中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第03講 分式與二次根式（27個考點）（知識精講）（原卷版）

第03講分式與二次根式（27個考點）【考綱要求】1.了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算．【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應(yīng)從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應(yīng)為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號時，一般把負(fù)號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．通分（1）通分的定義：把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．八．最簡分式最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．九．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．十．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項式時，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個運(yùn)算順序．十一．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．十二．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會簡化運(yùn)算過程．十三．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．十四．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．十五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝1ap（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序．十六．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替．十七．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；學(xué)習(xí)要求：理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．十八．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．十九．二次根式的性質(zhì)與化簡（1）二次根式的基本性質(zhì)：①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡．＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．二十．最簡二次根式最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二十一．二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．二十二．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．二十三．同類二次根式同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．【知識拓展】同類二次根式把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項．（2）幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．二十四．二次根式的加減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．二十五．二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．二十六．二次根式的化簡求值二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．二十七．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．【典型例題】一．分式的定義（共1小題）1．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）下列代數(shù)式中，是分式的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的定義，對照選項分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，對選項逐一驗證即可．【解答】解：根據(jù)分式的定義，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合題意，故排除；D中分母含有字母，滿足要求，符合題意，故選：D．【點評】本題考查了分式的定義，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵，注意π是數(shù)字．二．分式有意義的條件（共2小題）2．（2022?新華區(qū)校級一模）若有意義，則下列說法正確的是（）A．x＞﹣2 B．x＞﹣2且x≠0 C．x≠﹣2 D．x≠0【分析】根據(jù)分式的分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵x+2≠0，∴x≠﹣2．故選：C．【點評】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵．3．（2022?