專題16 軸對稱綜合題（幾何變換） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題16軸對稱綜合題（幾何變換）考試時間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，是直線外兩點，在上求作一點，使最小，其作法是（

）A．連接并延長與的交點為B．連接，并作線段的垂直平分線與的交點為C．過點作的垂線，垂線與的交點為D．過點作的垂線段，是垂足，延長到點，使，再連接，則與的交點為．【答案】D【思路點撥】利用兩點之間線段最短求最短時的位置，則需要作點A關(guān)于直線的對稱點，再連接對稱點及B點即可【規(guī)范解答】通過軸對稱的性質(zhì)作點A的對稱點，再連接，利用兩點之間線段最短的原理得到與的交點為故選D【考點評析】本題考查軸對稱的性質(zhì)在最值問題中的應(yīng)用，理解將軍飲馬模型并運用軸對稱解題是關(guān)鍵．2．(本題2分)（2021秋·山東威?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【思路點撥】作點F關(guān)于AD的對稱點F′，連接CF′交AD于點E′，連接EF′，得到≥CF′，結(jié)合點與直線上的所有點的連線中，垂線段最短，即可求解．【規(guī)范解答】作點F關(guān)于AD的對稱點F′，連接CF′交AD于點E′，連接EF′，∵平分交于點，∴點F′在AB上，∴≥CF′，在中，當(dāng)CF′⊥AB時，CF′的值最小，此時，CF′==，∴的最小值為，故選D【考點評析】本題主要考查軸對稱與兩線段和的最小值問題，熟練掌握“馬飲水”模型，是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2020春·福建泉州·七年級?？计谥校┤鐖D，∠AOB＝45°，點M、N分別在射線OA、OB上，MN＝6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動點，點P關(guān)于OA對稱的點為P1，點P關(guān)于OB對稱點為P2，當(dāng)點P在直線NM上運動時，△OP1P2的面積最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．18【答案】B【思路點撥】連接OP，過點O作OH⊥NM交NM的延長線于H．首先利用三角形的面積公式求出OH，再證明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小時，△OP1P2的面積最?。疽?guī)范解答】解：連接OP，過點O作OH⊥NM交NM的延長線于H．∵S△OMN＝?MN?OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵點P關(guān)于OA對稱的點為P1，點P關(guān)于OB對稱點為P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小時，△OP1P2的面積最小，根據(jù)垂線段最短可知，OP的最小值為4，∴△OP1P2的面積的最小值＝×4×4＝8，故選：B．【考點評析】本題考查軸對稱，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是證明△OP1P2是等腰直角三角形，屬于中考?？碱}型．4．(本題2分)（2021秋·七年級單元測試）如圖，一條筆直的河L，牧馬人從P地出發(fā),到河邊M處飲馬，然后到Q地，現(xiàn)有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（

）A．B．C． D．【答案】D【思路點撥】用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離；以及垂線段最短求解．【規(guī)范解答】作點P關(guān)于直線l的對稱點P′，連接QP′交直線l于M．如圖，根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項B使牧馬人所走路徑最短．故選D．【考點評析】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．5．(本題2分)（2021春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，正方形的面積為9，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】A【思路點撥】首先根據(jù)題意連接BD，再結(jié)合題意當(dāng)P、B、E三點在一條直線上是的和最小，因此可求得最小值.【規(guī)范解答】解：正方形的面積為9，是等邊三角形連接PB，則PB=PD那么=PB+PE因此當(dāng)P、B、E三點在同一條直線上時，的和最小也就是=PB+PE=BE=AB=3故選A.【考點評析】本題主要考查軸對稱,最短路問題,關(guān)鍵在于由兩點之間線段最短再結(jié)合題意求解即可.6．(本題2分)（2019春·七年級課時練習(xí)）如圖，∠AOB=30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=6，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（

）.A．2 B． C．20 D．2【答案】A【思路點撥】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP＋PQ＋QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【規(guī)范解答】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP＋PQ＋QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝．故選A．【考點評析】本題考查了軸對稱－－最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵.7．(本題2分)（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB內(nèi)一點P，P1，P2分別是P關(guān)于OA、OB的對稱點，P1P2交OA于點M，交OB于點N．若△PMN的周長是5cm，則P1P2的長為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】B【思路點撥】對稱軸就是兩個對稱點連線的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得=,=，所以=++=5cm.【規(guī)范解答】∵與關(guān)于對稱，∴為線段的垂直平分線，∴=，同理，與關(guān)于OB對稱，∴OB為線段的垂直平分線，∴=，∵△的周長為5cm．