第09講 一起串起有理數(shù)（人教版）（解析版）

第09講一起串起有理數(shù)

【人教版】

·模塊一有理數(shù)與數(shù)軸

·模塊二相反數(shù)與數(shù)軸

·模塊三絕對值與數(shù)軸

·模塊四利用數(shù)軸探究問題

·模塊五課后作業(yè)

模塊一有理數(shù)與數(shù)軸

【例1.1】（2023七年級·遼寧大連·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是()

A．?dāng)?shù)軸上一個(gè)點(diǎn)可以表示兩個(gè)不同的有理數(shù)

B．?dāng)?shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)

C．有的有理數(shù)不能表示在數(shù)軸上，如－0.00005

D．任何一個(gè)有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到和它對應(yīng)的唯一的一個(gè)點(diǎn)

【答案】D

【詳解】選項(xiàng)A,數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)只能表示一個(gè)有理數(shù).A錯(cuò).

選項(xiàng)B，任何一個(gè)有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到和它對應(yīng)的唯一的一個(gè)點(diǎn).B錯(cuò).

選項(xiàng)C，任何一個(gè)有理數(shù)都可在數(shù)軸上找到和它對應(yīng)的唯一的一個(gè)點(diǎn)，C錯(cuò).

選項(xiàng)D,正確，所以選D.

【例1.2】（2023七年級·山西太原·階段練習(xí)）在方框中畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：2.5，4，?3，

1

?1，，回答問題：

20

(1)這5個(gè)數(shù)中表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點(diǎn)之間相距________個(gè)單位；

(2)將上面各數(shù)用“<”連接．

【答案】(1)數(shù)軸見詳解，7

1

?3<?1<0<2.5<4

(2)2

第1頁共29頁.

【分析】（1）畫出數(shù)軸，利用數(shù)軸確定表示各數(shù)的點(diǎn)的位置，結(jié)合數(shù)軸即可獲得答案；

（2）根據(jù)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大用“<”將各數(shù)連接即可．

【詳解】（1）解：畫出數(shù)軸如下：

結(jié)合數(shù)軸，可知這5個(gè)數(shù)中表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點(diǎn)之間相距7個(gè)單位．

故答案為：7；

（2）將各數(shù)用“<”連接如下：

1

?3<?1<0<2.5<4．

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的知識，解題關(guān)鍵是正確確定表示各數(shù)的點(diǎn)的位置．

【例】（七年級浙江嘉興期中）如圖，圓的半徑為2個(gè)單位長度．?dāng)?shù)軸上每個(gè)數(shù)字之間的距離為

1.32023··π1

個(gè)單位長度，在圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上點(diǎn)A，B，C，D．先讓圓周上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示-1的點(diǎn)重合．

(1)圓的周長為多少？

(2)若該圓在數(shù)軸上向右滾動(dòng)2周后，則與點(diǎn)A重合的點(diǎn)表示的數(shù)為多少？

(3)若將數(shù)軸按照順時(shí)針方向繞在該圓上，（如數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)與點(diǎn)B重合，數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與點(diǎn)C重

合…），那么數(shù)軸上表示-2018的點(diǎn)與圓周上哪個(gè)點(diǎn)重合？

【答案】(1)4個(gè)單位長度；(2)7；(3)表示-2018的點(diǎn)是第505個(gè)循環(huán)組的第2個(gè)數(shù)D重合．

【分析】圓的周長公式計(jì)算即可.

根據(jù)（1）得圓的一圈周長，滾動(dòng)2周后點(diǎn)A重合的點(diǎn)也可求出.

由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán),根據(jù)此規(guī)律即可求解.

【詳解】圓的周長2個(gè)單位長度；

(1)=2π?π=4

(2)若該圓在數(shù)軸上向右滾動(dòng)2周后，點(diǎn)A需要滾動(dòng)8個(gè)單位長度，此時(shí)與點(diǎn)A重合的點(diǎn)表示的數(shù)為：

8-1=7；

(3)由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

第2頁共29頁.

∵2018÷4=504…2，

∴表示-2018的點(diǎn)是第505個(gè)循環(huán)組的第2個(gè)數(shù)D重合．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓和數(shù)軸綜合題，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想.

【變式1.1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）閱讀理解：數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點(diǎn)表示的數(shù)進(jìn)行減

法運(yùn)算得到，如圖，線段??=2=3?1；線段??=3=1?(?2)．

問題：

(1)數(shù)軸上點(diǎn)M、N代表的數(shù)分別為10和3，則線段??=___________；

(2)數(shù)軸上點(diǎn)E、F代表的數(shù)分別為3和?1，則線段??=___________；

(3)數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為5，其中一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為12，求另一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)．

【答案】(1)7

(2)4

(3)另一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為17或7

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解即可；

（2）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解即可；

（3）分兩種情況討論，當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在表示12的點(diǎn)的右側(cè)或當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在表示12的點(diǎn)的左側(cè)，再根據(jù)數(shù)軸

上兩點(diǎn)間的距離求解即可．

【詳解】（1）解：數(shù)軸上點(diǎn)M、N代表的數(shù)分別為10和3，則線段??=10?3=7，

故答案為：7；

（2）解：數(shù)軸上點(diǎn)E、F代表的數(shù)分別為3和?1，則線段??=3?(?1)=3+1=4，

故答案為：4；

（3）解：由題可得：①當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在表示12的點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，12+5=17；

