黃金卷-【贏在高考黃金8卷】2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考II卷專用）含解析

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考II卷專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

2

1.已知集合4={TOJ2},8={x\x<1},則AB=()

A.{0J}B.{-1,0,1)C.｛叫D.{0,1,2}

2.(2-i)(l+3i)=()

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜

拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2,己知拉索上端相鄰兩個錨的間距

|號％|。=1,2,3,…,9）約為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距1AA/（i=123,…,9）均為18m.最短拉索的錨％

A滿足|。制=84m,|O4j=78m,以即Ao所在直線為軸，所在直線為），軸，則最長拉索所在直線的

斜率為（）

?y?t

Ro索塔

5oO橋面小力iox

圖1圖2

D-璃

A.4BW

4.已知平面向量，〃=(4,3),〃=(2,0),t=m+kn?若則%=()

25

A.—B.5C.2D.一

52

5.2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有()

A.1120B.7200C.8640D.14400

6.已知角a,Qe(0,兀)，且sin(a-4)+cos(a+Q)=。，sinasin/7=3cosacos/^,則tan(a-0)=()

A.—2B.——C.gD.2

7.已知正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為3兀，若尸4_L平面P8C,則三棱錐P-48。的體積為()

A.-B.-C.—D.—

634824

8.函數(shù)f(x)和g(x)的定義域均為R,已知y=/(l+3x)為偶函數(shù),y=g(x+l)+l為奇函數(shù),對于“-R,

均有f(x)+g(x)=d+3,則〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.對于函數(shù)f")=-2sin卜x+：)+g*eR),有以下四種說法正確的是：()

3

A.函數(shù)的最小值是

B.圖象的對稱軸是直線式=與喂"Z)

C.圖象的振幅為2,初相為：

4

D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

10.(多選題)“塹堵”“陽馬''和“整膈”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解里堵?，其一為陽馬，其一為鱉腌”.一個長方體沿對角面斜解(圖1),得到一模一樣的兩個

塹堵(圖2),再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解(圖2),得一個四棱錐稱為陽4(圖3),一個三棱

錐稱為鱉膈（圖4）.若長方體的體積為％由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉嚅的體積分別為匕，匕,

匕，則下列選項正確的是（）

11.已知。為坐標原點，點4-2,-1）在拋物線C：V=_2p），（〃>0）上，過點8（0,1）的直線交拋物線C于P,Q

兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準線方程為y=lR.直線AK與拋物線C相切

C.OPOQ為定值3D.|姐忸@>|胡2

12.若實數(shù)x,y滿足4/+6歲+9/=3,則（）

A.4x+3y<B.4x+3yN-l

C.4x2-6xy+9y2<SD.4x2-6xy+9y2>1

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（4,，），且?（4>6）=0.2,則夕（2<4<4）=.

14.已知函數(shù)〃x）=lnx+x,過原點作曲線y=/（x）的切線/,則切線/的斜率為

15.已知圓C：x2+y24-2x-4y+3=0,直線/：（6+2）工+（〃2-1）〉+4-4"?=0,若在/上總存在點M,使得

過M點作的圓。的兩條切線互相垂直，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

16.已知橢圓C：5■+石的左，右焦點分別為6，F(xiàn)”過點￡且垂直于上?軸的直線與橢圓交于

A、8兩點，從用、85分別交），軸于尸、。兩點，PQK的周長為4.過K作/6外角平分線的垂線與

直線剛交于點N,則|0N|=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（（10分。已知數(shù)列｛叫為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且生一-4=江一。4.

（1）證明：4=4；

⑵若集合歷=僅也=品+%1?加￡50｝,求集合M中的元素個數(shù).

18.（12分）在①sill8=^/5sinA;②〃cosC+ccos5=2cos4這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并

解答.

問題：設(shè),工BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,C,且sinA+sin（8-A）=sinC,b=5.

⑴求A;

（2）求48C的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第?個解答計分.

