第17講 解一元一次方程（一）-合并同類項與移項（人教版）（解析版）

第17講解一元一次方程（一）——合并同類項與移項

【人教版】

·模塊一利用“合并同類項”解一元一次方程

·模塊二利用“移項”及“合并同類項”解一元一次方程

·模塊三課后作業(yè)

模塊一利用“合并同類項”解一元一次方程

【考點1利用“合并同類項”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）補全下列解方程的過程：

（1）6???=4．

解：合并同類項，得=4．

系數(shù)化為1，得?=．

（2）?4?+6??0.5?=?0.3．

解：合并同類項，得=?0.3．

系數(shù)化為1，得?=．

4

【答案】5?1.5??0.2

5

【分析】（1）根據(jù)合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解即可；

（1）根據(jù)合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解即可．

【詳解】（1）6???=4．

解：合并同類項，得5?=4．

4

系數(shù)化為，得?=．

15

4

故答案為：5?，；

5

（2）?4?+6??0.5?=?0.3．

解：合并同類項，得1.5?=?0.3．

系數(shù)化為1，得?=?0.2．

故答案為：1.5?，?0.2．

第1頁共27頁.

【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．

【例1.2】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）解下列方程時，合并同類項不正確的是（）

A．5??4?=1，合并同類項，得?=1

B．3??5?=?2，合并同類項，得?2?=?2

C．2??3??4?=1，合并同類項，得?=1

115

D．?+?=2，合并同類項，得?=2

236

【答案】C

【分析】

本題考查了解一元一次方程的合并同類項法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)合并同類項法則逐項判定即可．

【詳解】A．5??4?=1，合并同類項，得(5?4)?=1，即?=1，計算正確，故選項不符合題意；

B．3??5?=?2，合并同類項，得(3?5)?=?2即?2?=?2，計算正確，故選項不符合題意；

C．2??3??4?=1，合并同類項，得(2?3?4)?=1，即?5?=1，計算錯誤，故選項符合題意；

115

D．?+?=2，合并同類項，得1+1?=2即?=2，計算正確，故選項不符合題意；

23236

故選：C．

【例1.3】（2023六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）解方程

3

?=15

(1)8

3

??50%?=

(2)10

【答案】(1)?=40

3

?=

(2)5

【分析】本題考查解方程，方程中含有百分數(shù)，先把百分數(shù)化成分數(shù)，再依據(jù)等式的性質(zhì)，解方程．

（）兩邊同時除以3即可解題；

18

（2）先合并，然后兩邊同時乘以2解題即可．

3

【詳解】（）解：?=15

18

33

兩邊同時除以得：?=15÷，

88

第2頁共27頁.

解得：?=40；

3

（）??50%?=

210

13

合并得：?=，

210

3

兩邊同時乘以得：?=．

25

【變式1.1】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）解下列方程：

(1)2?+3?+4?=18

(2)13??15?+?=?3

(3)2.5?+10??6?=15?21.5

122

(4)???+?=×6?1．

233

【答案】(1)?=2

(2)?=3

(3)?=?1

18

?=

(4)5

【分析】先合并同類項，再解一元一次方程即可．

【詳解】（1）解：2?+3?+4?=18；

合并同類項得，9?=18

解得?=2；

（2）解：13??15?+?=?3；

合并同類項得，??=?3

解得?=3；

（3）解：2.5?+10??6?=15?21.5；

合并同類項得，6.5?=?6.5

解得?=?1；

122

（4）解：???+?=×6?1．

233

5

合并同類項得，?=3

6

第3頁共27頁.

18

解得?=．

5

【點睛】本題考查了解一元一次方程，合并同類項正確計算是解題的關(guān)鍵．

【變式1.2】（2023七年級·全國·專題練習）判斷下列方程的求解過程是否正確，說明原因：

(1)?6?+3?=?1?8．

解：合并同類項，得?9?=?9．系數(shù)化為1，得?=1．

(2)5?+4?=18．

解：合并同類項，得9?=18．

1

系數(shù)化為1，得?=．

2

【答案】(1)不正確，見解析

(2)不正確，見解析

【分析】本題考查了解一元一次方程；

（1）合并同類項時系數(shù)?6+3=?3，不是?9，系數(shù)化成1即可；

（2）合并同類項，系數(shù)化成1（兩邊都除以9）即可．

【詳解】（1）不正確，

理由是：∵?6?+3?=?1?8，

合并同類項得：?3?=?9，

系數(shù)化成1得：?=3．

（2）不正確，

理由是：5?+4?=18，

合并同類項得：9?=18，

系數(shù)化成1得：?=2．

【變式1.3】（2023七年級·福建廈門·期中）解方程：

3

(1)7??3?=×8?2

4

(2)2??7=5?+1

第①步驟的名稱是___________

第②合并同類項

第③系數(shù)化為1這一步驟的依據(jù)是___________．

第4頁共27頁.