∴=++=++=5cm，故選B【考點評析】對稱軸是對稱點的連線垂直平分線，再利用垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.8．(本題2分)（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影凃在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格子內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路點撥】從陰影部分圖形的各頂點向虛線作垂線并延長相同的距離找對應(yīng)點，然后順次連接各點可得答案.【規(guī)范解答】如圖所示，把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字3的格子內(nèi)所組成的圖形是軸對稱圖形.故選：.【考點評析】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點；②利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點.9．(本題2分)（2021秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則AP＋BP的最小值是（

）A．5 B．4 C．3 D．7【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意知點B關(guān)于直線EF的對稱點為點C，故當(dāng)點P在AC上時，AP+BP有最小值．【規(guī)范解答】解：連接PC．∵EF是BC的垂直平分線，∴BP=PC．∴PA+BP=AP+PC．∴當(dāng)點A，P，C在一條直線上時，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．故選B．【考點評析】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，明確點A、P、C在一條直線上時，AP+PB有最小值是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2021春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【思路點撥】要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點A關(guān)于BC和CD的對稱點分別為點G和點H，即可得出，，根據(jù)的內(nèi)角和為，可得出；再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可知，，即，建立方程組，可得到的度數(shù)，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：作點A關(guān)于直線BC和直線CD的對稱點G和H，連接GH，交BC、CD于點E、F，連接AE、AF，則此時△AEF的周長最小，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，即①，由作圖可知：，，∵的內(nèi)角和為，∴②，方程①和②聯(lián)立方程組，解得．故選：D．【考點評析】本題考查軸對稱變換、最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和及垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E、F的位置是解題關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(共8題，每題2分，共16分)11．(本題2分)（2021春·四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分交于點，點，分別是線段、上一動點，且，，則的最小值為___________．【答案】【思路點撥】根據(jù)平分，得出關(guān)于的對稱點在角平分線上，作點關(guān)于的對稱點，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，可得當(dāng)時，最短，即最小，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，∴，∴，當(dāng)三點共線，且時，最短，即最小，∵，，∴，則的最小值為，故答案為：．【考點評析】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2022春·山東濟南·七年級山東省濟南實驗初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，AD為BC邊上的高線，且，點M為直線BC上方的一個動點，且面積為的面積2倍，則當(dāng)最小時，的度數(shù)為_________°．【答案】45【規(guī)范解答】如圖，作過點的直線，使得，作關(guān)于的對稱點，連接，交于點，則，當(dāng)三點共線時，取得最小值，過點作，，，，中，AD為BC邊上的高線，面積為的面積2倍，，，根據(jù)平行線間的距離相等，可得，則，是等腰直角三角形，．故答案為：．【考點評析】本題考查了三角形的高線，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的距離，軸對稱求線段和的最小值，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2021春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，動點M在線段AC上運動（不與端點重合），點M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，連接M1M2，點D在M1M2上，則在點M的運動過程中，線段M1M2長度的最小值是_______．【答案】【思路點撥】過D作于，連接，根據(jù)題意可得，從而可以判定M1M2最小值為，即可求解．【規(guī)范解答】解：過D作于，連接，如圖：長方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，∴∴，∵M關(guān)于邊AD，DC的對稱點分別為M1，M2，∴DM1＝DM＝DM2，∴，線段M1M2長度最小即是DM長度最小，此時DM⊥AC，即M與重合，M1M2最小值為．故答案為：．【考點評析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的有關(guān)性質(zhì)將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2020春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為內(nèi)部的已知點，連接，為上的點，為上的點，當(dāng)周長的最小值與的長度相等，的度數(shù)為___．