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文檔簡介
湖北省高中六校2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷
注意事項
1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.
2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.
3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.
4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他
答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.
5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.已知角。的頂點為坐標(biāo)原點,始邊與工軸的非負半軸重合,終邊上有一點R-3,4),則sin2a=().
1224168
A.-----B.------Ce—D.一
252555
2.“。=2”是“函數(shù)/("=(勸2-3匕一1卜。(。為常數(shù))為募函數(shù)”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
3.設(shè)全集U=R,集合A={x|xv2},B={X|X2-3X<0),則()
A.(0,3)B.[2,3)C.(0,2)D.(0,+a?)
4.若x>0,y>0,貝心工+2丁=2庖>的一個充分不必要條件是
A.x=yB.x=2y
C.x=2且),=1D.x=):或y=l
5.若復(fù)數(shù)z=(3-i)(l+i),則回=()
A.2>/2B?2V5c.VfoD.20
4x-y..2,
6.不等式〈,的解集記為O,有下面四個命題:P|:Va,y)wD,2.y-A;,5;p,:B(x,y)ED,2y-x..2;
x+y,,3
p3:\/(x,y)eD,2y-x^2;:或x,y)wD,2y-x..4,其中的真命題是()
A.P\,P?B.0,P3C.PgD.〃2,〃4
7.xvl是x+L<-2的()條件
x
A.充分不必要B.必要不充分C.充要I).既不充分也不必要
8.某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,知后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)
崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是(〉
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980/989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
9.斜率為1的直線1與橢圓M+y2=l相交于A、B兩點,貝U|AB|的最大值為()
4
A2R4有c4MD8M
A.21)?----V.-----V.-----
555
UIM1UUlil
10.在直角梯形ABCQ中,ABAD=0?4=30。,AB=26BC=2,點七為上一點,且AE=xA8+yAO,
當(dāng)孫的值最大時,|AE|二()
A.75B.2C.畫D.2石
2
11.在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x,使得旨20成立的概率為等差數(shù)列{〃“}的公差,且陰+必=-4,若%>°,
則〃的最小值為()
A.8B.9C.10D.11
12.己知?是雙曲線。:攵?+),2=4|攵|(4為常數(shù))的一個焦點,則點尸到雙曲線C的一條漸近線的距離為()
A.2kB.4kC.4D.2
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.已知復(fù)數(shù)2=(加2-2)+(團一1),對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù),"的范圍為.
14.在△A3c中,AB=2亞,AC=逐,ZZMC=90°,則AABC繞3C所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表
面積為.
15.設(shè)f(x)為定義在A上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時,/(x)=2'+〃z(,〃為常數(shù)),=則實數(shù),〃的值為.
16.若且XHO時,不等式卜發(fā)-工-。卜2國恒成立,則實數(shù)〃的取值范圍為.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)如圖,四棱錐。一ABC。中,底面A8CO是邊長為4的菱形,PA=PC=5,點分別是A及PC的
中點.
(1)求證:MN//平面PAD;
4。
(2)若。。$/。。=^,/。48=6(),求直線4N與平面處。所成角的正弦值.
18.(12分)設(shè)橢圓C:[+y2=]的右焦點為尸,過尸的直線/與。交于A3兩點,點用的坐標(biāo)為(2,0).
(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時,求線段A8的中點的橫坐標(biāo);
(2)設(shè)點4關(guān)于X軸的對稱點為C,求證:M,B,C三點共線;
(3)設(shè)過點M的直線交橢圓于G,"兩點,若橢圓上存在點P,使得+=(其中。為坐標(biāo)原點),求實數(shù)
4的取值范圍.
19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。),中,直線),=履+1仕工。)與拋物線C:£=4〃),(〃>0)交于4,“兩點,且
當(dāng)攵=1時,MM=8.
(1)求P的值;
(2)設(shè)線段A3的中點為M,拋物線。在點A處的切線與C的準(zhǔn)線交于點N,證明:MN//),軸.
20.(12分)已知函數(shù)/⑴邛-〃?|-卜+1(mwR),不等式〃x-2)N0的解集為(f4].
(1)求小的值;
(2)若a>0,b>0?C>3?Ka+2b+c=2m,求(〃+。(力+1)(。-3)的最大值.
21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x-Lg(x)=rlnx,其中大£(0,1),/為正實數(shù).
入
(1)若“X)的圖象總在函數(shù)g(x)的圖象的下方,求實數(shù)/的取值范圍;
⑵設(shè)H(x)=(lnx—V+l)e'+(x2—l)1-^,證明:對任意/w(O,l),都有”(力>0.