【答案】(1)?=1

(2)見解析

【分析】（1）合并同類項，系數(shù)化為1即可求解；

（2）根據(jù)移項，合并同類項，系數(shù)化為1解方程，再根據(jù)等式的基本性質(zhì)填空．

3

【詳解】（1）解：7??3?=×8?2，

4

4?=6?2，

4?=4，

解得：?=1；

（2）第①步驟的名稱是移項；

第②合并同類項；

第③系數(shù)化為1這一步驟的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)．

第5頁共27頁.

【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、

去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1是解本題的關(guān)鍵．

【考點2列方程解決“總量=各部分量的和”問題】

【例2.1】（2023七年級·全國·課堂例題）挖一條長為1200米的水渠，由甲、乙兩隊從兩頭同時施工，甲隊

每天挖150米，乙隊每天挖90米，需要幾天才能挖好？設(shè)需要x天才能挖好，則列出的方程為（）

A．150?+90?=1200B．150+90?=1200

C．150?+90=1200D．150??90?=1200

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可知，甲走的路程+乙走的路程=總路程，然后列出相應(yīng)的方程即可．

【詳解】解：由題意可得，

150?+90?=1200，

故選：A

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相

應(yīng)的方程．

【例2.2】（2023七年級·全國·課堂例題）某商場三個季度共銷售冰箱2800臺，第一季度的銷售量是第二季

度的2倍，第三季度的銷售量是第一季度的2倍，此商場第二季度銷售冰箱臺．

【答案】400

【分析】

設(shè)此商場第二季度銷售冰箱x臺，第一季度銷售冰箱2?臺，則第三季度銷售冰箱4?臺，根據(jù)商場三個季度

共銷售冰箱2800臺列出方程，解方程即可．

第6頁共27頁.

【詳解】解：設(shè)此商場第二季度銷售冰箱x臺，第一季度銷售冰箱2?臺，則第三季度銷售冰箱4?臺，由題

意得：

2?+?+4?=2800，

解得：?=400，

即此商場第二季度銷售冰箱400臺，

故答案為：400．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．

【例2.3】（2023七年級·福建莆田·階段練習）甲、乙、丙三位同學向貧困山區(qū)的希望小學捐贈圖書，已知

這三位同學捐贈圖書冊數(shù)的比是5:8:9，如果他們共捐374本，那么這三位同學各捐書多少冊？

【答案】甲捐書85本，乙捐書136本，丙捐書為153本

【分析】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量

關(guān)系列出方程，再求解．

設(shè)甲捐書5?本，則乙捐書8?本，丙捐書為9?，根據(jù)他們共捐了374本，即可求出這三位同學各捐書多少冊；

【詳解】解：設(shè)甲捐書5?本，則乙捐書8?本，丙捐書為9?，

∵他們共捐了374本，

∴5?+8?+9?=374，

解得?=17，

∴甲捐書5?=85本，乙捐書8?=136本，丙捐書為9?=153本．

【變式2.1】（2023·四川南充·中考真題）學校機房今年和去年共購置了100臺計算機，已知今年購置計算

機數(shù)量是去年購置計算機數(shù)量的3倍，則今年購置計算機的數(shù)量是（）

A．25臺B．50臺C．75臺D．100臺

【答案】C

【分析】設(shè)去年購置計算機數(shù)量為x臺，則今年購置計算機的數(shù)量為3x臺，根據(jù)題意列出一元一次方程，

解方程即可求解．

【詳解】解：設(shè)去年購置計算機數(shù)量為x臺，則今年購置計算機的數(shù)量為3x臺，

根據(jù)題意可得：x+3x=100，

解得：x=25，

則3x=3×25=75（臺），

第7頁共27頁.