沙坪壩區(qū)校級三模）對x、y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，則結(jié)論正確的個數(shù)為（）（1）a＝1，b＝2；（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），則；（3）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），m、n均取整數(shù)，則或或；（4）若T（m，n）＝0（n≠﹣2），當(dāng)n取s、t時，m對應(yīng)的值為c、d，當(dāng)t＜s＜﹣2時，c＜d；（5）若T（kx，y）＝T（ky，x）對任意有理數(shù)x、y都成立（這里T（x、y）和T（y、x）均有意義），則k＝0．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由題意聯(lián)立方程組，求出a、b的值，即可確定（1）正確；由已知，得到mn+2m﹣4＝0，求出m即可確定（2）正確；根據(jù)n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，可求m、n的值，從而確定（3）不正確；m＝看作函數(shù)m＝向左移動2個單位，在所給的范圍內(nèi)，m隨n的值的增大而減小，則c＜d，可確定（4）正確；由題意列出方程kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，得到2k（x﹣y）＝0，由對任意有理數(shù)x、y都成立，則k＝0，可確定（5）正確．【解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，∴，解得，故（1）正確；∴T（x，y）＝xy+2x﹣4，∵T（m，n）＝0，∴mn+2m﹣4＝0，∵n≠﹣2，∴m＝，故（2）正確；∵m、n均取整數(shù)，∴n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，∴n＝﹣1或n＝﹣3或n＝0或n＝﹣4或n＝2或n＝﹣6，∴m＝4或m＝﹣4或m＝2或m＝﹣2或m＝1或m＝﹣1，故（3）不正確；∵m＝，∴m＝看作函數(shù)m＝向左移動2個單位，∵t＜s＜﹣2，∴m隨n的值的增大而減小，∴c＜d，故（4）正確；∵T（kx，y）＝T（ky，x），∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，∴2k（x﹣y）＝0，∵對任意有理數(shù)x、y都成立，∴k＝0，故（5）正確；綜上所述：（1）（2）（4）（5）正確，故選：C．【點評】本題考查分式有意義的條件，一元一次方程，熟練掌握分式的運(yùn)算，一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．三．分式的值為零的條件（共1小題）4．（2022?順平縣二模）已知分式有意義且值為零（a，b，c均為正實數(shù)），若以a，b，c的值為三條線段的長構(gòu)造三角形，則此三角形一定為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：分子等于0且分母不等于0判斷即可．【解答】解：原式＝＝，根據(jù)題意得：b﹣c＝0或a﹣b＝0且a﹣c≠0，∴b＝c或a＝b且a≠c，∴此三角形一定是等腰三角形．故選：A．【點評】本題考查了分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子等于0且分母不等于0是解題的關(guān)鍵．四．分式的值（共4小題）5．（2022?全椒縣一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），則的值為（）A．﹣ B．﹣3 C． D．3【分析】將分式變形后整體代換．【解答】解：∵x﹣y＝2xy（x≠0），∴原式＝＝＝＝3．故選：D．【點評】本題考查求分式的值，將分子變形后整體代換是求解本題的關(guān)鍵．6．（2022?泉港區(qū)模擬）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是x＜﹣3．【分析】直接利用分式的值是負(fù)數(shù)結(jié)合偶次方的性質(zhì)得出x的取值范圍．【解答】解：∵分式的值為負(fù)數(shù)，∴x2＞0，x+3＜0，∴x＜﹣3，故答案為：x＜﹣3．【點評】此題主要考查了分式的值，正確得出x+3的符號是解題關(guān)鍵．7．（2022?呈貢區(qū)二模）若m＝2n≠0，則的值為﹣．【分析】把m＝2n代入分式，化簡即可．【解答】解：∵m＝2n≠0，∴＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022?錫山區(qū)校級二模）有一個分式兩位同學(xué)分別說出了它的一些特點，甲：分式的值不可能為0；乙：當(dāng)x＝﹣2時，分式的值為1．請你寫出滿足上述全部特點的一個分式：﹣（答案不唯一）．【分析】根據(jù)分式的值不為零的條件和當(dāng)x＝﹣2時，分式的值為1寫出一個分式即可．【解答】解：∵分式的值不可能為0，∴分子不等于0，∵當(dāng)x＝﹣2時，分式的值為1，∴分式為：﹣．故答案為：﹣（答案不唯一）．【點評】本題考查了分式的值為零的條件，分式的值，掌握分式的值為零的條件：分子等于0且分母不等于0是解題的關(guān)鍵．五．分式的基本性質(zhì)（共2小題）9．（2022?德江縣二模）下列變形正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：A．從左邊到右邊的變形是分式的分子和分母都乘b（隱含分母b≠0），正確，故本選項符合題意；B．＝＝（分母不是b﹣c），錯誤，故本選項不符合題意；C．＝＝﹣，錯誤，故本選項不符合題意；D．從等式的左邊到右邊是分式的分子和分母都加2，不符合分式的基本性質(zhì)，錯誤，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的數(shù)，分式的值不變．10．（2022?夏津縣二模）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B． C．m5﹣m3＝m2 D．