中考數(shù)學二輪復習沖刺第06講 一元一次不等式（組）（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第06講一元一次不等式（組）（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.會解一元一次不等式（組），理解一元一次不等式（組）的解集的含義，進一步體會數(shù)形結合的思想；2.會用不等式（組）進行解題，能利用不等式（組）解決生產(chǎn)、生活中的實際問題.【知識導圖】【考點梳理】考點一、不等式的相關概念1．不等式用不等號連接起來的式子叫做不等式．常見的不等號有五種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點：解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式.考點二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．考點三、一元一次不等式（組）1．一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其標準形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號要改變方向．解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1．3．一元一次不等式組及其解集含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定．4．一元一次不等式組的解法由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取小）（大小取中間）無解（空集）（大大、小小找不到）注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示.5．一元一次不等式（組）的應用列一元一次不等式（組）解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式（組）解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應用問題中“不等”關系的關鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關系顯得十分重要．6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關系一次函數(shù)，當函數(shù)值時，一次函數(shù)轉化為一元一次方程；當函數(shù)值或時，一次函數(shù)轉化為一元一次不等式，利用函數(shù)圖象可以確定的取值范圍.【典型例題】題型一、解不等式（組） 例1．解不等式（組），并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來（1）2x﹣1＜3x+2；（2）．【思路點撥】（1）先移項，再合并同類項、系數(shù)化為1即可；（2）先求兩個不等式的解集，再求公共部分即可．【答案與解析】解：（1）移項得，2x﹣3x＜2+1，合并同類項得，﹣x＜3，系數(shù)化為1得，x＞﹣3在數(shù)軸上表示出來：.（2），解①得，x＜1，解②得，x≥﹣4.5在數(shù)軸上表示出來：不等式組的解集為﹣4.5≤x＜1.【總結升華】解不等式（組）是中考中易考查的考點，必須熟練掌握．【變式】.【答案】解：去分母，得（不要漏乘！每一項都得乘）去括號，得（注意符號，不要漏乘!）移項，得（移項要變號）合并同類項，得（計算要正確）系數(shù)化為1，得（同除負，不等號方向要改變，分子分母別顛倒了）例2．解不等式組并將其解集在數(shù)軸上表示出來.【思路點撥】分別解出兩個不等式的解集，再求出公共的解集即可.【答案與解析】解：由（1）式得＜5，由（2）式得≥-1，∴-1≤＜5數(shù)軸上表示如圖：【總結升華】注意解不等式組的解題步驟.【變式1】解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為-3≤x＜1，數(shù)軸上表示如圖：【變式2】解不等式組，并寫出不等式組的整數(shù)解；【答案】不等式組的解集為1≤x＜5，故其整數(shù)解為：1，2,3,4．題型二、一元一次不等式（組）的特解問題例3．若不等式組的正整數(shù)解有3個，那么a必須滿足（）A．5＜a＜6 B．5≤a＜6 C．5＜a≤6 D．5≤a≤6【思路點撥】首先解得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組只有三個正整數(shù)解即可確定a的范圍．【答案】C；【解析】解不等式5≤2x﹣1≤11得：3≤x≤6．若不等式組有3個正整數(shù)解則不等式組的解集是：3≤x＜a．則正整數(shù)解是：3，4，5．∴5＜a≤6．故選C．【總結升華】本題主要考查學生是否會利用逆向思維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解問題．【變式1】關于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于的解，求a的取值范圍．【答案】.