即今年購置計算機的數(shù)量為75臺．

故選C．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

【變式2.2】（2023七年級·河南安陽·開學考試）學校要為圖書室的地面鋪上方磚，如果用邊長為3分米的

方磚鋪地，需要用600塊，如果改用邊長為5分米的地磚鋪地，需要多少塊？

【答案】需要多少216塊

【分析】由題意可知：圖書館的面積是一定的，則方磚面積與方磚的塊數(shù)成反比例，據(jù)此即可列比例求解．

【詳解】解：設(shè)如果改用邊長5分米的地磚鋪地，需要多少?塊，

則有：(5×5)?=3×3×600，

25?=5400

?=216

答：如果改用邊長5分米的地磚鋪地，需要多少216塊．

【點睛】本題考查了比例問題，解題的關(guān)鍵是掌握面積為定值，建立等式求解．

【變式2.3】（2023七年級·福建泉州·階段練習）婦人洗碗在河濱，路人問他客幾人？答曰：“不知客數(shù)目，

六十五碗自分明，二人共食一碗飯，三人共吃一碗羹，四人共肉無余數(shù)，請君細算客幾人？”本題的大意是：

有一名婦人在河邊洗碗，一個過路的人問她有多少個客人吃飯，婦人說“人數(shù)不知道，一共65個碗，其中

兩個人共用一碗飯，三個人共喝一碗湯，四個人共吃一碗肉，請你算算一共有多少個客人？”

【答案】60

【分析】設(shè)共有客人?位，根據(jù)客人共用的碗共65個，即可得出關(guān)于?的一元一次方程，此題得解．

???

【詳解】解：設(shè)共有客人人，依題意可得：．

?2+3+4=65

解之得：?=60．

答：共有客人60人．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·全國·假期作業(yè)）某水果店運來蘋果?千克，運來梨的質(zhì)量是蘋果的1.5倍，該水果

店運來蘋果和梨一共千克．如果該水果店運來的梨比蘋果多50千克，那么運來蘋果千克，運

來梨千克．

【答案】2.5?100150

【分析】考查了用字母表示數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是得到運來的梨的質(zhì)量．根據(jù)運來的梨

第8頁共27頁.

的質(zhì)量=蘋果的質(zhì)量×1.5，運來的梨和蘋果的總質(zhì)量=運來的梨的質(zhì)量+蘋果的質(zhì)量；

根據(jù)梨比蘋果多的質(zhì)量=運來的梨的質(zhì)量?蘋果的質(zhì)量，列方程，即可得到蘋果、梨的重量．

【詳解】解：蘋果和梨共有1.5?+?=2.5?（千克）；

如果運來的梨比蘋果多50千克，

則：1.5???=50，

0.5?=50，

?=100，

梨的質(zhì)量：100+50=150（千克），

故答案為：2.5?，100，150．

【題型2】（2023·安徽六安·七年級期末）《九章算術(shù)》中有一問題，“今有善行者一百步，不善行者六十步，

今不善行者先行一百步，善行者追之．問：幾何步幾之？”其意思是：有一個善于走路的人和一個不善于

走路的人．善于走路的人走100步的同時，不善于走路的人只能走60步，現(xiàn)在不善于走路的人先走100步，

善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？

【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)善于走路的人追上不善于走路的人所用時間為t，根據(jù)二者的速度差×時間=路程，即可求出t值，再將其

代入路程=速度×時間，即可求出結(jié)論．

【詳解】解：設(shè)善于走路的人追上不善于走路的人所用時間為t，

根據(jù)題意得：(100?60)?=100，

解得：?=2.5，

∴100?=100×2.5=250．

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．

【題型3】（2023六年級下·上海青浦·期末）如圖，機器人淘淘和巧巧分別站在邊長為15米的正方形道路????

的頂點D、B處，他們開始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按順時針方向勻速行走．當淘淘

和巧巧第一次都在正方形的同一頂點處時，經(jīng)過了多少秒？（）

第9頁共27頁.