﹣a2+2a2＝a2【分析】根據(jù)完全平方公式，分式的基本性質(zhì)，合并同類項等進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A選項不符合題意；∵a（b+2）＝ab+2a，b（a+2）＝ab+2b，且a、b大小無法確定，故B選項不符合題意；∵m5﹣m3≠m2，故C選項不符合題意，∵﹣a2+2a2＝a2，故D選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查了完全平方公式，分式的基本性質(zhì)，合并同類項等知識，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．六．約分（共2小題）11．（2021?開平區(qū)一模）若，則m+n＝（）A．3 B．﹣3 C． D．【分析】首先把分式的分子分解因式，然后再約分即可．【解答】解：＝＝m+n＝，故選：C．【點評】此題主要考查了約分，關(guān)鍵是正確把分式進(jìn)行約分．12．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）先約分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝．【分析】先把分式的分子分母分解因式，約分后把a(bǔ)、b的值代入即可求出答案．【解答】解：原式＝，＝，＝，當(dāng)a＝﹣2，b＝時，原式＝＝．【點評】本題主要考查了因式分解，分式的約分，解題的關(guān)鍵是熟練進(jìn)行因式分解，分式的約分，本題屬于基礎(chǔ)題型．七．通分（共1小題）13．（2020?南岸區(qū)校級模擬）求一組正整數(shù)的最小公倍數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求一組正整數(shù)最小公倍數(shù)的一種方法﹣﹣少廣術(shù)，術(shù)曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之為法．置所求步數(shù)，以全步積分乘之為實．實如法而一，得從步．”意思是說，要求一組正整數(shù)的最小公倍數(shù)，先將所給一組正整數(shù)分別變?yōu)槠涞箶?shù)，首項前增一項“1”，然后以最末項分母分別乘各項，并約分；再用最末項分?jǐn)?shù)的分母分別乘各項，再約分，…；如此類推，直到各項都為整數(shù)止，則首項即為原組正整數(shù)之最小公倍數(shù)．例如：求6與9的最小公倍數(shù)．解：第一步：1，；第二步：9，，1：第三步：18，3，2所以，6與9的最小公倍數(shù)是18．請用以上方法解決下列問題：（1）求54與45的最小公倍數(shù)；（2）求三個數(shù)6，51，119的最小公倍數(shù)．【分析】通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．【解答】解：（1）第一步：1，，；第二步：45，，1；第三步：270，5，6；所以，54與45的最小公倍數(shù)是270．（2）第一步：1，，，；第二步：119，，，1；第三步：357，，7，3；第四步：714，119，14，6；所以6，51，119的最小公倍數(shù)是714．【點評】本題考查了最簡公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．八．最簡分式（共1小題）14．（2022?江油市二模）下列分式屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【解答】解：A、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；C、，是最簡分式，故本選項符合題意；D、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)和最簡分式，能熟記分式的化簡過程是解此題的關(guān)鍵，首先要把分子分母分解因式，然后進(jìn)行約分．九．最簡公分母（共1小題）15．（2021?越秀區(qū)校級二模）分式，，的最簡公分母是（）A．3x B．x C．6x2 D．6x2y2【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【解答】解：，，的分母分別是3xy、2x2、6xy2，故最簡公分母為6x2y2．故選：D．【點評】本題考查了最簡公分母的定義及確定方法，通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個分式中分母的最簡公分母，確定最簡公分母的方法一定要掌握．一十．分式的乘除法（共1小題）16．（2022?魚峰區(qū)模擬）計算的結(jié)果是（）A．2 B．2a+2 C．1 D．【分析】根據(jù)分式的除法計算即可．【解答】解：＝＝2，故選：A．【點評】本題主要考查分式除法，熟練掌握分式除法的計算方法是解題的關(guān)鍵．一十一．分式的加減法（共1小題）17．（2022?東莞市校級二模）計算﹣1的結(jié)果是（）A． B．﹣ C． D．【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，故選：D．【點評】本題考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．一十二．分式的混合運(yùn)算（共1小題）18．（2022?邯鄲二模）在分式加減運(yùn)算中，常用到下列四個依據(jù)：Ⅰ．合并同類項Ⅱ．約分Ⅲ．同分母分式的加減法則Ⅳ．通分化簡﹣＝+①＝②＝③＝﹣④則正確的表示是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅱ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅱ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ D．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅳ【分析】根據(jù)分式的化簡的步驟進(jìn)行分析即可．【解答】﹣＝+，①通分，＝，②同分母分式的加減法則，＝，③合并同類項，＝﹣，④約分．故選：A．【點評】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．