中考數(shù)學(xué)圖形函數(shù)真題題庫（含參考答案）

中考數(shù)學(xué)圖形、函數(shù)真題題庫（含參考答案）

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一、解答題

1.如圖1,在8c中，ZB^C=90°,AB=AC,D為AABC內(nèi)一點、,將線段

繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到片區(qū)連接CE,80的延長線與CE交于點尸.

（1）求證：BD=CE,BD1CE；

（2）如圖2.連接力HDC,已知N8OC=135。，判斷4尸與。C的位置關(guān)系，并說明

理由.

【答案】（1）見解析；（2）AF//CD,理由見解析

【解析】

【分析】

（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出ND4E=90。，AD=AE,進(jìn)而判斷出NAW=NC4E；

然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△450g△/（7￡,即可判斷出BZ>CE.再證

明NC6產(chǎn)+N8C產(chǎn)=90。，即可證明8O_LCE；

（2）由N8OC=135。得NCOr=45。，再證明4,D,F,E在以。E為直徑的圓上，即

可證明乙4FD=45。,從而可證明AFHCD.

【詳解】

解（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得ND4E=90。，AD=AE,

*：NBAD+NDAC=NB4C=90。,NCAE+ND4C=NDAE=90。,

:?NBAD=/CAE,

在△4班）和△彳CE中，

AB=AC

-NBAD=NCAE,

AD=AE

:.△ABD/AACE（SAS）,

???BD-CE,NABD=ZACE

???NA4c=90。

試卷第1頁，共214頁

AABC+ZACB=90°,即NABD+NFBC+NACB=90°

，NFBC+ZACB+ZACF=90°

，ZBFC=90°

:?BFLCE,即5OJ.CE;

(2)AF//CD,理由如下：

VNBDC=135。

：.4CDF=45°

由(1)知，ZDJ￡=90°,NDFE=90。

???4,D,F,E在以。￡為直徑的圓上，如圖，

?:AD=AE

，弧/2＞弧4后，

，NAFD=NAFE=45。

/.ZAFD=Z.CDF

AFUCDx

【點睛】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①對應(yīng)點

到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、

后的圖形全等.另外此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及四點共圓的知

識，要熟練掌握.

2.如圖，。0是zUBC的外接圓，點E是△48C的內(nèi)心，4E的延長線交8c于點F,

交。。于點。，連接30,BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)AE=3?DF=4,求。B的長.

試卷第2頁，共214頁

A

B

D

【答案】(1)證明過程見詳解；(2)DB=6.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)心得到/B4E=NCAD,根據(jù)圓周角定理推論得到

ZDBC=ZCAD,結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，進(jìn)而根據(jù)”等角對等邊”證明結(jié)論；

(2)通過證明△DBFs^DAB,利用對應(yīng)邊成比例求解即可.

【詳解】

解：(1)證明：???￡是△力8c的內(nèi)心，

???4。平分NBAC,BE平分乙奶C,

：?/ABE=/CBE,NBAE=/CAD,

根據(jù)圓周角定理推論，可知NO4C=N。。，

:./DBC=/BAE,

*：NDBE=NCBE+NDBC,NDEB=NABE+NBAE,

：.NDBE=/DEB,

:?DE=DB；

(2)由(1)知ND4B=NCAD,NDBF=/CAD,

:.NDBF=/DAB.

VZD=ZD,

/.△DBF^ADAB.

.DB_DF

''~DA~~DBy

，：DE=DB,

.DF+EF_DF

■■AE+EF+DF~DF+EF，

VAE=3tDF=4,

EF=2,

試卷第3頁，共214頁

，BD=DE=6.

【點睛】

本題主要考查了三角形的內(nèi)心，圓周角定理推論，相似的判定與性質(zhì)，涉及了等腰三角

形的判定與性質(zhì)，三角形的外角定理.關(guān)鍵是正確理解三角形的內(nèi)心定義.

3.先化簡，再求代數(shù)式的值：二7+竺W+S，其中。=2sin30o+2（;r-l）°.

a-2a~-42-a

【解析】

【分析】

先通分，然后進(jìn)行分式的加減運算，化簡整理，最后代入求值即可.

【詳解】

目t2〃+42a—4片+3a+2

原式二二——十二-------------

a-4a-4a~-4

_—a2+a—2

a2-4

Vfl=2sin30°+2（^-l）0

=1+2

=3

將a=3代入原式=3--=—

32-45

【點睛】

本題主要考查了分式的化簡求值，熟練運用分式運算法則化簡是解題的關(guān)鍵，注意代入

計算要仔細(xì)，屬于常考題型.

