2025屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對(duì)所有都成立，則（）A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣；高七尺.問(wèn)積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺4．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位6．已知數(shù)列an滿(mǎn)足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．197．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c8．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．9．設(shè)、，數(shù)列滿(mǎn)足，，，則（）A．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立B．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立C．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立10．已知曲線(xiàn)且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．11．若雙曲線(xiàn)的離心率為，則雙曲線(xiàn)的焦距為（）A． B． C．6 D．812．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，則△ABC的面積是（）A． B． C．3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，分別是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，交y軸于E點(diǎn)，若滿(mǎn)足，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.14．點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線(xiàn)與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為_(kāi)_________．15．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______．16．已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率；（2）若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．19．（12分）改革開(kāi)放年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車(chē)保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來(lái)一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中20．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．（1）證明：AP∥平面EBD；（2）證明：BE⊥PC．21．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，記，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.4、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,難度較難.5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.6、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時(shí)，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí)，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法，注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系，從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程，本題屬于難題.7、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、C【解析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出，然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，故，因?yàn)橐策m合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡(jiǎn)得且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題．10、A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.11、A【解析】

依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線(xiàn)的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線(xiàn)的焦距為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面積.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，計(jì)算以及，然后根據(jù)橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結(jié)果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡(jiǎn)可得：則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，考查分析能力以及計(jì)算能力，屬中檔題.14、【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，，又，根?jù)雙曲線(xiàn)的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，因此.15、【解析】

利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求出的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得；所以，其中；所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由于直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，因此過(guò)，分別作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，由拋物線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)性質(zhì)可得，從而再由拋物線(xiàn)定義可求得直線(xiàn)傾斜角的余弦，再求得正切即為直線(xiàn)斜率．注意對(duì)稱(chēng)性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，過(guò)，分別作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，由拋物線(xiàn)的定義知，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，從而．設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱(chēng)性還有滿(mǎn)足題意．，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線(xiàn)的定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為．【解析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件：一個(gè)抽到2道B類(lèi)題，一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題，計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件，則抽到2道類(lèi)題有種取法，抽到3道類(lèi)題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式．18、（1），；（2）.【解析】

(1)根據(jù)題意同時(shí)利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.【詳解】(1)依題意得:，所以，所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因?yàn)棰佼?dāng)時(shí),②由①②得，，即，又當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足上式，.數(shù)列的前2020項(xiàng)的和設(shè)③，則④，由③④得：，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求和,考查學(xué)生的邏輯推理能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.是中檔題.19、，概率為；列聯(lián)表詳見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫(xiě)列聯(lián)表如下：安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān).由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE，利用三角形中位線(xiàn)可得AP∥OE，從而可證AP∥平面EBD；（2）先證明BD⊥平面PCD，再證明PC⊥平面BDE，從而可證BE⊥PC．【詳解】證明：（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OE因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形∴O為AC中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD

；（2）∵△PCD為正三角形，E為PC中點(diǎn)所以PC⊥DE因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，線(xiàn)面平行一般轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)證明，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直通