專題06 一次函數(shù)中的最值問題及方案設(shè)計(jì)問題（解析版）

專題06一次函數(shù)中的最值問題及方案設(shè)計(jì)問題考點(diǎn)：做一件事情，有時(shí)有不同的方案，比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動(dòng)計(jì)劃，是非常必要的．解決這些問題時(shí)，先要弄清題意，根據(jù)題意構(gòu)建恰當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ?，求出所求未知?shù)的取值范圍，然后再結(jié)合實(shí)際問題確定最佳方案．題型一合理決策問題1．某商場計(jì)劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如果本月初出售，可獲利10%，然后將本利再投資其他商品，到下月初又可獲利10%；如果下月初出售可獲利25%，但要支付倉儲(chǔ)費(fèi)8000元．設(shè)商場投入資金x元，請你根據(jù)商場的資金情況，向商場提出合理化建議，說明何時(shí)出售獲利較多．【答案】解：設(shè)如果商場本月初出售，下月初可獲利y1元，則y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x.設(shè)如果商場下月初出售，可獲利y2元，則y2＝25%x－8000＝0.25x－8000.當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，0.21x＝0.25x－8000，解得x＝200000.所以若商場投入資金為20萬元，兩種出售方式獲利相同；若商場投入資金少于20萬元，本月初出售獲利較多；若商場投入資金多于20萬元，下月初出售獲利較多．題型二選擇方案問題2．某教育行政部門計(jì)劃今年暑假組織教師到外地進(jìn)行學(xué)習(xí)，預(yù)訂賓館住宿時(shí)，有住宿條件一樣的甲、乙兩家賓館供選擇，其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)均為每人每天120元，并且各自推出不同的優(yōu)惠方案．甲家是35人(含35人)以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過35人的，超出部分按九折收費(fèi)；乙家是45人(含45人)以內(nèi)的按標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過45人的，超出部分按八折收費(fèi)．如果你是這個(gè)部門的負(fù)責(zé)人，你認(rèn)為選擇哪家賓館更實(shí)惠些？【答案】解：設(shè)總?cè)藬?shù)是x人，甲、乙賓館的收費(fèi)分別為y甲，y乙．當(dāng)x≤35時(shí)，選擇兩家賓館是一樣的；當(dāng)35<x≤45時(shí)，選擇甲賓館比較實(shí)惠；當(dāng)x>45時(shí)，y甲＝35×120＋0.9×120×(x－35)，即y甲＝108x＋420，y乙＝45×120＋0.8×120×(x－45)＝96x＋1080.當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙時(shí)，可得x＝55；當(dāng)y甲>y乙時(shí)，可得x>55；當(dāng)y甲<y乙時(shí)，可得x<55.綜上可得，當(dāng)x≤35或x＝55時(shí)，選擇兩家賓館是一樣的；當(dāng)35<x<55時(shí)，選擇甲賓館比較實(shí)惠；當(dāng)x>55時(shí)，選擇乙賓館比較實(shí)惠．題型三最佳效益問題3．甲、乙兩個(gè)商場出售相同的某種商品，每件售價(jià)均為3000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠．甲商場的優(yōu)惠條件是：第一件按原售價(jià)收費(fèi)，其余每件優(yōu)惠30%；乙商場的優(yōu)惠條件是：每件優(yōu)惠25%.設(shè)所買商品為x件時(shí)，甲商場收費(fèi)為y1元，乙商場收費(fèi)為y2元．(1)分別求出y1，y2與x之間的關(guān)系式．(2)當(dāng)甲、乙兩個(gè)商場的收費(fèi)相同時(shí)，所買商品為多少件？(3)當(dāng)所買商品為5件時(shí)，應(yīng)選擇哪個(gè)商場更優(yōu)惠？請說明理由．【答案】解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝3000；當(dāng)x＞1時(shí)，y1＝3000＋3000(x－1)×(1－30%)＝2100x＋900.所以y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000（x＝1），,2100x＋900（x＞1且x為整數(shù)）；))y2＝3000x(1－25%)＝2250x(x為正整數(shù))．(2)當(dāng)甲、乙兩個(gè)商場的收費(fèi)相同時(shí)，2100x＋900＝2250x，解得x＝6.