第07講 有理數(shù)的除法（3個知識點+5個考點+易錯分析）原卷版

第07講有理數(shù)的除法

（3個知識點+5個考點+易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.了解有理數(shù)除法的意義,理解有理數(shù)除法與乘法的互

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）逆關(guān)系

模塊三核心考點舉一反三2.掌握有理數(shù)的除法法則,能運用法則熟練地進(jìn)行有理

模塊四小試牛刀過關(guān)測數(shù)除法運算以及四則混合運算.

3.通過利用有理數(shù)除法法則進(jìn)行運算的過程,體會轉(zhuǎn)化

的數(shù)學(xué)思想

知識點1.有理數(shù)除法法則（重點）

1

（1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）

?

（2）方法指引：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．

（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕

對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混

合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．

【例1】計算

1

(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－)；

4

(3)(－0.75)÷(0.25)．

解析：采用有理數(shù)的除法：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除解答．

解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；

11

(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；

44

(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.

方法總結(jié)：注意先確定運算的符號．根據(jù)“同號得正，異號得負(fù)”的法則進(jìn)行計算．本題屬于基礎(chǔ)題，考

查對有理數(shù)的除法運算法則掌握的程度．

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【變式1-1】計算(?4)÷2的結(jié)果是（）

A．?2B．2C．?6D．?8

【變式1-2】計算：___________×(?6)=?54．

【變式1-3】．在?2，3，?4，12這四個數(shù)中，任意兩個數(shù)相除，所得的商最小是______．

【例2】計算：

249

(1)(－18)÷(－)；(2)16÷(－)÷(－)．

338

4

【變式2-1】把?÷?5轉(zhuǎn)化為乘法是（）．

34

54444

A．B．?×?4C．?×D．?×?5

3353534

21

【變式】兩個數(shù)的積是?，其中一個是?，則另一個是．

2-296______

【變式2-3】計算：

11

(1)(?0.5)÷(?)(2)(?1.25)÷

44

4

÷(?12)÷÷

(3)7(4)(?378)(?7)(?9)

596

(5)(?0.75)÷÷(?0.3)(6)(?3.2)÷

45

9

(7)(?)÷2.5

14

知識點2.有理數(shù)的乘除混合運算（重點）

有理數(shù)乘除混合運算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后按照乘法法則,確定積的符號,最后求出結(jié)果.

注意：除法沒有運算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運算律簡化運算

【例3】計算：

51431

(1)－2.5÷×(－)；(2)(－)÷(－)×(－1)．

847142

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【變式3-1】計算(?1)÷(?5)×?1的結(jié)果是（）

5

11

．?．．?1．

A25B25CD1

1

【變式】計算：÷7×=．

3-2(?48)7_____________

【變式3-3】計算：

(1)(?3)÷?13×0.75÷?3×(?6)；

47

1

(2)?1×(?0.1)÷×(?10)；

525

(3)(?72)×?2×?3÷?8．

3515

知識點3.有理數(shù)的加減乘除混合運算（重點）

1.有理數(shù)的加減乘除混合運算

在運算時要注意按照“先乘除,后加減”的順序進(jìn)行,如有括號,應(yīng)先算括號里面的.在同級運算中,要按從左到

右的順序來計算,并能合理運用運算律,簡化運算

2.計算器的使用

不同品牌的計算器操作方法可能有所不同,具體操作方法應(yīng)參考計算器的使用說明,熟悉各功能鍵.另外,還要

注意以下幾點:

(1)計算器要平穩(wěn)放置,以免按鍵時發(fā)生晃動和滑動

(2)計算開始時,要先按開啟鍵;停止使用時,要注意按關(guān)閉鍵

(3)確定按鍵順序后,按照算式從左到右的順序直接輸入

(4)在輸入數(shù)據(jù)和算式時,每次按鍵都要注意顯示器上是否顯示出了相應(yīng)的數(shù)字或運算符號,以免因漏按或按

不實而出現(xiàn)錯誤.

(5)每次運算時,要按一下清零鍵

6)注意負(fù)數(shù)的輸入方式.

44?8?

【例4】計算：-81′-??-÷．

99è9?

解法：原式?44??8?

1-81′?-÷??-÷①

è99?è9?

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?8?

-81′0??-÷

è9?②

0③

44?9?

-81′-′?-÷

解法2：原式99è8?①

1

-36+

2②

1

-36

2③

(1)解法1是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的；解法2是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的；（填寫序號即可）

(2)請給出正確解答．

3231

【變式4-11】?×÷=（）．

4542

3531

A．B．C．D．

1011203

【變式4-2】計算：(?1)÷1+0÷8?(?5)×(?2)=__________

?1?

