第13講 整式的加減（2個(gè)知識點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）解析版

第13講整式的加減（2個(gè)知識點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.掌握去括號法則,能準(zhǔn)確地去括號

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.會通過去括號、合并同類項(xiàng)將整式化簡

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算:

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.會運(yùn)用整式加減解決簡單的實(shí)際問題

知識點(diǎn)1.去括號（難點(diǎn)）

去括號法則

如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同；

如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反．

要點(diǎn)歸納：

(1)去括號法則實(shí)際上是根據(jù)乘法分配律推出的：當(dāng)括號前為“+”號時(shí)，可以看作+1與括號內(nèi)的各項(xiàng)相

乘；當(dāng)括號前為“-”號時(shí)，可以看作-1與括號內(nèi)的各項(xiàng)相乘．

（2）去括號時(shí)，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據(jù)法則去掉括號及前面的符號．

(3)對于多重括號，去括號時(shí)可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定

要注意括號前的符號．

（4）去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項(xiàng)式的恒等變形．

知識點(diǎn)2.整式的加減（重點(diǎn)）

一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng)．

要點(diǎn)歸納：

（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項(xiàng)．

（2）兩個(gè)整式相減時(shí)，減數(shù)一定先要用括號括起來．

(3)整式加減的最后結(jié)果的要求：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母

第1頁共25頁.

的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．

易錯(cuò)點(diǎn)1.去括號時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤

去括號時(shí),括號前面是“_”號時(shí),常忘記改變括號內(nèi)每一項(xiàng)的符號,出現(xiàn)錯(cuò)誤;或者括號前有數(shù)字因數(shù),去括號時(shí)

沒把數(shù)字因數(shù)與括號內(nèi)的每一項(xiàng)相乘出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象,只有嚴(yán)格按照去括號法則運(yùn)算,才可能避免上述錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)2.進(jìn)行整式加減時(shí)忽略括號的作用

在多項(xiàng)式加法運(yùn)算中，整式可以不加括號,在多項(xiàng)式減法運(yùn)算中,被減式可以不加括號，但減式必須加上括號

考點(diǎn)1.去括號

【例1】下列去括號正確嗎？如有錯(cuò)誤，請改正．

(1)＋(－a－b)＝a－b；

(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；

(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；

(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.

解析：先判斷括號外面的符號，再根據(jù)去括號法則選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄈダㄌ枺?/p>

解：(1)錯(cuò)誤，括號外面是“＋”號，括號內(nèi)不變號，應(yīng)該是：＋(－a－b)＝－a－b；

(2)錯(cuò)誤，－xy沒在括號內(nèi)，不應(yīng)變號，應(yīng)該是：5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1－xy；

(3)錯(cuò)誤，括號外是“－”號，括號內(nèi)應(yīng)該變號，應(yīng)該是：3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy＋2y；

(4)錯(cuò)誤，有乘法的分配律使用錯(cuò)誤，應(yīng)該是：(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋9b.

方法總結(jié)：本題考查去括號的方法：去括號時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項(xiàng)相乘，

再運(yùn)用括號前是“＋”，去括號后，括號里的各項(xiàng)都不改變符號；括號前是“－”，去括號后，括號里的

各項(xiàng)都改變符號．

【變式1-1】（2024?翔安區(qū)二模）-2(a-2b)去括號的結(jié)果是()

A．-2a+2bB．-2a-2bC．-2a+4bD．-2a-4b

【分析】根據(jù)去括號的方法即可得出答案．

【解答】解：-2(a-2b)

=-2a+2×2b

=-2a+4b．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查去括號的方法：去括號時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項(xiàng)相乘，

再運(yùn)用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項(xiàng)都不改變符號；括號前是“-”，去括號后，括號里的各

項(xiàng)都改變符號．

【變式1-2】（2024?涼州區(qū)二模）下列去括號正確的是()

A．3(2x+3y)=6x+3yB．-0.5(1-2x)=-0.5+x

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1

C．-2(x-y)=-x-2yD．-(2x2-x+1)=-2x2+x

2

【分析】應(yīng)用去括號法則逐個(gè)計(jì)算得結(jié)論．

【解答】解：3(2x+3y)=6x+9y16x+3y，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

-0.5(1-2x)=-0.5+x，故選項(xiàng)B正確；

1

-2(x-y)=-x+2y1-x-2y，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

2

-(2x2-x+1)=-2x2+x-11-2x2+x，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查去括號的方法：去括號時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號前的數(shù)字與括號里各項(xiàng)相乘，

再運(yùn)用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項(xiàng)都不改變符號；括號前是“-”，去括號后，括號里的各

項(xiàng)都改變符號．順序?yàn)橄却蠛笮。?/p>

【變式1-3】去掉下列各式中的括號：

(1).8m-(3n+5)；(2).n-4(3-2m)；(3).2(a-2b)-3(2m-n).

【答案】(1).8m-(3n+5)＝8m-3n-5.

(2).n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.

(3).2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.