一十三．分式的化簡求值（共1小題）19．（2022?如皋市二模）若a+b＝2，則代數(shù)式的值為（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝÷＝﹣?＝﹣（a+b），當(dāng)a+b＝2時，原式＝﹣2，故選：D．【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．一十四．零指數(shù)冪（共1小題）20．（2022?惠安縣模擬）計算（﹣5）0的結(jié)果是（）A．1 B．﹣5 C．0 D．﹣【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的法則，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（﹣5）0＝1，故選：A．【點評】本題考查了零指數(shù)冪，熟練掌握零指數(shù)冪的法則是解題的關(guān)鍵．一十五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（共1小題）21．（2022?路南區(qū)三模）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，零指數(shù)冪對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、，故A符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．一十六．列代數(shù)式（分式）（共2小題）22．（2022?玉環(huán)市一模）小明和小亮期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績分別都是80分，m分，到了期末考時，小明期末考試的語文、數(shù)學(xué)兩科成績依次比期中考試增長了20%，10%．兩科總成績比期中增長的百分?jǐn)?shù)為a．小亮期末考試的語文、數(shù)學(xué)兩科成績依次比期中考試增長了15%，10%．兩科總成績比期中增長的百分?jǐn)?shù)為b．則（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．4a＝3b【分析】根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出a，b的值，作差后即可得出a＞b．【解答】解：依題意得：a＝＝；b＝＝；∵a﹣b＝﹣＝＞0，∴a＞b．故選：B．【點評】本題考查了列代數(shù)式以及分式的加減法，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出a，b的值是解題的關(guān)鍵．23．（2022?思明區(qū)校級模擬）生活中有這么一個現(xiàn)象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在這杯糖水里再加入m克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝；（2）請你解釋一下這個生活中的現(xiàn)象．【分析】（1）利用含糖率＝糖的重量÷糖水的重量分別將A，B表示出來即可；（2）含糖率越高，糖水越甜，將A，B通分后比較大小即可說明．【解答】解：（1）加入m克糖之前，∵糖水為a克，其中糖為b克，∴含糖率A＝，加入m克糖之后，∵糖水為（a+m）克，其中糖為（b+m）克，∴含糖率B＝．故答案為：；．（2）∵A＝＝＝，B＝＝＝，∵a＞b＞0，m＞0，∴am＞bm，∴ab+am＞ab+bm，∴B＞A，∴加糖后的糖水更甜．【點評】本題考查列代數(shù)式，分式的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握含糖率公式，比較大小時保持分母相同．一十七．二次根式的定義（共1小題）24．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）若x為任意實數(shù)，下列各式一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式判斷即可．【解答】解：A選項，當(dāng)x＝0.5時，x2﹣1＜0，故該選項不符合題意；B選項，∵x2≥0，∴x2+1＞0，故該選項符合題意；C選項，當(dāng)x＝0時，原式＝0，故該選項不符合題意；D選項，當(dāng)x＝﹣2時，x+1＜0，故該選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．一十八．二次根式有意義的條件（共1小題）25．（2022?東莞市校級二模）要使式子有意義，x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠2 B．x≤ C．x≥2 D．x≥【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：2x﹣1≥0，∴x≥，故選：D．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．一十九．二次根式的性質(zhì)與化簡（共1小題）26．（2022?夏邑縣模擬）實數(shù)﹣的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分母有理化以及倒數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：﹣的倒數(shù)是＝，故選：C．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分母有理化，本題屬于基礎(chǔ)題型．二十．最簡二次根式（共1小題）27．（2022?金山區(qū)二模）在下列二次根式中，最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的條件，逐項判斷即可．【解答】解：∵＝，∴選項A不符合題意；∵＝2，∴選項B不符合題意；∵是最簡二次根式，∴選項C符合題意；∵＝3，∴選項D不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了最簡二次根式的特征和判斷，解答此題的關(guān)鍵是要明確最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．二十一．二次根式的乘除法（共2小題）28．（2022?臨沭縣二模）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．（a﹣）2＝a2﹣a【分析】根據(jù)二次根式的除法判斷A選項；根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷B選項；根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪判斷C選項；根據(jù)完全平方公式判斷D選項．【解答】解：A選項，原式＝，故該選項不符合題意；B選項，為最簡分式，不能約分，故該選項不符合題意；C選項，a﹣2＝，故該選項符合題意；D選項，原式＝a2﹣a+，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，分式的基本性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式，掌握a﹣p＝（a≠0）是解題的關(guān)鍵．29．（2022?太原二模）觀察式子：＝6，×＝2×3＝6；；＝0.1；＝0.1．由此猜想（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊(yùn)含的思想方法是（）A．特殊與一般 B．類比 C．轉(zhuǎn)化 D．公理化【分析】觀察題意，確定出蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法即可．【解答】解：觀察式子：＝6，×＝2×3＝6；；＝0.1；＝0.1，由此猜想（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊(yùn)含的思想方法是特殊與一般．故選：A．【點評】此題考查了二次根式的乘除法，以及數(shù)學(xué)思想方法，弄清各種數(shù)學(xué)思想方法適用的范圍是解本題的關(guān)鍵．二十二．分母有理化（共1小題）30．（2022?信陽二模）下列式子運(yùn)算正確的是（）A．6a÷3a＝2a B．（2a）2＝4a2 C．＝ D．（x﹣y）（x+2y）＝x2+2y2【分析】根據(jù)整式運(yùn)算相關(guān)的法則和分母有理化逐項判斷．【解答】解：6a÷3a＝2，故A錯誤，不符合題意；（2a）2＝4a2，故B正確，符合題意；＝+1，故C錯誤，不符合題意；（x﹣y）（x+2y）＝x2+xy﹣2y2，故D錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查整式運(yùn)算，分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算的相關(guān)法則和分母有理化的方法．二十三．同類二次根式（共1小題）31．（2022?羅莊區(qū)一模）與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【解答】解：＝2，＝2，＝，＝2，故選：C．【點評】本題主要考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式是被開方數(shù)相同的二次根式是解題的關(guān)鍵．二十四．二次根式的加減法（共1小題）32．（2022?固安縣模擬）下列計算正確的是（）A． B．a(chǎn)3?a2＝a6 C．＝±3 D．（2a2）3＝8a6【分析】利用二次根式的加法的法則，平方根，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；B、a3?a2＝a5，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、（2a2）3＝8a6，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查二次根式的加減法，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．二十五．二次根式的混合運(yùn)算（共2小題）33．（2022?邯鄲模擬）老師設(shè)計了接力游戲，用合作的方式完成二次根式運(yùn)算，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯誤的是（）A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁【分析】根據(jù)二次根式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解，再對比題目中的運(yùn)算順序，可以發(fā)現(xiàn)哪位同學(xué)做錯了．【解答】解：＝＝6＝5，故運(yùn)算錯誤的是乙，故選：A．【點評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．34．（2022?北碚區(qū)校級模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時候發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如：（﹣2）（+2）＝1，?＝a，（2﹣）（2+）＝10，通過查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個結(jié)論：甲：；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，則a+b＝6；丙：；?。阂阎?，則；戊：……+．以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【分析】利用有理化因式進(jìn)行變形計算后即可判斷．【解答】解：甲：＝＝，故正確；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，∵+＝+＝（a+b）+（﹣a+b），∴（a+b）+（﹣a+b）＝﹣6+4，∴a+b＝﹣6，故錯誤；丙：∵＝＝+，＝＝+∴，故正確；?。骸撸ī仯?）