【變式4-3】計算：-2-10′?1-′4÷．

è5?

易錯點.有理數(shù)除法運算中誤用分配律

【例5】（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）觀察下列解題過程．

?7??377?

計算：?-÷??1--÷．

è8?è4812?

?7?3?7?7?7?7

解：原式＝?-÷?1-?-÷?-?-÷?

è8?4è8?8è8?12

?7?4?7?8?7?12

＝?-÷′-?-÷′-?-÷′

è8?7è8?7è8?7

13

＝-+1+

22

＝2

你認(rèn)為以上解題是否正確，若不正確，請寫出正確的解題過程．

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?111?

【變式5-1】．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：計算50??-+÷．

è3412?

111

解法一：原式50?-50?+50?50′3-50′4+50′12550．

3412

?431?2

解法二：原式50??-+÷50?50′6300．

è121212?12

?111?

解法三：原式的倒數(shù)為?-+÷?50

è3412?

?111?11111111

?-+÷′′-′+′．

è3412?503504501250300

故原式300．

(1)上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，你認(rèn)為哪個解法是錯誤的．

?1??1322?

(2)請你選擇兩種合適的解法解答下列問題：計算：?-÷??-+-÷

è42?è61437?

1?3151??3151??1?

【變式5-2】．計算：-??--+÷+?--+÷??-÷

36è4121836?è4121836?è36?

(1)前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？

(2)先計算哪部分比較簡單?請給予解答；

(3)利用（1）中的關(guān)系，直接寫出另一部分的結(jié)果；

(4)根據(jù)上述分析，求出原式的結(jié)果．

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考點1：有理數(shù)的加減乘除混合運算的實際應(yīng)用

1．某水果店以每箱200元的價格從水果批發(fā)市場購進(jìn)20箱櫻桃．若以每箱凈重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千

克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）-0.5-0.250+0.25+0.8+0.5

箱數(shù)143453

(1)這20箱櫻桃質(zhì)量相差最大是多少千克？

(2)這20箱櫻桃的總質(zhì)量是多少千克？

(3)水果店購進(jìn)這批櫻桃需要付運費100元，要把這些櫻桃全部以零售的形式賣掉，并按照全部銷售后獲得

利潤為成本的50%作為銷售目標(biāo)制定零售價，若第一天水果店以該零售價售出了總質(zhì)量的60%，第二天因

害怕剩余的櫻桃腐爛，決定降價把剩余的櫻桃按原零售價的七折售完，請計算該水果店在銷售這批櫻桃的

過程中共盈利或虧損多少元？（提示：成本＝總進(jìn)價＋運費）

2．為常態(tài)化開展社會人群核酸檢測工作，我市在人群密集、流動量大的區(qū)域布局了健康小屋（便民核酸采

樣點）．某采樣點計劃每天完成2000人次的核酸采樣，實際每天采樣的數(shù)量相比有出入，下表是十月份某

一周該采樣點的實際采樣人次（超過為正，不足為負(fù)，單位：人次）

星期一二三四五六七

增減+100-250+400-150-100+350+150

(1)根據(jù)記錄可知該采樣點前三天共完成了多少人次的核酸采樣？

(2)采樣人次最多的一天比采樣人次最少的一天多了多少人次？

(3)該采樣點采用十人混檢的方式收集核酸樣本（將10個人的樣本采集后放到同一根采樣管中進(jìn)行檢測），

該采樣點在這周至少需要多少根采樣管？

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3．某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下表：

種類里程（千米）收費（元）

起步價3千米以內(nèi)（包括3千米）10.00

單程3千米以上，每增加1千米3.00

往返3千米以上，每增加1千米2.20

(1)一次小華乘出租車從家去動物園，下車時付出租車費41.8元.小華家到動物園有多少千米？

(2)若小華從家去動物園拍一張照片，接著立即趕回，應(yīng)該怎樣乘坐出租車最劃算？她至少要付出租車費多

少元？

考點2：與有理數(shù)相關(guān)的新定義運算

4．（22-23七年級上·河南周口·階段練習(xí)）若“No”是一種數(shù)學(xué)運算符號，且1No1，2No2′1，

2022N

3No3′2′1，L，則0的值為（）

2023N0

1

A．2023NoB．2022NoC．D．2023

2023

5．（23-24七年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）定義“!”是一種數(shù)學(xué)運算符號，并且1!1，2!2′12，

100!

3!3′2′16，4!4′3′2′124．…，則的值為（）

99!

100

A．B．99!C．100D．2!