【變式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，則不等式-3x+n＜0的解集是_______．【答案】∵-3x+n＞0，∴x＜，∴=2即n=6代入-3x+n＜0得：-3x+6＜0，∴x＞2.題型三、一元一次不等式（組）的應用例4.某牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研，決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實行“限產(chǎn)壓庫”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量20件，這20件的總產(chǎn)值p（萬元）滿足：110＜p＜120．已知有關數(shù)據(jù)如表所示，那么該公司明年應怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值甲4.5萬元乙7.5萬元【答案】解：設該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品x件，那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品（20-x）件，由題意得：110＜4.5x+7.5（20-x）＜120∴10＜x＜，依題意，得x=11，12，13當x=11時，20-11=9；當x=12時，20-12=8；當x=13時，20-13=7．所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品11件，乙產(chǎn)品9件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品12件，乙產(chǎn)品8件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品13件，乙產(chǎn)品7件．題型四、一元一次不等式（組）與方程的綜合應用例5．某錢幣收藏愛好者，想把3．50元紙幣兌換成的1分，2分，5分的硬幣；他要求硬幣總數(shù)為150枚，2分硬幣的枚數(shù)不少于20枚且是4的倍數(shù)，5分的硬幣要多于2分的硬幣；請你根據(jù)此要求，設計所有的兌換方案．【思路點撥】題目中包含的相等關系有：①所有硬幣的總價值是3．50元；②共有硬幣150枚．不等關系有：①2分的硬幣的枚數(shù)不少于20枚；②5分的硬幣要多于2分的硬幣．且硬幣的枚數(shù)為整數(shù)，2分的硬幣的數(shù)量是4的倍數(shù)．【答案與解析】解：（法一）設兌換成1分，2分，5分硬幣分別為x枚，y枚，z枚，依據(jù)題意，得由（1），（2）得將y代入（3），（4）得解得40＜z≤45，∵z為正整數(shù)，∴z只能取41，42，43，44，45，由此得出x，y的對應值，共有5種兌換方案．（法二）：設兌換成的1分，2分，5分硬幣分別為x枚，y枚，z枚，依據(jù)題意可得∵y是4的倍數(shù)，可設y=4k（k為自然數(shù)），∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5．將y=4k代入（1），（2）可解得z=50-k，∵z＞y，∴50-k＞4k，即k＜10．∴5≤k＜10，又k為自然數(shù)，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y的對應值，共有5種兌換方案：【總結升華】這是一道方案設計題，是涉及到方程和不等式的綜合應用題．例6．某校組織學生到外地進行綜合實踐活動，共有680名學生參加，并攜帶300件行李．學校計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共20輛．經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車每輛最多能載30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙兩種汽車可一次性地將學生和行李全部運走？有哪幾種方案？⑵如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費用分別為2000元、1800元，請你選擇最省錢的一種租車方案【思路點撥】根據(jù)題意列出不等式組，解出未知數(shù)的取值范圍，分類討論各種方案.【答案與解析】解：（1）設安排輛甲型汽車，安排（20-x）輛乙型汽車.由題意得：解得，∴整數(shù)可取8、9、10.∴共有三種方案：①租用甲型汽車8輛、乙型汽車12輛；②租用甲型汽車9輛、乙型汽車11輛；③租用甲型汽車10輛、乙型汽車10輛.（2）設租車總費用為元，則隨的增大而增大，∴當時，，∴最省錢的租車方案是：租用甲型汽車8輛、乙型汽車12輛．【總結升華】考查不等式與方程綜合應用問題，體現(xiàn)了分類討論的思想.【中考過關真題練】一．選擇題（共1小題）1．（2022?阜新）不等式組的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，則不等式組的解集為﹣3≤x＜3，故選：A．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．二．填空題（共3小題）2．（2022?德州）不等式組的解集是﹣1＜x＜4．【分析】解出每個不等式的解集，再找出公共解集即可．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式組的解集為﹣1＜x＜4，故答案為：﹣1＜x＜4．【點評】本題考查解不等式組，解題的關鍵是求出每個不等式的解集，能找出不等式的公共解集．3．（2022?攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯(lián)方程．若方程x﹣1＝0是關于x的不等式組的關聯(lián)方程，則n的取值范圍是1≤n＜3．【分析】先解方程x﹣1＝0得x＝3，再利用新定義得到，然后解n的不等式組即可．【解答】解：解方程x﹣1＝0得x＝3，∵x＝3為不等式組的解，∴，解得1≤n＜3，即n的取值范圍為：1≤n＜3，故答案為：1≤n＜3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．4．（2022?綿陽）已知關于x的不等式組無解，則的取值范圍是0＜≤．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結合不等式組的解集可得答案．【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，解不等式﹣3＜2﹣x，得：x＜2，∵不等式組無解，∴m﹣3≥2，∴m≥5，∴0＜≤，故答案為：0＜≤．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．三．解答題（共6小題）5．（2022?攀枝花）解不等式：（x﹣3）＜﹣2x．【分析】不等式去分母，去括號，移項合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解集．【解答】解：（x﹣3）＜﹣2x，去分母，得3（x﹣3）＜2﹣12x，去括號，得3x﹣9＜2﹣12x，移項、合并同類項，得15x＜11．化系數(shù)為1，得x＜．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)不等號的方向改變．6．（2022?菏澤）解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：由①得：x≤1，由②得：x＜6，∴不等式組的解集為x≤1，解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：．【點評】此題考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．7．（2022?湘西州）解不等式組：．請結合題意填空，完成本題的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤3．（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2．（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；（Ⅳ）所以原不等式組的解集為﹣2≤x≤3．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：．（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：（Ⅳ）所以原不等式組的解集為﹣2≤x≤3，故答案為：（Ⅰ）x≤3；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅲ）數(shù)軸表示見解答；（Ⅳ）﹣2≤x≤3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關鍵．8．（2022?濟南）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．【分析】分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集，寫出整數(shù)解即可．【解答】解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥1，∴原不等式組的解集為：1≤x＜3，∴整數(shù)解為1，2．【點評】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組，掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到是解題的關鍵．9．（2022?西寧）解不等式組：，并寫出該不等式組的最大整數(shù)解．【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜﹣2，∴不等式組的解集是x＜﹣2，∴該不等式組的最大整數(shù)解為﹣3．【點評】本題考查了解一元一次不等式（組），不等式組的整數(shù)解的應用，解此題的關鍵是求出不等式組的解集．10．（2022?荊門）已知關于x的不等式組（a＞﹣1）．（1）當a＝時，解此不等式組；（2）若不等式組的解集中恰含三個奇數(shù)，求a的取值范圍．【分析】（1）把a的值代入再求解；（2）先解不等式組，再根據(jù)題意列不等式求解．【解答】解：（1）當a＝時，不等式組化為：，解得：﹣2＜x＜4；（2）解不等式組得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1）如圖所示：當a＝0時．x只有一個奇數(shù)解1，不合題意；當a＝1，x有奇數(shù)解1，﹣1，3，符合題意；∵不等式組的解集中恰含三個奇數(shù)，∴0＜a≤1．解法二：∵＝1，且不等式組的解集中恰含三個奇數(shù)，∴不等式組的解集的三個奇數(shù)必為：﹣1，1，3，∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，解得：0＜a≤1．【點評】本題考查了不等式的解法，正確運算是解題的關鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共1小題）1．（2023?秀英區(qū)一模）不等式x+2≥3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟求出解集，并在數(shù)軸上表示即可得出答案．【解答】解：∵x+2≥3，∴x≥1，不等式x+2≥3的解集在數(shù)軸上表示為：，故選：C．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，在數(shù)軸上表示不等式的解集，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵．二．填空題（共2小題）2．（2023?碑林區(qū)校級模擬）不等的解集為x＞﹣1．【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：，﹣x﹣3＜2x，﹣x﹣2x＜3，﹣3x＜3，x＞﹣1，故答案為：x＞﹣1．【點評】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．3．（2023?市南區(qū)校級一模）某工程隊進行爆破時，為了安全，人要撤離到距爆破點50米以外的安全區(qū)域．已知引線的燃燒速度為0.2米/秒，爆破者離開速度為3米/秒，點燃時引線向遠離爆破點的方向拉直，則引線的長度應滿足什么條件？設引線長x米，請根據(jù)題意列出關于x的不等式．【分析】根據(jù)引線燃燒的時間＞人撤離到安全區(qū)域的時間，得出不等式即可．【解答】解：設引線長x米，由題意得：，故答案為：．【點評】本題考查一元一次不等式組的應用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學思想聯(lián)系起來，讀懂題意列出不等式關系式是解題的關鍵．三．解答題（共8小題）4．（2023?雁塔區(qū)一模）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】求出每個不等式的解集，把解集表示在數(shù)軸上，寫出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x≤4，把不等式的解集表示在數(shù)軸上，∴原不等式組的解集是﹣1＜x≤4．【點評】此題主要考查了一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．5．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）解不等式組：．【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x≤6，所以不等式組的解集是﹣1＜x≤6．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題的關鍵．6．（2023?西安一模）解不等式組并寫出該不等式組的最小整數(shù)解．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，由≥﹣1，得：x≥﹣2，則不等式組的解集為﹣2≤x＜1，∴該不等式組的最小整數(shù)解為﹣2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．7．（2022?定遠縣校級模擬）代數(shù)式與的值的差大于4時，求x的最大整數(shù)解．【分析】根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得﹣＞4，2（x+4）﹣3（3x﹣1）＞24，2x+8﹣9x+3＞24，2x﹣9x＞24﹣8﹣3，﹣7x＞13，x＜﹣，則x的最大整數(shù)解為﹣2．【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．8．（2022?祁陽縣模擬）某企業(yè)新增了一個化工項目，為了節(jié)約資源，保護環(huán)境，該企業(yè)決定購買A、B兩種型號的污水處理設備共8臺，具體情況如下表：A型B型價格（萬元/臺）1210月污水處理能力（噸/月）200160經(jīng)預算，企業(yè)最多支出89萬元購買設備，且要求月處理污水能力不低于1380噸．（1）該企業(yè)有幾種購買方案？（2）哪種方案更省錢，說明理由．【分析】（1）設購買污水處理設備A型號x臺，則購買B型號（8﹣x）臺，根據(jù)企業(yè)最多支出89萬元購買設備，要求月處理污水能力不低于1380噸，列出不等式組，然后找出最合適的方案即可．