人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章1.4.2第1課時(shí)用空間向量研究距離問(wèn)題課件

第1課時(shí)用空間向量研究距離問(wèn)題第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問(wèn)題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)空間中的距離問(wèn)題包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點(diǎn)間的距離即為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模．本節(jié)主要研究點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過(guò)求投影向量的長(zhǎng)度得到．[討論交流]

問(wèn)題1．空間點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離的向量計(jì)算公式是什么？問(wèn)題2．相互平行的直線、平面間的距離可分別轉(zhuǎn)化為什么距離求解？問(wèn)題3．用向量解決空間線面距離問(wèn)題的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1點(diǎn)到直線的距離探究問(wèn)題1給定一條直線l和直線l外一點(diǎn)P，如何用向量的方法求點(diǎn)P到直線l的距離？[提示]

取直線l上一點(diǎn)A，它的單位方向向量用u表示，過(guò)P作PQ⊥l(圖略)，點(diǎn)Q為垂足．這樣，要解決的問(wèn)題是：利用直線l上的點(diǎn)A，直線的單位方向向量u和直線外的一點(diǎn)P求線段PQ的長(zhǎng)度．探究問(wèn)題2為了求線段PQ的長(zhǎng)度，如何將“探究問(wèn)題1”中的條件與線段PQ聯(lián)系起來(lái)？

【教用·微提醒】

(1)點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．(2)兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．所以兩條平行線之間的距離可以用點(diǎn)到直線的距離公式解決．[典例講評(píng)]

1．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求點(diǎn)B到直線A′C的距離．

[學(xué)以致用]

1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離．[解]

連接BC1．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

探究2點(diǎn)到平面的距離探究問(wèn)題3你能類比點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)出點(diǎn)到平面的距離公式嗎？

[典例講評(píng)]

2．在三棱錐S-ABC中，棱長(zhǎng)SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求點(diǎn)S到底面ABC的距離．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試寫出向量法求點(diǎn)面距離的步驟

[學(xué)以致用]

2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)D1到平面BDE的距離．

探究3直線、平面到平面的距離探究問(wèn)題4類比兩條平行直線間的距離，如何求直線與平面或兩個(gè)平行平面間的距離？[提示]

在直線上或其中一個(gè)平面上取一定點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離即為直線與平面或兩平行平面之間的距離．[新知生成]1．如果一條直線l與一個(gè)平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為________的距離求解．2．如果兩個(gè)平面α，β互相平行，在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解．【教用·微提醒】

只有線面(或面面)平行時(shí)，才有線面(面面)距離．點(diǎn)到平面【鏈接·教材例題】例6如圖1.4-18，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．[分析]

根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關(guān)公式，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得出相應(yīng)的距離．

[典例講評(píng)]

3．設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．

反思領(lǐng)悟

用向量方法研究空間距離問(wèn)題的一般步驟：(1)確定法向量．(2)選擇參考向量．(3)利用公式求解．[學(xué)以致用]

3．已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC，E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)．PA＝2，且PA⊥平面ABC，設(shè)Q是CE的中點(diǎn)．(1)求證：AE∥平面PFQ；(2)求AE與平面PFQ間的距離．

243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

243題號(hào)123題號(hào)14

√

23題號(hào)41√

243題號(hào)14．已知AB∥平面α，平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，0，1)，平面α內(nèi)一點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0，1)，直線AB上的點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2，1)，則直線AB到平面α的距離為________．

1．知識(shí)鏈：(1)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離．(2)點(diǎn)到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離．2．方法鏈：向量法、幾何法、轉(zhuǎn)化法．3．警示牌：(1)求兩條平行線之間的距離，在其中一條直線上找到一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(2)求直線與平面之間的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離，在直線或其中一個(gè)平面上找到一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．(3)應(yīng)注意點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．用空間向量求點(diǎn)到直線的距離的方法是什么？

2．用空間向量求點(diǎn)到平面的距離的方法是什么？

3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面間的距離？[提示]

先證明直線和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，最后利用點(diǎn)到平面的距離公式求解．閱讀材料異面直線間的距離設(shè)直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個(gè)方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？

課時(shí)分層作業(yè)(十)用空間向量研究距離問(wèn)題題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)135246879101112131415題號(hào)135246879101112131415

√

題號(hào)135246879101112131415

題號(hào)352468791011121314151

√√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，則點(diǎn)C到直線AB的距離為________．

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151三、解答題9．如圖，多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

(1)求BF的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離．題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)352468791011121314151

√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)35246879101112131415112．在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415113．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD間的距離為________．

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)35246879101112131415114．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC