《有限元非線性》課件

《有限元非線性》課件介紹本課件旨在深入淺出地介紹有限元方法在處理非線性問題中的應用。通過理論講解、案例分析和編程實踐，幫助您掌握有限元非線性分析的基本原理和方法。課件大綱概述介紹非線性有限元法的基本概念和應用范圍。解釋非線性有限元法的優(yōu)勢和局限性。非線性問題深入探討各種非線性問題，包括材料非線性、幾何非線性、接觸問題等。提供非線性問題建模、分析和求解方法的概述。實例與應用展示不同類型非線性問題的實際應用案例，如結構力學、流體力學、熱力學等。分析典型案例的建模過程和結果解釋?？偨Y與展望總結非線性有限元法的最新進展和未來發(fā)展趨勢。探討非線性有限元法的應用前景和未來研究方向。1.非線性問題的概念11.1什么是非線性問題非線性問題是指方程或模型中不滿足線性疊加原理的問題。21.2非線性問題的特點非線性問題通常表現(xiàn)為非線性關系、非線性行為，以及不唯一的解。31.3非線性問題的建模非線性問題通常需要使用非線性方程來描述，并采用數(shù)值方法進行求解。1.1什么是非線性問題線性問題在結構分析中，線性問題是指結構的材料行為和幾何形狀在載荷作用下保持線性關系。非線性問題與之相反，非線性問題是指結構的材料行為或幾何形狀在載荷作用下不再保持線性關系。材料非線性當材料超過其彈性極限時，材料的應力-應變關系不再是線性的，表現(xiàn)出非線性行為。幾何非線性當結構發(fā)生大變形時，其幾何形狀發(fā)生顯著變化，導致結構的剛度矩陣不再保持線性，表現(xiàn)出非線性行為。1.2非線性問題的特點復雜性非線性問題通常涉及復雜的物理現(xiàn)象，難以用線性方程描述。非線性關系材料特性、幾何形狀或載荷條件可能存在非線性關系。多解性非線性問題可能存在多個解，使得分析更具挑戰(zhàn)性。迭代求解需要使用迭代方法來求解非線性方程，這會增加計算成本。1.3非線性問題的建模簡化假設非線性問題的建模過程通常需要進行簡化假設，例如忽略材料的非線性或幾何的非線性，以便簡化模型并減少計算量。數(shù)學模型基于簡化假設，使用數(shù)學方程來描述非線性問題的物理現(xiàn)象，例如平衡方程、本構關系、邊界條件等等。有限元離散化將連續(xù)的物理模型離散化為有限個元素，并使用節(jié)點和單元來描述模型，每個節(jié)點和單元都有相應的自由度。非線性方程將非線性問題轉化為非線性方程組，并使用數(shù)值方法進行求解。2.非線性有限元法非線性有限元法非線性有限元法是在線性有限元法的基礎上發(fā)展而來的，它可以更準確地描述非線性問題的復雜行為。非線性問題非線性問題是指其響應與作用力或位移之間不存在線性關系的問題。非線性有限元法可以處理各種非線性問題，包括材料非線性、幾何非線性、接觸問題等。應用范圍非線性有限元法廣泛應用于工程領域，例如結構分析、流體力學、熱傳導等。2.1非線性有限元方程11.整體剛度矩陣非線性問題中，整體剛度矩陣不再是常數(shù)矩陣，而是與節(jié)點位移有關的函數(shù)。22.非線性載荷項載荷項也可能是非線性的，例如隨位移變化的接觸力或非線性材料行為引起的載荷。33.迭代求解由于方程的非線性，通常需要采用迭代方法來求解非線性有限元方程。2.2非線性問題的迭代求解非線性有限元方程通常沒有解析解，需要采用迭代方法求解。1初始猜測首先需要給出未知量的初始猜測值。2迭代求解根據(jù)初始猜測值，采用迭代算法逐步修正解。3收斂判斷當?shù)Y果滿足預設的收斂條件時，停止迭代。常用的迭代方法包括牛頓-拉夫森方法、弧長法等，這些方法各有優(yōu)缺點，需要根據(jù)具體問題選擇合適的算法。2.3Newton-Raphson方法牛頓-拉夫森方法是一種求解非線性方程組的數(shù)值方法，通過迭代的方式逐步逼近解。切線法該方法利用函數(shù)在當前迭代點的切線與橫軸交點作為下一個迭代點的估計值。收斂性收斂速度快，但需要初始值較好，否則可能無法收斂。2.4弧長法路徑長度控制弧長法通過控制解路徑的長度，可以有效解決非線性問題中可能出現(xiàn)的病態(tài)問題。收斂性提升相比于傳統(tǒng)的牛頓-拉夫森方法，弧長法可以顯著提高非線性問題的收斂性，尤其是在路徑拐彎處。多解問題弧長法可以用于尋找非線性問題中可能存在的多個解，例如在結構的屈曲分析中。3.材料非線性彈性材料彈性材料在卸載后能恢復原始形狀，符合胡克定律。塑性材料塑性材料在卸載后不能恢復原始形狀，會產生永久變形。粘彈性材料粘彈性材料兼具彈性和粘性，表現(xiàn)為時間依賴的力學特性。脆性材料脆性材料在斷裂前幾乎沒有塑性變形，斷裂強度較低。3.1彈塑性問題彈性階段材料在荷載作用下發(fā)生變形，卸載后能恢復到原始形狀。