常見的相似三角形模型參考答案

常見的相似三角形模型參考答案例題分析參考答案A字模型C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定證得，可得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵∥，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，∴．∵，∴，又∵，∴．∴在中，．故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、比例性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．D【詳解】試題分析：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴，，，所以A、B、C正確；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴，∴，所以D錯誤．故選D．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．(1)求線段DE的長；(2)取線段AD的中點M，連接BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可．【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如圖．∵點M是線段AD的中點，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【點睛】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對應(yīng)關(guān)系．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=ABAD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=ABAD=31=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當(dāng)在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時，，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當(dāng)時，，，，即是邊上的高，當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．故選：A．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點為的中點，，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設(shè)，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．8字模型如圖，在正方形中，點為邊上一點，且，點為對角線上一點，且，連接交于點，過點作于點，若，則正方形的邊長為cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，得到設(shè)求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點，為BC的三等分點，設(shè)為等腰直角三角形，為AE的中點，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．正方形中，，點是對角線上的一動點，將沿翻折得到，直線交射線于點．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點在運動過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請說明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到，加上對頂角相等得到的，從而得到，進(jìn)而得到對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到，加上對頂角相等得到的證明出：，最終得到對應(yīng)角相等得出結(jié)果．如圖中，連接，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；證明是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖中，設(shè)交于點．四邊形是正方形，，，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如圖中，連接，．四邊形是正方形，，，，，，，，同法可證，，，，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)時，，，，，，，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接，交線段于點，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對稱軸交軸于點，與直線，分別交于、兩點．試問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)或2(3)為定值，【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將兩點坐標(biāo)代入解析式求解即可；（2）構(gòu)造相似三角形和，利用直線的解析式求出點坐標(biāo)以及點關(guān)于的代數(shù)式，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；（3）通過輔助線構(gòu)造直角三角形并用含有的代數(shù)式表示出和，再分別用兩個三角函數(shù)表示，代入中，最后化簡即可．【詳解】（1）拋物線與軸交于，兩點∴，解得：∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）如圖1，過點作軸，交的延長線于點，過點作軸交于點．則，∴令，則，∴∵直線過點和設(shè)直線：∴直線的解析式為：．∵，軸∴當(dāng)時，，∴設(shè)，則∴∵∴，解得，．∴當(dāng)或2時，．（3）為定值，理由如下：如圖2，過點作軸交軸于點．∵，，對稱軸是∴設(shè)則，，在中，，∴，在中，，∴∴【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)以及運用三角函數(shù)解直角邊是解決本題的關(guān)鍵．A字型及8字型結(jié)合如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點是線段的中點∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設(shè)EF與CD的延長線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點F在線段AD的延長線上時，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CDDH=2AEAE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，旋轉(zhuǎn)相似【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，則可判斷△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性質(zhì)可對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△AB'C'，∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，∴△ABB′∽△ACC′，∴．故選A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．C【分析】連接BD，BF，先證明，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接BD，BF，∵在正方形和正方形中，∴，，∠ABD=∠GBF=45°，∴=，∠ABG=∠DBF，∴，∴=，故選C．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型，是解題的關(guān)鍵．如圖，在中，，，，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點，則的長為．

【答案】【分析】過點作于點，利用勾股定理求得根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證是等腰直角三角形，可得，再由，證明，可得即，再由，求得從而求得即可求解．【詳解】過點D作DF⊥AB于點F，∵，，

∵將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案為∶．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點H、I，CH＝IH．則線段HI的長度為（）A．3 B．2 C．5 D．【答案】D【分析】由“HL”可證Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性質(zhì)可得∠IAH=∠AID，可證IH=AH，通過證明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AI，AC，∵以點A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對角線，若圖2中的的邊分別交對角線于點G、點H．如圖3，求的值．【答案】(1)（選取兩個即可）．(2)．(3)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得都是等腰三角形．由折疊可得，，即可得到，證明，則．又由得到，則都是等腰三角形．（2）延長到T，使得，連接．證明，則．得到，證明，則．得到，即可得到結(jié)論．（3）由四邊形是正方形得到，．證明，則．【詳解】（1）如圖1中，

圖1∵四邊形是正方形，∴，∴都是等腰三角形．由折疊可得：，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴都是等腰三角形．故答案為：（選取兩個即可）．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，延長到T，使得，連接．

∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：．（3）如圖3中，

∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過邊的中點O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形的邊上一動點（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點F，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．