②當(dāng)另一個(gè)點(diǎn)在表示12的點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，12?5=7，

綜上，另一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為17或7．

【變式1.2】（2023七年級·遼寧大連·階段練習(xí)）數(shù)軸上有一點(diǎn)Q，若一只螞蟻從點(diǎn)Q出發(fā)，爬了3個(gè)單位

長度到了原點(diǎn)，則點(diǎn)Q所表示的數(shù)是（）

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A．3B．?3C．±3D．±6

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，分點(diǎn)Q在原點(diǎn)左邊與右邊兩種情況討論求解．

【詳解】解：若點(diǎn)Q在原點(diǎn)左邊，則點(diǎn)Q表示?3，

若點(diǎn)Q在原點(diǎn)右邊，則點(diǎn)Q表示3，

所以點(diǎn)Q表示±3．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，難點(diǎn)在于要分點(diǎn)Q在原點(diǎn)的左右兩邊兩種情況．

【變式1.3】（2023七年級·上?！ｎ}練習(xí)）（1）在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù)，并用小于號連接下列各數(shù)．

1

?3，+1，2，?1.5

2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：．

1

【答案】（）見解析；?3<?1.5<+1<2；（）負(fù)有理數(shù)

122

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，比較數(shù)的大小，掌握數(shù)軸上的

點(diǎn)表示數(shù)是解題的關(guān)鍵．

（1）首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)，然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的

數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“<”號連接起來即可；

（2）根據(jù)數(shù)軸的特征，在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示負(fù)有理數(shù)．

【詳解】解：（1）數(shù)軸表示如下：

．

1

?3<?1.5<+1<2．

∴2

（2）在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示什么樣的有理數(shù)？答：負(fù)有理數(shù)．

故答案為：負(fù)有理數(shù)．

模塊二相反數(shù)與數(shù)軸

【例2.1】（2023·甘肅隴南·三模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A的相反數(shù)是（）

第4頁共29頁.

A．?2B．?1C．1D．2

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知點(diǎn)A表示的數(shù)是2，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得到答案．

本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

【詳解】由數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是2，2的相反數(shù)是?2，

故選：A．

【例2.2】（2023七年級·福建福州·期末）如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上的四個(gè)點(diǎn)，已知a，b均為有理數(shù)，

且?+?=0，則它們在數(shù)軸上的位置不可能落在（）

A．線段??上B．線段??上C．線段??上D．線段??上

【答案】A

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸可知a，b位于原點(diǎn)兩側(cè)，據(jù)此即可求解．

【詳解】解：∵a，b均為有理數(shù)，且?+?=0，

∴a，b位于原點(diǎn)兩側(cè)，

∴a，b在數(shù)軸上的位置不可能落在線段??上．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

【例2.3】（2023七年級·陜西商洛·期末）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出了7個(gè)點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，已知

點(diǎn)A表示?4，點(diǎn)?表示8．

(1)點(diǎn)?表示的有理數(shù)是______，表示原點(diǎn)的是點(diǎn)______．

(2)圖中哪些點(diǎn)表示的有理數(shù)互為相反數(shù)？

(3)圖中的數(shù)軸上另有點(diǎn)?到A點(diǎn)，點(diǎn)?距離之和為13，求點(diǎn)?表示的有理數(shù)．

【答案】(1)?2，C

(2)B和D，A和E，

(3)?4.5或8.5

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【分析】本題考查了數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

（1）根據(jù)??=8?(?4)=12，12÷6=2，可知圖中相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是2個(gè)單位長度，則后邊的

點(diǎn)表示的數(shù)總是比前邊相鄰的點(diǎn)表示的數(shù)大2，據(jù)此即可判斷；

（2）根據(jù)相反數(shù)的幾何意義可知，原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)互為相反數(shù)，即可解答；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式??+??=13，設(shè)M表示的數(shù)是x，分類討論即可求解．

【詳解】（1）解：∵??=8?(?4)=12，12÷6=2，

∴圖中相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是2個(gè)單位長度，

則B表示：?4+2=?2，C表示?2+2=0，是原點(diǎn)．

故答案為：?2，C；

（2）解：由（1）可知C為原點(diǎn)，且相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，

∴B和D，A和E，分別互為相反數(shù)；

故答案為：B和D，A和E，

（3）解：∵??=8?(?4)=12，

∴M不在線段??上，設(shè)M表示的數(shù)是x，

當(dāng)M在A的左邊時(shí)：?4??+(8??)=13，解得?=?4.5；

當(dāng)M在G的右側(cè)時(shí)：(?+4)+(??8)=13，解得?=8.5，

則M點(diǎn)表示：?4.5或8.5．

故答案為：?4.5或8.5．

【變式2.1】（2023七年級·陜西西安·期中）小明在一張紙面上畫了一條數(shù)軸（原點(diǎn)未標(biāo)出），有理數(shù)a，

b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)c的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，表示數(shù)b與??的點(diǎn)相距

個(gè)單位長度，若表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的1，則的值為（）

30ab3c

A．?2B．?10C．?6D．?5

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，相反數(shù)的定義，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題

意得出?與?互為相反數(shù)，?與??互為相反數(shù)，再根據(jù)表示數(shù)?與??的點(diǎn)相距30個(gè)單位長度即可求出表示數(shù)?

1

的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，再根據(jù)表示數(shù)?的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是表示數(shù)?的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的求出?的值，從而

153

第6頁共29頁.