19.（12分）據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費，計劃在本市試行居民生活用水

定額管理，即確定一個合理的居民用水量標準x（單位：噸），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出大

的部分按議價收費.為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了〃戶居民某年的月均用水量（單

位：噸），其中月均用水量在（9,12］內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求。和〃的值；

⑵若該市政府希望使80%的居民月用水量不超過標準x噸，試估計上的值：

(3)在(2)的條件下，若實施階梯水價，月用水量不超過大噸時，按3元/噸計算，超出x噸的部分，按5

元/噸計算.現(xiàn)市政府考核指標要求所有居民的月用水費均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少

噸？

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面44CQ是正方形，叨1.底面ABC。，E,"分別是。C,

中點.

(1)求證：OE//平面產(chǎn)陽；

(2)若AO=1,與平面八BCD所成角為45。，求平面巴由與平面上FO夾角的余弦值.

21.(12分)已知雙曲線C：a-￡=1(〃＞0力＞0)經(jīng)過點P(4.6),H浙近線方程為y=土瓜.

(1)求。的方程；

⑵過點？作＞軸的垂線，交直線/：x=l于點M,交y軸于點N.不過點P的直線交雙曲線C于4、8兩點,

s

直線小,依的斜率分別為勺，&,若K+右=2,求

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln(i+l)—券.

(1)當4=1時,求了⑺的極值;

⑵若/(力20,求4的值;

1

(3)求證：sin—!—4-sin----++sin^-<In2(/?GN)

〃+1n+2

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考II卷專用）

黃金卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.已知集合人={-1,0,1,2},4=1.4%則AB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-U}D.{0,1,2}

【答案】B

【詳解】^={x|x2<l}={x|-l<x<l),

又從={-1,0,1,2},則4|B={-1,0,1).

故選:B.

2.(2-i)(l+3i)=()

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

【答案】A

【詳解】(2-i)(l+3i)=2+6i—i+3=5+5i.

故選:A

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜

拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2,己知拉索上端相鄰兩個錨的間也

|甲3|（，=1,2,3,…,9）約為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|A4|（i=l,2,3,…,9）均為18m.最短拉索的錨九

A滿足|。用=84m,|O4|=78m,以綜八。所在直線為x軸，O%所在直線為），軸，則最長拉索所在直線的

斜率為（）

橋面小

【答案】B

【詳解】由題意知｛。/，｛。用｝（，=1,23…,10）分別是公差為4和18的等差數(shù)列,

所以10601T。制+9x4=84+9x4=120,|。四。|=|。聞+9x18=78+9x18=24。,

所以小。=尊=2%=黑*j即最長拉索所在直線的斜率為4

故選：B.

4.已知平面向量帆=（4,3）,〃=（2,0）,t=m+kn?若?=（〃，。，則々=（）

【答案】D

【詳解】，=加+版=（4,3）+（22,0）=（4+2&,3）,

/\mt4（4+2&）+925+8攵

MA而二=

nt_2(4+2k)_4+2k

H'

因為卜77,。=（兒。，所以COS（/〃,/）=COS，

25+弘4+2Zs

所以書"可‘解得"7

故選：D

5.2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【詳解】甲與乙相鄰有A；種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除內(nèi)外的5人排好，有A：種不同的

排法，

再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有C；種不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200種不同的排法.

故選：B.

6.已知角。,夕￡(0,兀)，且sin(a-/7)+cos(a+/7)=0,sinasin/7=3cosacos/7,則tan(a-p)-()

A.—2B.——C.D.2

【答案】C

【詳解】因為sin(a-/7)+cos(a+/7)=。，

所以sinacos,—cosasin/?+cosacos〃一sinasin/?=0,

所以sinacos夕一cosasin/_1

cosacos尸一sinasinp

tana-tan,

mi]--------------=-l,

J1-tanatanp

又sinasinfi=3cosacos0,則tanatan4=3,

則tana-tan〃=2,

tana-tan/y_2_1

所以tan(a?B)=

1+tanatanp1+32

故選:C.

7.已知正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為3萬，若「A_L平面PBC,則三棱錐P-A8C的體積為()

A.-B.-C.—D.—

634824

【答案】A

【詳解】設(shè)外接球半徑為R，則4不於=3］，所以/?=￡

2

設(shè)PB=PC=PA=a,因為尸A_L平面P5C,所以P4_LQ8,PAYPC

所以48=4C=0a，又因為AABC為正三角形，.?.8C=&a，..?尸

即以，PB,PC兩兩垂直.