考點(diǎn)2.去括號后進(jìn)行整式的化簡

【例2】先去括號，后合并同類項(xiàng)：

(1)x＋[－x－2(x－2y)]；

1211

(2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；

2323

(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)；

(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．

解析：去括號時(shí)注意去括號后符號的變化，然后找出同類項(xiàng)，根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，即系數(shù)相加作為系

數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

解：(1)x＋[－x－2(x－2y)]＝x－x－2x＋4y＝－2x＋4y；

123b2

(2)原式＝a－a－b2－a＋b2＝－2a＋；

2323

(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a；

(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}＝－3{9(2x＋x2)＋9(x－x2)＋9}＝－27(2x＋x2)－27(x－x2)

－27＝－54x－27x2－27x＋27x2－27＝－81x－27.

方法總結(jié)：解決本題是要注意去括號時(shí)符號的變化，并且不要漏乘．有多個(gè)括號時(shí)要注意去各個(gè)括號時(shí)的

順序．

【變式2-1】（2023秋·全國·七年級課堂例題）化簡：

第3頁共25頁.

（1）a+-3b-2a=；

（2）x+2y--2x-y=．

【答案】-a-3b3x+3y

【分析】（1）利用括號前是正號，去括號后，括號里的各項(xiàng)都不改變符號，進(jìn)而得出答案；

（2）利用括號前是負(fù)號，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反，進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：（1）a+-3b-2a=a-3b-2a=-a-3b；

故答案為：-a-3b；

（2）x+2y--2x-y=x+2y+2x+y=3x+3y，

故答案為：3x+3y；

【點(diǎn)睛】此題主要考查了去括號法則，正確掌握去括號法則是解題關(guān)鍵．

【變式2-2】化簡：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．

解析：先運(yùn)用去括號法則去括號，然后合并同類項(xiàng)．注意去括號時(shí)，如果括號前是負(fù)號，那么括號中的每

一項(xiàng)都要變號；合并同類項(xiàng)時(shí)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變．

解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2.

方法總結(jié)：去括號時(shí)應(yīng)注意：①不要漏乘；②括號前面是“－”，去括號后括號里面的各項(xiàng)都要變號．

【變式2-3】（2023秋?長葛市期中）先去括號，再合并同類項(xiàng)

（）（）22

12(2b-3a)+3(2a-3b)24a+2(3ab-2a)-(7ab-1)

【分析】（1）根據(jù)括號前是正號去括號不變號，括號前是負(fù)號去掉括號要變號，可去掉括號，根據(jù)合并同

類項(xiàng)，可得答案；

（2）根據(jù)括號前是正號去括號不變號，括號前是負(fù)號去掉括號要變號，可去掉括號，根據(jù)合并同類項(xiàng)，可

得答案；

【解答】解：（1）2(2b-3a)+3(2a-3b)=4b-6a+6a-9b=-5b；

（2）4a2+2(3ab-2a2)-(7ab-1)=4a2+6ab-4a2-7ab+1=-ab+1．

【點(diǎn)評】本題考查了去括號與添括號，合并同類項(xiàng)，括號前是正號去掉括號不變號，括號前是負(fù)號去掉括

號要變號．

考點(diǎn)3.整式的化簡求值

11313

【例3】化簡求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－.

23232

解析：原式去括號合并得到最簡結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值．

12311313

解：原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1＝－3a＋b2＋1，當(dāng)a＝2，b＝－時(shí)，原式＝－3×2＋×(－)2＋1＝－

23233232

31

6＋＋1＝－4.

44

第4頁共25頁.

方法總結(jié)：化簡求值時(shí)，一般先將整式進(jìn)行化簡，當(dāng)代入求值時(shí)，要適當(dāng)添上括號，否則容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)

誤，同時(shí)還要注意代數(shù)式中同一字母必須用同一數(shù)值代替，代數(shù)式中原有的數(shù)字和運(yùn)算符號都不改變．

1

【變式3-1】先化簡，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.

2

解析：原式去括號合并得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．

11

解：原式＝5xy2－3xy2＋4xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2，當(dāng)x＝－4，y＝時(shí)，原式＝5×(－4)×()2＝－5.

22

方法總結(jié)：解決本題是要注意去括號，去括號要注意順序，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．負(fù)

數(shù)代入求值時(shí)，要加上括號．

11

【變式3-2】（2023秋?襄城區(qū)期末）先化簡，再求值：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)，其中a=，b=．

23

【分析】根據(jù)整式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡，代入計(jì)算即可．

【解答】解：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)

=15a2b-5ab2-ab2-3a2b

=12a2b-6ab2

11

當(dāng)a=，b=時(shí)，

23

111112

原式=12′′-6′′=1-=．

432933

【點(diǎn)評】本題考查的是整式的加減混合運(yùn)算，掌握整式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

11

【變式3-3】（2024?望城區(qū)一模）先化簡，再求值：-2(a2b-ab2+b2)+(2a2b-3ab2)，其中a=1，

42

b=-2．

【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，化簡后將a，b的值代入即可．

1

【解答】解：原式=-2a2b+ab2-b2+2a2b-3ab2

2

5

=-b2-ab2，

2

當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，

5

原式=-(-2)2-′1′(-2)2

2

=-14．

【點(diǎn)評】本題考查整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握去括號，合并同類項(xiàng)的法則把所求式子化簡．

考點(diǎn)4.整體思想在整式求值中應(yīng)用

【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．

第5頁共25頁.

解析：若從已知條件出發(fā)先求出x的值，再代入計(jì)算，目前來說是不可能的．因此可把x2－4x看作一個(gè)整

體，采用整體代入法，則問題可迎刃而解．

解：因?yàn)閤2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2，所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1＝3×2－1＝5.

方法總結(jié)：在整式的加減運(yùn)算中，運(yùn)用整體思想對某些問題進(jìn)行整體處理，常常能化繁為簡，解決一些目

前無法解決的問題．

【變式4-1】．（2024春?道里區(qū)校級期中）【知識呈現(xiàn)】我們可把5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)

中的“x-2y”看成一個(gè)字母a，使這個(gè)代數(shù)式簡化為5a-3a+8a-4a，“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中

的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．在數(shù)學(xué)中，常常用這樣的方法把復(fù)雜

的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題．

【解決問題】

（1）上面【知識呈現(xiàn)】中的問題的化簡結(jié)果為；（用含x、y的式子表示）

（2）若代數(shù)式x2+x+1的值為3，求代數(shù)式2x2+2x-5的值為；

【靈活運(yùn)用】應(yīng)用【知識呈現(xiàn)】中的方法解答下列問題：

（3）已知a-2b=7，2b-c的值為最大的負(fù)整數(shù)，求3a+4b-2(3b+c)的值．

【分析】（1）令“x-2y”=a，則原式化為5a-3a+8a-4a，然后合并同類項(xiàng)，最后將a=x-2y代入

即可；

（2）將2x2+2x-5變形為2(x2+x)-5，然后整體代入求值即可；

（3）由題意得出2b-c=-1，結(jié)合a-2b=7即可得出a-c=6，將3a+4b-2(3b+c)變形為(a-2b)+2(a-c)，

然后代入求值即可．

【解答】解：（1）令“x-2y”=a，

則5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)

=5a-3a+8a-4a

=(5-3+8-4)a

=6a

=6(x-2y)

=6x-12y，

故答案為：6x-12y；

（2）由題意得，x2+x+1=3，

\x2+x=2，

\2x2+2x-5

=2(x2+x)-5

=2′2-5

=-1，

第6頁共25頁.

故答案為：-1；

（3）Q2b-c的值為最大的負(fù)整數(shù)，

\2b-c=-1①，

Qa-2b=7②，

①+②，得a-c=6，

\3a+4b-2(3b+c)

=3a+4b-6b-2c

=3a-2b-2c

=(a-2b)+(2a-2c)

=(a-2b)+2(a-c)

=7+2′6

=19．

【點(diǎn)評】本題考查了整體思想，合并同類項(xiàng)，負(fù)整數(shù)，理解題意，熟練掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．

【變式4-2】．（2023秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法，它

在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．下題是華師版七年級上冊數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容．

代數(shù)式x2+x+3的值為7，則代數(shù)式2x2+2x-3的值為_____．

【閱讀理解】小明在做作業(yè)時(shí)采用的方法如下：由題意得，x2+x+3=7則有x2+x=4，

2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2′4-3=5，所以代數(shù)式2x2+2x-3的值為5．

【方法運(yùn)用】

（1）若代數(shù)式x2+x+1的值為15，求代數(shù)式-2x2-2x+3的值．

（2）若x=2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+4的值為11，當(dāng)x=-2時(shí)，求代數(shù)式ax3+bx+3的值．

【拓展應(yīng)用】

（3）若3m-4n=-3，mn=-1．求6(m-n)-2(n-mn)的值．

【分析】（1）讀懂題意，利用整體代入思想，化簡求值即可得到答案；

（2）將x=2代入ax3+bx+4=11，得到8a+2b=7；再將x=-2代入ax3+bx+3化簡求值，整體代入即可

得到答案；

（3）分析所求代數(shù)式與條件之間的關(guān)系，化簡，代值求解即可得到答案．

2

【解答】解：（1）Qx+x+1=15，

\x2+x=14，

\-2x2-2x+3=-2(x2+x)+3=-2′14+3=-25；

（2）當(dāng)x=2時(shí)，ax3+bx+4=8a+2b+4=11，

\8a+2b=7，

\當(dāng)x=-2時(shí)：ax3+bx+3=-8a-2b+3=-(8a+2b)+3=-7+3=-4；

第7頁共25頁.