（2）計算出每一方案的花費，通過比較即可得到答案．【解答】解：設購買污水處理設備A型號x臺，則購買B型號（8﹣x）臺，根據(jù)題意，得，解這個不等式組，得：2.5≤x≤4.5．∵x是整數(shù)，∴x＝3或x＝4．當x＝3時，8﹣x＝5；當x＝4時，8﹣x＝4．答：有2種購買方案：第一種是購買3臺A型污水處理設備，5臺B型污水處理設備；第二種是購買4臺A型污水處理設備，4臺B型污水處理設備；（2）當x＝3時，購買資金為12×3+10×5＝86（萬元），當x＝4時，購買資金為12×4+10×4＝88（萬元）．因為88＞86，所以為了節(jié)約資金，應購污水處理設備A型號3臺，B型號5臺．答：購買3臺A型污水處理設備，5臺B型污水處理設備更省錢．【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用，本題是“方案設計”問題，一般可把它轉化為求不等式組的整數(shù)解問題，通過表格獲取相關信息，在實際問題中抽象出不等式組是解決這類問題的關鍵．9．（2022?自貢模擬）為執(zhí)行中央“節(jié)能減排，美化環(huán)境，建設美麗新農(nóng)村”的國策，我市某村計劃建造A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問題．兩種型號沼氣池的占地面積、使用農(nóng)戶數(shù)及造價見下表：型號占地面積（單位：m2/個）使用農(nóng)戶數(shù)（單位：戶/個）造價（單位：萬元/個）A15182B20303已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2，該村農(nóng)戶共有492戶．（1）滿足條件的方案共有幾種？寫出解答過程；（2）通過計算判斷，哪種建造方案最省錢？【分析】（1）關系式為：A型沼氣池占地面積+B型沼氣池占地面積≤365；A型沼氣池能用的戶數(shù)+B型沼氣池能用的戶數(shù)≥492；（2）由（1）得到情況進行分析．【解答】解：（1）設建造A型沼氣池x個，則建造B型沼氣池（20﹣x）個，依題意得：，解得：7≤x≤9．∵x為整數(shù)∴x＝7，8，9，所以滿足條件的方案有三種．（2）解法①：設建造A型沼氣池x個時，總費用為y萬元，則：y＝2x+3（20﹣x）＝﹣x+60，∴y隨x增大而減小，當x＝9時，y的值最小，此時y＝51（萬元）．∴此時方案為：建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個．解法②：由（1）知共有三種方案，其費用分別為：方案一：建造A型沼氣池7個，建造B型沼氣池13個，總費用為：7×2+13×3＝53（萬元）．方案二：建造A型沼氣池8個，建造B型沼氣池12個，總費用為：8×2+12×3＝52（萬元）．方案三：建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個，總費用為：9×2+11×3＝51（萬元）．∴方案三最省錢．【點評】此題是一道材料分析題，有一定的開放性，（1）先根據(jù)“A型沼氣池占地面積+B型沼氣池占地面積≤365；A型沼氣池能用的戶數(shù)+B型沼氣池能用的戶數(shù)≥492”列出不等式；然后根據(jù)實際問題中x取整數(shù)確定方案；（2）根據(jù)（1）中方案進行計算、比較即可得最省錢方案．10．（2022?玉屏縣一模）某乒乓球訓練館準備購買n副某種品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）個乒乓球．已知A、B兩家超市都有這個品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的標價都為20元，每個乒乓球的標價都為1元．現(xiàn)兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折（按原價的90%付費）銷售，而B超市買1副乒乓球拍送3個乒乓球．若僅考慮購買球拍和乒乓球的費用，請解答下列問題：（1）如果只在某一家超市購買所需球拍和乒乓球，那么去A超市還是B超市買更合算？（2）當k＝12時，請設計最省錢的購買方案．【分析】（1）本題可根據(jù)去超市花的總費用＝購買球拍的費用+購買乒乓球的費用，列出去A，B超市所需的總費用，然后比較這兩個總費用，分別得出不同的自變量的取值范圍中哪個超市最合算．（2）可分別計算出只在A超市購買，只在B超市購買和在A，B超市同時購買的三種不同情況下，所需的費用，然后比較出最省錢的方案．【解答】解：（1）由題意，去A超市購買n副球拍和kn個乒乓球的費用為0.9（20n+kn）元，去B超市購買n副球拍和k個乒乓球的費用為[20n+n（k﹣3）]元，由0.9（20n+kn）＜20n+n（k﹣3），解得k＞10；由0.9（20n+kn）＝20n+n（k﹣3），解得k＝10；由0.9（20n+kn）＞20n+n（k﹣3），解得k＜10．∴當k＞10時，去A超市購買更合算；當k＝10時，去A、B兩家超市購買都一樣；當3≤k＜10時，去B超市購買更合算．（2）當k＝12時，購買n副球拍應配12n個乒乓球．