4.如圖，拋物線y=Y+bx+c與x軸相交于48兩點，與y軸相交于點C,對稱軸為

直線x=2,項點為O,點8的巨標(biāo)為（3,0）.

（1）填空：點力的坐標(biāo)為,點。的坐標(biāo)為,拋物線的解析式為

■

（2）當(dāng)二次函數(shù)），=/+反+。的自變量：滿足+2時，函數(shù)y的最小值為

求m的值；

（3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點尸，使是以乂。為斜邊的直角三

角形？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共214頁

【答案】（1）（1,0）,（2,-1）,y=f-4x+3；（2）的值為一；或［；（3）點尸的

坐標(biāo)為：（2,1）,（2,2）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸及點8坐標(biāo)可求出點/坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸可求出人的值，把

點4或8的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出C的值，通過配方可求出頂點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線開口向上，分兩種情況討論求解即可；

（3）設(shè)尸（1,力，由/C為斜邊，則N/PC=90。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：（1）???拋物線的對稱軸為廣2,點8坐標(biāo)為（3,0）,且點4在8點的左側(cè)，

：.A（1,0）

又x=-g=2

2

，b=-4

把4（1,0）代入y一4%+c得，c=3

:,拋物線的解析式為y=x2-4x+3=（x-2f-1

???頂點。坐標(biāo)為（2,-1）

故答案為：（1,0）,（2,-1）,y=?—4x+3;

（2）???拋物線y=W—4x+3開口向上，當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>2時，

y隨x的增大而增大，

①當(dāng)〃+2<2,即機<0時，加小值=（/n+2-2>-1=；

解得，）V（舍去）或加=一:

22

試卷第5頁，共214頁

②當(dāng)m>2時，y鼠小1fl=（小一2『一1=:

解得，〃?二:或小=（（舍去）

22

所以，加的值為3或;7

22

（3）假設(shè)存在,設(shè)尸（2,/）

當(dāng)NJPC=90。時，如圖，

過點C作CG_LPE于點G,則CG=2,PG=3“

4CGP=NAEP=90°,Z.CPG+Z.PCG=Z.CPG+/APE=90°,

Z.PCG=NAPE,

kCPG~"AE,

,CGPG23-t

..---=---,即—=-----

PEAEt1

整理得，/-3/+2=0

解得，q=2

經(jīng)檢驗：q=2是原方程的根且符合題意，

工點尸的坐標(biāo)為（2,1）,（2,2）

綜上，點尸的坐標(biāo)為：（2,1）,（2,2）

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)

用以上知識解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.已知：在正方形488的邊上任取一點尸，連接力尸，一條與/尸垂直的直線/（垂

足為點P）沿/產(chǎn)方向，從點A開始向下平移，交邊AB于點、E.

試卷第6頁，共214頁

(1)當(dāng)直線/經(jīng)過正方形力8co的頂點。時，如圖1所示.求證：AE=BF；

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過臚的中點時，與對角線80交于點。，連接產(chǎn)。，如圖2所示.求4世

的度數(shù)；

(3)直線/繼續(xù)向下平移，當(dāng)點尸恰好落在對角線8。上時，交邊C。于點G,如圖3

所示.^AB=2fBF=xfDG=y,求P與x之間的關(guān)系式.

【答案】(1)見詳解；(2)4回0=45。；(3)丁二土4-三2x

【解析】

【分析】

(1)由題意易得/。=48,/"。=/下員4=90。，進(jìn)而可得乙〃5=/瓦乂，則有

△ABF也2AE,然后問題可求證；

(2)連接4。，過點。作QW14O于點并延長MQ,交8c于點N,由題意易得

AQ=FQ,N4O8=45。，則有QM=MD,進(jìn)而可得證“MQ知QNF,然后可得/MQF=90°,

則問題可求解；

(3)過點。作Q，〃EG,交于點〃，由題意易證四邊形"EGO是平行四邊形，則

有AH=BF=x,HE=DG=y,進(jìn)而可得照=空=黑=、，然后可得"0=彳，

U(JADrU2VZ

則問題可求解.