求出?的值．

【詳解】解：∵表示數(shù)?的點(diǎn)與表示數(shù)?的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，

∴?與?互為相反數(shù)，即原點(diǎn)在?、?之間，如圖，

∵?與??互為相反數(shù)，且表示數(shù)?與??的點(diǎn)相距30個(gè)單位長度，

∴表示數(shù)?的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為15，

1

∵表示數(shù)?的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是表示數(shù)?的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的，

3

1

∴?=×15=5，

3

∴?=?5，

故選：D．

【變式2.2】（2023七年級·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，四個(gè)有理數(shù)?，?，?，?在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為

?，?，?，?，若?+?=0，則?，?，?，?四個(gè)數(shù)中負(fù)數(shù)有（）個(gè)

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】本題主要考查了數(shù)軸和正負(fù)數(shù)，先根據(jù)相反數(shù)的意義，確定原點(diǎn)，再根據(jù)各數(shù)在原點(diǎn)的位置確定

數(shù)的正負(fù)，根據(jù)相反數(shù)的意義確定原點(diǎn)的位置是解決本題的關(guān)鍵．

【解答】解：∵?+?=0，

∴?與?互為相反數(shù)，

∴原點(diǎn)為?，如圖：

則在原點(diǎn)左側(cè)的數(shù)有三個(gè)，

即?，?，?，?四個(gè)數(shù)中負(fù)數(shù)有3個(gè)．

故選：C．

【變式2.3】（2023七年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）若表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的距離為

16個(gè)單位長度，點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸先向右運(yùn)動(dòng)2秒，再向左運(yùn)動(dòng)5秒到達(dá)點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單

位長度，則點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為．

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【答案】2或?14

【分析】本題考查了數(shù)軸，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到點(diǎn)?表示的數(shù)為±8，于是求出點(diǎn)?

運(yùn)動(dòng)的距離為2×(5?2)=6，即可得到答案．

【詳解】解：∵表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的距離為16個(gè)單位長度，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)為±8，

∵點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)的距離為2×(5?2)=6，

∴點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為8?6=2或?8?6=?14，

故點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為2或?14．

故答案為：2或?14．

模塊三絕對值與數(shù)軸

【例3.1】（2023七年級·江西南昌·期中）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且|a|<|b|，

則該數(shù)軸的原點(diǎn)位置不可能().

A．在a的左邊B．在a、c之間.

C．在c、b之間D．在b的右邊

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對值的意義結(jié)合數(shù)軸判斷即可.

【詳解】解：∵|a|<|b|，

∴a到原點(diǎn)的距離小于b到原點(diǎn)的距離，

∴該數(shù)軸的原點(diǎn)位置不可能在b的右邊，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和絕對值，正確理解絕對值的意義是解題關(guān)鍵.

【例3.2】（2023七年級·江蘇徐州·階段練習(xí)）我們知道在數(shù)軸上，點(diǎn)M，N分別表示數(shù)m，n，則點(diǎn)M，N

2

之間的距離為|???|．已知，，，在上分表示，，，，|???|=|???|=|???|=1，則線段??

ABCDabcd3

的長度為．

【答案】3.5或0.5

【分析】本題考查了數(shù)軸，正確畫出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．

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根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離，畫出數(shù)軸即可解答．

【詳解】解：∵|???|=|???|=1，

∴點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為1，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為1，

2

|???|=1，

∵3

∴|???|=1.5，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)A之間的距離為1.5，

如圖（1）

線段??的長度為3.5；

如圖（2）

線段??的長度為0.5，

故答案為3.5或0.5．

【例3.3】（2023七年級·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是?7和5，點(diǎn)P表示

的數(shù)為x，點(diǎn)P到B的距離是點(diǎn)P到A距離的3倍，則點(diǎn)P到表示?1的點(diǎn)的距離為．

【答案】3或12

【分析】由題意知，|??5|=3|??(?7)|，即??5=±3(?+7)，解得，?=?4或?=?13，則點(diǎn)P到表示?1

的點(diǎn)的距離分當(dāng)?=?4，當(dāng)?=?13，兩種情況求解即可．

【詳解】解：由題意知，|??5|=3|??(?7)|，

∴??5=±3(?+7)，

解得，?=?4或?=?13，

∴點(diǎn)P到表示?1的點(diǎn)的距離為：

①當(dāng)?=?4時(shí)，|?4?(?1)|=3；

②當(dāng)?=?13時(shí)，|?13?(?1)|=12；

綜上所述，點(diǎn)P到表示?1的點(diǎn)的距離為3或12；

故答案為：3或12．

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解絕對值方程．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)

用．

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【變式3.1】（2023七年級·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，將實(shí)數(shù)?、?表示在數(shù)軸上，則下列等式成立的是

（）

A．|?|=?B．|?|=??C．|???|=???D．|?+?|=?+?

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)；熟練掌握絕對值的意義和數(shù)軸上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．

?＜0，?＞0，|?|>|?|,則???>0，?+?＜0，；結(jié)合選項(xiàng)即可求解.