若只在A超市購買，則費用為0.9（20n+12n）＝28.8n（元）；若只在B超市購買，則費用為20n+（12n﹣3n）＝29n（元）；若在B超市購買n副球拍，然后再在A超市購買不足的乒乓球，則費用為20n+0.9×（12﹣3）n＝28.1n（元）顯然28.1n＜28.8n＜29n∴最省錢的購買方案為：在B超市購買n副球拍同時獲得送的3n個乒乓球，然后在A超市按九折購買9n個乒乓球．【點評】解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．本題要注意根據(jù)A，B超市所需的總費用，分情況討論分別得出合理的選擇．11．（2022?黃岡模擬）某學校為開展“陽光體育”活動，計劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8：3：2，且其單價和為130元．（1）請問籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別是多少元？（2）若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數(shù)量是80個（副），羽毛球拍的數(shù)量是籃球數(shù)量的4倍，且購買乒乓球拍的數(shù)量不超過15副，請問有幾種購買方案？【分析】（1）設單價比中的每一份為x，表示出其單價，根據(jù)單價和可求得x，進而求得相應單價即可；（2）關系式為：乒乓球拍的數(shù)量≤15，總價≤3000，把相關數(shù)值代入求得合適的整數(shù)解的個數(shù)即可．【解答】解：（1）設籃球的單價為8x，則羽毛球拍的單價為3x，乒乓球拍的單價為2x．8x+3x+2x＝130，解得x＝10，∴8x＝80；3x＝30；2x＝20，答：籃球的單價為80元，羽毛球拍的單價為30元，乒乓球拍的單價為20元；（2）設籃球的數(shù)量為y，則羽毛球拍的個數(shù)為4y，乒乓球拍的數(shù)量為80﹣5y．，解得13≤y≤14，∴y＝13或14，答：有2種購買方案，籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的數(shù)量分別為：13，52，15或14，56，10．【點評】考查一元一次方程及二元一次不等式組的應用；得到所需關系式是解決本題的關鍵．【名校自招練】一．選擇題（共8小題）1．（2021?西湖區(qū)校級自主招生）若m＞n，則下列不等式一定成立的是（）A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．＜【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答．【解答】解：A、若m＝3，n＝﹣2，則2m＞3n，故不符合題意．B、若m＞n，則2+m＞2+n，故符合題意．C、若m＞n，則2﹣m＜2﹣n，故不符合題意．D、若m＞n，則＞，故不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．2．（2022?榮昌區(qū)自主招生）不等式x≤﹣3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“小于向左，大于向右；邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點”表示即可得．【解答】解：將不等式x≤﹣3的解集在數(shù)軸上表示如下：故選：D．【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．3．（2021?太倉市自主招生）若x＞y+1，a＜3，則（）A．x＞y+2 B．x+1＞y+a C．a(chǎn)x＞ay+a D．x+2＞y+a【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：A、不等式x＞y+1同時加上1，得x+1＞y+2，原變形錯誤，故此選項不符合題意；B、不等式x＞y+1同時加上1，得x+1＞y+2，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C、不等式x＞y+1同時乘以a，當a是正數(shù)時得ax＞ay+a，當a是負數(shù)時得ax＜ay+a，原變形錯誤，故此選項不符合題意；D、不等式x＞y+1同時加上2，得x+2＞y+3，因為a＜3，所以x+2＞y+a，原變形正確，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)及運用．不等式的基本性質(zhì)：①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．4．（2021?寧波自主招生）已知關于x的不等式組有四個整數(shù)解，則（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．0≤a＜1 D．0＜a≤1【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)已知得出關于a的不等式組，求出不等式組的解集即可．【解答】解：解不等式組得：﹣3＜x＜a，∵關于x的不等式組有四個整數(shù)解，整數(shù)解是﹣2，﹣1，0，1，∴1＜a≤2，故選：B．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，能得出關于a的不等式組是解此題的關鍵．5．（2021?