（3）Q3m-4n=-3，mn=-1，

\6(m-n)-2(n-mn)

=6m-6n-2n+2mn

=6m-8n+2mn

=2(3m-4n)+2mn

=2′(-3)+2′(-1)

=-8．

【點(diǎn)評】本題考查整式的化簡求值，涉及整式運(yùn)算、整體代入求值等知識，熟練掌握整式運(yùn)算及整體代入

思想是解決問題的關(guān)鍵．

【變式4-3】數(shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想在求代數(shù)式的值時(shí)非常重要．例如：已知a2+2a=2，則代數(shù)式

2a2+4a+3=2a2+2a+3=2′2+3=7，-a2-2a=-a2+2a=-2．

請根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)若x2-3x=4，求1+2x2-6x的值；

(2)若整式3x2-6x+2的值是8，求整式-2x2+4x+5的值；

(3)當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式px3+qx-1的值是5，求當(dāng)x=-1時(shí)，多項(xiàng)式px3+qx-1的值．

【答案】(1)9

(2)1

(3)-7

【分析】（1）將1+2x2-6x變形為1+2x2-3x，再整體代入x2-3x=4，進(jìn)行計(jì)算即可；

2

（2）先由整式3x2-6x+2的值是8得到x2-2x=2，再將-2x2+4x+5變形為-2x-2x+5，整體代入

x2-2x=2，進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）先根據(jù)當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式px3+qx-1的值是5求出p+q=6，再將x=-1代入px3+qx-1得

-p+q-1，最后整體代入p+q=6，進(jìn)行計(jì)算即可．

2

【詳解】（1）解：Qx-3x=4，

\1+2x2-6x=1+2x2-3x=1+2′4=1+8=9；

2

（2）解：Q整式3x-6x+2的值是8，

\3x2-6x+2=8，

\x2-2x=2，

\-2x2+4x+5=-2x2-2x+5=-2′2+5=-4+5=1；

3

（3）解：Q當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式px+qx-1的值是5，

\p+q-1=5，

\p+q=6，

第8頁共25頁.

\當(dāng)x=-1時(shí)，

px3+qx-1=p′-13+q′-1-1=-p-q-1=-p+q-1=-6-1=-7．

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握整體代入的思想，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)5.利用“無關(guān)”進(jìn)行說理或求值

111

【例5】有這樣一道題“當(dāng)a＝2，b＝－2時(shí)，求多項(xiàng)式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－

244

2b2＋3的值”，馬小虎做題時(shí)把a(bǔ)＝2錯(cuò)抄成a＝－2，王小真沒抄錯(cuò)題，但他們做出的結(jié)果卻都一樣，你知

道這是怎么回事嗎？說明理由．

解析：先通過去括號、合并同類項(xiàng)對多項(xiàng)式進(jìn)行化簡，然后代入a，b的值進(jìn)行計(jì)算．

111111

解：3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－＋＋)a2b＋(1－2)b2

244244

＋b＋3＝b－b2＋3.因?yàn)樗缓凶帜竌，所以代數(shù)式的值與a的取值無關(guān)．

方法總結(jié)：解答此類題的思路就是把原式化簡，得到一個(gè)不含指定字母的結(jié)果，便可說明該式與指定字母

的取值無關(guān)．

【變式5-1】（2023秋?斗門區(qū)期末）（1）已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，A=8a+2b，B=5a-b，求A+B的

值．

（2）某位同學(xué)做一道題：已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，求A-2B的值．他誤將A-2B看成2A-B，求得結(jié)果

為3x2-3x+5，已知B=x2-x-1，求A-2B的正確答案．

【分析】（1）把A=8a+2b，B=5a-b代入A+B計(jì)算即可；

（2）先根據(jù)2A-B=3x2-3x+5，B=x2-x-1求出A的表達(dá)式，再求出A-2B的值即可．

【解答】解：（1）QA=8a+2b，B=5a-b，

\A+B

=8a+2b+5a-b

=13a+b；

22

（2）Q2A-B=3x-3x+5，B=x-x-1，

\2A=(3x2-3x+5)+(x2-x-1)

=4x2-4x+4，

\A=2x2-2x+2，

\A-2B=(2x2-2x+2)-2(x2-x-1)

=2x2-2x+2-2x2+2x+2

=4．

【點(diǎn)評】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)是解答此題的關(guān)鍵．

6

【變式5-2】．（2023秋?廣州期末）（1）已知A=-x+2y-4xy，B=-3x-y+xy．當(dāng)x+y=，xy=-1

7

第9頁共25頁.