【詳解】解：從圖可知?＜0，?＞0，|?|>|?|

∴???>0，?+?＜0，|?|=??，|?|=?,故A、B錯(cuò)誤；

∴|???|=???,|?+?|=????，故C正確，D錯(cuò)誤，

故選C．

【變式3.2】（2023七年級·河北保定·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)?、點(diǎn)?、點(diǎn)?分別對應(yīng)數(shù)?,?,?，則在

?+??1,?+?,???,|?|??,|?|?|??1|中，正數(shù)共有（）．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查利用數(shù)軸確定代數(shù)式符號，涉及數(shù)軸定義與性質(zhì)、去絕對值等知識，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位

置確定?,?,?大小及符號，從而逐個(gè)判斷出代數(shù)式符號，熟練掌握數(shù)軸性質(zhì)得到?,?,?大小及符號是解決問題的

關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖所示：

∴?<?1<?<0<1<?，|?|>|?|，|?|<|?|，

∴0<??1<1，則?+??1=?+(??1)<0；?+?>0；???>0；|?|??<0；|?|?|??1|>0；

綜上所述，有3個(gè)代數(shù)式是正數(shù)，

故選：C．

【變式3.3】（2023七年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為?10，

??=2??，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B向

左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M、N點(diǎn)同時(shí)出發(fā)），經(jīng)過秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到原點(diǎn)O的距離相等．

第10頁共29頁.

【答案】或15

52

【分析】

本題主要考查了數(shù)軸掌兩點(diǎn)間的距離，絕對值方程，用數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，先根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為?10，

點(diǎn)B表示的數(shù)為20，設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)M、N點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，則點(diǎn)M表示的數(shù)為??10，點(diǎn)N表示

的數(shù)為20?3?，|??10|=|20?3?|，求出x的值即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為?10，??=2??，

∴??=2??=20，

∴點(diǎn)B表示的數(shù)為20，

設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)M、N點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，則點(diǎn)M表示的數(shù)為??10，點(diǎn)N表示的數(shù)為20?3?，

根據(jù)題意得：|??10|=|20?3?|，

∴??10=20?3?或??10=?(20?3?)，

15

解得：?=或?=5，

2

15

即經(jīng)過秒或秒后，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離相等；

52

故答案為：或15．

52

模塊四利用數(shù)軸探究問題

【例4.1】（2023七年級·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度是1cm，

若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長為2023cm的線段，則該線段蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．

【答案】2023或2024

【分析】分類討論線段的左端點(diǎn)與一整點(diǎn)重合、線段的左端點(diǎn)不與整點(diǎn)重合的情況即可求解．

【詳解】解：若這條長為2023cm的線段的左端點(diǎn)與一整點(diǎn)重合，則右端點(diǎn)必然也與一整點(diǎn)重合

此時(shí)，兩端點(diǎn)之間還有2022個(gè)整點(diǎn)，

故該線段蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2022+2=2024；

若這條長為2023cm的線段的左端點(diǎn)不與整點(diǎn)重合，則右端點(diǎn)必然也不與整點(diǎn)重合

此時(shí)，兩端點(diǎn)之間有2023個(gè)整點(diǎn)，

故該線段蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2023；

第11頁共29頁.

故答案為：2023或2024

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的相關(guān)知識點(diǎn)．分類討論是解題關(guān)鍵．

【例4.2】（2023七年級·山西晉中·期中）數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．?dāng)?shù)軸幫

助我們把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，借助它可以解決我們數(shù)學(xué)中的許多問題，請同學(xué)們和“創(chuàng)

新小組”的同學(xué)一起利用數(shù)軸進(jìn)行以下探究活動(dòng)：

(1)如圖1，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是______，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，A，B兩點(diǎn)的距離是______；

(2)在數(shù)軸上，若將點(diǎn)B移動(dòng)到距離點(diǎn)A兩個(gè)單位長度的點(diǎn)C處，則移動(dòng)方式為______；

(3)如圖2，小明將刻度尺放在了圖1的數(shù)軸下面，使刻度尺上的刻度0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)此時(shí)點(diǎn)B對

應(yīng)刻度尺上的刻度4.8cm，點(diǎn)E對應(yīng)刻度1.2cm，則數(shù)軸上點(diǎn)E表示的數(shù)是______．

【答案】(1)?3；5；8

(2)將點(diǎn)B向左移動(dòng)6個(gè)單位長度或向左移動(dòng)10個(gè)單位長度

(3)?1

【分析】本題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題：

（1）根據(jù)在數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法即兩點(diǎn)間的距離公式可得解；

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求解；

（3）根據(jù)A，B兩點(diǎn)的距離可得數(shù)軸與刻度尺之間的比例尺，再根據(jù)比例尺即可求解；

解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法及兩點(diǎn)間的距離公式．

【詳解】（1）解：由數(shù)軸得：

點(diǎn)A表示的數(shù)是?3，點(diǎn)B表示的數(shù)是5，

則A，B兩點(diǎn)的距離為：5?(?3)=8，

故答案為：?3；5；8．

（2）將點(diǎn)B向左移動(dòng)6個(gè)單位長度或10個(gè)單位長度，

故答案為：將點(diǎn)B向左移動(dòng)6個(gè)單位長度或向左移動(dòng)10個(gè)單位長度．

（3）由（1）得：??=8，

4.8÷8=0.6（cm），

第12頁共29頁.