A．30秒B．60秒C．90秒D．120秒

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)經(jīng)過了x秒，巧巧追上淘淘，根據(jù)他們的路程差為2×15米列

方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過了x秒，巧巧追上淘淘

根據(jù)題意得1.5???=2×15，

解得?=60，

此時巧巧走了60×1.5=90米，90÷15=6，則巧巧在D處；

淘淘走了60×1=60米，60÷15=4，則淘淘也在D處，

故經(jīng)過60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一頂點處，

故選：B．

【拓廣探究創(chuàng)新練】

11

【題型1】（2023七年級·陜西西安·開學考試）水果店共運進102筐水果，香蕉筐數(shù)的占梨的，梨筐數(shù)的

34

11

占蘋果的，則蘋果筐．

25

【答案】60

【分析】設(shè)蘋果10?筐，則梨筐數(shù)為4?筐，香蕉的筐數(shù)為3?筐，根據(jù)水果店共運進102筐水果列出方程，解

方程得到x的值，即可得到答案．

【詳解】解：設(shè)蘋果10?筐，則梨筐數(shù)為4?筐，香蕉的筐數(shù)為3?筐，

則10?+4?+3?=102，

解得?=6，

則10?=10×6=60，

即蘋果為60筐，

故答案為：60

第10頁共27頁.

【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

【題型2】（2023七年級·江西贛州·期末）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中，有這樣的一首歌謠，叫做浮屠增

級歌：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增．共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首古詩描述的這個寶塔，

其古稱浮屠，本題說它一共有七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，則這個塔頂有（）盞燈．

A．1B．2C．3D．7

【答案】C

【分析】設(shè)塔頂?shù)臒魯?shù)為x盞，則根據(jù)每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，分別求出每一層燈的數(shù)量，然

后求和，根據(jù)它們的和是381解答即可．

【詳解】解：設(shè)塔頂?shù)臒魯?shù)為x盞，

則從塔頂向下，每一層燈的數(shù)量依次是x，2x，4x，8x，16x，32x，64x，

所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，

127x=381

x=381÷127

x=3

答：這個塔頂?shù)臒魯?shù)為3盞．

故選：C．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是理解把握每下一層燈的盞數(shù)都是上一層

的2倍．

【題型3】（2023·浙江·七年級期末）學校要制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知甲單獨完成需4天，乙

單獨完成需6天，若先由乙做1天，再兩人合作，完成任務(wù)后共得到報酬900元，若按各人的工作量計算

報酬，則分配方案為（）

A．甲360元，乙540元B．甲450元，乙450元

C．甲300元，乙600元D．甲540元，乙360元

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，熟悉掌握工程問題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

設(shè)兩人合作了?天，根據(jù)甲的工作量+乙的工作量=剩余工作總量列出方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)兩人合作了?天，

111

由題意可得：?+?=1?

∴466

解得：?=2

第11頁共27頁.

11

甲的工作量為×2=

∴42

1

甲的報酬為：900×=450元，

∴2

∴乙的報酬為：900?450=450元，

故選：B．

模塊二利用“移項”及“合并同類項”解一元一次方程

移項:

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.

【考點1利用“移項”及“合并同類項”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年級·湖南衡陽·階段練習）下列移項正確的是（）

A．從12?2?=?6，得到12?6=2?

B．從?8?+4=?5??2，得到8?+5?=?4?2

C．從5?+3=4?+2，得到5??2=4??3

D．從?3??4=2??8，得到8?4=2??3?

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程移項問題，熟練掌握移項這一步驟是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)移項的定義對選項進行分析即可．

【詳解】解：對于選項A，12?2?=?6移項得到12+6=2?，故不符合題意；

對于選項B，?8?+4=?5??2移項得到?8?+5?=?4?2，故不符合題意；

對于選項C，5?+3=4?+2移項得到5??2=4??3，故符合題意；

對于選項D，?3??4=2??8移項得到8?4=2?+3?，故不符合題意；

故選C．

【例1.2】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）如圖，框圖表示解這個方程的流程：其中，“移項”這一步驟的依

據(jù)是，“合并同類項”這一步驟的依據(jù)是，“系數(shù)化為1”這一步驟的依據(jù)是．

第12頁共27頁.