將三棱錐補成以布，PB,PC為鄰邊的正方體，則/?=立工,得。=1,

22

所以三棱錐的體積為V=:x!xlxl=3

326

故選:A.

8.函數(shù)“X)和g("的定義域均為R,己知y=/(l+3x)為偶函數(shù)，y=g(x+l)+l為奇函數(shù)，對于VxwR,

均有f(x)+g(x)=f+3,則f(4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

【答案】B

【詳解】y=〃l+3力為偶函數(shù),即〃l+3x)=f(l-3力,

\/(X)的圖像關(guān)于X=1對稱，

.J=g(x+l)+l為奇函數(shù)，即g(x+l)+l=-g(-x+l)-l,

??.g(x)的圖像關(guān)于點(1,-1)對稱，

對于十勻有f(x)+g(x)=x2+3,

.?./(—2)+g(—2)=4+3=7,

個)的圖像關(guān)于x=l對稱，???/(-2)=/(4),

g(x)的圖像關(guān)于點(1,?1)對稱，.?.gezhrdAz

??J(4)-g(4)=9

Xf(4)+^(4)=42+3=19

解得〃4)=14,g(4)=5,

「J(4)g(4)=70.

故選:B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.對于函數(shù)/(x)=-2si?3x+：)+g(xwR),有以下四種說法正確的是：()

3

A.函數(shù)的最小值是-;

B.圖象的對稱軸是直線X=

C.圖象的振幅為2,初相為:

D.函數(shù)在區(qū)間-號，-上單調(diào)遞增

【答案】AD

【詳解】因為函數(shù)"x）=-2sin[3x+：J+；（xeR）,則有:

對于選項A：當3x+三=三+2履MeZ,即時,

42123

函數(shù)/（可取得最小值為-2xl+g=-g,故A正確；

對于選項B：令3%+工=工+而,女€Z,+—,AeZ,

42123

函數(shù)/（x）的圖象的對稱軸是直線-g+g,&eZ,故B錯誤；

對于選項C：因為f(x)=-2sin3-A+—+—=-2sinf3x--+2AJT+兀

H——2sin3A-----F2EH—次tZ,

、4J2I\4)2I4)2

所以圖象的振幅為2,

=+2hr,^eZ,解得

442

所以:不為初相，故C錯誤：

4

對千貝D：令—F2kliW3x4—WF2kit,kwZ,解得1----Wx?1----，左wZ,

242123123

+

即函數(shù)/（x）的遞增區(qū)間為+、kwZ,

14J1D

當上=T時，/W的遞增區(qū)間為-3，-3，故D正確.

14■

故選：AD.

10.（多選題）“塹堵”“陽馬”和喳嚅”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉膈”.一個長方體沿對角面斜解（圖1）,得到一模一樣的兩個

塹堵（圖2）,再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2）,得一個四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個三棱

錐稱為鱉膈（圖4）.若長方體的體積為V,由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉嚅的體積分別為匕，匕,

匕，則下列選項正確的是（）

圖1圖2

A.V,+V2+^=VB.匕=2匕C.

【答案】ACD

【詳解】設(shè)長方體的長寬高分別為。也c，V=abc,

則匕=—=—abc,V=-xabc=-abc,V,=-x—xahc=—ahc,

22323326

31

故K+匕+匕=。加=丫，匕，匕=2匕，則B錯誤，ACD正確;

26

故選：ACD.

11.已知。為坐標原點，點4-2,7）在拋物線。：/=_20，（〃>0）上，過點8（0,1）的直線交拋物線。于P,Q

兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準線方程為），=lB.直線A6與拋物線C相切

C.OPOQ為定值3D.忸斗忸@>|剛2

【答案】ABD

【分析】選項A,由點4-2,-1）在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則得到準線方程；

選項B,利用導數(shù)求出切線斜率，與直線A8斜率相同即可說明相切；選項C,設(shè)出直線人8方程，聯(lián)立拋

物線方程，將OP0Q坐標化韋達定理代入可證；選項D,利用弦長公式用（1+公）|中21表示，再代入韋達定

理，結(jié)合判別式△>（）得出的二的范圍，即可判斷得出答案.