則數(shù)軸上1個(gè)單位長度對應(yīng)刻度尺為0.6cm，

1.2÷0.6=2，

∴點(diǎn)E距離點(diǎn)A兩個(gè)單位長度，

故點(diǎn)E所表示的有理數(shù)為：?3+2=?1，

故答案為：?1．

【例4.3】（2023七年級·河南平頂山·期末）綜合與探究

數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．請借助數(shù)軸，結(jié)合具體情境解答下列問題：

(1)平移運(yùn)動(dòng)

一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，

第4次向右跳4個(gè)單位，…，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳完5次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是；當(dāng)它跳完2024

次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是．

(2)翻折變換

①若折疊數(shù)軸所在紙條，表示?1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示5的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合．

②若數(shù)軸上D、E兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，兩點(diǎn)之間的距離為2024（D在E的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），

則D點(diǎn)表示，E點(diǎn)表示．

③一條數(shù)軸上有點(diǎn)M、N、P，其中點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別是?17、8，現(xiàn)以點(diǎn)P為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，

若點(diǎn)M對應(yīng)的點(diǎn)?′落在點(diǎn)N的右邊，并且線段?′?的長度為3，請直接寫出點(diǎn)P表示的數(shù)．

【答案】(1)?3；1012

(2)①?3；②?1011；1013；③?3

【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，熟知折疊后能重合的兩個(gè)點(diǎn)到折點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方式，依次求出每次跳完落在數(shù)軸上時(shí)所表示的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．

（2）根據(jù)折疊后重合的點(diǎn)到折點(diǎn)的距離相等即可解決問題．

【詳解】（1）解：根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方式可知，

它跳完第1次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：?1；

它跳完第2次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：1；

第13頁共29頁.

它跳完第3次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：?2；

它跳完第4次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：2；

它跳完第5次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：?3；

它跳完第6次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是：3；

…，

由此可見，它跳完第2?次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是n，

它跳完第(2??1)次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是??；

當(dāng)2??1=5，即?=3時(shí)，

??=?3，

所以它跳完第5次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是?3；

當(dāng)2?=2024，即?=1012時(shí)，

可得它跳完第2024次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是1012；

故答案為：?3，1012．

（2）①由表示?1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合可知，

?1+3

=1，

2

則折點(diǎn)所表示的數(shù)為1．

因?yàn)??1=1?(?3)，

所以表示5的點(diǎn)與表示?3的點(diǎn)重合．

故答案為：?3．

②因?yàn)檎酆叟c①的折痕相同，

所以這次折疊的折點(diǎn)所表示的數(shù)也為1．

又因?yàn)?024÷2=1012，1+1012=1013，1?1012=?1011，

所以點(diǎn)D表示的數(shù)為?1011，點(diǎn)E表示的數(shù)為1013．

故答案為：?1011，1013．

③由折疊可知，

??=?′?，

因?yàn)辄c(diǎn)M、N表示的數(shù)分別是?17、8，

所以??=8?(?17)=25．

又因?yàn)辄c(diǎn)?′落在點(diǎn)N的右邊，并且線段?′?的長度為3，

第14頁共29頁.

所以??′=25+3=28．

因?yàn)?8÷2=14，?17+14=?3，

所以點(diǎn)P表示的數(shù)為?3．

故答案為：?3．

【變式4.1】（2023七年級·河北滄州·期末）操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．

折疊紙面，使?3表示的點(diǎn)與1表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：

①2表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

②若數(shù)軸上?、?兩點(diǎn)之間距離為9（?在?的左側(cè)），且?、?兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則?點(diǎn)表示的數(shù)為：?．

【答案】?4?5.5

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離是解答本題

的關(guān)鍵．

①先求出折痕表示的數(shù)，進(jìn)而可求出與2重合的數(shù)；

②由?、?兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合可知?1表示的點(diǎn)是線段??的中點(diǎn)，據(jù)此其求解即可．

?3+1

【詳解】折痕表示的數(shù)為=?1，

①2

與2重合的數(shù)是?1?[2?(?1)]=?4．

故答案為：?4；

②∵?、?兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，

∴?1表示的點(diǎn)是線段??的中點(diǎn)，

∵數(shù)軸上?、?兩點(diǎn)之間距離為9（?在?的左側(cè)），9÷2=4.5，

∴?點(diǎn)表示的數(shù)為：?1?4.5=?5.5．

故答案為：?5.5．

【變式4.2】（2023七年級·山西晉中·期中）綜合與探究：

數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線，利用數(shù)軸可以解決很多問題，班里三個(gè)小組分別設(shè)計(jì)了三

個(gè)問題，請你與他們共同解決：

11

勤奮小組：在圖所示的數(shù)軸上，把數(shù)?2，，，?，表示出來，并用將它們連接起來．

(1)3422.5“<”

第15頁共29頁.

(2)勵(lì)志小組：折疊數(shù)軸，使表示1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，在這個(gè)操作下回答下列問題：

①表示?2的點(diǎn)與表示______的點(diǎn)重合；

②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)間的距離為7（A在B的左側(cè)），且折疊后A，B兩點(diǎn)重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為

_____．

(3)攀登小組：假如在原點(diǎn)處放立一擋板（厚度不計(jì)），有甲、乙兩個(gè)小球（忽略球的大小，可看成一點(diǎn)），

小球甲從表示數(shù)?2的點(diǎn)處出發(fā)，以1個(gè)單位長度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)小球乙從表示數(shù)4的點(diǎn)處

出發(fā)，以2個(gè)單位長度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)小球在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向

運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為?秒．

①當(dāng)?=3時(shí)，求甲、乙兩個(gè)小球之間的距離；

②用含t的代數(shù)式表示甲、乙兩個(gè)小球之間的距離．

11

【答案】在數(shù)軸上把數(shù)表示見解析，用＜將它們連接起來為?2<?<<2.5<4

(1)“”23

(2)①6；②?1.5

(3)①甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為3；②甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為|6?3?|

