吉林省白山市第七中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

吉林省白山市第七中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．3．設，其中a，b是實數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或55．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．6．若函數(shù)函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若關于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．9．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是110．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．11．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．12．已知直線：（）與拋物線：交于（坐標原點），兩點，直線：與拋物線交于，兩點.若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是___________14．設函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.15．一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值為________.16．已知函數(shù)，則過原點且與曲線相切的直線方程為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學期望和方差；②若隨機變量滿足，則認為.假設當時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.18．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望．19．（12分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.20．（12分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.22．（10分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點.（1）若直線過橢圓的上頂點，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點，直線，，的斜率分別為，，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用換元法設，則等價為有且只有一個實數(shù)根，分三種情況進行討論，結合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設，則有且只有一個實數(shù)根.當時，當時，，由即，解得，結合圖象可知，此時當時，得，則是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，，此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；當時，當時，，此時最小值為，結合圖象可知，要使得關于的方程有且只有一個實數(shù)根，此時.綜上所述：或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應用.利用換元法，數(shù)形結合是解決本題的關鍵.2、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．3、D【解析】

根據(jù)復數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復數(shù)模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考驗計算，屬基礎題.4、B【解析】

根據(jù)漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.5、A【解析】

先利用向量坐標運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

轉化有1個零點為與的圖象有1個交點，求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形結合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點．記，則過原點作的切線，設切點為，則切線方程為，又切線過原點，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用，考查了學生數(shù)形結合，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.7、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構造法：構造函數(shù)(易求，可解)，轉化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).8、C【解析】

直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應用，考查計算能力．9、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增在上單調遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質.10、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當，即時，.故選：B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.11、C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.考點：三視圖12、D【解析】

設，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達定理，再由直線與拋物線的交點求出點坐標，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：設，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先還原幾何體，再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題14、【解析】

先確定關于x的方程當a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當時，，此時，此時函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.15、【解析】

由程序中的變量、各語句的作用，結合流程圖所給的順序，模擬程序的運行，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得：,執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為.故答案為：【點睛】本題主要考查了程序和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值是解題的關鍵，屬于基本知識的考查.16、【解析】

設切點坐標為，利用導數(shù)求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，于此可得出所求的切線方程．【詳解】設切點坐標為，，，，則曲線在點處的切線方程為，由于該直線過原點，則，得，因此，則過原點且與曲線相切的直線方程為，故答案為．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：（1）先設切點坐標，并利用導數(shù)求出切線方程；（2）將所過點的坐標代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標；（3）將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應的頻率，然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計值；（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；②先根據(jù)條件計算出的取值范圍，然后根據(jù)并結合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應概率的對稱性.18、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數(shù)為，“合格”的學生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列與數(shù)學期望．【詳解】由題意知，樣本容量為，．（1）平均數(shù)為，設中位數(shù)為，因為，所以，則，解得．（2）由題意可知，分數(shù)在內(nèi)的學生有24人，分數(shù)在內(nèi)的學生有12人．設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，則，所以．（3）在評定等級為“合格”和“不合格”的學生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學生人數(shù)為，“合格”的學生人數(shù)為．由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1．，．所以的分布列為0510151．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學期望，考查了計算能力，屬于中檔題．19、（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構建方程求得BC，最后由余弦定理構建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.20、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）設，，，通過，即為的中點，轉化求解，點的軌跡的方程．（2）設直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決【詳解】（1）設，，則，，由題意知，所以為中點，由中點坐標公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，因為，故，即①，聯(lián)立，消去得：，設，，，，，因為四邊形為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．21、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程