第12講二次函數(shù)(一)課件2025年中考數(shù)學人教版（內蒙古）一輪復習

第12講二次函數(shù)(一)知識框架思維導學教材整合夯實基礎考向導引考點突破知識點1二次函數(shù)及其表達式1.一般地,若兩個變量x,y之間的對應關系可以表示成

(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式,則稱y是x的二次函數(shù).

思考1:函數(shù)y=ax2+bx+c,當a≠0時是二次函數(shù),當a=0,b≠0時是一次函數(shù),當a=0,b≠0,c=0時是正比例函數(shù).y=ax2+bx+c2.二次函數(shù)表達式一般式

(a,b,c為常數(shù),a≠0)

頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0),其中頂點坐標是

交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2),這里a≠0,x1,x2是二次函數(shù)圖象與x軸兩交點的橫坐標y=ax2+bx+c(h,k)思考2:(1)若知拋物線上三個點的坐標可設一般式;(2)若知頂點坐標或對稱軸可設頂點式;(3)若知拋物線與x軸的交點坐標可設交點式.知識點2二次函數(shù)的圖象和性質(?？键c)1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是以

為頂點,以直線

為對稱軸的

.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質拋物線y=ax2+bx+ca>0a<0圖象開口向上向下對稱軸直線x=

頂點坐標最值增減性增大減小減小增大思考3:(1)兩個二次函數(shù)的圖象形狀相同,開口方向相同,則二次項系數(shù)相等;(2)兩個二次函數(shù)的圖象形狀相同,開口方向相反,則二次項系數(shù)互為相反數(shù).加減頂點特別提醒通常先把一般式化成頂點式,再根據(jù)平移規(guī)律得到平移后的表達式.知識點4二次函數(shù)與一元二次方程的關系1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的

坐標.

2.拋物線與x軸的交點個數(shù)由

的符號決定,當b2-4ac>0時,拋物線與x軸有

個交點;當b2-4ac=0時,拋物線與x軸有

個交點;當b2-4ac<0時,拋物線與x軸

交點.

橫b2-4ac21沒有思考4:(1)“若函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸只有一個公共點”,則需分類討論:當a=0,b≠0時,為一次函數(shù);當a≠0時,b2-4ac=0;(2)“若函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點”,則函數(shù)是二次函數(shù),除b2-4ac>0外,不要漏掉隱藏條件a≠0.C考向訓練1-1關于二次函數(shù)y=x2+2x-8,下列說法正確的是()A.圖象的對稱軸在y軸的右側B.圖象與y軸的交點坐標為(0,8)C.圖象與x軸的交點坐標為(-2,0)和(4,0)D.y的最小值為-9D考向訓練1-2(2024陜西)已知一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如下表:則下列關于這個二次函數(shù)的結論正確的是()A.圖象的開口向上B.當x>0時,y的值隨x值的增大而減小C.圖象經(jīng)過第二、三、四象限D.圖象的對稱軸是直線x=1Dx…-4-2035…y…-24-80-3-15…考向訓練1-3已知拋物線y=(x-2)2+1,下列結論錯誤的是()A.拋物線開口向上B.拋物線的對稱軸為直線x=2C.拋物線的頂點坐標為(2,1)D.當x<2時,y隨x的增大而增大D考向訓練1-4甲、乙兩個二次函數(shù)分別為y=(x+20)2+60,y=-(x-30)2+60,判斷下列敘述正確的是()A.甲有最大值,且其值為x=20時的y值B.甲有最小值,且其值為x=20時的y值C.乙有最大值,且其值為x=30時的y值D.乙有最小值,且其值為x=30時的y值C考向訓練1-5已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與x的部分對應值如下.則當y<5時,x的取值范圍是

.

0<x<4x…-10123…y…105212…考點2二次函數(shù)圖象的平移例2將拋物線y=x2-4x-4向左平移3個單位長度,再向上平移5個單位長度,得到拋物線的函數(shù)表達式為()A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-3D考向訓練2-1將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度,再向右平移1個單位長度后,得到的拋物線的函數(shù)表達式是()A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2D考向訓練2-2將拋物線y=x2+bx+c先向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,所得圖象的函數(shù)表達式為y=(x-1)2-4,則b,c的值為()A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2考向訓練2-3(2024濱州)將拋物線y=-x2先向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度,則平移后拋物線的頂點坐標為

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考向訓練2-4(2024牡丹江)將拋物線y=ax2+bx+3向下平移5個單位長度后,經(jīng)過點(-2,4),則6a-3b-7=

.