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的點(diǎn)的表示解答即可；

（2）①根據(jù)題意找出對稱軸即可；②根據(jù)題意列出方程即可；

（3）①當(dāng)?=3時(shí)，小球甲在的位置表示的數(shù)為?1，小球乙在的位置表示的數(shù)為2，據(jù)此回答即可；②設(shè)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．

【詳解】（1）如圖所示．

11

用＜將它們連接起來為?2<?<<2.5<4．

“”23

3+1

（）由題意得：折疊點(diǎn)與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)為=2，

22

2+[2?(?2)]=2+4=6，

所以表示?2的點(diǎn)與表示6的點(diǎn)重合，

故答案為：6，

設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則點(diǎn)B表示的數(shù)為?+7，

?+?+7

可得=2，

2

第16頁共29頁.

解得?=?1.5：

故答案為：?1.5；

（3）①當(dāng)?=3時(shí)，小球甲在的位置表示的數(shù)為?1，小球乙在的位置表示的數(shù)為2，

所以甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為2?(?1)=2+1=3．

②運(yùn)動(dòng)前，甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為4?(?2)=6．

當(dāng)0≤?≤2時(shí)，甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為6???2?=6?3?；

當(dāng)?>2時(shí)，甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為?+2??6=3??6．

所以甲、乙兩個(gè)小球之間的距離為|6?3?|．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，明確對折點(diǎn)所

表示的數(shù)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．

【變式4.3】（2023七年級·河南周口·階段練習(xí)）李老師善于通過知識遷移，對問題進(jìn)行拓展探究，培養(yǎng)同

學(xué)們用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的能力．下面李老師在“數(shù)軸的實(shí)際應(yīng)用”主題下設(shè)計(jì)的問題，請你解答．

(1)知識回顧

如圖1，數(shù)軸上有一個(gè)表示數(shù)a的點(diǎn)M，已知點(diǎn)M在數(shù)軸上向右移動(dòng)3個(gè)單位長度后表示的數(shù)是5，那么a

的值是；

(2)探究遷移

如圖2，有一根木尺??放置在數(shù)軸上，它的兩端P，Q分別落在A、B兩點(diǎn)處．將木尺在數(shù)軸上水平移動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q所對應(yīng)的數(shù)為24；當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P所對應(yīng)的數(shù)為6（單位：

cm）．利用所學(xué)知識求出點(diǎn)A、點(diǎn)B所表示的數(shù)及木尺??的長；

(3)拓展應(yīng)用

一天，小明去問爺爺?shù)哪挲g．爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，

我已經(jīng)是116歲了！”請你利用（2）的方法，請直接寫出小明和爺爺?shù)哪挲g．

【答案】(1)2

第17頁共29頁.

(2)A點(diǎn)表示的數(shù)為12，B點(diǎn)表示的數(shù)，18，??=6

(3)小明12歲，爺爺64歲

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離，理解題意，數(shù)形結(jié)合分析問題是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)右加左減的規(guī)律求解即可；

（2）由題意可知，B點(diǎn)到24的距離、??的距離、A點(diǎn)到6的距離相等，由線段圖可求??的長；

（3）仿照（2）畫出圖，可知爺爺和小明的年齡差為：(116+40)÷3=52歲進(jìn)而可求出小明和爺爺?shù)哪挲g．

【詳解】（1）∵點(diǎn)M在數(shù)軸上向右移動(dòng)3個(gè)單位長度后表示的數(shù)是5，

∴?=5?3=2．

故答案為：2；

（2）由題意可知，B點(diǎn)到24的距離、??的距離、A點(diǎn)到6的距離相等，

∴??=(24?6)÷3=6，

∴A點(diǎn)表示的數(shù)為6+6=12，

B點(diǎn)表示的數(shù)為24?6=18；

（3）如圖：

爺爺和小明的年齡差為：(116+40)÷3=52（歲），

∴爺爺?shù)哪挲g為116?52=64（歲），

小明的年齡為64?52=12（歲），

∴小明12歲，爺爺64歲．

模塊五課后作業(yè)

1．（2023七年級·湖南長沙·階段練習(xí)）把有理數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖所示，那么則下列說法正確的是

（）

A．?>0B．?<0C．?>?D．?>?

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸可以判斷a、b的正負(fù)以及a、b的大小，從而可以解答本題．

【詳解】解：由數(shù)軸可得，a＞0，b＜0，a＞b，故A，B，D答案錯(cuò)誤

第18頁共29頁.

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于

0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。瑫r(shí)考查了數(shù)軸的特

征，以及在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是：當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左

邊的數(shù)大．

2．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）數(shù)軸上，若?，?表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，?在?的左邊，并且

這兩點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)?所表示的數(shù)是（）

A．?3B．3C．6D．?6

【答案】A

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)及互為相反數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離的概念，由相反數(shù)的含義及兩點(diǎn)之間距離

的表示方法，點(diǎn)?與點(diǎn)?到原點(diǎn)的距離相等即可，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵?，?表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離為6，

∴點(diǎn)?和點(diǎn)?到原點(diǎn)的距離為3，

∵?在?的左邊，

∴點(diǎn)?表示的數(shù)為?3，

故選：A．

3．（2023·河北石家莊·二模）如圖，數(shù)軸上被遮擋住的整數(shù)的絕對值是（）

A．1B．?3C．?1D．0

【答案】A

【分析】本題考查數(shù)軸以及絕對值的定義，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特征可知遮住的點(diǎn)表示的數(shù)是?1，再根據(jù)絕對

值的定義求解即可．

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特征可知遮住的點(diǎn)表示的數(shù)是?1，

?1的絕對值是1，

故選A．

4．（2023七年級·浙江·期中）如圖，四個(gè)數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，P，Q，若

?+?=0，則下列說法正確的是（）

第19頁共29頁.