【詳解】對于A：因為點A（-2,-l）在拋物線C：f=-20，（p>O）上，

則4=2p,解得〃=2,

所以拋物線C：f=-4),,

其掛線為y=l,故A正確；

對干B：令/“)=_《，

貝Ijf'(x)=-gx,可得/'(-2)=L＜w=L

即拋物線在A點處切線斜率與直線A8斜率相同，

所以直線AB與拋物線。相切，故B正確：

對于C：由題意可知，直線PQ斜率存在，

設(shè)直線尸Q的方程為產(chǎn)公十1,尸(3,))。(X2，)’2)，

y=kx+\

聯(lián)立方程＜消去y得：x2+4fcv+4=0，

x2=-4y

可得A=16攵2-16＞0，得爐＞1,

%+&=-4k

且，

2

umuuovwi二)

因為OPOQ=xH2+y)'2=%々+一千

【4A4J

22

=4占+正_=4+l=5,故C錯誤；

16

對于D；由題意可知|例2=(-2-0『+(-1-1)2=8,

因為|叫?忸5=?7記卜-0卜71777卜-0|=(1+公)|中2|=4(1+公卜

則怛斗忸@=4(1+&2)>8,

所以忸斗忸。＞忸葉，故D正確.

故選：ABD.

12.若實數(shù)x,y滿足4/+6冷，+9/=3,則()

A.43+3)，426B.4x+3y>-\

C.4x2-6.^+9y2<8D.4x2-6^+9y2>l

【答案】AD

【分析】對于AB,4x2+6^+9y2=4i(4x+3y)2+77=3,則1：(4x+3y)243,從而可求出4r+3)，的范圍

444

進行判斷，對于C,利用2(2%+3戶0,化簡變形結(jié)合已知條件可判斷，對于D,利用2(2X-3)，)220,化

簡變形結(jié)合已知條件可判斷.

1771

【詳解】對于AB,因為4^+6肛，+9y2=；(4x+3)『+_y2=3,所以;(41+3)，尸43,當目.僅當)，=0時取

444

等號，

所以(4x+3)，)2412,所以一2>/5K4x+3yK2G，所以A正確，B錯誤，

對于C,因為2(2x+3?")，所以2(4/+|2勾，+9/)20,當且僅當2x=-3)，時取等號，

所以8/+2母+18y23()，所以12d+|3+27y234—一6叩+9,2,

所以3(4x2+6xy+9/)>4x2-6xy+9y2,

所以4/—6孫+9產(chǎn)工9,當且僅當2x=-3)，時取等號，所以C錯誤，

對于D,因為2(2]-3尸)220,所以2(4/-12町，+9>2注0,當且僅當2x=3y時取等號,

22222

所以8x-24xy+18/>(),I2x-I8xy+27y>4x+6xy+9yf

所以4/_6孫+9y2n4F+6;+9./=1，當且僅當2x=3)，時取等號，所以D正確,

故選:AD

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(4,"),且尸偌>6)=0.2,則尸(2<J<4)=

3

【答案】0.3/—

【詳解】隨機變量6服從正態(tài)分布N(4Q2),且廣(4>6)=0.2,

所以戶(4<J<6)=0.5—尸(自>6)=03,

所以尸(2<J<4)=尸(4<Jv6)=0.3,

故答案為：0.3

14.已知函數(shù)/(x)=lnx+x,過原點作曲線y=/(x)的切線/,則切線/的斜率為一

【答案】-+1

e

【詳解】由題意得，r(x)='l,設(shè)切點為。(毛』1】凝+七)，

X

(1)

則切線方程為y=一+1(x-"o)-lnf+與，

kxoJ

因為切線過原點，

(1)