＝（43﹣x）﹣（11﹣x）＝32，而＝4，∴+＝8，故錯誤；戊：……+＝+++……+＝﹣＝﹣＝，故正確；故選：B．【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．二十六．二次根式的化簡求值（共3小題）35．（2022?耿馬縣一模）若a＝+3，b＝3﹣，則的值為5．【分析】先求出a+b＝6，ab＝2，再將所求式子變形后整體代入．【解答】解：∵a＝+3，b＝3﹣，∴a+b＝6，ab＝2，∴＝＝＝＝5，故答案為：5．【點評】本題考查二次根式變形求值，解題的關(guān)鍵是觀察已知和所求式子的特點，求出a+b＝6，ab＝2，再整體代入計算．36．（2022?黃石模擬）已知一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根是x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．（1）若實數(shù)m、n滿足2m2+5m+1＝0，2n2+5n+1＝0，則的值是；（2）若實數(shù)s、t分別滿足2s2+5s+1＝0，t2+5t+2＝0，且st≠1．求的值．【分析】一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根是x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝，（1）由實數(shù)m、n滿足2m2+5m+1＝0，2n2+5n+1＝0，可得m+n＝﹣，mn＝，即得（+）2＝++2＝＝，故+＝＝，（2）由t2+5t+2＝0，有1+5×+2（）2＝0，知s，是一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根，從而s+＝﹣，＝，即得＝s++5×＝0．【解答】解：一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根是x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝，故答案為：﹣，；（1）∵實數(shù)m、n滿足2m2+5m+1＝0，2n2+5n+1＝0，∴m，n是一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根，∴m+n＝﹣，mn＝，∴（+）2＝++2＝＝＝，∴+＝＝，故答案為：；（2）∵t2+5t+2＝0，∴1+5×+2（）2＝0，∴s，是一元二次方程2x2+5x+1＝0的兩個根，∴s+＝﹣，＝，∴＝s++5×＝﹣+5×＝0，答：的值為0．【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系式．37．（2022?丹棱縣模擬）先化簡．再從﹣1，0，1，2，中選擇一個合適的x的值代入求值．【分析】先把括號內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再把分子分母因式分解，則約分得到原式＝，然后根據(jù)分式有意義的條件可以把x＝0或2或+1代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝，∵x≠±1，∴當(dāng)x可以取0，此時原式＝﹣1；當(dāng)x可以取2，此時原式＝＝1；當(dāng)x可以取，此時原式＝＝．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．也考查了分式的化簡求值．二十七．二次根式的應(yīng)用（共4小題）38．（2022?吳中區(qū)模擬）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為a、b、c，則三角形的面積S可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足a＝3，b+c＝5，則此三角形面積的最大值為（）A． B．3 C． D．【分析】根據(jù)公式計算出b+c＝5，再表示成c＝5﹣b，代入公式即可求出解．【解答】解：∵三角形的邊長滿足a＝3，b+c＝5，∴p＝（a+b+c）＝4，∴c＝5﹣b，∴S＝＝＝2＝2，當(dāng)b＝時，S有最大值為2＝3，故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．39．（2022?泰州二模）中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為a、b、c，則三角形的面積可由公式S＝求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足c＝3，a+b＝5，則此三角形面積的最大值為3．【分析】將已知條件a+b＝5變形為b＝5﹣a，代入公式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出解．【解答】解：∵三角形的邊長滿足c＝3，a+b＝5，∴p＝（a+b+c）＝4，b＝5﹣a，∴S＝＝＝＝，當(dāng)a＝時，S有最大值為3．故答案為：3．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．40．（2022?新華區(qū)校級一模）矩形ABCD的長為，寬為，則這個長方形的周長為4，面積為1．【分析】根據(jù)矩形的周長與面積公式列式計算便可．【解答】解：周長為：2（+）＝2×2，面積為：（）（）＝3﹣2＝1．故答案為：4；1．【點評】本題主要考查了矩形的周長與面積公式，二次根式的運(yùn)算，熟記矩形的周長與面積公式，二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．41．（2022?黃島區(qū)一模）提出問題：在4×4的正方形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的等腰直角三角形共有幾個？問題探究：為了解決上面的問題，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法．探究一：如圖1在1×1的正方形方格紙上，以格點為頂點的線段長度可取2個數(shù)值：1，，以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考