【答案】等式的基本性質(zhì)1合并同類項法則等式的基本性質(zhì)2

【分析】利用等式的性質(zhì)及合并同類項法則判斷即可．

【詳解】解：“移項”這一步驟的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1，“合并同類項”這一步驟的依據(jù)是合并同類項法則，

“系數(shù)化為1”這一步驟的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2．

故答案為：等式的基本性質(zhì)1；合并同類項法則；等式的基本性質(zhì)2．

【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握等式的性質(zhì)以及合并同類項法則是解本題的關(guān)鍵．

【例1.3】（2023七年級·江西宜春·期中）解方程：

(1)3??1=2?；

1

(2)2??=??3．

2

【答案】(1)?=1

10

?=

(2)3

【分析】本題考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常見的過程有去括號、移項、系數(shù)化為1等．

（1）先移項、合并同類項，然后化未知數(shù)的系數(shù)為1；

（2）先去移項、合并同類項；最后化未知數(shù)的系數(shù)為1．

【詳解】（1）移項得3??2?=1，

合并同類項得?=1；

1

（2）移項得????=?3?2，

2

3

合并同類項得??=?5，

2

10

系數(shù)化為得?=．

13

1

【變式1.1】（2023·廣東佛山·七年級期末）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3?+=2?+■電話詢

2

第13頁共27頁.

問老師后知道：方程的解?=1且被墨水遮蓋的是一個常數(shù)．則該常數(shù)是（）

3311

A．B．?C．D．?

2222

【答案】A

【分析】此題考查了一元一次方程的解．設(shè)被污染的常數(shù)■是a，把?=1代入計算即可求出a的值．

【詳解】解：設(shè)被污染的常數(shù)■是a，

11

把?=1代入3?+=2?+?，得：3+=2+?，

22

3

解得a=，

2

故選A．

【變式1.2】（2023七年級·全國·課堂例題）補全解方程5??8=?3??2的過程：

解：移項，得5?+___=?2______．

合并同類項，得________________=____________．

系數(shù)化為1，得?=________________．

3

【答案】3?；+8；8?；6；

4

【分析】按照解一元一次方程的步驟：移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進行計算即可解答．

【詳解】解：移項，得5?+3?=?2+8，

合并同類項，得8?=6，

3

系數(shù)化為1，得?=．

4

3

故答案為：3?；+8；8?；6；．

4

【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．

【變式1.3】（2023六年級下·上海松江·期中）若???表示?的5倍與?的一半的差，已知??(2?10)=3，則

?=．

【答案】11

10

【分析】本題考查解一元一次方程，根據(jù)新定義的法則，列出方程，進行求解，讀懂題意，列出方程是解

題的關(guān)鍵．

1

【詳解】解：由2?10=5×2?×10=5，

2

5

則??5=5??=3，

2

第14頁共27頁.

11

解得：?=，

10

故答案為：11．

10

【考點2根據(jù)“表示同一個量的兩個不同的式子相等”列方程解應(yīng)用題】

【例2.1】（2023七年級·福建南平·期中）某汽車隊運送一批貨物，若每輛汽車裝4t，則還剩下8t裝不下；

若每輛汽車裝4.5t，則恰好裝完．該車隊運送貨物的汽車共有多少輛？設(shè)該車隊運送貨物的汽車共有x輛，

則可列方程為．

【答案】4?+8=4.5?

【分析】設(shè)這個車隊有x輛車，根據(jù)題意可知等量關(guān)系為：兩種裝法貨物的總量是一定的，據(jù)此列方程．

【詳解】解：設(shè)這個車隊有x輛車，

由題意得，4x+8=4.5x．

故答案為：4?+8=4.5?．

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合

適的等量關(guān)系，列方程．

【例2.2】（2023七年級·內(nèi)蒙古通遼·期末）幾個人共同種一批樹苗，如果每人種6棵，則少4棵樹苗；如

果每人種5棵，則剩下3棵樹苗未種，若設(shè)參與種樹的人數(shù)為x人，可列方程．

【答案】6??4=5?+3

【分析】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用．根據(jù)樹苗的數(shù)量為定值，列出方程即可．

【詳解】解：設(shè)參與種樹的人數(shù)為x人，

由題意，得：6??4=5?+3；

故答案為：6??4=5?+3．

【例2.3】（2023七年級·全國·課堂例題）七年級某班學生在會議室看錄像，每排坐13人，則有1人無處坐，

每排坐14人，則空12個座位，求這間會議室共有多少排座位．

【答案】13排

【分析】設(shè)這間會議室共有?排座位，若每排坐13人，則有1人無處坐，那么學生人數(shù)可表示為(13?+1)人；

每排坐14人，則空12個座位，那么學生人數(shù)可表示為(14??12)人，根據(jù)學生人數(shù)不變，可得方程，求解即

可．

【詳解】解：設(shè)這間會議室共有?排座位，

根據(jù)題意得：13?+1=14??12，

第15頁共27頁.