所以0=—+1(-x0)+ln^+xD=lnx0-l,

<xo/

解得M=e,所以r(x0)=r(e)」+l

故答案為：1+1

15.已知圓C：x2+/+2x-4y+3=0,直線，：(/〃+2)x+(〃?-l)y+4-4m=0,若在/上總存在點M,使得

過時點作的圓。的兩條切線互相垂直，則實數(shù)m的取值范圍是

【答案】-2<m<\0

【詳解】根據(jù)題意，圓C：d+f+2x-4y+3=0即(x+l)2+(y-2)2=2,

其圓心為（T,2）,半徑「=也,

如圖，設(shè)切點分別為A,氏連接AC,BC,MC,

由NAM3=NM4C=NA/3C=90°,又由AC=BC=r=J5

則四邊形MACB為正方形且|"。=應(yīng)r=2,

若直線/I：總存在點M使得過點物的兩條切線互相垂直,

|-(/7/+2)+2(/n-l)+4-4w|

只需圓心（T，2）到直線/的距離（/=42,

即m—8，〃-20匕0,

解可得：-2</n<IO,

即m的取值范圍為-2</n<10：

故答案為：-2</n<10

16.已知橢圓C：0+4=1(。>1)的左，右焦點分別為"，B，過點"且垂直于x軸的直線與橢圓交于

a~a~-1

A、8兩點，4入、85分別交)，軸于“、。兩點，，尸QK的周長為4.過工作/64大外角平分線的垂線與

直線￡4交于點N,貝ij|ON|=

【答案】Vl7

【詳解】因為PQ〃AB,所以圈陶二陶］，

因為.尸。居的周長為4,所以AAB居的周長lMl+1陽|+|跖|+|%|=依=8,

所以。=2,所以橢圓方程為［+q=1,C2=4-3=1,所以E(-LO),

直線AB垂直x軸，設(shè)人(-1,%),%>0,代入L區(qū)=1,求得1，』，

43I2J

所以|4段2=|46『+忻用2=￡+4=1，|4用=1

因為NT^AE外角平分線AT的垂線與直線BA交于點N,

S53

所以|從閭=|⑷v|=3,可得戰(zhàn)|=3+不=4,

乙乙乙

則|例2=|叫『+忻0「=42+1=17,所以QM=Ji7.

故答案為：V17.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.已知數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且4一%.

(1)證明：%="；

(2)若集合A/=｛A?也二分十％,1士〃$50｝,求集合M中的元素個數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)6

/、(a,+d-2b.=a.+2d-4b,

【詳解】⑴證明：設(shè)數(shù)列｛叫的公差為(則1“.地=8V(個3〉)，

d=2b

即1.,

a1+2J-5Z?,=0

解得々=4=2,所以原命題得證.

(2)由(1)知仇=4ng,所以々=qn+q=qx2i=%+(m-1)〃+卬，

因為q/0,所以〃?=2-2￡1,50],解得2WAWlog250+2=3+log225,

由24=15,2:32,^4<log,25<5,gp7<3+log225<8,

所以滿足等式的解％=2,3,4,567.

故集合M中的元素個數(shù)為6.

18.在①sin3=GsinA;②b8sC+ccosB=2cos8這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答.

問題：設(shè)-A8C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為“，b,c,且sinA+sin(8-A)=sinC,〃=、石，.

⑴求8；

(2)求.A8C的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】(1)8=三

(2)3+6

【詳解】(1)在A8C中，。二兀一4一8,

「.sinC=sin(A+4),

sinA+sin(4-4)=sinC,

/.sinA+sin(B-A)=sin(A+8),

貝ljsinA+sin5cosA-cos3sinA=sin3cosA+cos3sinA,

化簡得sin人=2sinAcos

在.4?。中，sinA/O,

/.cos/?=—.

2

又

3

(2)由余弦定理，b~=a2+c2-2accosB?BPa2+c'-ac=3.

若選①，

,sinB=73sinA,即b=+c'-ac=3?

c=2,

此時.48C的周長為3+6.

若選②，

力cosC+ccosB=2ssB,

.a~+b~-c1a~+c2-h1-、1,

:.bx----------------+cx----------------=2cos5,&P?=2cosBn=2ox-=I,

lablac2

又a2+c2-?c=3,

:.c=2,

此時的周長為3+6.

19.據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費，計劃在本市試行居民生活用水定額管

理，即確定一個合理的居民用水量標準X（單位：噸），月用水量不超過X的部分按平價收費，超出X的部

分按議價收費.為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了〃戶居民某年的月均用水量（單位:

噸），其中月均用水量在（9,12］內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求〃和〃的值;

⑵若該市政府希望使80%的居民月用水量不超過標準x噸，試估計”的值；

（3）在（2）的條件下，若實施階梯水價，月用水量不超過x噸時，按3元/噸計算，超出x噸的部分，按5

元/噸計算.現(xiàn)市政府考核指標要求所有居民的月用水費均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少

噸？

【答案】(1)。=白，“=200

(2)：6.6噸

(3)20.64噸

【詳解】(1)(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.0054-?)x3=1,

1

a=---

300

30

月水量在(9,12］的頻率為0.065x3=0.195,.\n=-——=200(戶)

(2)(0.015+0.025+0.050+0.055+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015十0.025+0.050十0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x=16.6(噸)

0.87-0.72

(3)設(shè)該市居民月用水量最多為〃1噸，因為16.6x3=49.8v70,所以m>16.6,

則iv=16.6x3+(/??-16.6)x5<70,解得20.64,

答：該市居民月用水量最多為20.64噸.