A．?+?>0B．??<0C．???<0D．|?|<?

【答案】B

【分析】根據(jù)?+?=0可以得到n、q的關(guān)系，從而可以判定原點(diǎn)的位置，然后觀察數(shù)軸得出

?<?<0<?<?，|?|>|?|，|?|>|?|，即可解答．

【詳解】解：∵?+?=0，

∴n和q互為相反數(shù)，O在線段??的中點(diǎn)處，

如圖，

∴?<?<0<?<?，|?|>|?|，|?|>|?|，

∴?+?<0，??<0，???>0，|?|>?，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

5．（2023七年級·遼寧鞍山·期中）若有理數(shù)a，b在一條不完整的數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式：

11?

?=2?；?>0；3>3；<0；?<??<0<?<??．其中正確的有（）

①|(zhì)?+?||???|②??③??④?⑤

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，判斷式子的符號．熟練掌握數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大，是解

題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸，得出?<0<?，|?|<|?|，再逐一判斷式子的符號即可．

【詳解】解：由圖可知?<0<?，|?|<|?|，

∴?+?<0,???>0，

∴|?+?|?|???|=?(?+?)?(???)=?2?，故①不正確，不符合題意；

∵?<0<?，

11

∴>0,<0，

??

11

∴?>0，故正確，符合題意；

??②

∵?<0<?，

∴?3<0,?3>0，

第20頁共29頁.

∴?3<?3，故③不正確，不符合題意；

∵?<0<?，

?

，故正確，符合題意；

∴?<0④

∵?<0<?，|?|<|?|，

∴?<??<0<?<??，故⑤正確，符合題意；

綜上：正確的有②④⑤，共3個(gè)，

故選：C．

6．（2023·陜西榆林·三模）如圖，數(shù)軸的單位長度為1，若點(diǎn)?表示的數(shù)與點(diǎn)?表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)?

表示的數(shù)是．

【答案】?4

【分析】本題主要考查數(shù)軸上數(shù)的表示及相反數(shù)，根據(jù)A、B所表示的數(shù)互為相反數(shù)可得原點(diǎn)的位置，然后

求解C即可．

【詳解】由數(shù)軸的單位長度為1，點(diǎn)?、?所表示的數(shù)互為相反數(shù)，可得數(shù)軸的原點(diǎn)在點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)處，

如圖所示，

點(diǎn)C表示的數(shù)為?4；

故答案為：?4．

7．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)軸上?、?兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為?2，4，?為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，

對應(yīng)數(shù)為?，若?點(diǎn)到?、?距離和為12，則?的值為.

【答案】?5或7；

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，分?點(diǎn)在?點(diǎn)左側(cè)與?點(diǎn)右側(cè)兩類討論即可得到答案；

【詳解】解：當(dāng)?點(diǎn)在?點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

∵若?點(diǎn)到?、?距離和為12，

∴|?2??|+|4??|=12，

解得：?=?5，

當(dāng)?點(diǎn)在?點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

∵若?點(diǎn)到?、?距離和為12，

第21頁共29頁.

∴|??(?2)|+|??4|=12，

解得：?=7，

故答案為：?5或7．

8．（2023七年級·福建廈門·階段練習(xí)）數(shù)軸上的點(diǎn)?和點(diǎn)?所表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)是?2，

?是到點(diǎn)?或點(diǎn)?距離為3的數(shù)軸上的點(diǎn)，則所有滿足條件的點(diǎn)?所表示的數(shù)的和為．

【答案】0

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為?2，點(diǎn)?和點(diǎn)?所表示的數(shù)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為2，分兩種情況討

論：當(dāng)點(diǎn)?到點(diǎn)?的距離為3時(shí)；當(dāng)點(diǎn)?到點(diǎn)?的距離為3時(shí)．

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為?2，點(diǎn)?和點(diǎn)?所表示的數(shù)互為相反數(shù)，

所以點(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為2．

當(dāng)點(diǎn)?到點(diǎn)?的距離為3時(shí)，

點(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為1或?5．

當(dāng)點(diǎn)?到點(diǎn)?的距離為3時(shí)，

點(diǎn)?對應(yīng)的數(shù)為?1或5．

所以，所有滿足條件的點(diǎn)?所表示的數(shù)的和為：1+(?5)+(?1)+5=0．

故答案為：0．

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸和相反數(shù)，牢記相反數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．

9．（2023七年級·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）有理數(shù)a、b所表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a、b、|?|、

??按從大到小的順序排列，并用“>”號連接，結(jié)果為．

【答案】?>|?|>?>??

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上的點(diǎn)表示的有理數(shù)越向右越大．

【詳解】解：∵根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可知，?<0<?，且|?|<|?|，

∴??<0，

∴?>|?|>?>??．

故答案為：?>|?|>?>??．

13

10．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）已知實(shí)數(shù)a滿足=，若a對應(yīng)如圖所示的數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)

|??2|2

中的一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，則這個(gè)點(diǎn)是．

第22頁共29頁.