解得：?=13，

答：這間會議室有13排座位．

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程．讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找準等量關(guān)系，正確列出一

元一次方程是解題的關(guān)鍵．

【變式2.1】（2023·陜西西安·七年級期末）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學問題，其譯文為：有人合伙買

羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？

【答案】21人

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題中錢的總數(shù)列一元一次方程，解方程即可．

【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，

根據(jù)題意列方程5?+45=7?+3，

解得：?=21，

即合伙人有21人．

【變式2.2】（2023七年級·北京房山·期末）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一

條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，

用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，則符合

題意的方程是（）

A．2?+5=?+5B．2??5=??5

11

C．?+5=?+5D．?+5=??5

22

【答案】D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程．設(shè)繩索長?尺，則竿長(??5)尺，根據(jù)“將繩索對半折

后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于?的一元一次方程，此題得解．

【詳解】解：設(shè)繩索長?尺，則竿長(??5)尺，

1

依題意，得：?+5=??5．

2

故選：D．

【變式2.3】（2023七年級·全國·課后作業(yè)）為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購買的蔬菜包由

志愿者統(tǒng)一派送．若每位志愿者派送8個蔬菜包，則少5個蔬菜包；若每個志愿者派送5個蔬菜包，則剩下4

個未送，則安排派送的志愿者有（）

A．4人B．3人C．2人D．1人

第16頁共27頁.

【答案】B

【分析】本題考查一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，設(shè)安排?個志愿者派送，列出方程，進行

解答，看．

【詳解】設(shè)安排?分志愿者派送，

∴8??5=5?+4，

解得：?=3．

故選：B．

【規(guī)律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·河北石家莊·期末）如果單項式3?2??3與單項式?5?6????是同類項，則????=

（）

A．?7B．?6C．?5D．?4

【答案】A

【分析】本題主要考查了已知同類項的定義求字母的值，以及已知字母的值，求代數(shù)式的值．根據(jù)同類項

的定義求出a和b的值，然后代入計算即可．

【詳解】解：∵單項式3?2??3與單項式?5?6????是同類項，

∴2?=6??，?=3，

∴?=2，

∴????=2?32=2?9=?7，

故選：A．

【題型2】（2023七年級·北京海淀·階段練習）如圖，每個小三角形的邊長都為1，把由四個小三角形組成

的邊長為2的大三角形稱為一個“成達小區(qū)域”．現(xiàn)將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這十個數(shù)分別填入圖

中的十個小三角形中，使得圖中的每個“成達小區(qū)域”中的四個數(shù)之和都是23．并且5，6，9，?這四個數(shù)已

填入圖中，位置如圖所示，則?表示的數(shù)是（）

A．3B．4C．7D．8

【答案】D

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)每個“成達小區(qū)域”中的四個數(shù)之和都是23得到方程

第17頁共27頁.

5+9=?+6，解方程即可得到答案．

【詳解】解：由題意得，5+9=?+6，

解得?=8，

故選：D．

【題型3】（2023七年級·貴州·期末）先看例子，再解類似的題目．

例子：解方程：|x|+1=3．

解法一：當x≥0時，原方程化為x+1=3，解方程，得x=2；當x<0時，原方程化為-x+1=3，解方程，得

x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2．

解法二：移項，得|x|=3-1，合并同類項，得|x|=2．由絕對值的意義，知x=±2．所以原方程的解為x=±2．

問題：用上面的兩種方法解方程2|x|-3=5．

【答案】x=±4．

【分析】根據(jù)閱讀材料來進行含絕對值的一元一次方程的解，需分兩種解法來求解.

【詳解】解：解法一：當x≥0時，原方程可化為2x-3=5，解得x=4；當x<0時，原方程可化為-2x-3=5，解

得x=-4．所以原方程的解為x=±4．

解法二：將原方程移項，得2|x|=5+3，合并同類項，得2|x|=8，方程兩邊同除以2，得|x|=4，由絕對值的意

義，知x=±4．所以原方程的解為x=±4．

【點睛】此題主要考查含絕對值的一元一次方程的解法.