99

6.對于有理數(shù)a、b，定義運算“?”如下：a?bab?(a+b)，試比較大小(-3)?43?(-4)(填“＞”“＜”

或“＝”)．

考點3：有理數(shù)混合運算的材料閱讀題

7．閱讀下題的計算方法：

?1??237?

計算：?-÷??-+÷

è24?è348?

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．

?237??1??237?

解：?-+÷??-÷?-+÷′(-24)-16+18-21-19

è348?è24?è348?

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1

所以原式-

19

?1??1293?

根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計算：?-÷??--+-÷

è20?è45102?

8．閱讀下題的計算方法：

?1??237?

計算：?-÷??-+÷

è24?è348?

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．

?237??1??237?

解：?-+÷??-÷?-+÷′(-24)-16+18-21-19

è348?è24?è348?

1

所以原式-

19

?1??1293?

根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計算：?-÷??--+-÷

è20?è45102?

24

9．老師布置了一道題目：計算49′(-5)，有兩位同學(xué)的解法如下：

25

124912494

小明：原式-′5--249．

2555

2424?24?4

小軍：原式(49+)′(-5)49′(-5)+′(-5)-245+?-÷-249．

2525è5?5

(1)對于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法較好？

(2)上面的解法對你有何啟發(fā)，你認(rèn)為還有更好的解法嗎？如果有，請把它寫出來．

15

(3)用你認(rèn)為最合適的方法計算29′(-8)．

16

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考點4：有理數(shù)乘除法的創(chuàng)新應(yīng)用

10．（22-23七年級上·北京東城·期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是

天干和地支的總稱．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個

組合代表﹣﹣年，60年為一個循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號．天干的計算方法

是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：

天干為：2022-3?10201LL9；地支為：2022-3?12168LL3；對照天干地支表得出，2022年為

農(nóng)歷壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

請你依據(jù)上述規(guī)律推斷2049年為農(nóng)歷年．

11.如圖A在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為-2．

(1)點B在點A右邊距A點6個單位長度，求點B所對應(yīng)的數(shù)；

(2)在（1）的條件下，點A以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點B以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，

當(dāng)點A運動到-6所在的點處時，求A，B兩點間距離．

(3)在（2）的條件下，現(xiàn)A點靜止不動，B點以原來的速度沿數(shù)軸向左運動時，經(jīng)過多長時間A、B兩點相

距4個單位長度．

12.如圖，

7-3251

(1)若從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相乘，則乘積的最大值是_______

(2)若從中取出2張卡片，用這2張卡片上數(shù)字相除，則商的最小值是，

(3)若從中取出4張卡片，請運用所學(xué)的計算方法，寫出一個運算式，使四個數(shù)字的計算結(jié)果為24，你選取

的數(shù)為______________，算式為___________________

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考點5：綜合利用絕對值、相反數(shù)和有理數(shù)除法進(jìn)行化簡求值

13．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，

（1）用“>”或“<”填空：

c+b_________0，ac_________0，abc_________0，ab+c____________0．

aababc

（2）求代數(shù)式++的值．

aababc

14．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，它們分別表示數(shù)a，b，c，且a+20+b+100，又b，c互為相反數(shù)．

(1)求a，b，c的值．

(2)若有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)相向而行，甲的速度為6個單位/秒，乙的速度為4

個單位/秒，當(dāng)兩只螞蟻在數(shù)軸上點m處相遇時，求點M表示的數(shù)．

(3)若將（2）的條件改為同向而行，其余條件都不變，求點M表示的數(shù)．

15．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a>0時，則_______；當(dāng)b<0時，則_______．

|a||b|

b+ca+ca+b

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c0，abc<0，求++的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc10時，求++的值．

abc

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2a2b2c-abc

16．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子+++的所有可

|a||b||c||abc|

能的值．

17.（1）根據(jù)|x|是非負(fù)數(shù)，且非負(fù)數(shù)中最小的數(shù)是0，解答下列問題．

①x取何值時，|x+3|-6的值最小，最小值是多少？

②x取何值時，5-|x-2|的值最大，最大值是多少？

aaa

（2）已知若a>0，則|a|a，即1，若a<0，則|a|-a，即-1，如果x、y、z是有理

|a||a|-a

x+yx+zy+z

數(shù)，且x+y+z0，xyz<0時，求++的值．

|z||y||x|

18．在學(xué)習(xí)一個數(shù)的絕對值過程中，化簡a時，可以這樣分類：當(dāng)a>0時，aa；當(dāng)a0時，a0；

當(dāng)a<0時，a-a，請用這種方法解決下列問題．

a

(1)當(dāng)a3,a-2時，分別求的值；

a

ab

(2)已知a,b是有理數(shù)，當(dāng)ab>0時，試求+的值；

ab

abcabc

(3)已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時，試求+++的值．

abcabc

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一、單選題

?1?1

1．（23-24七年級上·湖北恩施·期末）計算?-÷′3?′-3的結(jié)果是（）

è3?3

A．-9B．-1C．3D．9

2．（23-24七年級上·福建廈門·開學(xué)考試）如圖，一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝有一些水，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可以