【答案】30【思路點撥】設(shè)點P關(guān)于OM的對稱點為C，關(guān)于ON的對稱點為D，當(dāng)點A、B在CD上時，△PAB的周長為PA+AB+BP=CD，此時周長最小，根據(jù)CD=OP可求出的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：作點P關(guān)于OM的對稱點C，關(guān)于ON的對稱點D，連接CD，交OM于A，交ON于B．此時，△PAB的周長最?。B接OC，OD，PA，PB．∵點P與點C關(guān)于OM對稱∴OM垂直平分PC∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON∴∠COD=2∠MON又∵△PAB的周長=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP∴OC=OD=CD∴△COD是等邊三角形∴∠MON故答案為：30．【考點評析】此題找到點A和點B是的位置是解題的關(guān)鍵，要使△PAB的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運用三角形三邊關(guān)系解決．15．(本題2分)（2019春·福建三明·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分別是AD，AC上的動點，△ABC的面積是15，則MN+MC的最小值是_____．【答案】5【思路點撥】首先過點C作CE⊥AB交AB于點E，交AD于點M，過點M作MN⊥AC于點N，由AD是∠BAC的平分線，由垂線段最短得出MN=ME，MC+MN=CE的長度，最后通過三角形面積公式即可求解.【規(guī)范解答】過點C作CE⊥AB交AB于點E,交AD于點M,過點M作MN⊥AC于點N,∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∴AD是∠BAC的平分線∴MN=ME，則此時MC+MN有最小值，即CE的長度，【考點評析】本題主要考查等腰三角形三線合一定理，三角形面積公式，垂線段最短，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.16．(本題2分)（2020秋·黑龍江大慶·七年級?？计谀┤鐖D,點P是直線AC外的一點,點D,E分別是AC,CB兩邊上的點,點P關(guān)于CA的對稱點P1恰好落在線段ED上,P點關(guān)于CB的對稱點P2落在ED的延長線上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,則線段P1P2的長為_____.【答案】4.5【思路點撥】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出PE=EP1，PD=DP2，進而利用DE=4cm，得出P1D的長，即可得出P1P2的長．【規(guī)范解答】∵點P關(guān)于CA的對稱點P1恰好落在線段ED上,P點關(guān)于CB的對稱點P2落在ED的延長線上，∴PE=EP1,PD=DP2，∵PE=2.5cm，PD=3cm，DE=4cm，∴P2D=3cm,EP1=2.5cm，即DP1=DE?EP1=4?2.5=1.5(cm)，則線段P1P2的長為：P1D+DP2=1.5+3=4.5(cm).故答案為4.5.【考點評析】此題主要考查線段的長度求解，解題的關(guān)鍵是熟知軸對稱的性質(zhì).17．(本題2分)（2019春·七年級單元測試）如圖，將長方形紙片ABCD的一角沿EF折疊，使點C落在長方形ABCD的內(nèi)部點C′處．若∠EFC＝35°，則∠DEC′＝________°.【答案】70【思路點撥】根據(jù)折疊前后角相等可知．【規(guī)范解答】∵長方形紙片ABCD的一角沿EF折疊，使點C落在長方形ABCD的內(nèi)部點C′處,∠EFC＝35°，∴∠CEF=∠C′EF=90°-35°=55°，∴∠DEC'=180°-110°=70°．故答案是：70.【考點評析】考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．18．(本題2分)（2020秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_____cm（杯壁厚度不計）．【答案】20【規(guī)范解答】分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．詳解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=（cm）．故答案為20．點睛：本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．評卷人得分三、解答題(共64分)19．(本題6分)（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，如圖點、、、、、均為格點請用無刻度的直尺完成下列作圖（畫圖過程用虛線，結(jié)果用實線）(1)如圖，過點作直線的平行線；(2)如圖，點為線段上一動點，連接、，作出當(dāng)最小時，點位置；(3)如圖，在線段上找一點不與點重合，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【思路點撥】（1）取格點D，作直線CD即可；（2）作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點M，連接CM，點M即為所求；（3）取格點J，M，N，連接EJ交AB于點K，連接MN交AB于點P，點P即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖中，直線即為所求；（2）如圖中，點即為所求；（3）如圖中，點即為所求．【考點評析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．(本題8分)（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：(1)畫出格點ABC（頂點均在格點上）關(guān)于直線DE對稱的A1B1C1；(2)求A1B1C1的面積；(3)在DE上畫出點P，使PB+PC最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【思路點撥】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）利用割補法求三角形的面積．（3）關(guān)于DE作點C的對稱點C'，連接C'B，交DE于點P，此時點P即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖所示，（2），∴△A1B1C1的面積為；（3）如圖所示，關(guān)于DE作點C的對稱點C'，連接C'B，交DE于點P，此時點P即為所求．