20.如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。是正方形，尸力，底面4BCD,E,尸分別是尸C,AD中點.

(1)求證：。石〃平面球3；

(2)若AO=1,與平面"CD所成角為45。，求平面PFB與平面所。夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

加3席

⑵"5T

【詳解】(1)設(shè)G為例中點，連接GE,/G,

又瓦尸分別是PC、AO中點，

所以FD=」AQ,GE=』4C,GE//I3C,

22

又底面A8C。是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四邊形")EG為平行四邊形，則DE〃/G,

由DE<Z平面勿3,"Gu平面PFB,則。E//平面產(chǎn)陽.

(2)因為。5與平面A8C。所成角為45。，所以NPBD=45，以。為原點，構(gòu)建空間直角坐標系,

由于4)=1,則PO=OB=拉，

所以4(1,1,0),0(0,(),0),￡。，；，等L),0),P(0,(),企),

所以O(shè)E=/=(；,0,0),尸8=(11,一應(yīng))，必=

m-DE=—y+z=0

令〃?=(.%)，,z)為平面EF。的一個法向量，則，之

m-DF=—x=0

2

―,即1=（0,衣-1）,

nPB=a+b-41c=0

令方二(q〃,c)為平面可笈的一個法向量，則，

nFB=-a+b=O

2

令〃=2,即〃=2,-1,與

即平面儀有與平面EDB夾角的余弦值遮.

22

21.已知雙曲線C：二—二=](“>0,〃>0)經(jīng)過點打4.6),且浙近線方程為y=±Gx.

a，b~

(1)求。的方程;

(2)過點P作y軸的垂線，交直線/：x=l于點M,交『軸于點N.不過點P的直線交雙曲線C于兩點,

S

直線抬，心的斜率分別為占，&，若《+&=2,求

,NAH

【答案】(1)上一X=1;

412

⑵b產(chǎn)WA83

°NABN

【詳解】(1)由二—W=Ony=±&x,E心=6=〃=3/,

abaa

將P(4,6)代入雙曲線方程得與-於1=>/=4,〃=]2=>?*=1；

當直線A3的斜率存在時，不妨設(shè)直線A6:)，=Aa+/〃，，

「工=產(chǎn)（”吁2…一5

聯(lián)立雙曲線方程

其中公工3,4=442＞一4（3-42）（_＞一12）＞0=＞＞+12-4公＞（|,

2km-m2-12

A.+X2=__M.X2=__

易知k4k,=小心+比心=2=2ga+（〃L6-4%）（％+電）-8（機-6）

~為-4x2-4再42—4（內(nèi)+/）+16

（2%—2）百%+（〃?+2—軟）（玉+/）一8〃?+16=0,

化簡得"/+2①?一8二一12（&+6）+36=（m一2&-6）（〃?+4左-6）=0

所以〃2=2Z+6或m=-4k+6,

當加=-4攵+6時，直線AB過P,不符題意舍去，

故加=2攵+6,則此時直線A8:y=&（x+2）+6,過定點。（―2,6）.

如圖所示，易知M（l,6）,N（0,6）,

則s”；帆-%叫二|加|二3

Sw凱-）訃|叫mi2'

當直線AB的斜率不存在時，可設(shè)A8:x=/,

與雙曲線方程聯(lián)立，則^---=1=>y=±^3/2-12,

12

可令A(yù),j3產(chǎn)-12）,服一小尸一12）,

此時占>-1j=2=[=一2,

12f-4f-4

此時A8重合，不符題意舍去.

S3

綜上可知產(chǎn)=亍

?NAHN

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵點在于第二問中由條件轉(zhuǎn)化八比.\，="+〃?中女,機的關(guān)系，此外三角形面積比轉(zhuǎn)

化為線段比也是簡化計算的關(guān)鍵.