時(shí)，求2A-3B的值．

（2）是否存在數(shù)m，使化簡關(guān)于x，y的多項(xiàng)式(mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)的結(jié)果中不含x2項(xiàng)？若

不存在，說明理由；若存在，求出m的值．

【分析】（1）先利用整式加減運(yùn)算法則化簡，再把x+y，xy看作一個(gè)整體，代入求值可得；

（2）直接利用整式的加減運(yùn)算法則合并同類項(xiàng)，進(jìn)而得出m-6=0，即可得出答案．

【解答】解：（1）2A-3B

=2(-x+2y-4xy)-3(-3x-y+xy)

=-2x+4y-8xy+9x+3y-3xy

=7x+7y-11xy，

6

當(dāng)x+y=，xy=-1時(shí)，

7

2A-3B

=7x+7y-11xy

=7(x+y)-11xy

6

=7′-11′(-1)

7

=6+11

=17；

（2）(mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)

=mx2-x2+3x+1-5x2+4y2-3x

=(m-6)x2+4y2+1，

22222

Q關(guān)于x，y的多項(xiàng)式(mx-x+3x+1)-(5x-4y+3x)化簡后結(jié)果中不含x項(xiàng)，

\m-6=0，

解得：m=6．

【點(diǎn)評】本題考查整式的加減—化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式5-3】．（2023秋?雨湖區(qū)期末）（1）數(shù)學(xué)趙老師布置了一道數(shù)學(xué)題：已知x=2023，求整式

2(x2-5x+1)-(-x+2x2-1)+9x的值，小涵觀察后提出：“已知x=2023是多余的．”你認(rèn)為小涵的說法對

嗎？請說明理由．

（2）已知整式A=2x2-3kx+x+1，整式A與整式B之差是3x2-2kx+x．

①求整式B；

②若k是常數(shù)，且A+2B的值與x無關(guān)，求k的值．

【分析】（1）將原式去括號，合并同類項(xiàng)后即可得出答案；

（2）①根據(jù)題意列式計(jì)算即可；

第10頁共25頁.

②根據(jù)題意列式計(jì)算后得到關(guān)于k的方程，解方程即可．

【解答】解：（1）小涵的說法對，理由如下：

2(x2-5x+1)-(-x+2x2-1)+9x

=2x2-10x+2+x-2x2+1+9x

=3，

即整式的值與x的取值無關(guān)，

故小涵的說法對；

（2）①B=2x2-3kx+x+1-(3x2-2kx+x)

=2x2-3kx+x+1-3x2+2kx-x

=-x2-kx+1，

即整式B為-x2-kx+1；

②A+2B

=2x2-3kx+x+1+2(-x2-kx+1)

=2x2-3kx+x+1-2x2-2kx+2

=(-5k+1)x+3，

?A+2B的值與x無關(guān)，

?-5k+1=0，

1

解得k=．

5

【點(diǎn)評】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

【變式5-4】．（2024春?鐵西區(qū)期中）【典例展示】

若關(guān)于x，y的代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān)，求a的值．

解：原式=ax-3x+3y-2y+4

=(a-3)x+y+4

Q代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān)，

\a-3=0，

\a=3．

【理解應(yīng)用】

已知A=(4x+3)(x-2)-x(1-3m)，B=x2+mx-1，且A-4B的值與x無關(guān)，求m的值；

【拓展延伸】

用6張長為a，寬為b的長方形紙片按照如圖所示的方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被

覆蓋的兩個(gè)部分，設(shè)左上角部分的面積為S1，右下角部分的面積為S2，當(dāng)AD的長度發(fā)生變化時(shí)，5S2-2S1

的值始終保持不變，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系．

第11頁共25頁.

【分析】【理解應(yīng)用】先計(jì)算A-4B可得到A-4B=(-6-m)x-2，根據(jù)題意可知x項(xiàng)的系數(shù)為0，據(jù)此即

可作答；

【拓展延伸】設(shè)AD=x，由圖可知S1=b(x-4a)=bx-4ab，S2=2a(x-b)=2ax-2ab，則

5S2-2S1=(-2b+10a)x-2ab，根據(jù)當(dāng)AD的長度發(fā)生變化時(shí)，5S2-2S1的值始終保持不變，所以5S2-2S1

的值與x的值無關(guān)，即-2b+10a=0，則問題得解．

22

【解答】解：【理解應(yīng)用】QA=(4x+3)(x-2)-x(1-3m)=4x-6x+3mx-6，B=x+mx-1，

\A-4B=(4x2-6x+3mx-6)-4(x2+mx-1)

=4x2-6x+3mx-6-4x2-4mx+4

=(-6-m)x-2，

QA-4B的值與x無關(guān)，

\-6-m=0，

\m=-6；

（2）設(shè)AD=x，

由圖可知S1=b(x-4a)=bx-4ab，S2=2a(x-b)=2ax-2ab，

則5S2-2S1=5(2ax-2ab)-2(bx-4ab)

=10ax-10ab-2bx+8ab

=(-2b+10a)x-2ab，

當(dāng)?shù)拈L度發(fā)生變化時(shí)，的值始終保持不變，

QAD5S2-2S1

\5S2-2S1的值與x的值無關(guān)，

\-2b+10a=0，

\b=5a．

【點(diǎn)評】本題主要考查了整式加減中的無關(guān)型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識，熟練掌握整式加

減乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)6.整式加減的應(yīng)用

【例6】某商店有一種商品每件成本a元，原來按成本增加b元定出售價(jià)，售出40件后，由于庫存積壓，

調(diào)整為按售價(jià)的80%出售，又銷售了60件．

(1)銷售100件這種商品的總售價(jià)為多少元？

(2)銷售100件這種商品共盈利多少元？

第12頁共25頁.

