題型11 4類三角函數(shù)選填解題技巧(圖象與性質(zhì)、異名伸縮平移、最值與值域、ω的取值范圍)(解析版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2題型114類三角函數(shù)選填解題技巧（三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、異名伸縮平移、最值與值域、ω的取值范圍）技法技法01三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧技法02三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧技法03三角函數(shù)最值與值域的解題技巧技法04三角函數(shù)ω的取值范圍解題技巧技法01三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧在高考中經(jīng)?？疾槿呛瘮?shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用整體思想快速求解，有時(shí)也可以用到函數(shù)圖象的特有位置求解，例如檢驗(yàn)三角函數(shù)的對(duì)稱中心處函數(shù)值是否為在高考中經(jīng)常考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用整體思想快速求解，有時(shí)也可以用到函數(shù)圖象的特有位置求解，例如檢驗(yàn)三角函數(shù)的對(duì)稱中心處函數(shù)值是否為0，對(duì)稱軸處是否取得最值等都是解題突破口.例1-1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：A.例1-2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．直線是圖象的一條對(duì)稱軸D．在區(qū)間上單調(diào)遞減由題意得，故的最小值為，A正確；將代入中，得，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；將代入中，得，即此時(shí)取到最小值，即直線是圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確，故選：ACD1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則下列描述正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸C．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故A正確；，所以關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；，所以是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則，所以為奇函數(shù)，故D正確；故選：ACD2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，的值域是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出的表達(dá)式，然后依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋裕?/p>

由，得，，則，又，所以，

所以．

對(duì)于A：，所以不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，D正確．故選：BD3．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃ǘ噙x）已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，則，把它圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，即，，因?yàn)椋?，，所以，?duì)于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，分別為，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.4．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）（多選）若函數(shù)（）的最小正周期為，則（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn) D．在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【分析】先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)其最小正周期求出ω的值，從而確定函數(shù)解析式，代值計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)圖象即可判斷CD.【詳解】．因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，故.對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，，∴，，當(dāng)時(shí)，滿足要求的有，，，，，共有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，故，∴D錯(cuò)誤．故選：BC技法02三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧在三角函數(shù)的伸縮平移變換中，同名三角函數(shù)的伸縮平移變換相對(duì)簡(jiǎn)單，異名三角函數(shù)的伸縮平移變換需要先轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，然后在進(jìn)行伸縮平移變化，是高考中的高頻考點(diǎn)，需強(qiáng)化練習(xí)在三角函數(shù)的伸縮平移變換中，同名三角函數(shù)的伸縮平移變換相對(duì)簡(jiǎn)單，異名三角函數(shù)的伸縮平移變換需要先轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，然后在進(jìn)行伸縮平移變化，是高考中的高頻考點(diǎn)，需強(qiáng)化練習(xí).知識(shí)遷移通常用進(jìn)行正弦化余弦，用進(jìn)行余弦化正弦例2-1．（2022·四川模擬）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度我們可以對(duì)平移前進(jìn)行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換；我們同樣也對(duì)平移后進(jìn)行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換，進(jìn)而求解變換過程【答案】D例2-2．（2022·江蘇·模擬）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【詳解】，設(shè)平移了個(gè)單位，得到，則，解得：，即向右平移了個(gè)單位.【答案】B1．（全國(guó)·高考真題）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】A【分析】設(shè)出向左平移個(gè)長(zhǎng)度，利用誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，列出方程，求出答案.【詳解】，將函數(shù)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得到，故，解得，即向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位.故選：A2．（天津·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【詳解】令，當(dāng)函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）時(shí)，函數(shù)為，若圖象再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，則函數(shù)為，于是選A.3．（全國(guó)·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.4．（全國(guó)·高考真題）已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)論正確的是A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2【答案】D【詳解】把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，故選D．點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).技法03三角函數(shù)最值與值域的解題技巧在三角函數(shù)及三角恒等變換的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到求解三角函數(shù)型的值域問題，解決問題的關(guān)于在于整體思想或換元思想，本內(nèi)容在高考中也是重要考點(diǎn)在三角函數(shù)及三角恒等變換的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到求解三角函數(shù)型的值域問題，解決問題的關(guān)于在于整體思想或換元思想，本內(nèi)容在高考中也是重要考點(diǎn).例3-1．（2019·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為_________．【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為．例3-2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，，則，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C1.（全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)?，而，所以?dāng)時(shí)，取得最大值5，選B.【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.2.（全國(guó)·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則,函數(shù)的最大值為.所以選A.【名師點(diǎn)睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．3.（全國(guó)·高考真題）函數(shù)（）的最大值是．【答案】1【詳解】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，可得，由，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1．4.（全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．0 C． D．6【答案】B【分析】設(shè)，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取最小值，最小值為0，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為0，故選：B.5.（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B．0 C．2 D．6【答案】B【分析】由題意可得，，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即得答案.【詳解】解：因?yàn)椋O(shè)，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0，故的最小值為0．故選：B.技法04三角函數(shù)ω的取值范圍解題技巧在近幾年的高考中在近幾年的高考中,三角函數(shù)中參數(shù)ω的取值范圍問題常以小題的形式呈現(xiàn)，解題過程滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，因而有一定的難度．我們知道ω影響三角函數(shù)的周期，進(jìn)而影響同一周期中函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最值、零點(diǎn)等．解決此類問題最為直接的方法是通過整體換元將問題轉(zhuǎn)化為正弦、余弦、正切函數(shù)問題,再通過圖像的性質(zhì)列出相關(guān)約束條件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．例4-1．（2023·山西·高三?？迹┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時(shí)我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即右端點(diǎn)，解得，故的取值范圍是.故選：D.例4-2．（2023秋·四川模擬）已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】因?yàn)椋匀?，則，即，則，又，解得，又解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以可得．所以．故選：B1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）（多選）已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【分析】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合可知是函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到，，由在上單調(diào)，可得，進(jìn)而，分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可判斷.【詳解】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，即是函數(shù)的零點(diǎn)，則，，即，.由在上單調(diào)，則，即，所以.當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故不符合題意.綜上所述，或3.故選：AB.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零