2612正弦定理課件-高一下學期數(shù)學北師大版

2.6.1.2正弦定理北師大版（2019）必修第二冊第二章

平面向量及其應(yīng)用學習目標理解正弦定理在討論三角形邊角關(guān)系時的作用02了解正弦定理推導(dǎo)過程，掌握正弦定理.01能應(yīng)用正弦定理解斜三角形03知識回顧

已知三條邊求任意角（SSS）已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS、SSA）余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式.問題：如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？追問1：初中我們得到三角形中等邊對等角的結(jié)論．實際上，三角形中還有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系．是否可以先把邊、角關(guān)系量化之后，再對問題進行定量探究？可以描述為：在三角形△ABC中，設(shè)

A的對邊為

a，B的對邊為

b，求

A，B，a，b之間的定量關(guān)系.在三角形△ABC中，設(shè)

A的對邊為

a，B的對邊為

b，求

A，B，a，b之間的定量關(guān)系.可以先從熟悉的特殊三角形的邊、角關(guān)系分析入手，具體如何研究呢？（1）當△ABC為等邊三角形時，成立，∵A＝B＝C，∴sinA＝sinB＝sinC，又a＝b＝c，∴成立.

（2）當△ABC為直角三角形時成立，如圖，C＝90°，

c問題：當△ABC是一般的三角形時，上述等式

還成立嗎？

ACabcBD銳角三角形鈍角三角形DABCabc

問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

向量法1ABCj

ABCj

jj問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

當該三角形為銳角三角形時向量法2

問題：你能用其它方式證明關(guān)系式

成立嗎？

當該三角形為鈍角三角形時向量法2

抽象概括正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.即

正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個定量關(guān)系.利用正弦定理，不僅可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題，還可以解決“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題.例4某地出土一塊古代玉佩如圖，其一角已破損.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC＝2.57cm，CE＝3.57cm，BD＝4.38cm，B＝45°，C＝120°.為了復(fù)原，請計算原玉佩另兩邊的長.(精確到0.01cm)解：將

BD，CE分別延長相交于點

A如圖，在△ABC中，BC＝2.57cm，

B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝15°，由正弦定理得(cm)，

因此，原玉佩另兩邊的長分別約為7.02cm，8.60cm.例5

求證：如圖，以Rt△ABC斜邊

AB為直徑作外接圓，設(shè)這個外接圓的半徑為

R，則

證明：在Rt△ABC中，C＝90°，

所以

思考：對于鈍角三角形、銳角三角形，

還成立嗎？

由圖可知：∠B＝∠B'，在Rt△AB'C中

，由右圖同理可得：解：成立，理由如下：例6

臺風中心位于某市正東方向

300km

處，正向西北方向移動，速度的大小為

40km/h

，距離臺風中心

250km

范圍內(nèi)將會受其影響.如果臺風風速不變，那么該市從何時起要遭受臺風影響？這種影響持續(xù)多長時間？(精確到0.1h)解：如圖，設(shè)臺風中心從點

B向西北方向沿射線

BD移動，該市位于點

B正西方向

300km

處的點

A.假設(shè)經(jīng)過t

h，臺風中心到達點C.由正弦定理得在△ABC中，AB＝300km，AC＝250km，BC＝40tkm，B＝45°.

例6

臺風中心位于某市正東方向

300km

處，正向西北方向移動，速度的大小為

40km/h

，距離臺風中心

250km

范圍內(nèi)將會受其影響.如果臺風風速不變，那么該市從何時起要遭受臺風影響？這種影響持續(xù)多長時間？(精確到0.1h)

從而(km)，

∴(h).因此約2h

后將要遭受臺風影響，持續(xù)約6.6h.思考：在△ABC中，已知

a，b，A求其他邊和角，它的解有幾種情況？拓展正弦定理的常見變