解析：(1)求出40件的售價(jià)與60件的售價(jià)即可確定出總售價(jià)；

(2)由利潤＝售價(jià)－成本列出關(guān)系式即可得到結(jié)果．

解：(1)根據(jù)題意得40(a＋b)＋60(a＋b)×80%＝88a＋88b(元)，則銷售100件這種商品的總售價(jià)為(88a＋

88b)元；

(2)根據(jù)題意得88a＋88b－100a＝－12a＋88b(元)，則銷售100件這種商品共盈利(－12a＋88b)元．

方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記去括號法則，熟練運(yùn)用合并同類項(xiàng)的法則．

【變式6-1】如圖，小紅家裝飾新家，小紅為自己的房間選擇了一款窗簾(陰影部分表示窗簾)，請你幫她計(jì)

算：

(1)窗戶的面積是多大？

(2)窗簾的面積是多大？

(3)掛上這種窗簾后，窗戶上還有多少面積可以射進(jìn)陽光．

bbb

解析：(1)窗戶的寬為b＋＋＝2b，長為a＋，根據(jù)長方形的面積計(jì)算方法求得答案即可；

222

b1b

(2)窗簾的面積是2個(gè)半徑為的圓的面積和一個(gè)直徑為b的半圓的面積的和，相當(dāng)于一個(gè)半徑為的

242

圓的面積；

(3)利用窗戶的面積減去窗簾的面積即可．

bbbb

解：(1)窗戶的面積是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2；

2222

b1

(2)窗簾的面積是π()2＝πb2；

24

11

(3)射進(jìn)陽光的面積是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.

44

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是看清圖意，正確利用面積計(jì)算公式列式即可．

【變式6-2】做大小兩個(gè)長方體紙盒，尺寸如下（單位：cm）:

長寬高

小紙盒abc

大紙盒1.5a2b2c

第13頁共25頁.

（1）做這兩個(gè)紙盒共用料多少平方厘米？

（2）做大紙盒比小紙盒多用料多少平方厘米？

解：（1）做這兩個(gè)紙盒共用料（單位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+8bc+6ca）=8ab+10bc+8ac.

（2）做大紙盒比做小紙盒多用料（單位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.

【變式6-3】．（2023秋?成武縣期末）已知三角形的第一條邊的長是a+2b，第二條邊長是第一條邊長的2

倍少3，第三條邊比第二條邊短5．

（1）用含a、b的式子表示這個(gè)三角形的周長；

（2）當(dāng)a=2，b=3時(shí)，求這個(gè)三角形的周長；

（3）當(dāng)a=4，三角形的周長為39時(shí)，求各邊長．

【分析】（1）根據(jù)題意表示出三角形的周長即可；

（2）把a(bǔ)與b的值代入計(jì)算即可求出值；

（3）根據(jù)周長求出各邊長即可．

【解答】解：（1）原式

=(a+2b)+[2(a+2b)-3]+[2(a+2b)-3-5]=a+2b+2a+4b-3+2a+4b-8=5a+10b-11；

（2）當(dāng)a=2，b=3時(shí)，原式=10+30-11=29；

（3）當(dāng)a=4時(shí)，5a+10b-11=39，20+10b-11=39，

則第一條邊為10，第二條邊為17，第三條邊為12．

【點(diǎn)評】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

【變式6-4】．（2023秋?社旗縣期末）如圖，為了方便學(xué)生停放自行車，學(xué)校建了一塊長邊靠墻的長方形

停車場，其他三面用護(hù)欄圍起，其中停車場的長為(3a+b)米，寬比長少(a-2b)米．

（1）用含a、b的代數(shù)式表示護(hù)欄的總長度；

（2）若a=30，b=5，每米護(hù)欄造價(jià)80元，求建此停車場所需護(hù)欄的費(fèi)用．

【分析】（1）先求出停車場的寬，然后再求出護(hù)欄的長度即可；

（2）把a(bǔ)=30，b=5代入求值即可．

【解答】解：（1）停車場的寬為：3a+b-(a-2b)=2a+3b米，

護(hù)欄的長度為：3a+b+2(2a+3b)=(7a+7b)米．

（2）當(dāng)a=30，b=5時(shí)，

(7a+7b)′80=7′(30+5)′80=19600（元)，

故建此停車場所需護(hù)欄的費(fèi)用是19600元．

第14頁共25頁.