武進區(qū)校級自主招生）已知關于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關于a的不等式，從而求出a的范圍．【解答】解：由于不等式組有解，則，必定有整數(shù)解0，∵，∴三個整數(shù)解不可能是﹣2，﹣1，0．若三個整數(shù)解為﹣1，0，1，則不等式組無解；若三個整數(shù)解為0，1，2，則；解得．故選：B．【點評】考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．本題要根據(jù)整數(shù)解的取值情況分情況討論結果，取出合理的答案．6．（2021?浦東新區(qū)校級自主招生）有一個解集為﹣2＜x＜2，它可能是下面哪個不等式組的解集？（a，b均為實數(shù)）（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的解集﹣2＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜1．然后從選項中找出有可能的不等式組．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集為﹣2＜x＜2的不等式組是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能為﹣2＜x＜2．故選：D．【點評】此題考查學生逆向思維，由解來判斷不等式，是一道好題；用到的知識點為：大小小大中間找；大大小小無解．7．（2021?寧波自主招生）從甲地到乙地運送一批貨物，可用卡車車型及運費如下表，根據(jù)交通法規(guī)，所有卡車都不能超載，在總運費不超過25000元且車輛夠用的前提下，最多可裝載物資（）車型AB載重（噸/輛）47運費（元/輛）10001500A．116噸 B．117噸 C．118噸 D．119噸【分析】設用A型卡車x輛，B型卡車y輛，總運費為W元，裝載的總物資為Q噸，由題意可知，W＝1000x+1500y，Q＝4x+7y，解不等式即可．【解答】解：設用A型卡車x輛，B型卡車y輛，總運費為W元，裝載的總物資為Q噸，由題意可知，W＝1000x+1500y，∵W≤25000，（x，y為整數(shù)），∴x≤，∴Q＝4x+7y≤4×（）+7y＝100+y，∴當y取最大時，Q最大，即當y＝16時，Q最大，當y＝16時，x＝1或x＝0，Q分別為116或112，∴當y＝16，x＝1時，最多可載重116噸．故選：A．【點評】本題主要考查一次不等式的應用，根據(jù)給出的運費求出可載物資與車輛之間的關系是解題關鍵．8．（2021?蘇州自主招生）5名學生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（）A． B． C． D．以上都不對【分析】根據(jù)已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，兩邊都除以2即可得出答案．【解答】解：∵3a+2b＝2c+3d，∵a＞d，∴2a+2b＜2c+2d，∴a+b＜c+d，∴＜，即＞，故選：B．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)的應用，關鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)進行變形．二．填空題（共8小題）9．（2021?武進區(qū)校級自主招生）若對任意實數(shù)x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范圍為a＝0，b＜0．【分析】分a＝0，a≠0兩種情況分析．【解答】解：∵如果a≠0，不論a大于還是小于0，對任意實數(shù)x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a＝0，則左邊式子ax＝0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范圍為a＝0，b＜0．【點評】本題是利用了反證法的思想．10．（2021?武進區(qū)校級自主招生）如果關于x的不等式組的整數(shù)解僅有1，2，那么適合這個不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有6個．【分析】首先解不等式組，不等式組的解集即可利用a，b表示，根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅為1，2即可確定a，b的范圍，即可確定a，b的整數(shù)解，即可求解．【解答】解：，由①得：x≥，由②得：x≤，不等式組的解集為：≤x≤，∵整數(shù)解僅有1，2，，∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6，∴a＝1，2，3，b＝4，5，∴整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有（1，4），（2，4），（3，4），（1，5），（2，5），（3，5）即6個，故答案為：6．【點評】此題主要考查了不等式組的整數(shù)解，根據(jù)不等式組整數(shù)解的值確定a，b的取值范圍是解決問題的關鍵．11．（2021?零陵區(qū)校級自主招生）已知a＞b，則﹣a+c＜﹣b+c（填＞、＜或＝）．