【詳解】

(1)證明：???四邊形48c。是正方形，

.??AD=AB/EAD=/FBA=90°,

?：AF上ED,

/.ZAPE=W,

/.Z.BAF+乙4EP=NAEP+ZADE=90°,

/.NFAB=NEDA,

:ABF知DAE(ASA),

/.AE=BF；

試卷第7頁，共214頁

（2）解：連接40,過點。作。A/L4。于點并延長M0,交8c于點M如圖所

示:

丁點尸是力尸的中點，AFYEQ,

：.AQ=FQ,

???四邊形力8c。是正方形，

???AD=DC,ZADC=ZC=90°,/ADB=45°,

???四邊形MVCD是矩形，是等腰直角三角形,

JMN=CD=AD,MD=MQ,

:.AM=QN,

：.“MQ%QNF(HL),

:.UQM=KQFN,

VZFQN+4QFN=90。,

.?.Z.FQN+4。"=90。，即Z-AQF=90°,

???△力。/是等腰直角三角形，

???4廠0=45。；

(3)過點。作DH〃EG,交.AB于點H,如圖所示：

圖3

???四邊形HEGD是平行四邊形,

試卷第8頁，共214頁

??DG=HE,

JAFLEG,

\AFLHD,

由（1）中結(jié)論可得力，=8產(chǎn)，

.?AD//BFyAB//CD,

,?"PDs^FPB,xBPEsqPG,

.BFBPBEBP

t^D~~DPy~DG~~DP，

*AB=2,BF=x,DG=y,

?,AD=4B=2,AH=BF=x,HE=DG=y,

\BE=2-x-y,

.BEBFBP_x

'~DG~^D~~PD~2f

.2-x-y=x

,y一3'

??〉與》之間的關(guān)系式為），=土4—以21.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的性質(zhì)

與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，直線y=x+2與拋物線卜=加+隊+6（。=0）相交于點力［；,11）和點8（4,m）,

拋物線與x軸的交點分別為“，K（點”在點K的左側(cè)）.點尸在線段48上運動（不

與點4、8重合），過點尸作直線產(chǎn)CJ_x軸于點P,交拋物線于點C.

試卷第9頁，共214頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接4C,是否存在點凡使△H1C是直角三角形？若存在，求出點尸的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)如圖2,過點C作CE_LjB于點E,當(dāng)"的周長最大時，過點尸作任意直線/,

把ACE尸沿直線/翻折180。，翻折后點C的對應(yīng)點記為點。，求出當(dāng)AC跖的周長最大

時，點尸的坐標(biāo)，并直接寫出翻折過程中線段K0的最大值和最小值.

【答案】(1)y=2x2—8x+6；(2)存在尸(3,5)或尸&,?),理由見解析；(3)尸(]7)

2244

KQ最大值為竺+矩奧，最小值為竺一也曳

8484

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，將8(4,“)代入直線解析式求得8點的坐標(biāo)，將48坐標(biāo)代入二次函

數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)先證明△4月C為等腰直角三角形，分情況討論①當(dāng)尸C為斜邊時，設(shè)尸(也加+2),

則。(佻2.2-8加+6),根據(jù)%=&4戶求得尸點的坐標(biāo)；②尸4為斜邊時:

根據(jù)力C//x軸求得產(chǎn)點的坐標(biāo)；

(3)是等腰直角三角形，當(dāng)尸。最大時，△EFC的周長最大，求得尸點的坐標(biāo);

過點尸作任意直線/,把ACM沿直線/翻折180。，翻折后點。的對應(yīng)點記為點。

根據(jù)題意點。在以尸為圓心，EC為半徑的圓上，根據(jù)0K2=尸。+相。長.=正。-心

試卷第10頁，共214頁

求得最值

【詳解】

(1)?.?由題意y=x+2過點8(4,〃?)

貝lj：,?=4+2=6

5(4,6)

將8(4,6)

RA^=ar2+bx+6,得：

6=16。+48+6

,511,

—=—a+—b+x6

[242

a=2

y=2x2-8x+6

(2)存在，理由如下

設(shè)直線AB與x軸交于點。，與V軸交于點G

?.?戶工+2過點。，G

令y=0,x=-2,令x=0/=2

.-.D(-2,0),G(0,2)

.?.△OOG是等腰直角三角形

試卷第11頁，共214頁

NGDO=45°

v4c是直角三角形

2

設(shè)F(mtm+2),則C(m92m-+6)

???尸。_Lx軸

，F(xiàn)C〃y軸

4"=45。

.JC不可能為斜邊

/C是等腰直角三角形

①當(dāng)戶C為斜邊時：ACLAB

FC=42AF

..FC1=2AF2

??FC=機+2—2/M2+8w-6=-2m2+9m—4

/尸=(機一；)2+(加+2一,=2陽2一+:

即(—2m2+9/n—4)2=4m*—4m+1，

解得：=3m=:(與點A重合)

2

.*.F(3,5)

②當(dāng)E4為斜邊時:力CJLCF

試卷第12頁，共214頁

,/尸C_Lx軸

:.ACHx^

2"?~—8w+6=一

2

解得：町=（,嗎=g（與點A重合）

試卷第13頁，共214頁

由(2)可知NEFC=45。

?;CE上AB

△aV是等腰直角三角形

加”.局”五”

EF=EC-sin45xFC-——FC

2

AEFC的周長等于￡尸+EC+尸C=(1+際FC

當(dāng)尸C最大時，的周長最大

設(shè)尸(〃,〃+2)(g<〃<6),則。5,2〃2一8〃+6),則

FC=〃+2-2/?+8n-6=-2if+9w-4

~%249

=-2(n——>+——

48

當(dāng)n=：9時，F(xiàn)C取得最大值49?