【答案】（1）①；②；（2）①成立，見解析；②；（3）是定值，3，見解析【分析】（1）①連接，，利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；②利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①連接，，利用正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②連接，，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可；（3）過點作于點，連接，，，與交于點，利用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）①連接，，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，∴B，F(xiàn)，D三點在一條直線上．∵，，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴，∴；故答案為：；②∵B，F(xiàn)，D三點在一條直線上，，∴直線與直線所夾的銳角等于45°．故答案為：；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接、，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴和為等腰直角三角形，，，，∴，，∴，∴；延長，交于點，交于點，

∵，∴，∵，∴，∴，即直線與直線所夾的銳角等于，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；②連接，，如圖，

∵四邊形為正方形，∴．由①知：，∴．∵邊的中點為O，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：；（3）的值是定值，定值為3，理由：過點作于點，連接，，，與交于點，如圖，∵四邊形為正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，

∴，，，∴．由（2）①的結(jié)論可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．即：的值是定值，定值為3．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

一線三等角模型1或4【分析】根據(jù)題意可證，得出比例關(guān)系式，進(jìn)而求出AP的長．【詳解】∵在梯形中，，∴．又∵，，∴，∴．∴．設(shè)，則，∴，解得或4.∴或4．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形模型，是解題的關(guān)鍵．C【分析】先證明，從而得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∠B+∠BCO=∠AOC=∠DOC+∠AOD，∴∠BCO=∠AOD，又∵，∴，∴，即：∵O為邊的中點，∴AO2=8×9=72，∴AO=6（負(fù)值舍去），∴AB=12．故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形模型，是解題的關(guān)鍵．B【詳解】試題分析：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故選B．考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．D【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF=90°，得△AGE∽△BEF，又由E為AB的中點，AG=2，BF=3，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，由此即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∵∠GEF=90°，∴∠AEG+∠BEF=90°，∴∠AGE=∠BEF，∴△AGE∽△BEF，∵E為AB的中點，∴AE=BE，∵解得：，故選：B【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．C【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進(jìn)而得出S△AOD=3，即可得出答案．【詳解】過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵=tan30°=，∴，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：y=﹣．故選C．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)數(shù)的幾何意義，正確得出S△AOD=2是解題關(guān)鍵．5【分析】作軸于，軸于，易證得，根據(jù)系數(shù)三角形的性質(zhì)即可求得的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得的面積．【詳解】解：作軸于，軸于，四邊形是菱形．，，，，，，，，，點在雙曲線，，，，，，點在雙曲線上，，，平行于軸的直線與兩雙曲線分別交于點，，，故答案為5．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）見解析；（2）正方形的邊長為.【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA證得△ABE≌△BCF即可得出結(jié)論；（2）證出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG?AE，設(shè)EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BF，垂足為G，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE與△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝∠ABE＝90°，∵∠BEG＝∠AEB，∴△BGE∽△ABE，∴＝，即：BE2＝EG?AE，設(shè)EG＝x，則AE＝AG+EG＝2+x，∴（）2＝x?（2+x），解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合題意舍去），∴AE＝3，∴AB＝＝＝．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵．4【分析】先證明，得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)，則，代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【詳解】解：又設(shè)，則．，化簡得，整理得，所以當(dāng)時，y有最大值為4．故答案為4．【點睛】考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值問題，幾何最值用二次函數(shù)最值求解考查了樹形結(jié)合思想．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=ABPB=128=4；當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．

