2021年江蘇南京二十九中特長(zhǎng)生考試數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2021年二十九中特長(zhǎng)生考試數(shù)學(xué)部分一、統(tǒng)考部分1．因式分解：．填空題（共4題，每題3分，共12分）2．矩形中，沿翻折到，，，求．3．已知半徑為2的，一直線距點(diǎn)的距離為6，等邊三角形一邊在直線上，另外兩邊所在直線與相切，問等邊三角形的邊長(zhǎng)為．4．已知一元二次方程的解為，，且，、均為負(fù)整數(shù)，求的值為．解答題（共3題，每題6分，共18分）5．在中，，為8，為6，為中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為，連接，設(shè)為，為．(1)問與的函數(shù)關(guān)系．(2)的最大值為多少．6．已知，中，若，則，若，則．(1)如圖1，為中點(diǎn)，連接，，求證：．(2)如圖2，，，請(qǐng)說明與長(zhǎng)度的關(guān)系．7．已知，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，，．(1)當(dāng)時(shí)，求最小值．(2)當(dāng)時(shí)，求最小值．二、數(shù)學(xué)加試部分8．尺規(guī)作圖．(1)作，使，周長(zhǎng)為．(2)作，使，邊高為，周長(zhǎng)為．9．點(diǎn)是直線與軸交點(diǎn)，半徑為，是上一動(dòng)點(diǎn)，若是直角三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查了利用公式法因式分解，先將式子變形為，再利用完全平方公式得出，最后利用平方差公式分解即可得出答案．【詳解】解：．2．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，求出，結(jié)合求出，最后再由勾股定理即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：連接交于點(diǎn)，連接，，，∵四邊形為矩形，∴，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，，，，，∴，，．3．或或【分析】分三種情況：分別畫出圖形，利用切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：分三種情況：①如下圖，當(dāng)在直線上，、所在直線與相切時(shí)，令切點(diǎn)分別為、，作于，此時(shí)、、在同一直線上，，由題意得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即等邊邊長(zhǎng)為；②如下圖，當(dāng)在直線上，、所在直線與相切時(shí)，此時(shí)、在同一直線上，且，作于，于，，則四邊形為矩形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，即等邊邊長(zhǎng)為；③如下圖，當(dāng)在直線上，、所在直線與相切時(shí)，令切點(diǎn)分別為、，作于，此時(shí)、、在同一直線上，，由題意得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即等邊邊長(zhǎng)為；綜上，答案為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．4．【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，，代入計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程的解為，，∴，，，，∴，，整理得，，，、均為負(fù)整數(shù)，，，，值為．故答案為：-45．(1)(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）過作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，，垂足，，．分三種情況：若；若；若，分別利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積公式計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，，垂足，，．①若，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴．②若，如紅色部分同理，，∴，，∴．③若，如綠色部分，同理，，∴，，．綜上：；（2）解：當(dāng)時(shí)，，故，，當(dāng)時(shí)，，故，，最大值．6．(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的邊角關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，證明出，得到，，然后利用角的關(guān)系求解即可；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至位置，使與重合，連接，得到，得到，，，然后利用三角形邊角關(guān)系求解即可．【詳解】（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，，，，，，，，．（2）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至位置，使與重合，連接，∴，，，，，，，，，，．7．(1)1(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，表示出，結(jié)合即可得出答案；（2）由題意可得在函數(shù)圖象上，為拋物線，在函數(shù)圖象上，在直線上，結(jié)合直線始終在拋物線下方，得出拋物線上任一點(diǎn)到直線上最短距離即垂線段長(zhǎng)度，若最短，則是垂足，是拋物線上距直線最近的點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求出平行線為：，聯(lián)立得出，表示出，即可得解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∵，故當(dāng)時(shí)，最小值為1；（2）解：當(dāng)時(shí)，由題意可得：在函數(shù)圖象上，為拋物線，在函數(shù)圖象上，在直線上，∵直線始終在拋物線下方，拋物線上任一點(diǎn)到直線上最短距離即垂線段長(zhǎng)度，若最短，則是垂足，是拋物線上距直線最近的點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為，將代入得，∴，∴平行線為：，∴，有唯一一組解，，∴，，∴，，∴，∵，∴，最?。军c(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．8．(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）作，在射線上取點(diǎn)，再線段上截取，在射線上截取，連接，作的垂直平分線交線段于，連接，即為所求；（2）作，過作，在上截取，過作交射線于，在線段上截取，在射線上截取，連接，作的垂直平分線交線段于，連接，即為所求．【詳解】（1）解：作，在射線上取點(diǎn)，再線段上截取，在射線上截取，連接，作的垂直平分線交線段于，連接，即為所求，如圖：，理由：由作圖可得，，，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)等于線段，∵，∴滿足條件；（2）解：作，過作，在上截取，過作交射線于，在線段上截取，在射線上截取，連接，作的垂直平分線交線段于，連接，即為所求，，理由：由作圖可得，，∴到的距離等于，同（1）可得的周長(zhǎng)等