48

過點尸作任意直線/,把ACM沿直線/翻折180。

翻折后點C的對應(yīng)點記為點。

根據(jù)題意點。在以尸為圓心，"'為半徑的圓上

2

y=2x-8x+6f令y=0

2X2-8X+6=0

解得：X1=1,》2=3

試卷第14頁，共214頁

根據(jù)題意，點H在點K的左側(cè),

K(3,0)

公居-燈+苧二華

QKgx=FC+FK=%+^L

84

0Kmin=產(chǎn)。一戶長=竺_叵8

84

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，勾股定理，圖形

的旋轉(zhuǎn)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，圓的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，綜合運用以

上知識是解題的關(guān)鍵.

7.有詩云：東山雨霽畫屏開，風(fēng)卷松聲入耳來.一座樓閣鎮(zhèn)四方，團結(jié)一心建家鄉(xiāng).1987

年為慶祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公園內(nèi)修建了一座三層樓高的

“一心閣”民族團結(jié)樓閣.芙蓉學(xué)校數(shù)學(xué)實踐活動小組為測量“一心閣"C"的高度，在樓

前的平地上力處，觀測到樓頂C處的仰角為30。，在平地上8處觀測到樓頂。處的仰角

為45。，并測得彳、8兩處相距20m,求“一心閣”CH的高度.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位,

試卷第15頁，共214頁

參考數(shù)據(jù)：V2?1.41?V3=1.73）

【答案】C〃=27.5m

【解析】

【分析】

由題意易得CH=BH,設(shè)CH=BH=xm,則有力〃=（20+x）m,進(jìn)而杈據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行

求解.

【詳解】

解：由題意得：^CHA=90°,ZCBH=45°,=30°,AB=20m,

:.CH=BH,

設(shè)CH=BH=xm,貝ij有4〃=（20+x）m,

向

/.CH=JH-tan30°,HRx=?（20+x）,

解得：x=27.5,

.??C〃=27.5m.

【點睛】

本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖1,在△ZB。中，NC=90。，ZABC=3Q°,AC=\,。為△/5C內(nèi)部的一動點（不

在邊上），連接8。，將線段8。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使點8到達(dá)點尸的位置；將線

段48繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。，使點力到達(dá)點￡的位置，連接40,CD,AE,AF,BF,

EF.

試卷第16頁，共214頁

(1)求證：ABDAmABFE；

(2)①CZH0F+在?的最小值為；

②當(dāng)CD+O尸+尸石取得最小值時，求證：AD//BF.

(3)如圖2,M,N,尸分別是。尸，力尸，/￡?的中點，連接MP,NP,在點。運動的過

程中，請判斷NMQN的大小是否為定值.若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由.

【答案】(1)見解答；

(2)①近：②見解答；

(3)是，NMPN=30。.

【解析】

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)60。知，NABD=/EBF、AB=AE.BD=BF,故由S4S證出全等即可；

(2)①由兩點之間，線段最短知C、D、尸、￡共線時CD+DF+FE最小,且CD+DF+FE

最小值為CE,再由N4C8=90。，ZJ5C=30°,AC=\求出8c和45,再由旋轉(zhuǎn)知力

NCBE=90。,最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；

②先由△8。尸為等邊三角形得/加昨60。，再由C、。、F、E共線時CZHOQ■產(chǎn)石最小，

NBFE=120Q=NBDA,最后4)尸=/458-/80尸=120。-60。=60。，即證；

(3)由中位線定理知道〃幺。且PN〃E凡再設(shè)N8E尸=N84O=a,NR4N=0,則

NPN尸=60。-。+尸，NFNM=NE4D=60。+af,得/PNM=120。.

【詳解】

解：(1)證明：:/DBF=N4BE=60。,

ANDBF-NABF=NABE-/ABF,

：.NABD=NEBF,

在△8D4與4BFE中,

BD=BF

<UBD=4EBF,

AB=BE

:?△BDWABFE(SAS)；

(2)①???兩點之間，線段最短，

即C、D、尸、E共線時8+。P+房最小，

：.CD+DF+FE最小值為CE,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=\,

:,BE=AB=2,BC=ylAB2-AC2=73?

