《冪函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

2/2《冪函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、實(shí)例觀(guān)察，引入新課教師出示下列例子，要求學(xué)生寫(xiě)出數(shù)學(xué)表達(dá)式：（1）如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付元.（2）正方體的邊長(zhǎng)為x，體積為y，則.（3）若某放射性物質(zhì)每經(jīng)過(guò)1年，其剩留量是原來(lái)的x倍，則質(zhì)量為1的這種物質(zhì)經(jīng)過(guò)100年后，其剩留量應(yīng)為.（4）如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng).（5）如果某人駕車(chē)在ts內(nèi)行進(jìn)了1km，那么該車(chē)的平均速度.【師生互動(dòng)】以上問(wèn)題中的函數(shù)表達(dá)式具有什么共同特征？生：都是指數(shù)冪的形式，底數(shù)都是自變量，指數(shù)都是常數(shù).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例中進(jìn)行總結(jié)，從而自然引出冪函數(shù)的一般特征.二、類(lèi)比聯(lián)想，探究新知1.冪函數(shù)的定義.一般地，我們把形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).注意：冪函數(shù)的解析式必須是的形式，其特征可歸納為“系數(shù)為1，只有1項(xiàng)”，自變量x在底數(shù)位置，常數(shù)在指數(shù)位置.【師生互動(dòng)】判斷下列函數(shù)是否是冪函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)冪函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解.2.冪函數(shù)性質(zhì)探究.例1、寫(xiě)出下列冪函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性：（1）；（2）；（3）.活動(dòng)：學(xué)生思考，小組討論，教師引導(dǎo)，學(xué)生展示思維過(guò)程，教師評(píng)價(jià).教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，回顧求一個(gè)函數(shù)的定義域的方法，及判斷函數(shù)奇偶性的方法.判斷函數(shù)奇偶性時(shí)一般用定義法.解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問(wèn)題時(shí)，可以從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：列出相應(yīng)不等式或不等式組，解不等式或不等式組即可得到所求函數(shù)的定義域.解（1）函數(shù)的定義域是R.因?yàn)閷?duì)任意的，而且都有，所以由奇函數(shù)的定義知，函數(shù)是奇函數(shù).（2）函數(shù)即，其定義域是.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（3）由函數(shù)即可知，所以此函數(shù)的定義域是.因?yàn)閷?duì)任意的，都有，且，所以由偶函數(shù)的定義知，函數(shù)是偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)：函數(shù)解析式中含有分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，可以把它們的解析式化成根式，根據(jù)“偶次根號(hào)下非負(fù)”這一條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域；當(dāng)函數(shù)解析式的冪指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式，根據(jù)“分式的分母不能為0”這一限制條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.問(wèn)題1：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出冪函數(shù)的圖象，并思考：它們之間有什么共同特性？活動(dòng)：學(xué)生以小組為單位，討論嘗試用描點(diǎn)法畫(huà)圖，然后教師出示用計(jì)算機(jī)畫(huà)出的圖象（如圖），讓學(xué)生觀(guān)察這三個(gè)冪函數(shù)圖象的共同特性，并匯報(bào)結(jié)論.觀(guān)察圖象，可以發(fā)現(xiàn)這3個(gè)函數(shù)有如下共同特性：（1）函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).一般地，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也具有上述兩條性質(zhì).例2、試比較下列各組數(shù)的大?。海?）；（2）；（3）.活動(dòng)：學(xué)生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時(shí)提示點(diǎn)撥.比較數(shù)的大小，常借助于函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)（1）（2）可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)（3）只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的，事實(shí)上，這里“1”可作為中間量.解（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以，于是.問(wèn)題2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出冪函數(shù)的圖象，并思考：它們之間有什么共同特性？活動(dòng)：以小組為單位，結(jié)合前面畫(huà)指數(shù)a為正數(shù)時(shí)的冪函數(shù)的圖象的方法，畫(huà)出指數(shù)a為負(fù)數(shù)時(shí)的圖象，再觀(guān)察教師給出的計(jì)算機(jī)畫(huà)出的圖象（如圖），觀(guān)察并歸納其性質(zhì).觀(guān)察圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這3個(gè)函數(shù)有如下共同特性（1）函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).一般地，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也具有上述兩條性質(zhì).3.冪函數(shù)的性質(zhì)推廣.（1）五個(gè)具體的冪函數(shù)的性質(zhì).①函數(shù)和的圖象都通過(guò)點(diǎn).②函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).③在區(qū)間上，函數(shù)和是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù).④在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近.（2）一般的冪函數(shù)的性質(zhì)：①所有的冪函數(shù)在內(nèi)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn).②時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).時(shí)，圖象在圖象上方，靠近y軸；時(shí)，圖象在圖象下方，靠近x軸；時(shí)，圖象是條直線(xiàn).③時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x趨向0時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.④冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線(xiàn)的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大；在y軸和直線(xiàn)之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.4.利用信息技術(shù)研究?jī)绾瘮?shù).學(xué)生閱讀教材第133頁(yè)“信息技術(shù)”相關(guān)內(nèi)容，了解利用信息技術(shù)作冪函數(shù)圖象的方法，進(jìn)而研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì).三、課堂小結(jié)，歸納提升可從以下幾個(gè)方面小結(jié)：（1）冪函數(shù)的定義.（2）冪函數(shù)的性質(zhì).（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.四、課后作業(yè)，鞏固訓(xùn)練教材第134頁(yè)習(xí)題6.1第1，2題.板書(shū)設(shè)計(jì)6.1冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地，我們把形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)2.冪函數(shù)的性質(zhì)例1問(wèn)題1例2問(wèn)題23.一般冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在內(nèi)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)②時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).時(shí)，圖象在圖象上方，靠近y軸；時(shí)，圖象在圖象下方，靠近x軸；時(shí)，圖象是條直線(xiàn)③時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)x趨向0時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸④冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線(xiàn)的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大；在y軸和直線(xiàn)之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大4.小結(jié)（1）冪函數(shù)的定義（2）冪函數(shù)的性質(zhì)（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小教學(xué)研討冪函數(shù)作為一類(lèi)重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)