22.(10分)已知拋物線C:y2=2〃x(〃>0),點尸為拋物線的焦點,焦點/到直線3x—4>+2=0的距離為4,
d.1
焦點尸到拋物線。的準(zhǔn)線的距離為4,且f=
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
11
(2)若工軸上存在點M,過點M的直線/與拋物線。相交于尸、0兩點,且7^7下+;77門為定值,求點M的
坐標(biāo).
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、B
【解析】
根據(jù)角終邊上的點坐標(biāo),求得sinzcosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.
【詳解】
43
因為終邊上有一點P(-3,4),所以sina=g,cosa=-彳,
4/3、24
sin2?=2sinacosa=2x—x——=----
5I5)25
故選:B
【點睛】
此題考查二倍角公式,熟練記憶公式即可解決,屬于簡單題目.
2、A
【解析】
根據(jù)零函數(shù)定義,求得6的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.
【詳解】
???當(dāng)函數(shù)〃力=(處2-36-1卜“為嘉函數(shù)時,2b2-3b-\=\,
解得8=2或二,
2
???“〃=2”是“函數(shù)"X)=(2〃—3。-1卜“為幕函數(shù)”的充分不必要條件.
故選:A.
【點睛】
本題考查了充分必要條件的概念和判斷,易函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
3、B
【解析】
可解出集合8,然后進行補集、交集的運算即可.
【詳解】
2
VB={A|X-3X<0}=(0,3),A={x\x<2}f則電A=[2,y),因此,(電力[3=[2,3).
故選:B.
【點睛】
本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
4、C
【解析】
*/x>0,y>0,
???1+2),之2洲石,當(dāng)且僅當(dāng)x=2>時取等號.
故"x=2,且y=I”是“x+2y=2回”的充分不必要條件.選C.
5、B
【解析】
化簡得到z=(3-Z)(l+/)=4+2z,再計算模長得到答案.
【詳解】
z=(3-i)(l+i)=4+2i,ift|z|=>/20=25/5.
故選:B.
【點睛】
本題考查了復(fù)數(shù)的運算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計算能力.
6、A
【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.
【詳解】
作出可行域如圖所示,當(dāng)x=l,y=2時,(2),7)a=3,即2),7的取值范圍為(-00,3],所以
V(x,y)wD,2y-也,5,p1為真命題;
y)w2y-x..2,p2為真命題;/4,/%為假命題.
故選:A
此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.
7、B
【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出。
【詳解】
設(shè)〃:對應(yīng)的集合是A=(YOJ),由工+,<-2解得工<0且xw-l
X
q:x<-2對應(yīng)的集合是B=(YO,—1)U(—1,。)?所以
?V
故XV1是1+的必要不充分條件,故選B。
x
【點睛】
本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法集合關(guān)系法。
設(shè)A={#1£〃},B={Xx”},
如果入工區(qū),則〃是9的充分條件;如果A?〃則〃是夕的充分不必要條件;
如果BqA,則〃是,/的必要條件;如果則〃是夕的必要不充分條件。
8、D
【解析】
根據(jù)兩個圖形的數(shù)據(jù)進行觀察比較,即可判斷各選項的真假.
【詳解】
在A中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的;
在B中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到:
56%X39.6%=22.176%>20%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,所以是正確的;
在C中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到:
13.7%x39.6%=9.52%>3%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運營崗位的人數(shù)9。后比80后多,所以是正確的;
在D中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為56%x39.6%=22.176%v41%,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)
行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)9。后比80后多.
故選:D.
【點睛】
本題主要考查了命題的真假判定,以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用,著重考查了推理與運算
能力,屬于基礎(chǔ)題.
9、C
【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去),,根據(jù)判別式大于0求得,的范圍,進而利用弦長公式求得H陽的表達式,利
用,的范圍求得的最大值.
【詳解】
f5
解:設(shè)直線,的方程為y=x+f,代入匕+y2=i,消去y得:爐+2儀+尸?1=0,
44
由題意得4=(202-1(產(chǎn)?意>0,即產(chǎn)VI.
弦長河|=4&x星EW生畫.
55
故選:C.
【點睛】
本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,判別式找到解決問
題的突破口.
10>B
【解析】
由題,可求出4。=1,。。=百,所以A4=2OC,根據(jù)共線定理,設(shè)3E=NBC(0轟收1),利用向量三角形法則求
出AE=1--AB+AADt結(jié)合題給AE=xA8+yA£>,得出x=l--,y=A,進而得出沖=1--U,最后
\)2I2J
利用二次函數(shù)求出W的最大值,即可求出|4E|二.