試卷第17頁，共214頁

VNCBE=/ABC+NABE=90°,

:.CEEBE'BC?="

故答案為：，7：

②證明：*：BD=BF,NDBF=60。,

???△BQ尸為等邊三角形，

即N8FZA60。，

,:C、D、F、E共線時CZHOF-尸￡最小，

；?NBFE=120。,

〈△BD3ABFE,

：.ZBDA=\2Q0,

：.Z.ADF=Z.ADB-ABDF=120°-60°=60°,

???/ADF—/BFD,

：.AD//BF,

（3）NM/W的大小是為定值，理由如下:

如圖，連接MN,

,:M,N,A分別是。尸，AF,dE的中點，

???也〃4。且PN//EF,

":AB=BE且ZJ5E=60°,

:.4ABE為等邊三角形,

設(shè)NBEF=NBAD=a,NPAN="

則N/EF=N/PN=60O-a,N￡/Z）=600+a,

:./PNF=6G0-a邛,NFNM=NE4D=6O0+a-0,

/./PNM=NPNF+ZFW=60°-a+/?+60°+a-^=120°,

,:△BDA/ABFE,

1I

.?.MN=-AD=-FE=PN,

試卷第18頁，共214頁

/.ZMPN=（180°-ZPMW）=30°.

【點睛】

本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、

平行線的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

9.如圖，在中，為直徑，P為上一點,PA=1,PB=m（m為常數(shù),且

0）.過點尸的弦CO_L48,。為說上一動點（與點5不重合），AHLQD,垂足為連

接NO、BQ.

（1）若m=3.

①求證：ZOAD=6Q°；

②求笑的值；

un

（2）用含機的代數(shù)式表示器，請直接寫出結(jié)果；

（3）存在一個大小確定的。O,對于點0的任意位置，都有8。-2皿/2+尸82的值是一

個定值，求此時N。的度數(shù).

【答案】（1）①見解析；②2；［2）71+^；（3）存在半徑為1的圓，45。

【解析】

【分析】

（1）①連接則易得CQ垂直平分線段04，從而。＞40,由04=0。，即可得

△04。是等邊三角形，從而可得結(jié)論；

②連接力。，由圓周角定理得：ZABQ=ZADH,從而其余弦值相等，因此可得

照=組，由①可得48、力Z）的值，從而可得結(jié)論；

DHAD

（2）連接力0、BD,首先與（1）中的②相同，有照=空，由△”DS/\4DB,可

DHAD

求得力。的長，從而求得結(jié)果；

2222222

（3）由（2）的結(jié)論可得：BQ=（\+ni）DHtAMTuBQ-2DH+PB=（m-\）DH+m

試卷第19頁，共214頁

當(dāng)機=1時，即可得是一個定值，從而可求得NQ的值.

【詳解】

(1)①如圖，連接OD,則囚=00

*：AB=PA+PB=\+3=4

.\OA=-AB=2

2

：.OP=AP=\

即點尸是線段04的中點

*：CDVAB

???CO垂直平分線段0/

：.OD=AD

：.OA=OD=AD

即△040是等邊三角形

，ZOJD=60°

②連接40

'：AB是直徑

：.AQA.BQ

根據(jù)圓周角定理得：NABQ=/ADH,

/.cosZ.ABQ=cosZ.ADH

'：AHLDQ

在Rt^ABQ和Rt^ADH中

cosZ.ABQ==cosZ.ADH=2^

ABAD

.BQ二AB

''~DH~~AD

'：AD=OA=2,AB=4

試卷第20頁，共214頁

.BQAB_4

'~DH~^4D~2

(2)連接40、BD

與(1)中的②相同，有照=空

DnAD

是直徑

：.AD±BD

，NDAB+NADP=NDAB+NABD=9。。

ANADP=NABD

:.RtAAPDsRtAADB

.PAAD

,?茄一萬

,：AB=PA+PB=\+m

：?AD=dPAMB=y/i+ni

工絲=絲=獸=標(biāo)

DHADy/\+m

(3)由(2)知,

***BQ=-J\+m*DH

即BC=(]+m)DH2

：.Bff-2DH2+PB2=(\+ni)DH2-2DH2+m2=(m-\)DH2+m

試卷第21頁，共214頁

當(dāng)M=1時，^^—。環(huán)+尸爐是一個定值，且這個定值為1,此時丹=尸3=1,即點尸與

圓心O重合

'：CDLAB,OA=OD=\

是等腰直角三角形

:.N。40=45。

?；NOAD與/。對著同一條弧

：.ZQ=ZOAD=45°

故存在半徑為1的圓，對于點0的任意位置，都有6。-2。，2+尸"的值是一個定值1,

此時/。的度數(shù)為45.