【考點評析】本題考查了畫軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱線的性質(zhì)求線段和的最小值，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(本題10分)（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，和的頂點都在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點上，且和關(guān)于直線成軸對稱．(1)直接寫出的面積；(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸直線；(3)請在直線上作一點，使得最?。Ａ舯匾淖鲌D痕跡【答案】(1)5(2)見解析(3)見解析【思路點撥】（1）利用割補法，用一個正方形的面積減去三個三角形的面積即可求解；（2）利用網(wǎng)格特點作的垂直平分線即可得到對稱軸；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（1）的面積；（2）如圖，直線為所作；（3）如圖，點為所作．【考點評析】本題考查了作圖-軸對稱變換，割補法求面積，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)（2021秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱．（1）畫出直線；（2）直線與相交于點O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）【思路點撥】（1）找到并連接關(guān)鍵點，作出關(guān)鍵點的連線的垂直平分線；（2）根據(jù)對稱找到相等的角，然后進行推理．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接．作線段的垂直平分線．則直線是和的對稱軸；（2）如圖，連接．∵和關(guān)于直線對稱，∴．又∵和關(guān)于直線對稱，∴．∴，即．【考點評析】解答此題要明確軸對稱的性質(zhì)：1．對稱軸是一條直線．2．垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．3．在軸對稱圖形中，對稱軸兩側(cè)的對應(yīng)點到對稱軸兩側(cè)的距離相等．4．在軸對稱圖形中，對稱軸把圖形分成完全相等的兩份．5．如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．23．(本題10分)（2019春·遼寧遼陽·七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是________．（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使由P，B，C構(gòu)成的△PBC的周長值最??？若存在，標(biāo)出點P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)點與點重合時，的值最小，最小值是【思路點撥】（1）△ABC為等腰三角形，∠B為底角，則可求頂角∠A，MN是AB的垂直平分線，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可，（2）①由垂直平分可知，可證C△NBC等于AC+BC即可，②過點C作點C關(guān)于MN的對稱點C′，連結(jié)BC′，交MN恰好M，當(dāng)點與點重合時，三角形PBC的周長最短，求出即可．【規(guī)范解答】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C=∠B=70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜,∵MN⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜，（2）①如圖∵垂直平分∴，∵∴，∴．②如下圖，過點C作點C關(guān)于MN的對稱點C′，連結(jié)BC′，交MN恰好M，由對稱性AB與BC′交點在MN上，當(dāng)點與點重合時，的值最小，最小值是，此時三角形PBC的周長=三角形BMC的周長=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm．【考點評析】本題考查已知等腰三角形底角，求腰中垂線與另一斜邊的夾角，以及三角形周長最短問題，掌握作點C關(guān)于MN的對稱點，連結(jié)BC′與AC交于M，點P與點M重合時是解題的關(guān)鍵．24．(本題10分)（2021春·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）要在一條筆直的公路l邊上建一個快遞配送點，方便為同側(cè)的A，B兩個居民小區(qū)發(fā)送快件．（1）試確定快遞配送點P的位置，使它分別到A，B的兩個居民小區(qū)的距離相等，請在如圖中，畫出點P的大致位置；（2）試確定快遞配送點M的位置，使它到A，B的兩個居民小區(qū)的距離之和最短．請在如圖中畫出點M的大致位置；（3）如圖，D是內(nèi)一點，連接．延長交于點E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B兩個居民區(qū)之間規(guī)劃一個正方形生態(tài)保護區(qū)，送快件的路線不能穿過該區(qū)域．請同學(xué)們用以上這個結(jié)論，在圖中畫出快遞配送點Q的大致位置，使得它到兩個居民小區(qū)路程之和最短．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【思路點撥】（1）根據(jù)線段垂直平分線點性質(zhì)點P在線段AB的垂直平分線上，作AB的垂直平分線，與l的交點即為所求；（2）根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)，作點A關(guān)于l的對稱點A1，連接BA1與l的交點Q即為所求；（3）如圖，作點A關(guān)于l的對稱點A2，連接DA2，BD，DA2與l交于點Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是點B到點Q的最短距離，點Q即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖，點P即為所求：（2）如圖，點M即為所求：（3）如圖，點Q即為所求：【考點評析】本題考查軸對稱——最短路徑，熟練掌握軸對稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．(本題10分)（2022秋·浙江·七年級期末）【定義】如圖1