統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講11空間幾何體的三視圖表面積體積學(xué)案含解析理

PAGE1-空間幾何體的三視圖、表面積、體積命題點1空間幾何體的三視圖、綻開圖、截面圖三視圖、綻開圖、截面圖中的幾何度量(1)空間幾何體的三視圖：①在長方體或正方體中依據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，能快速確定幾何體中線面位置關(guān)系；②依據(jù)“長對正，寬相等、高平齊”的原則由三視圖確定對應(yīng)幾何體中的量．(2)空間幾何體表面距離最短問題：其解題思路經(jīng)常是將幾何體綻開．一般地，多面體以棱所在的直線為剪開線綻開，旋轉(zhuǎn)體以母線為剪開線綻開．(3)空間幾何體的三類截面：軸截面、橫截面與斜截面．利用截面圖可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．[高考題型全通關(guān)]1．(2024·全國卷Ⅱ)如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M，在俯視圖中對應(yīng)的點為N，則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為()A．E B．FC．G D．HA[該幾何體是兩個長方體拼接而成，如圖所示，明顯選A．]2．[高考改編]某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體最長的棱長與最短的棱長的比值是()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(3,2)D[在棱長為2的正方體中還原該四面體P-ABC．如圖所示，其中最短的棱為AB和BC，最長的棱為PC．因為正方體的棱長為2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以該四面體最長的棱長與最短的棱長的比值為eq\f(3,2)，故選D．]3．圓錐的母線長為l，過頂點的最大截面的面積為eq\f(1,2)l2，則圓錐底面半徑與母線長的比eq\f(r,l)的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D[設(shè)圓錐的高為h，過頂點的截面的頂角為θ，則過頂點的截面的面積S＝eq\f(1,2)l2sinθ，而0＜sinθ≤1，所以當(dāng)sinθ＝1，即截面為等腰直角三角形時取得最大值，故圓錐的軸截面的頂角必需大于或等于90°，得l＞r≥lcos45°＝eq\f(\r(2),2)l，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,l)＜1.]4．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(3)，AA1＝4，若點P從點A動身，沿著正三棱柱的表面，經(jīng)過棱A1B1運動到點C1，則點P運動的最短路程為()A．5 B．eq\r(31)C．4eq\r(2) D．6B[將三棱柱綻開成如圖的圖形，讓點C1與ABB1A1在同一平面內(nèi)，C1D⊥AB交A1B1于Q，則C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝eq\f(\r(3),2)，兩點之間線段最短，故AC1即為所求的最短距離，因為C1Q＝A1C1×sin60°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，所以C1D＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2)，AD＝eq\f(\r(3),2)，所以AC1＝eq\r(AD2＋C1D2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up7(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))\s\up7(2))＝eq\r(31).]命題點2空間幾何體的表面積、體積求解幾何體的表面積或體積的策略(1)干脆法：對于規(guī)則幾何體可干脆利用公式計算；(2)割補法：對于不規(guī)則幾何體，可采納“分割、補體”的思想，采納化整為零或化零為整求解．(3)軸截面法：對于旋轉(zhuǎn)體的表面積問題，經(jīng)常借助軸截面求解．(4)等體積轉(zhuǎn)化法：對于某些動態(tài)三棱錐的體積問題，干脆求解不便利時，可采納轉(zhuǎn)換底面的方式求解；尤其涉及“空間點到平面的距離”問題，常采納等體積轉(zhuǎn)換法求解．[高考題型全通關(guān)]1．[高考改編]榫卯(sǔnmǎo)是兩個木構(gòu)件上所采納的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫，凹進去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到連接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖，則該榫的表面積和體積為()A．8＋16π，2＋8π B．9＋16π，2＋8πC．8＋16π，4＋8π D．9＋16π，4＋8πA[由三視圖知該榫頭是由上下兩部分構(gòu)成：上方為長方體(底面為邊長是1的正方形，高為2)，下方為圓柱(底面圓半徑為2，高為2)．其表面積為圓柱的表面積加上長方體的側(cè)面積，所以S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×2))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×2))＝8＋16π.其體積為圓柱與長方體體積之和，所以V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))×2＋1×1×2＝8π＋2.故選A．]2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB11∶eq\r(3)[設(shè)正方體棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為正四面體，每個面都是邊長為eq\r(2)的正三角形，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶eq\r(3).]3．[高考改編]已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3.eq\f(7π,3)[依據(jù)三視圖可知幾何體下部是一個高為1，底面半徑為1的圓錐．上部是一個高為3的圓柱被一個斜平面所截后的一部分，底面半徑是1.法一：(分割法)幾何體的體積是eq\f(1,3)×π×12×1＋π×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×2))＝eq\f(7π,3).法二：(補體法)幾何體的體積是eq\f(1,3)×π×12×1＋eq\f(1,2)×π×12×(1＋3)＝eq\f(7π,3).]4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)①AE∥平面C1BD；②四面體ACEF的體積不為定值；③三棱錐A-BEF的體積為定值；④四面體ACDF的體積為定值．其中結(jié)論正確的有________(填序號)．①③④[對于①，如圖1，AB1∥DC1，易證AB1∥平面C1BD．同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，①正確．圖1圖2對于②，如圖2，S△AEF＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up7(2))＝eq\f(3\r(6),4)，點C到平面AEF的距離為點C到平面AB1D1的距離d為定值，所以VA-CEF＝VC-AEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(6),4)×d＝eq\f(\r(6),4)d為定值，所以②錯誤；對于③，如圖3，S△BEF＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，點A到平面BEF的距離為A到平面BB1D1D的距離d′為定值，所以VA-BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×d′＝eq\f(1,2)d′為定值，③正確；圖3圖4對于④，如圖4，四面體ACDF的體積為VA-CDF＝VF-ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3＝eq\f(9,2)為定值，④正確．][老師備選]1．若正三棱錐A-BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，則三棱錐A-BCD的高為()A．eq\f(\r(6),6)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(6),3)A[設(shè)三棱錐A-BCD的高為h.依題意得AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(2),2)BC＝eq\f(\r(2),2)，△BCD的面積為eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).由VA-BCD＝VB-ACD得eq\f(1,3)S△BCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·AB，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up7(2)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝eq\f(\r(6),6)，即三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),6).]2．已知一個三棱錐的全部棱長都是eq\r(2)，則該三棱錐的體積為________．eq\f(1,3)[記全部棱長都