【點睛】

本題是圓的綜合，它考查了圓的基本性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，難點是第（3）問，得出5？-

2DH2+PB2=（相-1）。甲+而后,當(dāng)“1即可得出BQ2-是一個定值.

10.如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面4處出發(fā)，沿坡角。=30。的斜坡48步行50m

至山坡3處，乘直立電梯上升30m至。處，再乘纜車沿長為180m的索道CO至山頂O

處，此時觀測C處的俯角為19°30\索道CO看作在一條直線上.求山頂。的高度.（精

確到Im,sin19°30^0.33,cos19°30,-0.94,tanl9030M）.35）

【答案】114m

【解析】

【分析】

過點C作CE_LOG于E,C8的延長線交力G于尸，在出Z\8力廠中可求得8戶的長，從

而可得b的長:在Rl^DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得DE的長,從而由DG=DE+CF

即可求得山頂。的高度.

【詳解】

過點。作CE_LOG于E,C8的延長線交4G于凡設(shè)山頂?shù)乃诰€段為OG,如圖所示

試卷第22頁，共214頁

D

在用產(chǎn)中，a=30°,48=50m

貝(JBF=a=50x；=25(m)

/.CF=BC+BF=30+25=55(m)

在H/ZXOCE中，ZDCE=19o30f,8=180m

ADE=CO?sinNDCE=180x0.33工59(m)

丁四邊形CFGE是矩形

：.EG-CF

??.Z)G=OE+EG=OE+b=59+55=l14(m)

即山頂。的高度為114m.

【點睛】

本題考查了解直角三角形在實際測量中的應(yīng)用，題目較簡單，但這里出現(xiàn)了坡角、俯角

等概念，要理解其含義，另外通過作適當(dāng)?shù)妮o助線，把問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.

11.如圖，力B為。。的直徑，。為。。上一點，40和過點。的切線互相垂直，垂足

為D.

(1)求證：4c平分

(2)若40=8,tanZCJB=-,求：邊力C及4B的長.

【答案】(1)見詳解；(2)JC=10,AB=—

【解析】

1分析】

(1)連接0C,由題意易得4OC=NOCO=90。，則有力D//0C,進(jìn)而可得

試卷第23頁，共214頁

NACO=NOAC=NDAC,然后問題可求證；

(2)連接8C,由題意及(1)=則芍OC=6,然后可得

4

4

cosZCAB=cosZCAD=-f然后問題可求解.

【詳解】

(1)證明：連接OC,如圖所示：

是。。的切線，

,ZOCD=9（F,

*：AD±CD,

:.ZADC=ZOCD=90°,

:.AD//OC,

：.ZDAC=ZACO,

?：OA=OC,

JNACO=Z.OAC=Z.DAC,

，力C平分/O84；

（2）解：連接8C,如圖所示:

由（1）可得：ZBAC=NDAC,

3

*.*tanZ.CAB=—,

4

/.tanZ.CAD=tanZ.CAB=-,

4

?/AD=S,

/.CD=AD-tanZ.DAC=6,

試卷第24頁，共214頁

AC=\IAD1+CDr=10?

jn4

???cosNCAB=cosZCAD=——=-

AC5

???/5為。。的直徑,

二405=90。，

cos/C力B2

【點睛】

本題主要考查切線的性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

12.計算：（一2）°-曲一|-5|+4sin45。.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根據(jù)零次累、特殊三角函數(shù)值及算術(shù)平方根可直接進(jìn)行求解.

【詳解】

解：原式=l-2&-5+4x匹=一4.

【點睛】

本題主要考查零次幕、特殊三角函數(shù)值及算術(shù)平方根，熟練掌握零次幕、特殊三角函數(shù)

值及算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，四邊形48。為矩形，/出=3,BC=4,P、0均從點3出發(fā)，點P以2個

單位每秒的速度沿歷1-4C的方向運動，點。以1個單位每秒的速度沿BC-8運動，

設(shè)運動時間為1秒.

（1）求/C的長；

（2）若S.BPQ=S,求S關(guān)于，的解析式.