算出瓶中水的體積占瓶子容積的（）．

4154

A．B．C．D．

9295

3．（22-23七年級上·云南昆明·期中）若兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點都在原點的同側(cè)，則這兩個數(shù)相除所

得的商（）

A．一定是負(fù)數(shù)B．一定是正數(shù)C．等于0D．以上都不對

3

4．（23-24七年級上·山東青島·階段練習(xí)）將(-7)?(-)?(-2.5)轉(zhuǎn)化為乘法運算正確的是（）

4

34

A．(-7)′(-)′(-2.5)B．(-7)′(-)′(-2.5)

43

4235

C．(-7)′(-)′(-)D．(-7)′(-)′(-)

3542

?1?

5．（22-23七年級上·云南保山·期中）計算5?(-5)′?-÷結(jié)果等于（）

è5?

1

A．5B．-5C．D．1

5

6．（23-24七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）下列說法：

①2018個有理數(shù)相乘，其中負(fù)數(shù)有2005個，那么所得的積為負(fù)數(shù)

②若m滿足m+m0，則m<0

abacbcabc

③若三個有理數(shù)a，b，c滿足++-1，則++-1．

abacbcabc

其中正確的是有（）個

A．0B．1C．2D．3

二、填空題

1

7．（23-24七年級上·浙江·期末）計算：-3?．

4

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1

8．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算-100?5′．

6

?1?

9．（23-24七年級上·陜西西安·期中）計算(-6)?(-6)′?-÷的結(jié)果是．

è6?

10．（22-23七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）一根6.4米長的彩帶，每1.4米剪一段包扎一個禮盒，這根彩帶

可以包扎個禮盒．

11．（23-24七年級上·山東菏澤·期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是

天干和地支的總稱．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個

組合代表一年，60年為一個循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號．天干的計算方法是：

年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：

天干為：2022-3?10201×××9；地支為：2022-3?12168×××3；

對照天干地支表得出，2022年為農(nóng)歷壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

請你依據(jù)上述規(guī)律推斷2050年為農(nóng)歷年．

12．（21-22七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）“湊24點”的游戲規(guī)則是：從一副撲克牌中抽去大、小王剩下52

張（如果初練也可只用1～10這40張牌），任意抽取4張牌（稱牌組），用加、減、乘、除（可加括號）把

牌面上的數(shù)算成24，每張牌必須用一次且只能用一次，并不能用幾張牌組成一個多位數(shù)，如抽出的牌是3、

8、8、9，那么算式為9-8′8′3或9-8?8′3等，在下面4個選項中，可以湊出24點的是（填

序號）．

①1、2、3、3

②1、5、5、5

③2、2、2、2

④3、3、3、3

三、解答題

?975??1?

13．（22-23七年級上·四川成都·期中）用簡便方法計算：?+-÷??-÷．

è41224?è24?

第13頁共16頁.

4?2?1

14．（23-24七年級上·北京順義·期末）計算：-1.5′??-÷′．

5è5?4

?3?33

15．（23-24七年級上·吉林長春·期中）計算：-3??-1÷′?．

è4?47

3?4?

16．（23-24七年級上·吉林長春·期末）計算：24?-6′??-÷．

2è3?

17．（22-23七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）下面各題，能簡算的要寫出必要的簡算過程

5213?53?21

(1)?′1′(2)?3-1÷′2?4

161535è64?52

18．（22-23七年級上·吉林松原·期中）閱讀下面解題過程并解答問題：

?125?1

計算：-15??-′÷?

è23?6

?25?

解：原式-15??-÷′6（第一步）

è6?

-15?-25（第二步）

3

-（第三步）

5

(1)上面解題過程有兩處錯誤：

第一處是第______________步，錯誤原因是______________；

第二處是第______________步，錯誤原因是______________；

(2)請寫出正確的結(jié)果______________．

第14頁共16頁.

ìx,x>0

?xx

19．（23-24七年級上·云南昆明·期中）閱讀下列材料：xí0,x0，即當(dāng)x<0時，-1．用這

?|x|-x

?-x,x<0

個結(jié)論解決下面問題：

(1)已知a，b是有理數(shù)，

ab

①當(dāng)a>0，b>0時，則+________；

|a||b|