【詳解】
UUUUUU
由題意,直角梯形A5C3中,ABAD=O?N4=30°,AB=2后,BC=2,
可求得AQ=1,CD=百,所以A3=2£>C?
???點E在線段8C上,設(shè)BE=/IBC(噴收1),
則AE=AB+BE=AB±ABC=AB+A(BA+AD+DC)
=(l-A)AB+AAD+ADC
.(1\
即AE=1一一AB+AAD,
<2,
又因為AE=xAB+),A。
所以x=l-',y=/l,
-=-2
所以=4=_][(%_1)21]~(^~1)+~?
-12
當(dāng);1=1時,等號成立.
所以|AE|=|』48+AO|=2.
2
故選:B.
【點睛】
本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理,以及運用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.
11、D
【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的工的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概
率,即等差數(shù)列的公差,利用條件/+4=2%,求得a=-2,從而求得4=—與+々,解不等式求得結(jié)果.
JJ
【詳解】
由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間[-3,3]長度為6,
使得「20成立的x的范圍為(1,3],區(qū)間長度為2,
X-I
3—x21
故使得—>0成立的概率為-=-=dt
x-\63
.10tl
又生+4=-4=24,tz4=-2,:.an=-2+(/i-4)x-=--—
令《>0,則有〃>10,故〃的最小值為11,
故選:D.
【點睛】
該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,
屬于基礎(chǔ)題目.
12、D
【解析】
分析可得k<0,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
22
當(dāng)A20時,等式+/=4|段不是雙曲線的方程;當(dāng)k<0時,依2+),2=4|&|=一4鼠可化為工一二二1,可得虛
-4k4
半軸長〃=2,所以點尸到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.
故選:D
【點睛】
本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13、
【解析】
由復(fù)數(shù)z=(*-2)+(m-l)i對應(yīng)的點(陽2一2,,〃一1)在第二象限,得用2一2<0,且〃2-1>0,從而求出實數(shù)小的
范圍.
【詳解】
解::復(fù)數(shù)2=(〃22—2)十("一1"對應(yīng)的點(帚一2,加-1)位于第二象限,???布一2<(),且加一1>0,
故答案為:(1,、/1).
【點睛】
本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系,解不等式加2一2<0,且〃?-1>0是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
14、6后
【解析】
由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,根據(jù)圓錐側(cè)面積S=〃”計算公式可得.
【詳解】
解:由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,
在二A0C中,A6=26,AC=?NZJAC-90。,如下圖所示,
底面圓的半徑為向謫’
則所形成的幾何體的表面積為s=冗El+4)=1x2x(2石+司=6&.
故答案為:6加兀.
【點睛】
本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題,屬于基礎(chǔ)題.
15、1
【解析】
根據(jù)/(X)為定義在/?上的偶函數(shù),得/⑴=/(-1),再根據(jù)當(dāng)X<0時,/(司=2、+機(〃7為常數(shù))求解.
【詳解】
因為了(D為定義在拉上的偶函數(shù),
所以〃1)=/(一1),
又因為當(dāng)/<0時,f[x)=T+mt
所以/(I)=/(T)=2T+〃?=|,
所以實數(shù)〃?的值為1.
故答案為:1
【點睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.
16、(^30,-2]U[2,+oo)
【解析】
將不等式兩邊同時平方進行變形.然后得到對應(yīng)不等式組.對。的取值進行分類.將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間
-5,()|=[(),5|上恒正、恒負時求參數(shù)范圍,列出對應(yīng)不等式組,即可求解出。的取值范圍.
【詳解】
因為|加一工_422此所以(爾一工-式42附2,所以(a/-,.""2%)?,
?\?,ar2-3x-a>0^ax2-3x-a<0
所以(ar-x-a-川(ar-工-〃+2])20,所以《、或《、,
ax+x-a>()ax+x-a<()
當(dāng)〃二()時,閃22國對且x.0不成立,
2
當(dāng)4>0時,?。ザ?ar-3x-a>0-3x-a<0
顯然不滿足,所以?
2ax-+X-6Z>0+x-a<0
3
+——a<0
2
所以「解得“22;
所以*
加-3x-?>0-3x-a>0
當(dāng)。<0時,取“=2顯然不滿足,
ax~+x-a>0+X-67>0
所以J解得a<-2f
aj—1----iz>0
⑷2
綜上可得。的取值范圍是:2][2,+co).