【點(diǎn)評】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握去括號法則，合并同類項(xiàng)法則．

考點(diǎn)7.整式加減的拓展創(chuàng)新題

【例7】（2024春?高新區(qū)期末）對于一個(gè)三位自然數(shù)M，若它的百位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，十位數(shù)字比個(gè)

位數(shù)字多1，則稱M為“兒童數(shù)”．如：三位數(shù)721，Q7-1=6，2-1=1，\721是“兒童數(shù)”．

（1）請你寫出一個(gè)“兒童數(shù)”；(721除外）

（2）將721按照如下程序運(yùn)算：721交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字127，用大數(shù)721減去小數(shù)127得到差為

594，差594不為兩位數(shù)，594交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字495，用大數(shù)594減去小數(shù)495得到差為99，請你

用（1）中所寫“兒童數(shù)”按照程序計(jì)算結(jié)果；

（3）設(shè)任意一個(gè)“兒童數(shù)”，百位數(shù)字為(a+6)，十位數(shù)字為(a+1)，個(gè)位數(shù)字為a，按照（2）的程序列

式計(jì)算，并提出進(jìn)一步的猜想．

【分析】（1）根據(jù)“兒童數(shù)”的定義進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)所給的程序，對（1）的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算即可；

（3）結(jié)合（2）中的程序進(jìn)行運(yùn)算即可．

【解答】解：832，

Q8-2=6，3-2=1，

\832是“兒童數(shù)”，

故答案為：832（答案不唯一）；

（2）832-238=594，

594-495=99；

（3）猜想：任意一個(gè)“兒童數(shù)”根據(jù)（2）中的程序運(yùn)算，最后的結(jié)果為99．

100(a+6)+10(a+1)+a-[100a+10(a+1)+a+6]

=100a+600+10a+10+a-100a-10a-10-a-6

=594，

594-495=99，

故猜想成立．

【點(diǎn)評】本題主要考查整式的加減，代數(shù)式求值，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．

【變式7-1】（2023秋?北流市期末）我們定義：對于數(shù)對(a,b)，若a+b=ab，則(a,b)稱為“和積等數(shù)

333

對”．如：因?yàn)?+2=2′2，-3+=-3′，所以(2,2)，(-3,)都是“和積等數(shù)對”．

444

（1）下列數(shù)對中，是“和積等數(shù)對”的是；（填序號）

①(3,1.5)；

第15頁共25頁.

3

②(，1)；

4

11

③(-，)．

23

（2）若(-5,x)是“和積等數(shù)對”，求x的值；

（3）若(m,n)是“和積等數(shù)對”，求代數(shù)式4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2的值．

【分析】（1）根據(jù)“和積等數(shù)對”的定義即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)“和積等數(shù)對”的定義列方程即可得到結(jié)論；

（3）將原式去括號，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)新定義內(nèi)容列出等式并化簡，最后代入求值．

【解答】解：（1）Q3+1.5=3′1.5=4.5，

\數(shù)對(3,1.5)是“和積等數(shù)對”，

33

+11′1，

Q44

3

\(，1)不是“和積等數(shù)對”，

4

11111

-+=-′=-，

Q23236

11

\數(shù)對(-，)是“和積等數(shù)對”，

23

故答案為：①③；

（2）Q(-5,x)是“和積等數(shù)對”，

\-5+x=-5x，

5

解得：x=；

6

（3）4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2

=4mn+4m-8(mn-3)-6m2+4n+6m2

=4mn+4m-8mn+24-6m2+4n+6m2

=-4mn+4m+4n+24，

Q(m,n)是“和積等數(shù)對”

\m+n=mn，

\原式=-4mn+4(m+n)+24

=-4mn+4mn+24

=24．

【點(diǎn)評】本題屬于新定義內(nèi)容，考查解一元一次方程，整式的加減—化簡求值，理解“積差等數(shù)對”的定

義，掌握解一元一次方程的步驟以及合并同類項(xiàng)（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運(yùn)算法則（括

第16頁共25頁.

號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“-”號，去掉“-”號和括

號，括號里的各項(xiàng)都變號）是解題關(guān)鍵．

【變式7-2】（2023秋?章貢區(qū)期末）給出定義如下：我們稱使等式a-b=ab+1的成立的一對有理數(shù)a，b

為“相伴有理數(shù)對”，記為(a,b)．

112212

如：3-=3′+1，5-=5′+1，所以數(shù)對(3,)，(5,)都是“相伴有理數(shù)對”．

223323

11

（1）數(shù)對(-2,)，(-，-3)中，是“相伴有理數(shù)對”的是；

32

（2）若(x+1,5)是“相伴有理數(shù)對”，則x的值是；

1

（3）若(a,b)是“相伴有理數(shù)對”，求3ab-a+(a+b-5ab)+1的值．

2

11

【分析】（1）根據(jù)題意，分別將a=-2，b=和a=-，b=-3代入a-b=ab+1中即可求解；

32

（2）將a=x+1，b=5代入a-b=ab+1中即可求解；

1

（3）先將3ab-a+(a+b-5ab)+1進(jìn)行化簡，再將a-b=ab+1變形后整體代入即可求解．

2

【解答】解：（1）由題意可得：

1

當(dāng)a=-2，b=時(shí)，

3

17

a-b=-2-=-，

33

11

ab+1=-2′+1=，

33

則a-b1ab+1，

1

所以(-2,)不是“相伴有理數(shù)對”，

3

1

當(dāng)a=-，b=-3時(shí)，

2

115

a-b=--(-3)=-+3=，

222

15

ab+1=-′(-3)+1=，

22

則a-b=ab+1，

1

所以(-，-3)是“相伴有理數(shù)對”，

2

111

所以數(shù)對(-2,)，(-，-3)中，是“相伴有理數(shù)對”的是(-，-3)，

322

1

故答案為：(-，-3)；

2

第17頁共25頁.

