2024-2025學年上海市普陀區(qū)高三上冊11月期中數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市普陀區(qū)高三上學期11月期中數(shù)學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若集合，則_________.2.已知全集，集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是______．3.已知冪函數(shù)的圖像過點，則的定義域為________4.若函數(shù)偶函數(shù)，則_____．5.已知，則的最小值為__________．6.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________.7.設(shè)都是正實數(shù)，則是_________條件.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a取值范圍是______．9.已知，不等式恒成立，則取值范圍為___________.10.已知函數(shù)，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是______．11.設(shè)、均為實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的取值范圍是___________．12.設(shè)，記，則它的最大值和最小值的差為_______.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題4分，第15-16題5分）13.若,則下列不等式恒成立的是A. B. C. D.14.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.15.設(shè)，若、是方程的兩相異實根，則有（）A.， B.，C. D.16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個命題：①對任意，都有；②若的值域為，則對任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題 B.①②都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知三個集合：，，.（1）求；（2）已知，求實數(shù)取值范圍.18.記函數(shù)的定義域為的定義域為.（1）求集合；（2）若，求的取值范圍.19.某個體戶計劃經(jīng)銷、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為（）萬元時，在經(jīng)銷、商品中所獲得的收益分別為萬元與萬元、其中（）；，（）已知投資額為零時，收益為零.（1）試求出，的值；（2）如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.20.已知，（1）若，求的最大值；（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；（3），對于給定實數(shù)，均有滿足，求的取值范圍．21.若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點”．（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？（2）若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點”；（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．2024-2025學年上海市普陀區(qū)高三上學期11月期中數(shù)學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若集合，則_________.【正確答案】【分析】解對數(shù)不等式得出集合，然后再根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】，所以.故2.已知全集，集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【詳解】試題分析：由題意，，，由，得，即．考點：集合運算．3.已知冪函數(shù)的圖像過點，則的定義域為________【正確答案】(0,+∞)【分析】依題意可求得，從而可求f（x）的定義域．【詳解】依題意，得：，所以，，所以，定義域為：，故答案為本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，求得α是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則_____．【正確答案】1【詳解】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點：函數(shù)的奇偶性．【方法點晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，取．5.已知，則的最小值為__________．【正確答案】-1【分析】變形為，利用基本不等式求解.【詳解】解：∵，又∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴最小值為故6.已知函數(shù)，則不等式的解集為_________.【正確答案】【分析】利用函數(shù)解析式可判斷該函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不等式等價為，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)可知定義域為，且該函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，因此即為；即可得，解得且，因此不等式的解集為.故7.設(shè)都是正實數(shù)，則是的_________條件.【正確答案】充分不必要【分析】充分性用基本不等式證明，必要性用特殊值排除.【詳解】由基本不等式可知：，三式相加得：，即，又因為，所以，取等條件為，所以是充分條件；取，可知不等式成立，此時，所以必要性不成立.故充分不必要8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次不等式恒成立問題，列不等式組求解即可.【詳解】由復(fù)合而成.而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.且在上恒成立.則即可，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.故答案為.9.已知，不等式恒成立，則的取值范圍為___________.【正確答案】【分析】設(shè)，即當時，，則滿足解不等式組可得x的取值范圍．【詳解】，不等式恒成立即，不等式恒成立設(shè)，即當時，所以，即，解得或故10.已知函數(shù)，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由得，分別求出函數(shù)的解析式以及兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，當，可得，可知函數(shù)在上的解析式為，由得，可將函數(shù)f（x）在上的大致圖象呈現(xiàn)如圖：根據(jù)的幾何意義，x軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，當直線經(jīng)過點，可得，因此直線的斜率t的取值范圍是故答案為本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11.設(shè)、均為實數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的取值范圍是___________．【正確答案】．