B(1,2)2C考向訓練3-1在同一平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=bx+c的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是()D考向訓練3-2二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結論中不正確的是()A.abc>0B.函數(shù)的最大值為a-b+cC.當-3≤x≤1時,y≥0D.4a-2b+c<0DBC①②④⑤⑥解:(2)∵點B(1,7)向上平移2個單位長度,向左平移m個單位長度(m>0),∴平移后的點為(1-m,9).又(1-m,9)在y=x2+x+3的圖象上,∴9=(1-m)2+(1-m)+3.∴m=4或m=-1(舍去).∴m=4.(2)若點B(1,7)向上平移2個單位長度,向左平移m(m>0)個單位長度后,恰好落在y=x2+bx+c的圖象上,求m的值.解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0),∴拋物線的函數(shù)表達式為y=-(x-3)(x+1)=-x2+2x+3,即-x2+bx+c=-x2+2x+3,∴b=2,c=3.考向訓練4-1已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0).(1)求b,c的值;解:(2)由(1),知拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴拋物線的頂點坐標為(1,4).(2)求拋物線的頂點坐標.(2)若點P為拋物線的頂點,連接AD,DP,CP.求四邊形ACPD的面積.考向訓練4-4在平面直角坐標系中,設函數(shù)y=ax2+bx+1(a,b是常數(shù),a≠0).(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,0)和(2,1)兩點,求函數(shù)的表達式,并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標;(2)寫出一組a,b的值,使函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個不同的交點,并說明理由;(2)解:(答案不唯一)例如a=1,b=3,此時y=x2+3x+1.理由如下:∵b2-4ac=5>0,∴函數(shù)y=x2+3x+1的圖象與x軸有兩個不同的交點.(3)已知a=b=1,當x=p,q(p,q是實數(shù),p≠q)時,該函數(shù)對應的函數(shù)值分別為P,Q.若p+q=2.求證:P+Q>6.(3)證明:由題意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,p=2-q.∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1=p2+q2+4=(2-q)2+q2+4=2(q-1)2+6≥6.由條件p≠q,知q≠1.∴P+Q>6.考點5二次函數(shù)與方程、不等式的關系(易錯點)例5若二次函數(shù)y=ax2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(-1,0),則方程ax2-2ax+c=0的解為()A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1C考向訓練5-1已知二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1,0),則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實數(shù)根是()A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3B考向訓練5-2如圖所示,已知直線y=kx+b(k>0)與拋物線y=x2交于A,B兩點(A,B兩點分別位于第二和第一象限),且A,B兩點的縱坐標分別是1和9,則不等式x2-kx-b>0的解集為()A.-1<x<3 B.x<-1或x>3C.1<x<9 D.x<1或x>3B考向訓練5-3若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為直線x=-1,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是()A.x<-4或x>2 B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2 D.-4<x<2D考向訓練5-4已知二次函數(shù)y=kx2+(2k-1)x-1的圖象與x軸交點的橫坐標為x1,x2,且x1<x2,則下列結論:①方程kx2+(2k-1)x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2;②當x=-2時,y=1;③當x>x2時,y>0;④x1<-1,x2>-1.其中正確的結論是()A.①②③ B.③④C.①②④ D.①③④C考點6二次函數(shù)與圖形的綜合應用例6如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求拋物線的表達式;解:(1)由題意,得拋物線的表達式為y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),則-3a=3,解得a=-1,故拋物線的表達式為y=-x2+2x+3.(2)設點P是直線BC上方拋物線上一點,求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標;(3)若點M是拋物線對稱軸上一動點,點N為坐標平面內一點,是否存在以BC為邊,點B,C,M,N為頂點的四邊形是菱形,若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.考向訓練6-1如圖所示,在平面直角坐標系中,點A在拋物線y=x2-2x+2上運動.過點A作AC⊥x軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,連接BD,則對角線BD的最小值為

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1考向訓練6-2如圖所示,已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0).(1)求m的值及拋物線的頂點坐標;解:(1)把點B的坐標(3,0)代入拋物線y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2.∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴頂點坐標為(1,4).(2)點P是拋物線的對稱軸直線l上的一個動點,當PA+PC的值最小時,求點P的坐標.解:(2)如圖所示,連接BC交拋物線的對稱軸直線l于點P,則此時PA+PC的值最小,PA+PC=PB+PC=BC,當x=0時,y=3,∴點C的坐標為(0,3).設直線BC的表達式為y=kx+b.(2)求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABDC的面積.(2)如圖所示,點E,F分別在線段AB,BD上(點E不與點A,B重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,直接寫出線段BE的長.解:(2)BE=5.(2)當線段DF的長度最大時,求D點的坐標.解:(2)對于y=-x2+x+2,令x=0,則y=2.故點C的坐標為(0,2).由點A,C的坐標,得直線AC的表達式為y=-x+2.∵點D的橫坐標為m,∴點D的坐標為(m,-m2+m+2),點F的坐標為(m,-m+2).則DF=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m=-(m-1)2+1.∵