故甲、乙兩個(gè)商場的收費(fèi)相同時(shí)，所買商品為6件．(3)乙商場．理由：當(dāng)x＝5時(shí)，y1＝2100x＋900＝2100×5＋900＝11400，y2＝2250x＝2250×5＝11250，因?yàn)?1400＞11250，所以當(dāng)所買商品為5件時(shí)，應(yīng)選擇乙商場更優(yōu)惠．題型四給出表達(dá)式(或圖象)解決實(shí)際問題4．某游泳館普通票價(jià)20元/張，暑期為了促銷，新推出兩種優(yōu)惠卡：①金卡售價(jià)600元/張，每次憑卡不再收費(fèi)；②銀卡售價(jià)150元/張，每次憑卡另收10元．暑期普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡僅限暑期使用，不限次數(shù)．設(shè)游泳x次時(shí)，所需總費(fèi)用為y元．(1)分別寫出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)在同一個(gè)坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，請求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇哪種消費(fèi)方式更合算．(第4題)【答案】解：(1)銀卡：y＝10x＋150；普通票：y＝20x.(2)把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150.所以A(0，150)．由20x＝10x＋150，可得x＝15，代入y＝20x，得y＝300.所以B(15，300)．把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45.所以C(45，600)．(3)當(dāng)0<x<15時(shí)，選擇購買普通票更合算(注：若寫成0≤x＜15，也正確)；當(dāng)x＝15時(shí)，選擇購買銀卡、普通票的總費(fèi)用相同，均比金卡合算；當(dāng)15<x<45時(shí)，選擇購買銀卡更合算；當(dāng)x＝45時(shí)，選擇購買金卡、銀卡的總費(fèi)用相同，均比普通票合算；當(dāng)x>45時(shí)，選擇購買金卡更合算．題型五只給語言敘述或圖表情境解決實(shí)際問題5．為改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計(jì)劃在河堤坡面種植白楊樹，現(xiàn)有甲、乙兩家林場可提供相同質(zhì)量的白楊樹苗，其具體銷售方案如下：甲林場乙林場購樹苗數(shù)量銷售單價(jià)購樹苗數(shù)量銷售單價(jià)不超過1000棵時(shí)4元不超過2000棵時(shí)4元超過1000棵的部分3.8元超過2000棵的部分3.6元設(shè)購買白楊樹苗x棵，到兩家林場購買所需費(fèi)用分別為y甲元、y乙元．(1)若需要購買1500棵白楊樹苗，則都在甲林場購買所需費(fèi)用為________元，都在乙林場購買所需費(fèi)用為________元；(2)分別求出y甲，y乙與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)如果你是該村的負(fù)責(zé)人，應(yīng)該選擇到哪家林場購買樹苗合算，為什么？【答案】解：(1)5900；6000(2)當(dāng)0≤x≤1000時(shí)，y甲＝4x；當(dāng)x>1000時(shí)，y甲＝4000＋3.8(x－1000)＝3.8x＋200.所以y甲＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x（0≤x≤1000且x為整數(shù)），,3.8x＋200（x>1000且x為整數(shù)）.))當(dāng)0≤x≤2000時(shí)，y乙＝4x；當(dāng)x>2000時(shí)，y乙＝8000＋3.6(x－2000)＝3.6x＋800.所以y乙＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x（0≤x≤2000且x為整數(shù)），,3.6x＋800（x>2000且x為整數(shù)）.))(3)由題意，得：當(dāng)0≤x≤1000時(shí)，兩家林場白楊樹苗單價(jià)一樣，所以到兩家林場購買所需費(fèi)用一樣．當(dāng)1000<x≤2000時(shí)，甲林場有優(yōu)惠而乙林場無優(yōu)惠，所以當(dāng)1000<x≤2000時(shí)，到甲林場購買合算．當(dāng)x>2000時(shí)，y甲＝3.8x＋200，y乙＝3.6x＋800，當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙時(shí)，3．8x＋200＝3.6x＋800，解得x＝3000，所以當(dāng)x＝3000時(shí)，到兩家林場購買所需費(fèi)用一樣；當(dāng)y甲<y乙時(shí)，3．8x＋200＜3.6x＋800，解得x<3000，所以當(dāng)2000<x<300