（2）Q(x+1,5)是“相伴有理數(shù)對”，

\x+1-5=(x+1)′5+1，

5

解得x=-，

2

5

故答案為：-；

2

1

（3）3ab-a+(a+b-5ab)+1

2

115

=3ab-a+a+b-ab+1

222

111

=ab-a+b+1

222

11

=ab-(a-b)+1，

22

Qa-b=ab+1，

11

\原式=ab-(ab+1)+1

22

111

=ab-ab-+1

222

1

=．

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了整式的化簡求值和有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意掌握去括號法則和合并同類項(xiàng)法

則以及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用了整體代入的數(shù)學(xué)思想．

【變式7-3】（2023秋?播州區(qū)期末）對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位數(shù)，若它百位上的數(shù)字比十

位上的數(shù)字大m(m為正整數(shù)），十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大m，則稱這個(gè)三位數(shù)為關(guān)于m的“遞差

數(shù)”．

例如：三位數(shù)531，因?yàn)?-3=2，3-1=2，所以531是關(guān)于2的“遞差數(shù)”

三位數(shù)987，因?yàn)?-8=1，8-7=1，所以987是關(guān)于1的“遞差數(shù)”

（1）判斷三位數(shù)741是否為m的“遞差數(shù)”，若是，求出m的值；若不是，請說明理由．

（2）若有一個(gè)三位數(shù)是關(guān)于m的“遞差數(shù)”，其百位上的數(shù)字為x，將其個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字交

換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，求原三位數(shù)與新三位數(shù)的和．（用含m，x的整式表示）．

（3）若（2）中求得的和能被5整除，直接寫出滿足條件的關(guān)于m的“遞差數(shù)”．

【分析】（1）據(jù)新定義，三位數(shù)741，7-4=3，4-1=3，符合新定義，

（2）寫出原來的三位數(shù)，交換后的三位數(shù)，原三位數(shù)和新三位數(shù)之和，化簡即可．

（3）x的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中m是正整數(shù)，所以x…3，逐個(gè)進(jìn)行判斷．

【解答】解：（1）根據(jù)新定義，三位數(shù)741，

Q7-4=3，4-1=3，

第18頁共25頁.

符合新定義，故741是關(guān)于3的“遞差數(shù)”．

故m為3．

（2）原來的三位數(shù)：

x(x-m)(x-2m)

=100x+10(x-m)+(x-2m)

=111x-12m．

交換后的三位數(shù)：

(x-2m)(x-m)x

=100(x-2m)+10(x-m)+x

=111x-210m．

原三位數(shù)和新三位數(shù)之和：

111x-12m+111x-210m

=222x-222m．

答：原三位數(shù)和新三位數(shù)之和222x-222m．

（3）x的取值1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中m是正整數(shù)，所以x…3．

①當(dāng)x=3時(shí)，

222x-222m=666-222m，不符合題意．

②當(dāng)x=4時(shí)，

222x-222m=888-222m，不符合題意．

③當(dāng)x=5時(shí)，

222x-222m=1110-222m，不符合題意．

④當(dāng)x=6時(shí)，

222x-222m=1332-222m，當(dāng)m=1時(shí)，1332-222m=1100，符合題意．

⑤當(dāng)x=7時(shí)，

222x-222m=1554-222m，當(dāng)m=2時(shí)，1554-222m=1100，符合題意．

⑥當(dāng)x=8時(shí)，

222x-222m=1776-222m，當(dāng)m=3時(shí)，1776-222m=1100，符合題意．

⑦當(dāng)x=9時(shí)，

222x-222m=1998-222m，當(dāng)m=4時(shí)，1998-222m=1100，符合題意．

答：綜上所述：

當(dāng)x=6，m=1時(shí)，遞差數(shù)為654．

當(dāng)x=7，m=2時(shí)，遞差數(shù)為753．

當(dāng)x=8，m=3時(shí)，遞差數(shù)為852．

當(dāng)x=9，m=4時(shí)，遞差數(shù)為951．

第19頁共25頁.

【點(diǎn)評】本題考查了整式的加減以及乘除的概念結(jié)合的新定義問題，解決新定義題關(guān)鍵在于結(jié)合題意理清

題意．

一．選擇題（共5小題）

1．（2023秋?青龍縣期末）化簡a-(b-c)正確的是()

A．a(chǎn)-b+cB．a(chǎn)-b-cC．a(chǎn)+b-cD．a(chǎn)+b+c

【