位得到，那么不等式kxb0的解集是______．

第20頁共25頁.

8．（2022春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）甲、乙兩人準(zhǔn)備在一段長(zhǎng)為1200m的筆直公路上進(jìn)行跑步，甲、

乙跑步的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點(diǎn)，甲在乙前面100m處，兩人同時(shí)同向起跑．

（1）兩人出發(fā)后______s乙追上甲；

（2）從起跑至其中一人先到達(dá)終點(diǎn)的過程中，甲、乙兩人之間的距離ym與時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系為______．

9．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谀┊?dāng)x2時(shí)，不論k取任何實(shí)數(shù)，函數(shù)yk(x2)3的值為3，所

以直線yk(x2)3一定經(jīng)過定點(diǎn)(2,3)；同樣，直線y(k2)x4k一定經(jīng)過的定點(diǎn)為__________．

11．（2021春·陜西咸陽·八年級(jí)咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)ymx4與一次函數(shù)y2xn

關(guān)于x軸對(duì)稱，則nm的值為________．

12．（2022春·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx6與坐標(biāo)軸交

于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥x軸，交y軸于點(diǎn)E，

在直線DE上找一點(diǎn)F，使得DCF90，連接OF，則OFCF最小值為______．

13．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）已知y-3與4x2成正比例，且x1時(shí)，y1．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

(2)如果y的取值范圍為3y5時(shí)，求x的取值范圍．

第21頁共25頁.

14．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）一次函數(shù)的圖象先向下平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，作關(guān)于x

軸對(duì)稱，對(duì)稱后的直線的解析式為y2x5，求原函數(shù)圖象的解析式．

15．（2022春·河北石家莊·七年級(jí)期末）嘉琪要去甲或乙商店購買簽字筆，設(shè)她購買該簽字筆x支（x10）．根

據(jù)表中信息解答問題：

商店名稱標(biāo)價(jià)（元/支）優(yōu)惠辦法

一次購買不超過10支，按標(biāo)價(jià)付款；

甲1.50

一次購買10支以上，則超過10支的部分按標(biāo)價(jià)的60%付款．

乙1.50按標(biāo)價(jià)的80%付款

(1)嘉琪在甲店花元，在乙店花元（用含x的式子表示）；

(2)嘉琪買多少支簽字筆時(shí)，在甲、乙兩店所花的錢一樣多？

(3)若嘉琪買簽字筆30支，你認(rèn)為她該去哪個(gè)店購買更省錢？通過計(jì)算說明理由．

第22頁共25頁.

16．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）某校的甲、乙兩位老師