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文檔簡介
2025屆安徽省合肥市長豐中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知角的終邊經(jīng)過點P(),則sin()=A. B. C. D.2.做拋擲一枚骰子的試驗,當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時,就說這次試驗成功,假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數(shù)X的期望為()A.13 B.13.若雙曲線:()的一個焦點為,過點的直線與雙曲線交于、兩點,且的中點為,則的方程為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點,點P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或55.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.6.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知雙曲線C:()的左、右焦點分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.8.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或19.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點,,是圓上的動點,點關(guān)于直線的對稱點為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.10.一個幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個幾何體的表面積是()A. B. C. D.11.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個12.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,則_______.14.若函數(shù)為奇函數(shù),則_______.15.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點D是邊AB上一點,,,,,則的面積為________.16.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則數(shù)列的公比是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項公式;若數(shù)列滿足,求的前項和.19.(12分)如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點,圓過且斜率為的直線交圓于兩點,交橢圓于點兩點,已知當(dāng)時,(1)求橢圓的方程.(2)當(dāng)時,求的面積.20.(12分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學(xué)校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān);(2)在全?!氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名,再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對于,使得成立,求的取值范圍.22.(10分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(i)得分不低于可獲贈2次隨機話費,得分低于則只有1次:(ii)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下:贈送話費(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列.附:,若,則,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.2、C【解析】
每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選:C.【點睛】本題考查了二項分布求數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.3、D【解析】
求出直線的斜率和方程,代入雙曲線的方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,結(jié)合焦點的坐標(biāo),可得的方程組,求得的值,即可得到答案.【詳解】由題意,直線的斜率為,可得直線的方程為,把直線的方程代入雙曲線,可得,設(shè),則,由的中點為,可得,解答,又由,即,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組,合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.4、B【解析】
根據(jù)漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.7、D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運算能力.8、D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯誤選項,得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時,P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項;當(dāng)時,,由圖象可知選B.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10、C【解析】
畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個正方體中挖掉個球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算,考查空間想象能力和運算求解能力.11、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當(dāng)集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由可得集合是奇數(shù)集,由此可以得出結(jié)果.【詳解】解:因為所以集合中的元素為奇數(shù),所以.【點睛】本題考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.14、-2【解析】
由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.16、.【解析】
當(dāng)q=1時,.當(dāng)時,,所以.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個法向量為,則,令,則,又平面的一個法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.18、,;.【解析】
由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進(jìn)而求出數(shù)列,的通項公式;當(dāng)時,由,所以,當(dāng)時,由,,可得,進(jìn)而求出前項和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項公式.當(dāng)時,由,所以.當(dāng)時,由,,兩式相減得,所以.故所以的前項和,.又時,,也符合上式,故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項公式,前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)先求出圓心到直線的距離為,再根據(jù)得到,解之即得a的值,再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出,,再求得的面積.【詳解】(1)因為直線過點,且斜率.所以直線的方程為,即,所以圓心到直線的距離為,又因為,圓的半徑為,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得,橢圓的右準(zhǔn)線方程為,離心率,則點到右準(zhǔn)線的距離為,所以,即,把代入橢圓方程得,,因為直線的斜率,所以,因為直線經(jīng)過和,所以直線的方程為,聯(lián)立方程組得,解得或,所以,所以的面積.【點睛】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的方程的求法,考查三角形面積的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.20、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)分布列見解析,.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表,求出,從而有的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名,則抽中男教工:人,抽中女教工:人,從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由題意得下表:男女合計冰雪迷402060非冰雪迷202040合計6040100的觀測值為所以有的把握認(rèn)為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工,2名女職工,所以的可能取值為0,1,2.且,,,所以的分布列為012【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用,考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、排列組合、頻率分布直方圖
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