故答案為:(-泡-2]j[2,+8).
【點睛】
本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難,根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論
法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)
系求解出參數(shù)范圍.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)見解析;(2)空.
11
【解析】
(1)取尸。的中點〃,連接N〃,A”,通過證明即可證得;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】
(1)證明:取PQ的中點,,連接NH,AH.
QN是PC的中技,;.NH//=;DC,又
NH/i=四邊形AMNH是平行四邊形.
:.MN/;AH,又MN<Z平面,4。,AHu平面24。,
「.MN//平面PAD.
4
(2)PC=5,DC=4,cos/PCD=-,/.PD=3,PC2=PD2+CD2,;.PD上DC,
同理可得:PD±AD,又4。門。。=0,.,.2。_1_平面438.
連接AC,80,設(shè)AC'BD=O,
則AC_LB。,建立空間直角坐標(biāo)系。一冷z.
7l(2x/3,0,0),C(-2V3,0,0),D(0,-2.0),P(0,-2,3),7v|-V3,-l^
'一3?一《}AD=(-2A/3,-10)
AN=,。尸二(0,0,3)
設(shè)平面P4Q的法向量為,〃=(x,y,zj
則〃?AO=〃?DP=0,則一2Gx-2y=0,3z=0,取〃=(1,一,3,。卜
sin0=cos(AN,卜2G2百
-711
???直線AN與平面PAD所成角的正弦值為—.
11
【點睛】
此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,
根據(jù)公式準(zhǔn)確計算.
2
18、(1)43的中點的橫坐標(biāo)為:r;(2)證明見解析;(3)(-2,2)
【解析】
設(shè)&須叫),B(x2,y2).
(1)因為直線/的傾斜角為45。,尸(1,0),所以直線48的方程為丁=工-1,聯(lián)立方程組2「消去)’并整理,
—+y=1
2-
得3/—4元=0,則為+占=:,與上=3,
323
2
故線段43的中點的橫坐標(biāo)為
(2)根據(jù)題意得點C(K,-y),
若直線43的斜率為0,則直線A3的方程為),=0,A、。兩點重合,顯然M,BfC三點共線;
若直線的斜率不為0,設(shè)直線AR的方程為x=〃zy+l,
x=my+1
12
聯(lián)立方程組?x,,消去x并整理得(*+2)/+2my-l=0f
萬+),-=1
CI
則>1+乃=一一二,乂)',=一一『丁,設(shè)直線BM、CM的斜率分別為kttM、kCM,
m"+2~nV+2
則
-%_%(內(nèi)-2)+y(x-2)_y(/ny,-l)+y,(my-1)_2myy-(y+y)
,------------1--2-----"2■"....2.------i-2--------2---
2-X22-%(%-2)(J2-2)(my-1)“"%-1)1一〃?())+%)+"產(chǎn))’1%
-2tn2m
m2+2"『+2
=0,即%二%,即“,氏。三點共線.
2/722nr
+nr+2~nr+2
(3)根據(jù)題意,得直線G"的斜率存在,設(shè)該直線的方程為y=%(x-2),
設(shè)P(%為),6(覆,色),"(孫乂),
y=k(x-2)
聯(lián)立方程組V,消去y并整理,得(1+2二)/_8&2工+8公-2=0,
—+y-=1
2.
1Q/,2QK2_9
由/=64"4-4(1+2女2)(8爐一2)>0,整理得42V又x+.r——;
21+2K'1+2K
4Z
所以為+%=%(七十七-4)=———J
1N人
結(jié)合OG+O"=/IOP,得4%=巧+&,2)'0=)’3+)’4,
當(dāng)4=0時,該直線為x軸,即),=0,
此時橢圓上任意一點P都滿足OG+O”=;IOP,此時符合題意;
18公
當(dāng)時,由+=得1;,代入橢圓C的方程,得失(::&+分(10=1,整理,
"二了1+2公
,216-16
得=17^=耳,
再結(jié)合公<!,得到OOP<4,即ae(—2,0)J(0,2),
綜上,得到實數(shù);1的取值范圍是(-2,2).
19、(1)1;(2)見解析
【解析】
(D設(shè)A(/yJ,川與,為),聯(lián)立直線和拋物線方程,得4內(nèi)-4〃=0,寫出韋達定理,根據(jù)弦長公式,即可求
出〃二1;
(2)由丫=!%2,得y,=!”,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出拋物線在點A點處切線方程,進而求出4=%/,
即可證
42
出MN//y軸.
