2025年高考數學復習之小題狂練600題（選擇題）：計數原理（10題）

第1頁（共1頁）2025年高考數學復習之小題狂練600題（選擇題）：計數原理（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2024?莆田模擬）用數字0，1，2，3，5組成沒有重復數字的五位偶數，把這些偶數從小到大排列得到一個數列{an}，則a25＝（）A．32150 B．25310 C．32510 D．251302．（2024?遼寧模擬）(3-2x2A．15 B．20 C．75 D．1003．（2024?東莞市校級三模）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則a2+a3＝（）A．10 B．0 C．﹣40 D．1304．（2024?內江一模）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種5．（2024?杭州模擬）將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數是（）A．300 B．240 C．150 D．506．（2024?碑林區(qū)校級模擬）現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，每個房間最多住2人，且男女不能混?。畡t不同的安排方法有（）種．A．1960 B．2160 C．2520 D．28807．（2024?西安模擬）(2xA．﹣288 B．﹣312 C．480 D．7368．（2024?北京）在(x-x)4A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣129．（2024?涼山州模擬）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種10．（2024?遂寧模擬）(x2-2A．10 B．20 C．40 D．80

2025年高考數學復習之小題狂練600題（選擇題）：計數原理（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?莆田模擬）用數字0，1，2，3，5組成沒有重復數字的五位偶數，把這些偶數從小到大排列得到一個數列{an}，則a25＝（）A．32150 B．25310 C．32510 D．25130【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；排列組合；數學運算．【答案】C【分析】由分類加法計數原理及排列數公式求解即可．【解答】解：數字1在萬位的偶數（0，2為個位）有A21數字2在萬位的偶數（0為個位）有A33數字3在萬位，0在千位的偶數（2為個位）有A22此時共12+6+2＝20個偶數，隨后5個偶數從小到大為31052，31502，31520，32150，32510，所以第25個數是32510，即a25＝32510．故選：C．【點評】本題主要考查簡單的計數問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．2．（2024?遼寧模擬）(3-2x2A．15 B．20 C．75 D．100【考點】二項式定理的應用．【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；數學運算．【答案】A【分析】根據分配律，結合二項式定理的通項公式即可求解．【解答】解：(3-若3-2x2提供常數項3，則（1+x）6提供含有x2若3-2x2提供x﹣2項，則（1+x）6提供含有x4由（1+x）6通項公式可得C6可知r＝2時，可得展開式中x2的系數為3C可知r＝4時，可得展開式中x2的系數為-2(3-2x2)(1+x)6展開式中x2故選：A．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題．3．（2024?東莞市校級三模）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則a2+a3＝（）A．10 B．0 C．﹣40 D．130【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題；創(chuàng)新題型；轉化思想；二項式定理；數學運算．【答案】C【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數求出結果．【解答】解：根據二項式的展開式Tr+1=C5r?(-2)r?xr（r＝0當r＝2時，a2＝40，當r＝3時，a3＝﹣80，故a2+a3＝﹣40．故選：C．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．4．（2024?內江一模）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【考點】排列組合的綜合應用．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；數學運算．【答案】B【分析】根據題意，分2步進行分析：①在5名航天員中選出3人，在天和核心艙工作，甲乙不能同時入選，②剩下2人安排到問天實驗艙與夢天實驗艙工作，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①在5名航天員中選出3人，在天和核心艙工作，甲乙不能同時入選，有C53﹣C31＝7種安排方法，②剩下2人安排到問天實驗艙與夢天實驗艙工作，有2種情況，則有7×2＝14種安排方法，故選：B．【點評】本題考查排列組合的應用，注意排除法的應用，屬于基礎題．5．（2024?杭州模擬）將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數是（）A．300 B．240 C．150 D．50【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數學運算．【答案】C【分析】由排列、組合及簡單計數問題，結合分類加法計數原理及分步乘法計數原理求解．【解答】解：先將5名志愿者分為3組，則有C51再將這3組分給三個社區(qū)，有A33則不同的分配方法數是25×6＝150．故選：C．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了分類加法計數原理及分步乘法計數原理，屬基礎題．6．（2024?碑林區(qū)校級模擬）現有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風格不同的房間，并約定每個房間都要住人，每個房間最多住2人，且男女不能混住．則不同的安排方法有（）種．A．1960 B．2160 C．2520 D．2880【考點】排列組合的綜合應用．【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；數學運算．【答案】C【分析】按照3名女生需要住2個房間或3個房間分類討論即可．【解答】解：若3名女生住2個房間，則4名男生其中有兩人住一個房間，則不同的方法種數為C3若3名女生住3個房間，則4名男生每兩人住一個房間，則不同的方法種數為12則不同的安排方法有C3故選：C．【點評】本題考查排列組合的應用，屬于基礎題．7．（2024?西安模擬）(2xA．﹣288 B．﹣312 C．480 D．736【考點】二項展開式的通項與項的系數．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯推理；數學運算．【答案】A【分析】直接利用二項式的展開式以及配對問題的應用求出結果．【解答】解：根據(1x-2)8的展開式Tr+1=C8r?(-2)r?x-8-r2（r＝當與2x3配對時，r＝2，故常數項為2C當與（﹣2）配對時，r＝8，故常數項為-2故展開式的常數項為﹣512+224＝﹣288．故選：A．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，配對問題，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．8．（2024?北京）在(x-x)4A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12【考點】二項式定理．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；數學運算．【答案】A【分析】利用二項式定理，求解即可．【解答】解：(x-x)4的通項公式為：（﹣1）rC4r?x二項展開式中x3的系數：C42?（﹣1）2＝故選：A．【點評】本題考查二項式定理的應用，是基礎題．9．（2024?涼山州模擬）五名同學彝族新年期間去邛海濕地公園采風觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】對應思想；綜合法；排列組合；數學運算．【答案】B【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁．【解答】解：甲和乙相鄰，捆綁在一起有A2再與丙和丁外的1人排列有A2再排丙和丁有A3故共有A2故選：B．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．10．（2024?遂寧模擬）(x2-2A．10 B．20 C．40 D．80【考點】二項式定理．【專題】計算題；對應思想；定義法；二項式定理；數學運算．【答案】C【分析】先求出二項展開式的通項公式，再令10﹣3k＝4，求出k即可．【解答】解：(x2-2x)5的展開式的通項公式為Tk+1=C5k（x2）5﹣k(令10﹣3k＝4，則k＝2，∴展開式中x4的系數為C52（﹣2）2＝故選：C．【點評】本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎題．

