人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第三章圓錐曲線的方程3.3

拋物線整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能應(yīng)用它解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)(教師用書)拋物線這個(gè)幾何對(duì)象，我們并不陌生．例如，從物理學(xué)中我們知道，一個(gè)向上斜拋的乒乓球，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，如圖所示，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，等等．到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個(gè)類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？[討論交流]

問題1．選擇不同的坐標(biāo)系，就得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？問題2．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象為什么是拋物線？它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別是什么？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1拋物線的定義探究問題1如圖，把一根直尺固定在畫板內(nèi)直線l的位置上，截取一根繩子的長(zhǎng)度等于AB的長(zhǎng)度，現(xiàn)將繩子的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端用圖釘固定在畫板上的F處，用鉛筆尖(記作點(diǎn)P)扣緊繩子，并靠住三角板，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動(dòng)，這樣鉛筆尖就描出了一條曲線．在作圖的過程中，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P滿足的條件嗎？它的軌跡是什么形狀？[提示]

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有|PF|＝|PB|，即點(diǎn)P與定點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，點(diǎn)P的軌跡是拋物線．[新知生成]平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離____的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的____，直線l叫做拋物線的____．【教用·微提醒】

(1)“一動(dòng)三定”：一動(dòng)點(diǎn)M；一定點(diǎn)F(即焦點(diǎn))；一定直線l(即準(zhǔn)線)；一定值1(即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強(qiáng)調(diào)定點(diǎn)F不在定直線l上．當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線[學(xué)以致用]

1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離和到直線x＝－2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離和到直線x＋y－1＝0的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(3)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線． (

)(4)平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線． (

)√×√×探究2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究問題2如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p(p＞0)，試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得到的拋物線方程最為簡(jiǎn)單，并寫出此方程．

[新知生成]圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程________________________________y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程________________________________x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

【教用·微提醒】

(1)只有拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，拋物線才具有標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號(hào)的一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一個(gè)變量的一次單項(xiàng)式．(3)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(4)焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．【鏈接·教材例題】例1

(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)已知拋物線的焦點(diǎn)是F(0，－2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

√

反思領(lǐng)悟

1．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意的問題(1)把握開口方向與方程一次項(xiàng)系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)當(dāng)拋物線的位置沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論不同情況的次數(shù)．(3)注意p的幾何意義．[學(xué)以致用]

2．(1)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為________．(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．

2x＝－1

x2＝10y，x2＝－10y

√

[母題探究]1．若將本例(2)中的“點(diǎn)(0，2)”改為“點(diǎn)A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．

反思領(lǐng)悟

拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．[學(xué)以致用]

3．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為6，則線段AB的長(zhǎng)為(

)A．6

B．9

C．12

D．14√C

[如圖所示，過點(diǎn)A，M，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，M′，D，由拋物線的定義，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因?yàn)辄c(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．]探究4拋物線的實(shí)際應(yīng)用【鏈接·教材例題】例2一種衛(wèi)星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖3.3-3(1)．已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m，深度為1m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．[解]

如圖3.3-3(2)，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在x軸上．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px(p＞0)．由已知條件得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝5.76x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1.44，0)．[典例講評(píng)]

3．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度AB＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度為(

)A．2.25m

B．2.5mC．3.25m

D．3.5

m√C

[取隧道截面，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(4，－4)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將點(diǎn)C代入拋物線方程得p＝2，∴拋物線方程為x2＝－4y，行車道總寬度AB＝6m，∴將x＝3代入拋物線方程，得y＝－2.25m，∴限高為6－2.25－0.5＝3.25(m)．故選C．]反思領(lǐng)悟

求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟【教用·備選題】某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？

√

應(yīng)用遷移23題號(hào)41

√

23題號(hào)412．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A．(0，1)

B．(0，2)C．(1，0)

D．(2，0)√

23題號(hào)41

√

23題號(hào)414．若拋物線x2＝28y上一點(diǎn)(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的3倍，則y0＝________．

1．知識(shí)鏈：(1)拋物線的定義．(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式．(3)拋物線定義的應(yīng)用．(4)拋物線的實(shí)際應(yīng)用．2．方法鏈：待定系數(shù)法、定義法、數(shù)形結(jié)合．3．警示牌：求拋物線的方程時(shí)不要混淆拋物線的焦點(diǎn)位置和方程形式．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．拋物線是如何定義的？試寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．[提示]

把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．焦點(diǎn)在x軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2px(p>0)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±2py(p>0)．2．當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，如何設(shè)拋物線方程？[提示]

可設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．課時(shí)分層作業(yè)(三十二)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程題號(hào)135246879101112131415一、選擇題1．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，則圓C的圓心的軌跡為(

)A．拋物線

B．雙曲線

C．橢圓

D．圓√A

[設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x，y)，圓C的半徑為r，圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為A，因?yàn)閳AC與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝－2相切，所以|CA|＝r＋1，C到直線y＝－2的距離d＝r，所以|CA|＝d＋1，即動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)A的距離等于到定直線y＝－3的距離，由拋物線的定義知：C的軌跡為拋物線．故選A．]題號(hào)135246879101112131415題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)3524687910111213141513．石拱橋是世界橋梁史上出現(xiàn)較早、形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)堅(jiān)固的一種橋型．如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線C的一部分，當(dāng)水面距離拱頂4米時(shí)，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(

)A．1米

B．2米

C．4米

D．8米√B

[設(shè)拋物線C：x2＝－2py(p＞0)，由題意可知點(diǎn)(4，－4)在拋物線C上，則－2p×(－4)＝42，解得p＝2，∴拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2米．故選B．]題號(hào)352468791011121314151

√

題號(hào)352468791011121314151√

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．已知拋物線C：x＝4y2，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為____________．

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

x2＝－4y

題號(hào)352468791011121314151三、解答題9．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上．(1)求該拋物線的方程；(2)若該拋物線上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求點(diǎn)A到該拋物線焦點(diǎn)的距離．題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√

題號(hào)35246879101112131415111．(多選)若點(diǎn)A(2，1)到拋物線C：y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為4，則C的方程可能是(

)A．x2＝20y

B．x2＝－20yC．x2＝12y

D．x2＝－12y√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415113