【拓廣探究創(chuàng)新練】

【題型1】（2023七年級·甘肅武威·階段練習）某數(shù)的5倍加上3等于這個數(shù)的7倍減去5，這個數(shù)是

（）．

A．4B．－10C．10D．－4

【答案】A

【分析】由題意根據(jù)數(shù)量間的相等關(guān)系設(shè)這個數(shù)為x，列方程解答即可.

【詳解】解：設(shè)這個數(shù)為x，由題意得：

5x+3=7x-5

解得：x=4.

故選：A．

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意并依據(jù)題意等量關(guān)系建立方程求解是解題的關(guān)鍵.

【題型2】（2023·安徽合肥·七年級期末）安徽省加快“縣城通高速”步伐，實現(xiàn)了高速公路“縣縣通”，有力

第18頁共27頁.

促進縣域經(jīng)濟的發(fā)展．僅去年一年就通過新建或擴建開通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的長

度是擴建的2倍少45公里，求去年新建和擴建高速公路各多少公里？

【答案】去年新建高速公路331公里，擴建高速公路188公里

【分析】設(shè)擴建高速公路為?公里，則新建的高速公路為(2??45)公里，由題意得，?+(2??45)=519，求

解?的值，進而可得結(jié)果．

【詳解】解：設(shè)擴建高速公路為?公里，則新建的高速公路為(2??45)公里，

由題意得，?+2??45=519，

解得?=188，

∵519?188=331，

∴去年新建高速公路331公里，擴建高速公路188公里．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程．

【題型3】（2023七年級·河北石家莊·期末）小明在某月的日歷中圈出相鄰的四個數(shù)，算出這4個數(shù)的和是

42，那么這4個數(shù)在日歷上的位置可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】可設(shè)第一個數(shù)為x，根據(jù)四個數(shù)字的和為42列出方程，即可求解．

【詳解】解：設(shè)第一個數(shù)為x，根據(jù)已知：

A、由題意得x+x+7+x+6+x+8=42，則x=5.25不是整數(shù)，故本選項不合題意．

B、由題意得x+x+1+x+2+x+8=42，則x=7.75不是整數(shù)，故本選項不合題意．

C、由題意得x+x+1+x+7+x+8=42，則x=6.5是整數(shù)，故本選項符合題意．

D、由題意得x+x+1+x+6+x+7=42，則x=7是正整數(shù)，故本選項符合題意．

故選：D．

【點睛】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意對每個選項列出方程求解論證．

模塊三課后作業(yè)

1．（2023七年級·全國·專題練習）由方程3x–5=2x–4變形得3x–2x=–4+5，那么這是根據(jù)（）變形的．

A．合并同類項法則B．乘法分配律

C．移項D．等式性質(zhì)2

【答案】C

第19頁共27頁.

【分析】由已知變形到后邊的式子，是把-5移到方程右邊，把2x移到方程的左邊，因而這是根據(jù)移項變形

的.

【詳解】仔細觀察題目可判斷出這是根據(jù)移項變形的．

故選C.

【點睛】正確認識解一元一次方程的幾個步驟是解題的關(guān)鍵.

2．（2023七年級·全國·課后作業(yè)）對方程5??3?+?=4合并同類項正確的是（）

A．?=4B．2?=4C．3?=4D．?3?=4

【答案】C

【分析】方程合并同類項得到結(jié)果，即可作出判斷．

【詳解】解：方程5??3?+?=4，

合并同類項得：3?=4．

故選：C．

【點睛】此題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的步驟．

3．（14-15七年級·黑龍江伊春·期末）下列移項中，正確的是（）

A．6?+5=7?+2，移項得6??7?=2+5

B．7??21=6?+13，移項得7?+6?=13+21

C．18??40=7?+40，移項得18??7?=40+40

D．?24?+18?=?20??11，移項得24?+20?+18?=11

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程——移項，根據(jù)移項的運算法則逐一判斷即可求解，熟練掌握移項的

運算法則是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：A、6?+5=7?+2，移項得6??7?=2?5，則錯誤，故不符合題意；

B、7??21=6?+13，移項得7??6?=13+21，則錯誤，故不符合題意；

C、18??40=7?+40，移項得18??7?=40+40，則正確，故符合題意；

D、?24?+18?=?20??11，移項得?24?+20?+18?=?11，則錯誤，故不符合題意；

故選C．

1

4．（2023七年級·四川內(nèi)江·期中）下面是一個被墨水污染過的方程：2??=3??，答案顯示此方程

2

的解是?=?1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）

第20頁共27頁.