塑性階段當荷載超過材料的屈服極限，材料將發(fā)生永久變形，卸載后無法恢復到原始形狀。3.2本構關系應力-應變關系本構關系描述了材料在載荷作用下的應力與應變之間的關系。彈塑性本構關系彈塑性材料的本構關系分為彈性階段和塑性階段，分別描述了材料在不同應力水平下的行為。3.3本構模型彈性模型描述材料在彈性范圍內應力-應變關系。常用線性彈性模型，適用于小變形情況。塑性模型描述材料塑性變形時的應力-應變關系。常用的塑性模型包括vonMises模型、Tresca模型等。粘彈性模型描述材料在彈性變形和粘性變形同時存在的應力-應變關系。常用于橡膠等材料。損傷模型描述材料內部微裂紋擴展、損傷積累的過程，用于研究材料破壞過程。4.幾何非線性大位移和大旋轉結構發(fā)生顯著變形，導致位移和旋轉量不再忽略不計。幾何非線性理論考慮幾何非線性影響的理論框架，例如Green-Lagrange應變和二階應力張量。小更新法將非線性問題逐步線性化，通過迭代求解得到近似解，并在每次迭代中更新幾何配置。4.1大位移和大旋轉11.大位移結構發(fā)生較大變形，節(jié)點坐標發(fā)生顯著變化，需要考慮幾何非線性。22.大旋轉結構的旋轉角度很大，超過小角度近似，需要考慮旋轉的非線性。33.影響因素材料的剛度，載荷的大小，結構的形狀等因素。44.應用場景纜索橋，薄殼結構等，這些結構通常承受較大的載荷，容易發(fā)生大位移和大旋轉。4.2幾何非線性理論考慮大位移和大旋轉的影響，分析結構的變形和應力狀態(tài)。需要考慮幾何非線性，例如應變的非線性關系。建立基于變形幾何的非線性平衡方程，進行求解。運用各種數(shù)值方法，例如增量法、迭代法等，求解非線性方程。4.3小更新法11.更新節(jié)點坐標小更新法通過計算節(jié)點位移更新節(jié)點坐標。22.更新元素剛度矩陣根據(jù)更新后的節(jié)點坐標，重新計算元素剛度矩陣。33.求解方程使用更新后的剛度矩陣和載荷向量求解位移增量。44.迭代求解重復以上步驟，直到位移增量小于容許誤差。5.接觸問題接觸的概念接觸是指兩個或多個物體之間的相互作用。接觸問題是結構力學中的一種重要問題，在實際工程應用中非常常見。接觸的約束條件接觸約束是指物體之間接觸時產生的約束條件，例如接觸面上的法向力或切向力。接觸有限元方法接觸有限元方法是處理接觸問題的一種有效方法，它通過引入接觸單元和接觸算法來模擬接觸行為。5.1接觸的概念表面接觸兩個物體表面發(fā)生接觸，接觸點處存在相互作用力。接觸點接觸點是指兩個物體表面相互接觸的點或區(qū)域。接觸壓力接觸點處，兩個物體表面相互作用力的分布情況。5.2接觸的約束條件接觸面約束接觸面上的節(jié)點只能沿法線方向移動，不能穿透另一個物體。摩擦力約束接觸面上的節(jié)點之間存在摩擦力，限制了節(jié)點的切向運動。法向力約束接觸面上的節(jié)點之間存在法向力，防止節(jié)點穿透另一個物體。5.3接觸有限元方法接觸單元接觸有限元方法利用專門的接觸單元來模擬接觸面之間的相互作用，可以描述接觸面的幾何關系、接觸力、摩擦力等。懲罰函數(shù)法通過在接觸面添加懲罰力來模擬接觸約束，懲罰力的大小與接觸面之間的穿透深度成正比，可以用來判斷接觸狀態(tài)。6.非線性有限元建模軟件平臺選擇合適的非線性有限元分析軟件，例如ANSYS、ABAQUS或COMSOL。幾何建模使用幾何建模軟件，例如SolidWorks或CATIA，創(chuàng)建分析對象的幾何模型。網(wǎng)格劃分將幾何模型離散化為有限元網(wǎng)格，以便進行數(shù)值分析。材料屬性定義根據(jù)材料特性，定義材料模型和相應的參數(shù)。6.1模型建立步驟1幾何建模定義模型的幾何形狀和尺寸2材料屬性定義指定材料的力學性質3邊界條件和載荷定義定義模型的約束條件和施加的外部載荷4網(wǎng)格劃分將模型分割成有限個單元5非線性分析設置選擇合適的求解算法和控制參數(shù)有限元建模是將真實物理問題抽象成數(shù)學模型的過程，它是進行非線性分析的基石。建模步驟需要仔細完成，以確保模型能夠準確反映實際問題。6.2非線性分析步驟1網(wǎng)格劃分根據(jù)幾何形狀和材料屬性劃分網(wǎng)格，選擇合適的單元類型和網(wǎng)格密度。2材料屬性定義定義材料的本構關系，包括應力-應變曲線、彈性模量和泊松比等。3邊界條件和載荷應用設置邊界條件，如固定邊界、位移約束，并施加載荷，包括外部力、溫度變化等。4非線性求解使用迭代方法進行非線性求解，例如Newton-Raphson法或弧長法。5結果后處理分析結果，包括位移、應力、應變等，并進行可視化展示。6.3收斂性和穩(wěn)定性收斂性非線性有限元分析中，迭代求解過程是否能收斂至正確解，取決于初始條件、載荷步長和求解算法等因