考點卡片1．部分位置的元素有限制的排列問題【知識點的認識】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列．【解題方法點撥】﹣處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數．﹣對于較復雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算．【命題方向】﹣?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數公式．2．部分元素不相鄰的排列問題【知識點的認識】﹣部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰．例如：在排列中，兩個特定元素不能排在一起．﹣這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決．【解題方法點撥】﹣使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰．﹣排除法是先計算不考慮相鄰條件的排列總數，再減去相鄰元素排列的情況．﹣對于更復雜的排列問題，可以結合插空法或利用遞推關系進行解題．【命題方向】﹣命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數，或者分析多個元素不相鄰的組合情況．﹣題目可能涉及多個不相鄰條件的疊加，要求考生準確處理這些條件．3．排列組合的綜合應用【知識點的認識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構造模型；⑩正難則反、等價轉化．對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按時間發(fā)生的過程進行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；（7）平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；（8）隔板法：常用于解正整數解組數的問題；（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內．先C后A策略，排列；組合；②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內．先C后A策略，排列；組合；③從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素．先C后A策略，排列；組合．4．二項式定理【知識點的認識】二項式定理又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n=i=0nCnian例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.01故答案為：1.105．這個例題考查了二項式定理的應用，也是比較常見的題型．例2：把(3i-x)解：由題意T8=C107×(3i)3×(-1)故答案為：3603i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．性質1、二項式定理一般地，對于任意正整數n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數叫做二項式系數．注意：（1）二項展開式有n+1項；（2）二項式系數與二項展開式系數是兩個不同的概念；（3）每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題．2、二項展開式的通項公式二項展開式的第n+1項叫做二項展開式的通項公式．它體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數方面有著廣泛的應用．注意：（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是Cn（2）字母b的次數和組合數的上標相同；（3）a與b的次數之和為n．3、二項式系數的性質．（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即；（2）增減性與最大值：