22.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)一鑿.

(1)當4=1時，求/("的極值；

(2)若之0,求。的值：

(3)求證：sin—!—Fsin—!—++sin—<ln2(n€N).

【答案】(1)/(可在x=0處取得極小值0,無極大值

(2)a=l

⑶證明見解析

【詳解】(1)當a=l時，/(x)=ln(x+l)--^-j-,x>-\,

貝r(%)=匕一1"=［、■,

X+\(x+l)(X+1)

當工時,r(x)<o,/(X)單調(diào)遞減,

當工e(0,”)時，/^x)>0,/(力單調(diào)遞增，

所以“X)在x=0處取得極小值0,無極大值；

⑵由題意得『a卜七一廠飛，

X+1(XI1)(XI1)

①當時，/彳文)>。，所以/(X)在上單調(diào)遞增,

所以當x?T0)時，/(x)</(0|=0,與/㈤對矛盾;

②當。>0時，當xe(—La—1)時，/(x)<0,/⑺單調(diào)遞減,

當工時，f（x）單調(diào)遞增,

所以/(x)min=/(aT)=lna-(a-l),

因為/(1)之0恒成立,所以lna-(a-l)NO,

記g(〃)=ln〃_(a_l),/(〃)=：-1=勺￡,

當〃?0,1)時，/(〃)>(),g(。)單調(diào)遞增,

當。?1,+8)時,g'(a)v0,g(。)單調(diào)遞減,

所以8（4）飽、=g（l）=0，所以lna_（a_l）?0,

又Ina-(〃-1)20,

所以lna_(d)=0,

所以a=l：

(3)證明:先證sinx<x(x>0),

設(shè)/z(x)=sinx-x(x>0),貝ij=cosx-1<0,

所以/心）在區(qū)間（0,*）上單調(diào)遞減,

所以sin—5—+sin—!—.1111

+sm—<----+----++—,

〃+ln+22n〃+1n+22n

壬T1[〃+1

再證,<ln

〃+1n

x

由（2）可知ln（x+l）N當犬=0時等號成立,

x+1

1

令工=L(〃eN，)，plijInf—+1一。

n

即—^-j-<In空^=In(w+l)-ln/z,

所以一^<ln(〃+2)-+,―!—vIn(2”)一In(2〃-1),

11

累加可得----+-----+-j-<In(2n)-In//=In2,

〃+1n+2

所以sin—!--hsin

-----++sin—<ln2.

〃+1〃+22n

【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠?/p>

立.問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）

值問題處理.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考II卷專用）

黃金卷?參考答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

9101112

ADACDABDAD

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.0.3/-14.-+115.-2</n<1016.717

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（10分）

【詳解】⑴證明：設(shè)數(shù)列｛<4｝,的公差為小則｛a自.+第d-2一b.花=a朝.+-2（d「-4b3.4）

即4,

%+2d-5a=0

解得4=4=?，所以原命題得證.

（2）由（1）知b\=a、=；,所以"二冊+6oqx2i=q+（m-l）d+4,

因為4工0,所以〃7=2141,50],解得2&k41。氏5。+2=3+1咤225,

由2"=15,2$=32,故4vlog225V5,gp7<3+log225<8,

所以滿足等式的解女=2,345,6,7.

故集合M中的元素個數(shù)為6.

18.（12分）

【詳解】（1）在-ABC中，。=兀一A-8,

/.sinC=sin（A+B）,

sinA+sin（B-A）=sinC,

sin4+sin（4—A）=sin（4+4），

則sinA+sinBoonA-cos^sin4=sin^cosA+cos^sin4,

化簡得sinA=2sinAcosB.

在^ABC中，sinA工0,

/.cosB=—.

2

又0<B<n,

3

(2)由余弦定理,f#b1=a2+c2-2^ccosB?BPa2+c2-ac=3.

若選①，

.sinB=GsinA，即6=>/5〃，且a?+c"-ac=3，

?.a=l,c=2,

此時一工BC的周長為3+6.

若選②，

力cosC+ccosB=2cosB,

La，+/T-《2a2+C2-b"rncnc]1

/.Z?x--------------+cx-------