【答案】B

13

【分析】由=,可求出a值,對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)即可得出結(jié)論.

|??2|2

13

【詳解】解:∵=，

|??2|2

∴a=-1或a=2，

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及解含絕對值符號的一元一次方程,解方程求出a值是解題的關(guān)鍵.

11．（2023七年級·全國·課堂例題）在如圖所示的數(shù)軸上用字母?,?,?,?,?分別表示出以下各數(shù)：

1

2.5,4,?3,?1，，并回答問題：在這個(gè)點(diǎn)中，表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點(diǎn)之間相距多少個(gè)單位長度？

205

【答案】數(shù)軸見解析；表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點(diǎn)之間相距7個(gè)單位長度

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)將這些數(shù)在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求出最大數(shù)與最小

數(shù)的兩點(diǎn)之間距離即可．

【詳解】解：把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，如圖所示：

這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為4，最小的數(shù)為?3，

∴表示最大數(shù)與最小數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離為|4?(?3)|=7．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)和根據(jù)數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練

掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

12．（2023七年級·貴州遵義·期中）以1厘米為1個(gè)單位長度用直尺畫數(shù)軸時(shí)，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的點(diǎn)

A和點(diǎn)B剛好對著直尺上的刻度2和刻度8．

第23頁共29頁.

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為________，點(diǎn)B表示的數(shù)為________；

(2)在數(shù)軸上有一點(diǎn)P，它到??中點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)P表示的數(shù)的倒數(shù)為________．

【答案】(1)?3；3

11

點(diǎn)表示的數(shù)的倒數(shù)為?或

(2)P313

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，相反數(shù)等知識；

（1）根據(jù)A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷即可；

（2）根據(jù)題意先求出??的中點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)P表示的數(shù)即可．

熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：∵??=8?2=6，點(diǎn)A和點(diǎn)B互為相反數(shù)，

∴點(diǎn)A表示?3，點(diǎn)B表示3；

故答案為：?3；3．

（2）解：∵??的中點(diǎn)為5，點(diǎn)P到??中點(diǎn)的距離為8，

∴點(diǎn)P為-3或13，

11

點(diǎn)表示的數(shù)的倒數(shù)為?或．

∴P313

11

故答案為：?或．

313

13．（2023七年級·全國·假期作業(yè)）如圖：

(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是___________；

(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)O(原點(diǎn)記為點(diǎn)O)的距離記為|??|，有|??|=5，則|??|=___________；

(3)若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，則|??|=___________(結(jié)果不含絕對值符號)．

【答案】(1)?3，2.5

(2)11

(3)???

第24頁共29頁.

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的認(rèn)識及兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，絕對值的意義；

（1）由圖可知，數(shù)軸上?、?所表示的數(shù)，分別為：?3，2.5；

（2）由圖知，|??|=點(diǎn)?的坐標(biāo)?原點(diǎn)，|??|=點(diǎn)?的坐標(biāo)?點(diǎn)?的坐標(biāo)；

（3）由（2）可得，|??|=點(diǎn)?的坐標(biāo)?點(diǎn)?的坐標(biāo)；

【詳解】（1）解：由圖可知，(1)數(shù)軸上點(diǎn)?表示的數(shù)是?3；點(diǎn)?表示的數(shù)是2.5；

（2）由圖可得，點(diǎn)?表示的點(diǎn)為5，所以，|??|=5?0=5，

又點(diǎn)?表示的點(diǎn)為?6，所以|??|=5?(?6)=11；

（3）由圖可得，數(shù)軸上?、?兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為?、?，則|??|=???．

14．（2023七年級·河北滄州·期中）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點(diǎn)A，B，C把數(shù)軸分成

①②③④四部分，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，已知??<0．

(1)請直接寫出原點(diǎn)在第幾部分；

(2)已知點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為5，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是3．

①若?=?1，求?+?+?的值；

②若a，c互為相反數(shù)，求???的值；

(3)設(shè)原點(diǎn)為O，若點(diǎn)C表示數(shù)3，數(shù)軸上一點(diǎn)D表示的數(shù)為d，在這三點(diǎn)中，當(dāng)相鄰兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，

直接寫出d的值．

【答案】(1)第③部分

25

?2；

(2)8

(3)?=6或1.5或?3

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，有理數(shù)的加減法運(yùn)用，熟練掌握分類討論

是解題的關(guān)鍵．

（1）由??<0可得?、?異號，從而得出圓點(diǎn)的位置；

（2）①由?=?1分別求出?,?的值即可得到答案．

②a，c互為相反數(shù)，故?=??，再由點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為5，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是3求出值計(jì)算．

（3）分三種情況討論，當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，分別求解．

第25頁共29頁.

【詳解】（1）解：∵??<0，

∴?、?異號，

∴原點(diǎn)在?，?之間，即第③部分；

（2）解：①：∵點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是3，?=?1，

∴?=?1+3=2，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為5，

∴?=2?5=?3，

∴?+?+?=?3?1+2=?2；

②∵a，c互為相反數(shù)，故?=??，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離為5，

∴?=?2.5,?=2.5，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是3，

∴???=3，

1

∴?=?，

2

51525

∴???=?×?×=；

2228

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，??=??=3，

∴??=6，得?=6，

②當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，??=??=1.5，

∴?=1.5，

③當(dāng)點(diǎn)?是??的中點(diǎn)時(shí)，??=??=