升級演練參考答案如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案．如圖，在等邊中，，點是以為圓心，半徑為3的圓上一動點，連接，為上一點，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過作于，在上截取，連結(jié)，；先證明，然后運用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到，即當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過作于，在上截取，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，取得最大值為最小值，∴的最大值為，的最小值為，∴的最大值與最小值之積為．故答案為A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．如圖，點E是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，交于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形內(nèi)心定義和同弧所對圓周角相等即可解答；（2）如圖：連接BE，根據(jù)三角形內(nèi)心定義和同弧所對圓周角相等，從而根據(jù)等角對等邊即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，再證明可得,，再證可得，即，解得，進(jìn)而得到，然后再利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于的方程求得，然后根據(jù)等角對等邊即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵點E是的內(nèi)心，∴，∴．答：∠CBD的度數(shù)為．（2）證明：如圖，連接BE，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．（3）解：設(shè)，則，∵，∴，∴,，∵，∴，∴，即，解得∴，∵，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴．答：的長為．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心定義、同弧所對圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解決本題的關(guān)鍵是相似三角形判定與性質(zhì)的應(yīng)用．（1）；（2）（3）有變化，【分析】（1）連接，由菱形的頂點、在菱形的邊上，且，易得，，共線，延長交于點，延長交于點，連接，交于點，則也為菱形，利用菱形對角線互相垂直，結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)論；（2）連接，，由和都是等腰三角形，易證與與，利用相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）連接，，易證和，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）連接，∵菱形的頂點、在菱形的邊上，且，，，，，，共線，，，延長交于點，延長交于點，連接，交于點，則也為菱形，，，，∵，，∵為平行四邊形，，．（2）如圖，連接，，∵和都是等腰三角形，，，，，，∵，，在和中，，．（3）有變化．如圖，連接，，∵，，，，，，，，，，，，，【點睛】本題是菱形與相似三角形，全等三角形，三角函數(shù)等知識點的綜合運用，難度較大．（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．證明△AHF≌△FJD（SAS），可得結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：．證明△AHF∽△FJD，可得結(jié)論；（3）如圖③中，結(jié)論：，證明方法類似（2）．【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點A作AH⊥BC于H，過點D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．（1）；（2）依然成立，證明見解析；（3）．【分析】（1）分別求出AD，BE的長，即可求解；（2）通過證明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得結(jié)論；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，∵點D，E分別為AC，BC的中點，∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，∴AD=BE，故答案為：AD=BE，AD⊥BE；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，∴，，∴，∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，∠CBO=∠CAD，∴AD=BE，∵∠CBO+∠BOC=90°，∴∠CAD+∠AOP=90°，∴∠APO=90°，∴BE⊥AD；（3）∵∠APB=90°，∴點P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵sin∠EBC=，∴∠EBC=30°，∴∠GBP=30°，∵GB=GP，∴∠GBP=∠GPB=30°，∴∠BGP=120°，∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度=，∵∠ABP=30°，BP⊥AP，∴AP=AB=1，BP=AP=，∵∠CBP=30°，PH⊥BH，∴PH=BP=．∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，確定點P的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．

溫故知新參考答案如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．C【分析】先求，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解.【詳解】∵在?ABCD中，E為BC中點，∴AD＝BC，，2BE＝BC＝AD，∴，∴，即，.故選C．【點睛】此題重點考查學(xué)生對相似三角形的判定的理解，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.4【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD，再利用勾股定理求解即可；（3）先利用勾股定理求得AD，再證明△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】解：（1）∵在中，，是邊上的高．∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=4，故答案為：4；（2）由（1）知△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，故答案為：；（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，由勾股定理得：AD=，由（1）中△ADC∽△ACB，∴，即，解得：BC=，經(jīng)檢驗，BC=，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解分式方程、解一元二次方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16．B【分析】證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60x，∴解得：x=20所以，AN=20．故選：B．【點睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵．如圖①，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC上一動點（不與點B，C重合），以AD為邊向右作等邊△ADE，邊DE與AC相交于點F，設(shè)BD＝x，CF＝y(tǒng)，若y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)推出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)以及圖象確定出△ABC的邊長，從而求解面積即可．【詳解】解：∵△ABC，△ADE為等邊三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，設(shè)AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y(tǒng)，∴，即．∵，，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y取得最大值，此時，由圖象可知，∴a＝6，∴等邊三角形ABC的面積為．故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)推出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵．如圖，邊長為10的等邊中，點D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時，的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作于，根據(jù)等邊三角形，和含角的直角三角形，易證得，從而求得線段，，，，，，的長度，最后在中利用勾股定理可以求得的長度．【詳解】如圖，過點作于，在等邊中，，，在中，，，∵，∴，，∴，∴，又∵∠A=∠B=60°，∴，