【分析】根據(jù)零點的定義，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有實數(shù)根，然后根據(jù)一元二次方程的實數(shù)根的分布的性質(zhì)，結(jié)合重要不等式進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以方程在區(qū)間上有實數(shù)解，即在區(qū)間上有實數(shù)解，設(shè)，要想在區(qū)間上有實數(shù)解，當在區(qū)間上有唯一實數(shù)解時，只需，而，當在區(qū)間上有二個不相等實數(shù)根時，設(shè)為，則有，由，而，所以不等式顯然成立，因此有，綜上所述：，故方法點睛：解決函數(shù)零點問題往往轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，通過方程實數(shù)根的分布進行求解.12.設(shè)，記，則它的最大值和最小值的差為_______.【正確答案】【分析】由得到S的最大值，再令，利用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值，從而得到S的最小值即可.【詳解】解：，因為，所以，所以，當或時等號成立，所以的最大值為1.令，則，令，則，令，得或（舍去），，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，從而，當，及時等號成立，所以的最小值為.所以S的最大值和最小值的差為，故關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用基本不等式變形，，再令轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法而得解.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題4分，第15-16題5分）13.若,則下列不等式恒成立的是A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】∵∴設(shè)代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D14.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.15.設(shè)，若、是方程的兩相異實根，則有（）A.， B.，C. D.【正確答案】D【分析】利用特殊值法可判斷AB選項；利用可得出，利用韋達定理可判斷CD選項.【詳解】若取，則方程為，解得，，AB都錯；由題意可知，，則，由韋達定理可得，，所以，與的大小關(guān)系不確定，C錯；，所以，，D對.故選：D.16.已知定義在上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個命題：①對任意，都有；②若的值域為，則對任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題 B.①②都是真命題C.①假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題【正確答案】B【分析】對于①，根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可；對于②，根據(jù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可.【詳解】，故在上遞增，對于①，設(shè)，，設(shè)，，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，即，，即，故，故①是真命題.對于②，由①知，，即，，故.且在上遞增，故，，故的值域為所以，即，故，②是真命題.故選：B關(guān)鍵點點睛：本題①判斷的關(guān)鍵是首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到在上遞增，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，最后得到，則可判斷①.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知三個集合：，，.（1）求；（2）已知，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）.（2）.【分析】（1）解方程求出集合、，計算；

（2）根據(jù)，求出集合的元素特征，根據(jù)元素特征，求出實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】,,【小問2詳解】,設(shè)，則即解得所以實數(shù)的取值范圍是18.記函數(shù)的定義域為的定義域為.（1）求集合；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2），【分析】(1)利用根號內(nèi)大于等于0解不等式即可.(2)根據(jù)(1)中的可分當與兩種情況進行分析.【小問1詳解】由題意.即，解得：或.所以【小問2詳解】因為,則根據(jù)子集與推出關(guān)系,即當時,可以使得恒成立,可知當時，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立，所以；當時,恒成立，所以必有ax+1<0?a>?1x綜上：，19.某個體戶計劃經(jīng)銷、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為（）萬元時，在經(jīng)銷、商品中所獲得的收益分別為萬元與萬元、其中（）；，（）已知投資額為零時，收益為零.（1）試求出，的值；（2）如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.【正確答案】（1）；（2）個體戶可對商品投入3萬元，對商品投入2萬元，這樣可以獲得12.6萬元的最大收益.【分析】(1)由關(guān)系投資額為零時收益為零，列方程求，的值；(2)設(shè)投入商品的資金為萬元，求總收益的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值.【詳解】(1)根據(jù)問題的實際意義，可知，即：，(2)由(1)的結(jié)果可得：，依題意，可設(shè)投入商品的資金為萬元（），則投入商品的資金為萬元，若所獲得的收入為萬元，則有（）∴，令，得當時，；當時，；∴是在區(qū)間上的唯一極大值點，此時取得最大值：（萬元），（萬元）答：該個體戶可對商品投入3萬元，對商品投入2萬元，這樣可以獲得12.6萬元的最大收益.20.已知，（1）若，求的最大值；（2）若，求關(guān)于的不等式的解集；（3），對于給定實數(shù)，均有滿足，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）若，解集為；若，解集為且；若，解集為.（3）當或時，；當或時，；當時，.【分析】（1）換元令，可得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解；（2）換元令，可得，分類討論的符號，結(jié)合分式不等式求解；（3）令,，按照、、分類討論，表示出，即可求解.【小問1詳解】因為，可知的定義域為，此時，若，則，可得，令，則，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.【小問2詳解】若，則，對于，即，令，則，若，則，可得，解得，可得；若，則，可得，解得，可得且；若，則，可得，解得或，可得或；綜上所述：若，解集為；若，解集為且；若，解集為.【小問3詳解】令,則,①當時,,當時,即或時,；當時,即或時,,所以;當時,.②當時，,,當時,,所以;當時,,所以;當時,.③當時,成立.綜上所述,當或時，；當或時，；當時，.關(guān)鍵點點睛：第三問關(guān)鍵點令,，通過分類討論表示出，再按照的范圍分類求解.21.若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點”．（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？（2）若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點”；（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．【正確答案】（1）是（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”得定義求解即可；（2）由題意可得，再根據(jù)“導(dǎo)控點”的定義可得，求出，進而可求出，進而可得出答案；（3）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義求證即可.【小問1詳解】由，得，由，得，