第13講 整式的加減（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）原卷版

第13講整式的加減（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.掌握去括號(hào)法則,能準(zhǔn)確地去括號(hào)

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.會(huì)通過去括號(hào)、合并同類項(xiàng)將整式化簡

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三3.能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算:

模塊四小試牛刀過關(guān)測4.會(huì)運(yùn)用整式加減解決簡單的實(shí)際問題

知識(shí)點(diǎn)1.去括號(hào)（難點(diǎn)）

去括號(hào)法則

如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；

如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反．

要點(diǎn)歸納：

(1)去括號(hào)法則實(shí)際上是根據(jù)乘法分配律推出的：當(dāng)括號(hào)前為“+”號(hào)時(shí)，可以看作+1與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)相

乘；當(dāng)括號(hào)前為“-”號(hào)時(shí)，可以看作-1與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)相乘．

（2）去括號(hào)時(shí)，首先要弄清括號(hào)前面是“+”號(hào)，還是“-”號(hào)，然后再根據(jù)法則去掉括號(hào)及前面的符號(hào)．

(3)對于多重括號(hào)，去括號(hào)時(shí)可以先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，也可以先去中括號(hào)．再去小括號(hào)．但是一定

要注意括號(hào)前的符號(hào)．

（4）去括號(hào)只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項(xiàng)式的恒等變形．

知識(shí)點(diǎn)2.整式的加減（重點(diǎn)）

一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)．

要點(diǎn)歸納：

（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號(hào)；②再合并同類項(xiàng)．

（2）兩個(gè)整式相減時(shí)，減數(shù)一定先要用括號(hào)括起來．

(3)整式加減的最后結(jié)果的要求：①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母

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的降冪或升冪排列；③不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)．

易錯(cuò)點(diǎn)1.去括號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤

去括號(hào)時(shí),括號(hào)前面是“_”號(hào)時(shí),常忘記改變括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào),出現(xiàn)錯(cuò)誤;或者括號(hào)前有數(shù)字因數(shù),去括號(hào)時(shí)

沒把數(shù)字因數(shù)與括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)相乘出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象,只有嚴(yán)格按照去括號(hào)法則運(yùn)算,才可能避免上述錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)2.進(jìn)行整式加減時(shí)忽略括號(hào)的作用

在多項(xiàng)式加法運(yùn)算中，整式可以不加括號(hào),在多項(xiàng)式減法運(yùn)算中,被減式可以不加括號(hào)，但減式必須加上括號(hào)

考點(diǎn)1.去括號(hào)

【例1】下列去括號(hào)正確嗎？如有錯(cuò)誤，請改正．

(1)＋(－a－b)＝a－b；

(2)5x－(2x－1)－xy＝5x－2x＋1＋xy；

(3)3xy－2(xy－y)＝3xy－2xy－2y；

(4)(a＋b)－3(2a－3b)＝a＋b－6a＋3b.

【變式1-1】（2024?翔安區(qū)二模）-2(a-2b)去括號(hào)的結(jié)果是()

A．-2a+2bB．-2a-2bC．-2a+4bD．-2a-4b

【變式1-2】（2024?涼州區(qū)二模）下列去括號(hào)正確的是()

A．3(2x+3y)=6x+3yB．-0.5(1-2x)=-0.5+x

1

C．-2(x-y)=-x-2yD．-(2x2-x+1)=-2x2+x

2

【變式1-3】去掉下列各式中的括號(hào)：

(1).8m-(3n+5)；(2).n-4(3-2m)；(3).2(a-2b)-3(2m-n).

考點(diǎn)2.去括號(hào)后進(jìn)行整式的化簡

【例2】先去括號(hào)，后合并同類項(xiàng)：

1211

(1)x＋[－x－2(x－2y)]；(2)a－(a＋b2)＋3(－a＋b2)；

2323

(3)2a－(5a－3b)＋3(2a－b)；(4)－3{－3[－3(2x＋x2)－3(x－x2)－3]}．

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【變式2-1】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）化簡：

（1）a+-3b-2a=；

（2）x+2y--2x-y=．

【變式2-2】化簡：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)．

【變式2-3】（2023秋?長葛市期中）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)

（）（）22

12(2b-3a)+3(2a-3b)24a+2(3ab-2a)-(7ab-1)

考點(diǎn)3.整式的化簡求值

11313

【例3】化簡求值：a－2(a－b2)－(a＋b2)＋1，其中a＝2，b＝－.

