四川省綿陽市綿陽中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次測(cè)試數(shù)學(xué)試題

綿陽中學(xué)高2024級(jí)高一上期第二次測(cè)試數(shù)學(xué)試題命題人：楊易周南平王雨洋第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的定義求解即可.【詳解】，故.故選：D2.在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單位圓及正弦函數(shù)的定義得解.【詳解】由題意，，解得，所以，故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定奇偶性，排除B，再由且時(shí)，恒成立，排除CD，從而得正確答案．【詳解】函數(shù)定義域是，，是奇函數(shù)，排除B，當(dāng)且時(shí)，，所以，排除CD，故選：A．4.已知函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系結(jié)合定義域求解即可.【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，定義域?yàn)?，故，則或.又的對(duì)稱軸為，故的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B5.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2提高到3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入豐富度指數(shù)公式，然后兩式消去后，由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，即，∴，故選：D．6.若為偶函數(shù)，則（）A.1 B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，解得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：B7.已知，則（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取對(duì)數(shù)后根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因，所以，故選：C8.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式與性質(zhì)作圖，再分析的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可作出與的圖像：函數(shù)的零點(diǎn)即與的交點(diǎn)，故在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.小于的角是銳角B.與終邊相同的角可表達(dá)為，C.鈍角是第二象限角D.經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)任意角與銳角的定義判斷即可；對(duì)B，根據(jù)弧度與角的關(guān)系判斷即可；對(duì)C，根據(jù)鈍角的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)4小時(shí)時(shí)鐘的旋轉(zhuǎn)角度占時(shí)鐘一周角的比例，結(jié)合角度的定義判斷即可.【詳解】對(duì)A，小于的角還包括和負(fù)角度的角，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，其終邊與角相同，又，也為終邊與角相同的角，故B正確；對(duì)C，鈍角是第二象限角，故C正確；對(duì)D，時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)為順時(shí)針，故經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了，故D正確.故選：BCD10.下面命題正確的是（）A.若，且，則，至少有一個(gè)大于1B.“，則”的否定是“，則”C.已知，，則的取值范圍是D.設(shè)，，則“”是“”的充要條件【答案】AB【解析】【分析】運(yùn)用反證法判斷A，運(yùn)用全稱量詞命題的否定知識(shí)判斷B，運(yùn)用不等式性質(zhì)計(jì)算判斷C，運(yùn)用充要條件，結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)且，那么，這與已知矛盾，所以若且，則，至少有一個(gè)大于，A正確，對(duì)于B，全稱命題“，則”的否定就是特稱命題“，則”，B正確，對(duì)于C，已知，則，又因?yàn)?，得到，即，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，那么，反之，若，當(dāng)時(shí)，和無意義，所以“”是“”的充分不必要條件，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判斷AB選項(xiàng)，由不等式基本性質(zhì)判斷C選項(xiàng)，運(yùn)用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】因?yàn)?，，?duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵，∴，∴在R上單調(diào)遞增，∵，∴，即，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧度值的定義，結(jié)合扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意，，故這個(gè)扇形的半徑，面積為.故答案為：13.若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】由的范圍求得的范圍，用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值即可得的范圍．【詳解】時(shí)，，設(shè)，則，，∴時(shí)，所以，故答案為：．14.設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則_____.【答案】2【解析】【分析】運(yùn)用零點(diǎn)定義構(gòu)建與兩個(gè)函數(shù)相關(guān)的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，找到與之間的聯(lián)系即可.【詳解】已知是的零點(diǎn)，則，即.因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，移項(xiàng)可得.令，則，那么，即.對(duì)比與，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)和時(shí)函數(shù)值相等.容易知道在單調(diào)遞增，則也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即.將移項(xiàng)可得.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.16.“大禹門前樹，千年苔子茶.”11月21日18時(shí)許，中央廣播電視總臺(tái)綜合頻道推出系列紀(jì)錄片《農(nóng)耕探文明》，本期正好關(guān)注到《四川北川苔子茶復(fù)合栽培系統(tǒng)》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費(fèi)者青睞.經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足.（1）求常數(shù)的值；（2）經(jīng)過測(cè)試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）9.5分鐘【解析】【分析】（1）代入求解即可；（2）根據(jù)題意列式求解方程即可.【小問1詳解】茶水溫度從開始當(dāng)時(shí)，，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感17.若.（1）若過點(diǎn)，求解集；（2）存在使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入點(diǎn)求出，得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為存在x∈2,+∞使有解，分離參數(shù)后換元利用二次函數(shù)求值域得解【小問1詳解】由y=fx過可得，則，解得（負(fù)值舍去），在0,+∞上為增函數(shù)，由得，，所求解集為小問2詳解】，，，，存在使得，存在x∈2,+∞使即，令，x∈2,+∞，則，由開口向下，對(duì)稱軸為，所以在上為減函數(shù)，所以，，又，，即的取值范圍0,118.已知過點(diǎn)，且滿足.（1）求在上的最小值.（2）若，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)、，且，求的最小值.【答案】（1）答案見解析（2）6【解析】【分析】（1）已知條件代入可求得，然后根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論求得最小值；（2）利用一元二次方程根的分布知識(shí)求得的范圍，利用韋達(dá)定理表示出，再結(jié)合換元法，基本不等式求得最小值．【小問1詳解】由題，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，【小問2詳解】，有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，且，即有兩個(gè)不等的正根，，解得，，，，，令，，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”），的最小值為6．19.已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷并用定義證明的單調(diào)性；（3）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）單調(diào)遞減，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)