中考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)精講精練專題16 三角形相似【考點(diǎn)精講】（原卷版）

專題16三角形相似比例的基本性質(zhì)（1）兩條線段的長(zhǎng)度之比叫做兩條線段的比.（2）在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.（3）若a∶b=b∶c或SKIPIF1<0,則b叫做a,c的比例中項(xiàng).（4）比例的基本性質(zhì):SKIPIF1<0?ad=bc.（5）合比性質(zhì):SKIPIF1<0.（6）等比性質(zhì):SKIPIF1<0=…=SKIPIF1<0(b+d+…+n≠0)?SKIPIF1<0.（7）黃金分割:如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),AC>BC，若AC2=AB·BC，則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC=SKIPIF1<0AB≈0.618AB，BC=SKIPIF1<0AB，一條線段有2個(gè)黃金分割點(diǎn).（8）平行線分線段成比例定理:①平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.②推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.相似三角形（1）定義:對(duì)應(yīng)角相等,成比例的三角形叫做相似三角形.

（2）似三角形的判定定理①相似三角形的判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;②相似三角形的判定定理2:三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;③相似三角形的判定定理3:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似;④平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;⑤直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似.補(bǔ)充:若CD為Rt△ABC斜邊上的高(如圖),則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj（3）性質(zhì):①相似三角形的對(duì)應(yīng)角;

②相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線);

③相似三角形的周長(zhǎng)比等于,面積比等于.

相似多邊形（1）定義:各角對(duì)應(yīng)相等,各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形;相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.（2）性質(zhì):①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方.圖形的位似（1）位似圖形定義:如果兩個(gè)圖形不僅相似,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,此時(shí)相似比又稱位似比.（2）位似圖形的性質(zhì):位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于,位似圖形周長(zhǎng)的比等于,面積比等于.

【考點(diǎn)1】比例的有關(guān)概念和性質(zhì)【例1】（比例的性質(zhì)）已知a，b，c是非零實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，其中a＋b＋c≠0，則k的值為_(kāi)_______．【例2】（成比例線段）（2022·浙江麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．21．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02．（2020成都）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．SKIPIF1<03．如圖，直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0被SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所截，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（）A.2 B.3 C.4 D.SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，那么下列比例式中成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝______．【考點(diǎn)2】黃金分割【例3】（2022·湖南衡陽(yáng)）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺(jué)美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為SKIPIF1<0的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（結(jié)果精確到SKIPIF1<0．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0黃金分割的概念和性質(zhì)：若AC2=AB·BC，則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC=SKIPIF1<0AB≈0.618AB，BC=SKIPIF1<0AB，一條線段有2個(gè)黃金分割點(diǎn).1．（2022·山西）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．黃金分割2．（2021·四川巴中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足SKIPIF1<0，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對(duì)3．（2022·陜西）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做SKIPIF1<0將矩形窗框SKIPIF1<0分為上下兩部分，其中E為邊SKIPIF1<0的黃金分割點(diǎn)，即SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0為2米，則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_____米．4．已知線段AB的長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC＝_____cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)3】相似圖形的判定與性質(zhì)【例4】（三角形相似的判定）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A. B.C. D.【例5】（補(bǔ)充條件使三角形相似的性質(zhì)）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使SKIPIF1<0是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【例6】（三角形相似的性質(zhì)求周長(zhǎng)）如圖，在SKIPIF1<0△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDSKIPIF1<0AB于點(diǎn)D．則△BCD與△ABC的周長(zhǎng)之比為（）A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5【例7】（三角形相似的性質(zhì)求面積）（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【例8】（三角形相似的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度）（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．6判定三角形相似的幾種思路方法（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這是判定三角形相似的一種基本方法，當(dāng)已知條件中有平行線時(shí)可考慮采用此方法.這里，相似的基本圖形可分別記為“A”型（如圖①）和“X”型（如圖②），在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出三組邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可考慮證明三邊成比例.（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮找?jiàn)A邊成比例；反之，若已知夾邊成比例，可考慮找?jiàn)A角相等.（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮再找另一對(duì)等角.1．如圖，已知SKIPIF1<0，添加下列一個(gè)條件，不能使SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0＝（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：14．如圖，AB和CD表示兩根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的兩根鋼筋，AC與BD相交于點(diǎn)M，已知AB=8m，CD=12m，則點(diǎn)M離地面的高度MH為()A.4m B.SKIPIF1<0 C.5m D.SKIPIF1<05．（2022·廣西賀州）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如圖，已知點(diǎn)D為SKIPIF1<0ABC邊AB上一點(diǎn)，AD：AB＝2：3，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，若AE＝6，則EC的長(zhǎng)度是（）A.1 B.2 C.3 D.47．“創(chuàng)新實(shí)踐”小組想利用鏡子與皮尺測(cè)量大樹(shù)SKIPIF1<0的高度，因大樹(shù)底部有障礙物，無(wú)法直接測(cè)量到大樹(shù)底部的距離．聰明的小穎借鑒《海島算經(jīng)》的測(cè)量方法設(shè)計(jì)出如圖所示的測(cè)量方案：測(cè)量者站在點(diǎn)SKIPIF1<0處，將鏡子放在點(diǎn)SKIPIF1<0處時(shí)，剛好看到大樹(shù)的頂端，沿大樹(shù)方向向前走2．8米，到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0處，將鏡子放在點(diǎn)SKIPIF1<0處時(shí)，剛好看到在樹(shù)的頂端（點(diǎn)SKIPIF1<0在同一條直線上），若測(cè)得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1．6米，求大樹(shù)SKIPIF1<0的高度．【考點(diǎn)4】位似圖形【例9】（位似的性質(zhì)）（2022·山東濰坊）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形SKIPIF1<0的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的外接圓的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．【例10】（位似作圖）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．（1）以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OAB放大2倍；（2）分別寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)．如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.1．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，SKIPIF1<0是位似中心，位似比為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為（）A．8 B．9 C．10 D．152．（2022·重