【詳解】
解:⑴設(shè)4(%,X),5(W,%),
將直線/代入。中整理得:1-4沖-4〃=0,
?,?%+%,=4〃,xlx2=-4〃,
:.\AB\=",(、+々)2-4中2=6?也6P?+16p=8,
解得:P=L
⑵同(1)假設(shè)AG,)]),8(孫力),
由),=;/,得)/=gx,
從而拋物線在點A點處的切線方程為y-^x;=g內(nèi)(x-玉),
11,
即Hrt>=尹一薩,
x2—4
令),=7,得
2%
X+*%2_七+32
由(1)知-4=xw,從而心]
2西2
這表明MN//),軸.
【點睛】
本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及聯(lián)立方程組、韋達定理、弦長公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查轉(zhuǎn)化思想
和計算能力.
20、(1)m=6(2)32
【解析】
(1)利用絕對值不等式的解法求出不等式的解集,得到關(guān)于〃7的方程,求出的值即可;
(2)由(1)知機=6可得,〃+力+c=12,利用三個正數(shù)的基本不等式〃+底泥,構(gòu)造和是定值即可求出
(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.
【詳解】
(1)V/(x)=|x-W|-|x+2|,
f(x-2)=\x-m-2\-\x-2+2\f
所以不等式/(x-2)>0的解集為(3,4],
即為不等式kT〃一2|一忖20的解集為(9,4],
.?,|X-/H-2|>|X|的解集為(TO,4],
即不等式(X-根一2『>X2的解集為(e,4],
化簡可得,不等式(〃z+2)(m+2-2x”0的解集為(",小
所以竺士2=4,即帆=6.
2
(2)Vzn=6,???〃+?+(:=12.
XV(7>0,b>Ofc>3,
???(*>+1)63創(chuàng)吟21
<1]~(。+1)+(24+2)+(C-3)T=1依2〃+4=_1_r12V=32
當(dāng)且僅當(dāng)a+l=2/2+2=c-3,a+2/2+c=12等號成立,
即4=3,Z?=l,c=7時,等號成立,
???(a+1)屹+1)(0-3)的最大值為32.
【點睛】
本題主要考查含有兩個絕對值不等式的解法和三個正數(shù)的基本不等式o+〃+3師的靈活運用;其中利用
a+M+c=12構(gòu)造出和為定值即(。+1)+(勸-2)+(。-3)為定值是求解本題的關(guān)鍵;基本不等式〃+/n2而取最值
的條件:一正二定三相等是本題的易錯點;
屬于中檔題.
21、(1)(0,2](2)證明見解析
【解析】
(1)據(jù)題意可得b("="x)—g(x)=x—2Tlnx<0在區(qū)間(0,1)上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求
X
K2121
出滿足不等式的,的取值范圍;(2)不等式整理為一--〈二由⑴可知當(dāng)1=2時,二^>2,利用導(dǎo)數(shù)判
xeA-x+lx\nxxlnx
xx
斷函數(shù)一-——的單調(diào)性從而證明--——<2在區(qū)間(()/)上成立,從而證明對任意都有〃(x)>0.
-x+lxe'-X+1'/
【詳解】
(1)解:因為函數(shù)“力的圖象恒在雇X)的圖象的下方,
所以/(X)一8(工)=工一,一八|1工<。在區(qū)間(°,1)上恒成立.
X
設(shè)其中大£(0,1),
所以產(chǎn)('=]+4_工二廠一?+1,其中△=/一4,Z>0.
-IXX
①當(dāng)尸一4,,0,即0</,,2時,F(xiàn)(x)..O,
所以函數(shù)尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)<F(l)=0,
故/(力-雇工)〈。成立,滿足題意.
②當(dāng)/一4>(),即,>2時,設(shè)6(力=%2-優(yōu)+1(0<尢<1),
則。(x)圖象的對稱軸x=/0)=1,6>(l)=2-r<0,
所以。(同在(0,1)上存在唯一實根,設(shè)為*,貝口£(5」),F(xiàn)(x)<0,
所以尸(耳在(3,1)上單調(diào)遞減,此時尸(x)>尸(1)=0,不合題意.
綜上可得,實數(shù)/的取值范圍是(0,2].
(2)證明:由題意得H(無)==e[nx-('T+1)
Ix)x
因為當(dāng)R£(O,1)時,xe'-x+l>(),lnx<0,
…(f-1)而7+1)eAx2-l
所以”(x)>Ooernx>^-----------------------^―-------7<——?
\'
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