【分析】不等式兩邊加或減某個數(shù)或式子，乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【解答】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a+c＜﹣b+c．【點評】主要考查了不等式的基本性質(zhì)．不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．12．（2021?和平區(qū)校級自主招生）關于x的不等式組恰有三個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為1．【分析】表示出不等式組的解集，由整數(shù)解共有3個，確定出a的范圍即可．【解答】解：不等式組整理得：，故≤x＜4，∵不等式組整數(shù)解有3個，即1，2，3，∴0＜≤1．∴﹣＜a≤1，∴整數(shù)a為1，0，其和為1+0＝1，故答案為：1．【點評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．13．（2021?江岸區(qū)校級自主招生）若不等式組恰有四個整數(shù)解，則a的取值范圍是3≤a＜4．【分析】首先解不等式組，根據(jù)解的情況列出關于a的不等式組，求解即可得出a的取值范圍．特別是要注意不等號中等號的取舍．【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式組恰有四個整數(shù)解，∴這4個整數(shù)解為﹣3，﹣2，﹣1，0，∴﹣4＜﹣a≤﹣3，∴3≤a＜4，故答案為：3≤a＜4．【點評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解．求出原不等式組的解集后，根據(jù)該不等式組恰有四個整數(shù)解列出關于a的不等式組是解題的關鍵．14．（2021?渝中區(qū)校級自主招生）萬盛是重慶茶葉生產(chǎn)基地和名優(yōu)茶產(chǎn)地之一．以“重慶第一泡?萬盛茶飄香”為主題的采茶制茶、品茶賞茶、茶藝表演活動在萬盛板遼湖游客接待中心開幕，活動持續(xù)兩周，活動舉辦方為游客準備了三款2021年的新茶．清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗．第一批采茶的茶葉中清明香的數(shù)量（盒）是滴翠劍茗的數(shù)量（盒）的2倍，云霧毛尖的數(shù)量（盒）是另外兩種茶葉的數(shù)量之和．由于品質(zhì)優(yōu)良宣傳力度大，網(wǎng)上的預定量暴增，舉辦方加緊采制了第二批同種類型的茶葉．其中清明香增加的數(shù)量占總增加數(shù)量的，此時清明香總數(shù)量達到三種茶葉總量的，而云霧毛尖和滴翠劍茗的總數(shù)量恰好相等．若清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗三種茶葉每盒的成本分別為500元、420元、380元．清明香的售價為每盒640元，活動中將清明香的供游客免費品嘗．活動結束時兩批茶葉全部賣完，總利潤率為16%，且云霧毛尖的銷售單價不高于另外兩種茶葉銷售單價之和的，則滴翠劍茗的單價最低為460元．【分析】設滴翠劍茗最低價為x元，則云霧毛尖最高價為（640+x）元，根據(jù)售價﹣成本＝利潤列出方程，解方程即可．【解答】解：∵第一批采茶的茶葉中清明香的數(shù)量（盒）是滴翠劍茗的數(shù)量（盒）的2倍，云霧毛尖的數(shù)量（盒）是另外兩種茶葉的數(shù)量之和，∴第一批采制的茶葉中清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗的數(shù)量（盒）之比為2：3：1，∵第二批采制后清明香增加的數(shù)量占總增加數(shù)量的，此時清明香總數(shù)量達到三種茶葉總量的，而云霧毛尖和滴翠劍茗的總數(shù)量恰好相等，即云霧毛尖、滴翠劍茗的數(shù)量各占，∴增加后清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗的數(shù)量（盒）之比為：：＝8：5：5，設總共有a盒茶葉，∴成本為×500a+×420a+×380a＝a（元），銷售額應為×（1+16%）a＝a（元），清明香的銷售額為640××（1﹣）a＝a（元），另外兩種茶的銷售總額為a﹣a＝a（元），設滴翠劍茗最低價為x元，則云霧毛尖最高價為（640+x）元，因此可建立方程xa+×（640+x）?a＝a，解得x＝460，因此滴翠劍茗單價最低為460元，故答案為：460．【點評】本題主要考查一元一次方程的知識，根據(jù)售價﹣成本＝利潤列出方程是解題的關鍵．15．（2021?太倉市自主招生）已知關于x的不等式組的整數(shù)解有且只有2個，則m的取值范圍是﹣5≤m＜﹣4．【分析】首先解每個不等式，然后根據(jù)不等式組的整數(shù)的個數(shù)，確定整數(shù)解，從而確定m的范圍．【解答】解：，解①得x＜﹣，解②得x＞m，則不等式組的解集是m＜x＜﹣．不等式組有2個整數(shù)解，則整數(shù)解是﹣3，﹣4．則﹣5≤m＜﹣4．故答案是：﹣5≤m＜﹣4．【點評】此題考查的是一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應遵循以下原則：