∴，∴在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，已知∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，而,∴，∴，在中，，∴，即．故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊三角函數(shù)值，一線三等角的相似模型，正確找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結(jié)論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】由余角的定義可推出，并不能說明，說明①錯誤；再根據(jù)，可推出，進(jìn)而可證明，說明②正確；連接BD，由三角形中位線可知，再由可進(jìn)一步推出，即，即，說明④正確；在中，，即可求出CG長度，即可求出AB=2，說明③正確．【詳解】解：∵，∴，∴不能說明，故①錯誤．∵，∴，又∵∴，故②正確．如圖連接BD，由題意可知，∵G和F分別為CD和BC的中點，∴，∵∴，即，∴在中，，即,解得∴，故③正確．∵，∴，即，故④正確．綜上正確的有②③④共3個．故選B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強．能夠連接常用的輔助線和證明是解答本題的關(guān)鍵．如圖，中，點在上，，若，，則線段的長為．【答案】【分析】延長到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案．如圖，∠MPN=90°，邊長為6的正方形ABCD的頂點A、B分別在邊PM、PN上移動，連接PC，Q為PC上一點，且PQ=2QC，則線段BQ長度的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，取的中點，連接,，過點作，過點作，當(dāng)三點共線時，取得最小值，勾股定理求得，根據(jù)求解即可．【詳解】如圖，取的中點，連接,，過點作，過點作，，，四邊形是正方形，的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E是邊AB的中點，連接CE，將△BCE沿CE折疊得到△FCE，CF與BD交于點P，則DP的長為．【答案】【分析】由勾股定理可求出BD、EC的長，連接BF交CE于點G，作FH⊥BC于點H，PQ⊥BC于點Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BG的長，再根據(jù)面積等式列方程求出FH的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ與CQ的比，進(jìn)而求出DP的長．【詳解】解：如圖，連接BF交CE于點G，作FH⊥BC于點H，PQ⊥BC于點Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵BC=3，∴；∵AE=BE=AB=×2=1，∴；由折疊得，CE垂直平分BF，∴∠BGC=∠EBC=90°，∵∠GCB=∠BCE，∴△BGC∽△EBC，∴，∴，∴，；由BC?FH=BF?CG得，×3FH=××，解得，F(xiàn)H=；∵∠CHF=90°，F(xiàn)C=BC=3，∴；∵PQ∥FH，∴△CPQ∽△CFH，∴，∴，∴CQ=PQ，∵∠BQP=∠BCD=90°，∴PQ∥DC，∴△BPQ∽△BDC，∴，∴，∴BQ=PQ，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡以及用面積等式列方程等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，此題難度較大，計算煩瑣，應(yīng)注意檢驗所求的結(jié)果是否正確．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形中，，，，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為.當(dāng)一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點作交于點，連接，交于點.設(shè)運動時間為.解答下列問題：（1）當(dāng)為___________時，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時，點在線段的垂直平分線上？（4）若點關(guān)于的對稱點為，是否存在某一時刻，使得點，，三點共線？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由題意得，PQ∥AB，則四邊形PABQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AP=BQ，即82t=t，解方程即可求解；（2）過點Q作QH⊥AB交AB的延長線于點H，由勾股定理求出BD=6，證明△ADB∽△BHQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得QH=，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，可得出BE=，根據(jù)y=S四邊形APQBS△BEQ即可求解；（3）先證出△APE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，可得PE=6，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根據(jù)勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）連接FF′交AB于點N，由對稱及平行線的性質(zhì)可得∠FEB=∠ABD，由等角對等邊得EF=FB，則，再證△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后證明△BNF∽△BDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得t的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四邊形PABQ是平行四邊形，∴AP=BQ，∴82t=t，∴t=，∴當(dāng)t=時，PQ∥AB；故答案為：；（2）如圖，過點Q作QH⊥AB交AB的延長線于點H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2AD2=10064=36，即BD=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴，即，∴，∵PE∥BD，∴，即，∴，∴y=S四邊形APQBS△BEQ=；（3）如圖：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴，即，∴，∵點E在線段PQ的垂直平分線上，∴EQ=，由（2）得，∴，∴，Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴，即t2+2t4=0，解得：（舍去），∴當(dāng)t=時，點E在PQ的垂直平分線上；（4）連接FF'交AB于點N，∵點F關(guān)于AB的對稱點為F′，∴∠FEB=∠F′EB，F(xiàn)N⊥EB，∵點P，E，F(xiàn)′三點共線，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴，∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴，∴，解得：t=，∴存在某一時刻t，使得點P，E，F(xiàn)′三點共線，t的值為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．

如圖，正方形的邊長為，點是射線上的一個動點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處．

（1）當(dāng)時，如圖，延長，交于點，①的長為________；②求證：．（2）當(dāng)點恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；（3）當(dāng)時，求的正弦值．【答案】（1）①12；②見解析；（2），；（3）或．【分析】（1）①根據(jù)△ABE∽△FCE，可得，即＝1，進(jìn)而得到CF的長；②根據(jù)四邊形ABCD為正方形，可得∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，進(jìn)而得到AM＝FM．（2）根據(jù)∠CA