11

A．1B．?1C．?D．

22

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，設(shè)被墨水遮蓋的數(shù)為m，則把?=?1

1

代入方程2??=3???中求出m的值即可．

2

【詳解】解：設(shè)被墨水遮蓋的數(shù)為m，

1

由題意得，方程2??=3???的解為?=?1，

2

1

2×?=3×??，

∴(?1)2(?1)

1

解得?=?，

2

故選：C．

5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·七年級期末）定義新運算“※”，規(guī)定：?※?=2???，則方程?※(?2)=6的解為

（）

A．?=?10B．?=?3C．?=2D．?=4

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，先根據(jù)新定義得到2??(?2)=6，再解方程即可得到答案．

【詳解】解：∵?※(?2)=6，

∴2??(?2)=6，

解得?=2，

故選：C．

．（七年級湖南衡陽階段練習）定義一種新運算：?+?(?≥0)，若，則

62023··???=???(?<0)??(?3)=?2?

?=．

【答案】?1

【分析】本題考查了即一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義得到一元一次方程．根據(jù)新運算的方法得

到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可．

【詳解】解：∵?3<0，??(?3)=?2?，

∴?+3=?2?，

∴?=?1．

故答案為：?1．

第21頁共27頁.

7．（2023六年級下·黑龍江綏化·期中）小亮在解方程3?+?=7時，由于粗心錯把+?看成了??，結(jié)果解得

?=2，則?的值為．

【答案】3

【分析】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，由題意得出3??2=7，解一元一次方程即可得

出答案．

【詳解】解：由題意得：3??2=7，

解得：?=3，

故答案為：3．

8．（2023七年級·吉林長春·階段練習）小明在解關(guān)于?的方程5???=12時，誤把??寫成了+?，從而求得

此時方程的解為?=7，則原來方程的解為．

【答案】?=?7

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的

未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．先把?=7代入5?+?=12可得?=1，再把?=1代入5???=12，即

可求解．

【詳解】解：把?=7代入5?+?=12，得5?+7=12，

解得?=1，

把?=1代入5???=12，得5??=12，

解得?=?7，

故答案為：?=?7．

9．（2023七年級·江蘇宿遷·期末）若?2?+1?3與?2?3?3?+1是同類項，則代數(shù)式2?+6?的值是．

【答案】6

【分析】本題主要考查同類項的定義，熟練掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同類項的定義分別得出

?、?的值代數(shù)求值．

【詳解】解：∵?2?+1?3與?2?3?3?+1是同類項，

2?+1=3，

∴3=3?+1

?=1

解得?=2，

3

?=1

將?=2代入2?+6?，

3

2

得原式=2×1+6×=2+4=6．

3

第22頁共27頁.

故答案為：6．

10．（2023七年級·河南鄭州·期末）如圖是一個運算程序框圖，認真觀察框圖并計算，當輸出結(jié)果是7時，

輸入x的值為．

【答案】4或?6

【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)計算、解一元一次方程，分?>2和?≤2兩種情況，分別列方程，解

方程即可．

【詳解】解：分兩種情況，當輸入x的值大于2時：

2|?|?1=7，

即2??1=7，

解得?=4；

當輸入x的值小于或等于2時：

1??=7，

解得?=?6；

綜上可知，輸入x的值為4或?6．

故答案為：4或?6．

11．（2023七年級·四川遂寧·期中）解方程：3??2=5?+6．

【答案】?=?4

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．

【詳解】解；3??2=5?+6

移項得：3??5?=6+2，

合并同類項得：?2?=8，

系數(shù)化為1得：?=?4．

12．（2023七年級·天津·期中）解方程：

第23頁共27頁.

411

(1)?8?=3??；

32

(2)7??2.5?+3×6=1.5??15×4?3?．

2

【答案】?=?

(1)3

(2)?=?13

【分析】本題主要考查了解一元一次方程：

（1）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；

（2）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．

411

【詳解】（1）解：?8?=3??，

32

114

移項得：?8?+?=3?，

23

55

合并同類項得：??=，

23

2

系數(shù)化為得：?=?；

13

（2）解：7??2.5?