23232

1

【變式3-1】先化簡，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－(4xy2－2x2y)]＋2x2y－xy2.

2

11

【變式3-2】（2023秋?襄城區(qū)期末）先化簡，再求值：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)，其中a=，b=．

23

11

【變式3-3】（2024?望城區(qū)一模）先化簡，再求值：-2(a2b-ab2+b2)+(2a2b-3ab2)，其中a=1，

42

b=-2．

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考點(diǎn)4.整體思想在整式求值中應(yīng)用

【例4】已知式子x2－4x＋1的值是3，求式子3x2－12x－1的值．

【變式4-1】．（2024春?道里區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)呈現(xiàn)】我們可把5(x-2y)-3(x-2y)+8(x-2y)-4(x-2y)

中的“x-2y”看成一個(gè)字母a，使這個(gè)代數(shù)式簡化為5a-3a+8a-4a，“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中

的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．在數(shù)學(xué)中，常常用這樣的方法把復(fù)雜

的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題．

【解決問題】

（1）上面【知識(shí)呈現(xiàn)】中的問題的化簡結(jié)果為；（用含x、y的式子表示）

（2）若代數(shù)式x2+x+1的值為3，求代數(shù)式2x2+2x-5的值為；

【靈活運(yùn)用】應(yīng)用【知識(shí)呈現(xiàn)】中的方法解答下列問題：

（3）已知a-2b=7，2b-c的值為最大的負(fù)整數(shù)，求3a+4b-2(3b+c)的值．

【變式4-2】．（2023秋?南召縣期末）【教材呈現(xiàn)】“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法，它

在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．下題是華師版七年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材第117頁的部分內(nèi)容．

代數(shù)式x2+x+3的值為7，則代數(shù)式2x2+2x-3的值為_____．

【閱讀理解】小明在做作業(yè)時(shí)采用的方法如下：由題意得，x2+x+3=7則有x2+x=4，

2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2′4-3=5，所以代數(shù)式2x2+2x-3的值為5．

【方法運(yùn)用】

（1）若代數(shù)式x2+x+1的值為15，求代數(shù)式-2x2-2x+3的值．

（2）若x=2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+4的值為11，當(dāng)x=-2時(shí)，求代數(shù)式ax3+bx+3的值．

【拓展應(yīng)用】

（3）若3m-4n=-3，mn=-1．求6(m-n)-2(n-mn)的值．

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【變式4-3】數(shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想在求代數(shù)式的值時(shí)非常重要．例如：已知a2+2a=2，則代數(shù)式

2a2+4a+3=2a2+2a+3=2′2+3=7，-a2-2a=-a2+2a=-2．

請根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)若x2-3x=4，求1+2x2-6x的值；

(2)若整式3x2-6x+2的值是8，求整式-2x2+4x+5的值；

(3)當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式px3+qx-1的值是5，求當(dāng)x=-1時(shí)，多項(xiàng)式px3+qx-1的值．

考點(diǎn)5.利用“無關(guān)”進(jìn)行說理或求值

111

【例5】有這樣一道題“當(dāng)a＝2，b＝－2時(shí)，求多項(xiàng)式3a3b3－a2b＋b－(4a3b3－a2b－b2)＋(a3b3＋a2b)－

244

2b2＋3的值”，馬小虎做題時(shí)把a(bǔ)＝2錯(cuò)抄成a＝－2，王小真沒抄錯(cuò)題，但他們做出的結(jié)果卻都一樣，你知

道這是怎么回事嗎？說明理由．

【變式5-1】（2023秋?斗門區(qū)期末）（1）已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，A=8a+2b，B=5a-b，求A+B的

值．

（2）某位同學(xué)做一道題：已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B，求A-2B的值．他誤將A-2B看成2A-B，求得結(jié)果

為3x2-3x+5，已知B=x2-x-1，求A-2B的正確答案．

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6

【變式5-2】．（2023秋?廣州期末）（1）已知A=-x+2y-4xy，B=-3x-y+xy．當(dāng)x+y=，xy=-1

7

時(shí)，求2A-3B的值．

（2）是否存在數(shù)m，使化簡關(guān)于x，y的多項(xiàng)式(mx2-x2+3x+1)-(5x2-4y2+3x)的結(jié)果中不含x2項(xiàng)？若

