江蘇省南通市通州區(qū)2024屆高三下學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024屆高三第二學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是（）A130 B.132 C.134 D.1362.若，且是純虛數(shù)，則（）A. B.1 C. D.23.己知均為單位向量．若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.4.設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則5.某臺(tái)小型晚會(huì)由5個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求，節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A.36種 B.42種 C.48種 D.54種6.設(shè)直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B.C. D.7.已知銳角，且，則（）A. B. C. D.8.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的一個(gè)對(duì)稱中心C.區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)10.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.，，共面C.平面截正方體所得截面的面積為D.三棱錐的體積為11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則（）AB.是奇函數(shù)C.若，則D.若當(dāng)時(shí)，，則，在單調(diào)遞減三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．13.已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．14.在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，邊上，且，，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.不透明的袋子中有8個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，其中標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球有2個(gè)．現(xiàn)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球．（1）求選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為選出的2個(gè)球標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．16.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間，并證明在上沒有零點(diǎn)．17.如圖，在三棱柱中，平面平面為等邊三角形，，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.18.設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)A，B．當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，．（1）求C方程；（2）已知點(diǎn)，直線，分別與C交于點(diǎn)C，D．①求證：直線過定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．19.對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)k，使得對(duì)任意，，都滿足，則稱數(shù)列符合“條件”．（1）試判斷公差為2的等差數(shù)列是否符合“條件”？（2）若首項(xiàng)為1，公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列符合“條件”．①求q的取值范圍；②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：存在正數(shù)，使得數(shù)列符合“條件”

2024屆高三第二學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是（）A.130 B.132 C.134 D.136【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】解：因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是.故選：C．2.若，且是純虛數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合是純虛數(shù)，求得，即可求解．【詳解】設(shè)，則因?yàn)槭羌兲摂?shù)，可得，即，所以．故選：B.3.己知均為單位向量．若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，由求解.【詳解】由，可得，所以，則在上的投影向量為.故選：D4.設(shè)l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯(cuò)誤性，B選項(xiàng)可以直接證明其正確性.【詳解】對(duì)于A，若，，，此時(shí)與可能相交，如下圖所示：對(duì)于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：對(duì)于B，若，，則，又因?yàn)椋?故選：B.5.某臺(tái)小型晚會(huì)由5個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求，節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A.36種 B.42種 C.48種 D.54種【答案】B【解析】分析】據(jù)元素分析法即可解出．【詳解】若甲排在第一位，則有種排法；若甲排在第二位，由于乙不能排在第一位，則第一位有3種排法，其他位次全排列有種排法，則共有種排法，因此編排方案共有種.故選：B．6.設(shè)直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的定點(diǎn)，得出點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】解：直線過定點(diǎn)，因?yàn)镸是弦的中點(diǎn)，所以，故的軌跡方程為：，設(shè)，即即是直線與圓的公共點(diǎn)，由直線與圓的位置關(guān)系可得，，解得，所以的最大值為.故選：C.7.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用三角函數(shù)恒等變形進(jìn)行弦化切即可求解.【詳解】由，得，即，解得或.因?yàn)闉殇J角，所以.故故選：B8.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求出及，由三角形面積及三角函數(shù)值得到，由雙曲線定義得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，連接，則，，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)E，則，故，因?yàn)椋獾?，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，又，所以，方程兩邊同時(shí)除以得，解得，所以離心率.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的一個(gè)對(duì)稱中心C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】化為，求出函數(shù)的周期判斷A選項(xiàng)，根據(jù)解析式求對(duì)稱中心縱坐標(biāo)判斷B選項(xiàng)，求出函數(shù)的個(gè)單調(diào)減區(qū)間為，而，判斷C選項(xiàng)，令，求出或，求出函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D選項(xiàng).【詳解】，，A對(duì)；對(duì)稱中心縱坐標(biāo)為1，B錯(cuò)；，則，即的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為而，在上單調(diào)遞減，C對(duì)；，則或或．，；，；，；，，在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)．故選：AC．10.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.，，共面C.平面截正方體所得截面的面積為D.三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法可以輕松判斷AB，先作出過點(diǎn)、、的截面，再求截面的面積，可判斷C；利用“等積轉(zhuǎn)換”求出三棱錐的體積，判斷D.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以，∵，，，所以，、是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以面，A對(duì)．，，，若，，共面，則，，，B對(duì)．由平面基本性質(zhì)得：如圖截面為等腰梯形，，，，，梯形的高，梯形面積，C錯(cuò)．，D對(duì).故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則（）A.B.是奇函數(shù)C.若，則D.若當(dāng)時(shí)，，則，在單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法判斷AC選項(xiàng)的正確性，利用函數(shù)的奇偶性判斷B選項(xiàng)的正確性，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，，A錯(cuò)．對(duì)于B，時(shí)，，，，，為奇函數(shù)，B正確．對(duì)于C，，，，，C正確．對(duì)于D，時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，，即，上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個(gè)數(shù)，且，然后通過計(jì)算的符號(hào)，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得.【詳解】為等比數(shù)列，，所以，為等差數(shù)列，所以．故答案為：13.已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】1215【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，求得的值后，利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，，，．展開式第項(xiàng)：，．故答案為：1215.14.在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在，，邊上，且，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得A，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑，則當(dāng)最小時(shí)，需最小，當(dāng)時(shí)，最小，結(jié)合題意可計(jì)算出此時(shí)的長(zhǎng)度，即可得的最小值.【詳解】由，，故A，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑，又，故最小時(shí)，需最小，當(dāng)時(shí)，最小，由，故此時(shí)，由正弦定理可得，．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.不透明的袋子中有8個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，其中標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球有2個(gè)．現(xiàn)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球．（1）求選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為選出的2個(gè)球標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)以及古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）根據(jù)組合數(shù)以及古典概型概率計(jì)算公式求得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依題意，選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率為．小問2詳解】的所有可能取值為，，，，，．的分布列如下：X的數(shù)學(xué)期望．16.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間，并證明在上沒有零點(diǎn)．【答案】（1），（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，證明見解析.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，解得即可；（2）由（1）可得，求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明在上沒有零點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)?，所以，由題意知，解得.【小問2詳解】由（1）可得定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上沒有零點(diǎn)．17.如圖，在三棱柱中，平面平面為等邊三角形，，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先證明，然后證明平面，可得，即可證明；（2）首先證明平面ABC，然后以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，算出兩個(gè)平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【小問1詳解】連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點(diǎn)，；又D為AC中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面；，又平面，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面,平面，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，,設(shè)，則，；由（1）知：平面，所以平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則；，令，則；，即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為.18.設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)A，B．當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，．（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線，分別與C交于點(diǎn)C，D．①求證：直線過定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)通徑的定義求出得解；（2）①設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，同理可得和的坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)與x軸交于點(diǎn)G，同上面方法可求得為定值；②利用面積分割法求出兩個(gè)三角形面積表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】由題意通徑長(zhǎng)，，的方程為．【小問2詳解】①設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，，，且，同理，可得，，，設(shè)與x軸交于點(diǎn)G，同上方法可得，直線過定點(diǎn)；②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是根據(jù)直線過軸上點(diǎn)，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，得