AD

BQC

試卷第25頁，共214頁

【答案】(1)AC=5：(2)S=<-r+—t,-<t<4

552

2/-8,r>4

【解析】

【分析】

(1)由題意易得N5=90。，然后根據(jù)勾股定理可求解；

3

(2)由題意易得①當(dāng)點P在48上時，即04K5,則8P=2"2=乙②當(dāng)點P在4C

3

上，點。在8c上時，即5<f44,過點P作PELBC于點E,然后可得

PC=8-2tfPE=-(8-2i)t③當(dāng)點尸與點C重合，點。在8上時，即”4,則有

BP=4,CQ=J,進(jìn)而根據(jù)面積計算公式可求解.

【詳解】

解：(1)???四邊形48CO是矩形，

/.ZB=90°,

VAB=3tBC=4,

AC=ylAB2+BC2=5;

(2)由題意得當(dāng)點P到達(dá)點。時，點。恰好到達(dá)點C,則有：

當(dāng)點尸在上時，即0W/K1,如圖所示：

2

BP=2t,BQ=t,

S=gBP.BQ=；x2fxe=產(chǎn)；

當(dāng)點尸在4c上，點。在8c上時，即過點P作PE_LBC于點E,如圖所示:

試卷第26頁，共214頁

AD

由(1)可得sin/PCE=|,

APE=CPsinNPCE=1(8-2/),

1111

212

：.S=^BQ-PE=^x^x(s-2t)xt=~t+~5t；

當(dāng)點尸與點C重合，點0在CD上時，即/>4,如圖所示:

???S=；8PPQ=；x4x(f-4)=2f-8；

1

3123

綜上所述：S關(guān)于E的解析式為S=2

552

2r-8,r>4

【點睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)及函數(shù)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定

理、三角函數(shù)及函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，拋物線y="2-2x+c（。=0）與x軸交于力、B（3,0）兩點，與V軸交于點C

（0,一3）,拋物線的頂點為。.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸在拋物線的對稱軸上，點。在“軸上，若以點P、0、B、C為頂點，BC為

邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點尸、。的坐標(biāo)；

（3）已知點M是x軸上的動點，過點M作x的垂線交拋物線于點G,是否存在這樣的

試卷第27頁，共214頁

點M,使得以點4、M、G為頂點的三角形與△88相似，若存在，請求出點M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）點尸（1,-3）或尸（1,3）、點。（4,0）或點0（-2,0）；（3）

810

存在，M（0,0）或股（'，0）或“（6,0）或“（1，0）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式和己知坐標(biāo)點代入計算即可，

（2）以點尸、。、5、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形，分為兩種情況：RQJ/BC

或PQJIBC,根據(jù)平行四邊形對邊相等且平行求解即可，

（3）先根據(jù)題意求出A點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)，根據(jù)B,C,D坐標(biāo)點得知△8QC是直角

三角形，且NBCZ）=90"，設(shè)點”得坐標(biāo)（機,0）,則點G得坐標(biāo)為（加,〃，-2加-3）,

根據(jù)相似的性質(zhì)分情況求解即可.

【詳解】

解：（1）將點B（3,0）,C（0,一3）分別代入尸.2-2升（;中，

19"2x3+c=0

得：2，

[c=-3

a=\

解得仆

c=-3

???拋物線得函數(shù)關(guān)系為y=x2-2x-3

（2）點0（1,一3）或「（1,3）、點0（4,0）或點。（―2,0）.

如圖:

試卷第28頁，共214頁

???以點尸、Q、B、。為頂點，為邊的四邊形為平行四邊形,

???PQJIBC或P&iBC,

?:點B(3,0),C(0,-3),

當(dāng)42//8C時，則

設(shè)對稱軸與x軸交于點M,

??.RM=OC=3,MQ|=O8=3,

/./>(1,3),0(-2,0)；

同理刃時,/>(1,-3),ft(4,0)；

故答案為：/?(l,3),Q(-2,0)./5(1,-3),22(4,0).

2

(3)當(dāng)y=0時，X-2X-3=0>

解得：X=-LX2=3,

：.A(-1,0)

又尸/-2x-3=(x-爐-4,

???拋物線得頂點。得坐標(biāo)為(1，-4)

,:C(0,一3)、B(3,0)、D(1,-4)

A8752+22+4?=20,CD2=12-H1,BC2=^2-B2，

:.BD2=CD2+BC2

???△8OC是直角三角形，且N3CO=90°

設(shè)點A/得坐標(biāo)(如0),則點G得坐標(biāo)為(/明〃，-2州-3),

根據(jù)題意知:

試卷第29頁，共214頁

NAMG=/BCD=90。

???要使以Z、M、G為頂點得三角形與△SCO相似，需要滿足條件：

-A-M-=-B-C-項—-A--M-=-C-D-

MGCD'MGBC

①當(dāng)加＜7時，此時有：2一丁廣畢或2T了「斗

ni2-2m-3V2m2-2m-33V2

Q

解得：叫=§，切2=-1或町=0，嗎=T，都不符合加VT,所以機〈-1時無解.