不存在，說明理由；若存在，求出m的值．

【變式5-3】．（2023秋?雨湖區(qū)期末）（1）數(shù)學(xué)趙老師布置了一道數(shù)學(xué)題：已知x=2023，求整式

2(x2-5x+1)-(-x+2x2-1)+9x的值，小涵觀察后提出：“已知x=2023是多余的．”你認(rèn)為小涵的說法對

嗎？請說明理由．

（2）已知整式A=2x2-3kx+x+1，整式A與整式B之差是3x2-2kx+x．

①求整式B；

②若k是常數(shù)，且A+2B的值與x無關(guān)，求k的值．

【變式5-4】．（2024春?鐵西區(qū)期中）【典例展示】

若關(guān)于x，y的代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān)，求a的值．

解：原式=ax-3x+3y-2y+4

=(a-3)x+y+4

Q代數(shù)式ax+3y-3x-2y+4的值與x無關(guān)，

\a-3=0，

\a=3．

【理解應(yīng)用】

已知A=(4x+3)(x-2)-x(1-3m)，B=x2+mx-1，且A-4B的值與x無關(guān)，求m的值；

【拓展延伸】

用6張長為a，寬為b的長方形紙片按照如圖所示的方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被

覆蓋的兩個(gè)部分，設(shè)左上角部分的面積為S1，右下角部分的面積為S2，當(dāng)AD的長度發(fā)生變化時(shí)，5S2-2S1

的值始終保持不變，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系．

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考點(diǎn)6.整式加減的應(yīng)用

【例6】某商店有一種商品每件成本a元，原來按成本增加b元定出售價(jià)，售出40件后，由于庫存積壓，

調(diào)整為按售價(jià)的80%出售，又銷售了60件．

(1)銷售100件這種商品的總售價(jià)為多少元？

(2)銷售100件這種商品共盈利多少元？

【變式6-1】如圖，小紅家裝飾新家，小紅為自己的房間選擇了一款窗簾(陰影部分表示窗簾)，請你幫她計(jì)

算：

(1)窗戶的面積是多大？

(2)窗簾的面積是多大？

(3)掛上這種窗簾后，窗戶上還有多少面積可以射進(jìn)陽光．

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【變式6-2】做大小兩個(gè)長方體紙盒，尺寸如下（單位：cm）:

長寬高

小紙盒abc

大紙盒1.5a2b2c

（1）做這兩個(gè)紙盒共用料多少平方厘米？

（2）做大紙盒比小紙盒多用料多少平方厘米？

【變式6-3】．（2023秋?成武縣期末）已知三角形的第一條邊的長是a+2b，第二條邊長是第一條邊長的2

倍少3，第三條邊比第二條邊短5．

（1）用含a、b的式子表示這個(gè)三角形的周長；

（2）當(dāng)a=2，b=3時(shí)，求這個(gè)三角形的周長；

（3）當(dāng)a=4，三角形的周長為39時(shí)，求各邊長．

【變式6-4】．（2023秋?社旗縣期末）如圖，為了方便學(xué)生停放自行車，學(xué)校建了一塊長邊靠墻的長方形

停車場，其他三面用護(hù)欄圍起，其中停車場的長為(3a+b)米，寬比長少(a-2b)米．

（1）用含a、b的代數(shù)式表示護(hù)欄的總長度；

（2）若a=30，b=5，每米護(hù)欄造價(jià)80元，求建此停車場所需護(hù)欄的費(fèi)用．

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考點(diǎn)7.整式加減的拓展創(chuàng)新題

【例7】（2024春?高新區(qū)期末）對于一個(gè)三位自然數(shù)M，若它的百位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，十位數(shù)字比個(gè)

位數(shù)字多1，則稱M為“兒童數(shù)”．如：三位數(shù)721，Q7-1=6，2-1=1，\721是“兒童數(shù)”．

（1）請你寫出一個(gè)“兒童數(shù)”；(721除外）

（2）將721按照如下程序運(yùn)算：721交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字127，用大數(shù)721減去小數(shù)127得到差為

594，差594不為兩位數(shù)，594交換百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字495，用大數(shù)594減去小數(shù)495得到差為99，請你

用（1）中所寫“兒童數(shù)”按照程序計(jì)算結(jié)果；

（3）設(shè)任意一個(gè)“兒童數(shù)”，百位數(shù)字為(a+6)，十位數(shù)字為(a+1)，個(gè)位數(shù)字為a，按照（2）的程序列

式計(jì)算，并提出進(jìn)一步的猜想．

【變式7-1】（2023秋?北流市期末）我們定義：對于數(shù)對(a,b)，若a+b=ab，則(a,b)稱為“和積等數(shù)

333

對”．如：因?yàn)?+2=2′2，-3+=-3′，所以(2,2)，(-3,)都是“和積等數(shù)對”．

444

（1）下列數(shù)對中，是“和積等數(shù)對”的是；（填序號(hào)）

①(3,1.5)；

3

②(，1)；

4

11

③(-，)．

23

（2）若(-5,x)是“和積等數(shù)對”，求x的值；

（3）若(m,n)是“和積等數(shù)對”，求代數(shù)式4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2的值．

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【變式7-2】（2023秋?章貢區(qū)期末）給出定義如下：我們稱使等式a-b=ab+1的成立的一對有理數(shù)a，b

為“相伴有理數(shù)對”，記為(a,b)．

112212

如：3-=3′+1，5-=5′+1，所以數(shù)對(3,)，(5,)都是“相伴有理數(shù)對”．

223323

11

（1）數(shù)對(-2,)，(-，-3)中，是“相伴有理數(shù)對”的是；

32

（2）若(x+1,5)是“相伴有理數(shù)對”，則x的值是；

1

（3）若(a,b)是“相伴有理數(shù)對”，求3ab-a+(a+b-5ab)+1的值．

2

【變式7-3】（2023秋?播州區(qū)期末）對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位數(shù)，若它百位上的數(shù)字比十

位上的數(shù)字大m(m為正整數(shù)），十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大m，則稱這個(gè)三位數(shù)為關(guān)于m的“遞差

數(shù)”．

例如：三位數(shù)531，因?yàn)?-3=2，3-1=2，所以531是關(guān)于2的“遞差數(shù)”

三位數(shù)987，因?yàn)?-8=1，8-7=1，所以987是關(guān)于1的“遞差數(shù)”

（1）判斷三位數(shù)741是否為m的“遞差數(shù)”，若是，求出m的值；若不是，請說明理由．

（2）若有一個(gè)三位數(shù)是關(guān)于m的“遞差數(shù)”，其百位上的數(shù)字為x，將其個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字交

換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，求原三位數(shù)與新三位數(shù)的和．（用含m，x的整式表示）．

（3）若（2）中求得的和能被5整除，直接寫出滿足條件的關(guān)于m的“遞差數(shù)”．

一．選擇題（共5小題）

1．（2023秋?青龍縣期末）化簡a-(b-c)正確的是()

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A．a(chǎn)-b+cB．a(chǎn)-b-cC．a(chǎn)+b-cD．a(chǎn)+b+c

2．（2024?臨夏州一模）如圖，長方形的長是3a，寬是2a-b，則長方形的周長是()

A．10a-2bB．10a+2bC．6a-2bD．10a-b

3．（2023秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）下列去括號(hào)所得結(jié)果正確的是()

A．x2-(2x-1)=x2-2x-1B．x2-(-2x+1)=x2-2x-1

C．x2-(-2x-1)=x2+2x+1D．x2-(2x+1)=x2-2x+1

4．（2023秋?游仙區(qū)期末）若x-2y=3，則2(x-2y)-x+2y-5的值是()

A．-2B．2C．4D．-4

5．（2023秋?仙居縣期末）若A=x2y+2x+3，B=-2x2y+4x，則2A-B=()

A．3B．6C．4x2y+6D．4x2y+3

二．填空題（共7小題）

6．（2024?涼州區(qū)二模）多項(xiàng)式36x2-3x+5與3x3+12mx2-5x+7相加后，不含二次項(xiàng)，則常數(shù)m的值是．

7．（2023秋?炎陵縣期末）去括號(hào)，合并同類項(xiàng)得：2a-(2a-1)=．

8．（2023秋?曾都區(qū)期末）-[a-(b-c)]去括號(hào)應(yīng)得．

9．（2023秋?陽新縣期末）已知|a|=3，|b|=5，且滿足ab<0，則2023(a-b)-2024(a-b)=．

10．（2024春?靖江市校級(jí)月考）化簡：5x-2(x-3y)=．

11．（2023秋?高安市期末）已知a+b=2024，