w+13＞/2也

②當(dāng)-1＜腔3時，此時有：心一2〃一)=跖或一品一加.3)二子

Q

解得：叫=5,加2=-1(不符合要求，舍去)或班=0,恤=T(不符合要求，舍去),

Q

所以M(-＞0)或M(0,0)

，山I心切+13x/5fm-\-\y/2

③當(dāng)機＞3時，此時有：2C——：；=—?—或2C——

m-2m-3V2m2-2m-33y/2

解得：網(wǎng)=與，%=T(不符合要求，舍去)或叫=6,嗎=-1(不符要求，舍去)

所以點M(6,0)或M(y,0)

答：存在點M,使得力、M、G為頂點得三角形與△BCO相似，點M得坐標(biāo)為：M(0,

810

0)或M(§,0)或必(6,0)或M(§,0).

【點睛】

此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識，綜合性較強，涵蓋平行四邊形性質(zhì)和三角形相似及勾股定

理，有一定難度.

15.在四邊形48co中，對角線4C平分

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，若/A4O=120。，ZABC=ZADC=90°.求證：AD+AB=AC^

試卷第30頁，共214頁

【拓展遷移】

(2)如圖②，若N"0=12O。，ZJ5C+ZJDC=180°.

①猜想力8、AD、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若4c=10,求四邊形力4co的面積.

【答案】⑴見解析；(2)①ZD+/5FC,見解析；②25后

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ND4C=N歷1C=60。，然后根據(jù)直角三角形中30。是斜

邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；

(2)①根據(jù)第一問中的思路，過點C分別作CE_L4O于E,b_L4B于E構(gòu)造力/S證

明ACFB=ACED,根據(jù)全等的性質(zhì)得到處=。&結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)題意應(yīng)用60。的正弦值求得CE的長，然后根據(jù)

S四邊形械7)=；/。'底+；”乂。/=；(力。+”)、?！甑臄?shù)量關(guān)系即可求解四邊形"8

的面積.

【詳解】

(1)證明：:力。平分NB4O,N840=120°,

???ZDAC=NBAC=60°，

VZADC=NABC=90"，

圖①

:.N4CD=N4CB=30",

：.AD=-AC,AB=-AC.

22

；?AD+AB=AC,

(2)?AD-\-AB=AC,

理由：過點C分別作CE_L4O于E,ChAB于F.

試卷第31頁，共214頁

圖②

??】C平分

:?CF=CE,

VZABC+^ADC=180"，NEDC+ZADC=180"，

/.4FBC=4EDC,

又NCFB=ZCED=90。，

/.△cra=ACED⑷S),

:?FB=DE,

3

：.AD-\-AB=AD-\-FB-\-AF=AD-rDE-\-AF=AE+AFi

在四邊形力產(chǎn)CE中，由⑴題知：AE-\-AF=AC,

；?AD+4B=4C；

②在R/A4CE中，??7。平分N8/O,ZBAD=120°

:.ZDAC=/BAC=60°，

又??,4C=10,

.*.CE=JsinZDJC=1Osin60)=573,

,:CF=CE,AD+AB=AC,

???S四邊形襁e=g4OxCE+g為4x6=g(4Q+/8)xC￡

=-ACxCE=-x\Ox5yf3=25y/3.

22

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是

辨認(rèn)出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線.

16.(1)計算：2cos30。-2"一處一|6-2卜6.14-4)°

(2)先化簡：/+3x+包然后'從0、］、2三個數(shù)中選一個你認(rèn)為合適

X2-4X+4x-2x

的數(shù)代入求值.

試卷第32頁，共214頁

3

【答案】(1)(2)x+2,當(dāng)x=l時，原式=3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)實數(shù)的運算，零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)耗，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可;

(2)先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，再代入求值即可得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)2cos30。-2T-處-快-2卜0.14-乃)"

=2x^y-i-2>/3-(2->/3)+l

=>/3---2>/3-2+x/3+l

2

_3

~~2；

/八x2+3xx+3x2-4

(2)-----------+----------------

x~-4x+4x-2x

x(x+3)x-2(x+2)(x-2)

一(x-2)2x+3x

=x+2

???》取0或2時，原式無意義，

???x只能取1

當(dāng)x=l時，原式=3

【點睛】

本題考查了分式的化簡求值，實數(shù)的運算，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，特殊角的三角函

數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則.

17.如圖，在山坡4P的坡腳4處豎有一根電線桿48(BPABLM