專題07 全等三角形證明方法：半角模型【考點(diǎn)串講+熱點(diǎn)題型專訓(xùn)】-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（北師大版） 帶解析

專題07全等三角形證明方法——半角模型基本模型：（1）條件：如圖，正方形，，作法：在延長線上截取，使得，連接，結(jié)論：①；②；③.（2）條件：如圖，為等邊三角形，是等腰三角形，，，，作法：在延長線上截取，使得，連接，結(jié)論：①；②；③.例題精講：例1．已知：正方形中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），求證：；（2）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），則線段，和之間數(shù)量關(guān)系是；（3）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，猜想線段，和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并對(duì)你的猜想加以說明．【答案】（1）見解析；（2）；（3），理由見解析【詳解】（1）證明：如圖1，過A作于E，∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，，∴，即，∴；（2）解：線段，和之間數(shù)量關(guān)系是，理由如下：延長至E，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（3），理由如下：如圖3，在上截取，連接，由（1）知，∴，，∴，∵，∴．在和中，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題比較典型，具有一定的代表性，且證明過程類似，同時(shí)通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和類比推理能力．例2．探究：（1）如圖1，在正方形中，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，試判斷、與三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅沃?，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，且”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）問中，若將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到、延長線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3），理由見解析【詳解】解：（1）如圖1，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，∵，∴，在和中，，∴，∴，又，∴；（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，使與重合，得到，則，∴，，，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴、B、E三點(diǎn)共線，在和中，，∴，∴，又，∴；（3）發(fā)生變化．、、之間的關(guān)系是．理由如下：如圖3，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)F落在上點(diǎn)處，得到，∴，∴，，，又∵，且，∴，即，在和中，，∴，∴，又，∴；即．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．例3．已知，如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是線段、上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)得到，旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)到，如圖，∴，，，，∵，∴，∴點(diǎn)G、B、C共線，∵，∴，在和中，，∴，∴，而，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．例4．【感知】如圖①，點(diǎn)M是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)N是延長線上一點(diǎn)，且，易證，進(jìn)而證得（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且．求證：．【拓展】如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，且，若，，則四邊形的周長為．【答案】【應(yīng)用】見解析；【拓展】6.4【詳解】【應(yīng)用】如圖②中，過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)G．∵四邊形為正方形，∴，．∴，．∵，∴．∴．在和中，，∴，∴，．∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．【拓展】如圖③中，過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)G．∵，，，∴，∵，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴，．∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．∴四邊形的周長為，故答案為6.4【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由感知部分得到啟發(fā)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．例5．在等邊三角形的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為外一點(diǎn)，且，，．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線、上移動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊、上，且時(shí)，試說明．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊、上，且時(shí)，還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊、的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）一定成立；（3）【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，在中，，∴，同理可得，，∴；（2）解：一定成立，理由如下：如圖②，延長至H，使，連接，由（1）可知：，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：一定成立；（3）解：如圖③，在上截取，連接，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．專練過關(guān)：1．（1）如圖①，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論，理由見解析；（3）或或【詳解】解：（1）如圖1，延長到G，使，連接．∵在與中，，∴．∴，，∴．∴．又，易證．∴．∵，∴．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由是：如圖2，延長到G，使，連接．∵，，∴，∵在與中，，∴．∴，，∴．∴．又，易證．∴．∵，∴．（3）當(dāng)E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)時(shí)，（1）中結(jié)論成立，當(dāng)E，F(xiàn)在直線，上時(shí)，如圖3，或．證明：在上截取，使，連接．∵，，∴．∵在與中，，∴．∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．同理可得：∴，∵，∴．故答案為：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，本題的4個(gè)問題運(yùn)用了類比的方法依次解決問題．2．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，若，求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：延長到G使，連接，如圖，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建．3．已知四邊形是正方形，M、N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，正方形的邊長為4cm．（1）如圖①，O是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，若，求四邊形的面積；（2）如圖②，若，求的周長．【答案】（1）；（2）8cm【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∴故四邊形MONC的面積是．（2）解：延長到Q，使，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∵在和中，，∴，∴，∴的周長是：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是考查學(xué)生的推理能力，題目具有一定的代表性，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．4．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)E使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，此時(shí)：（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形中，，，，且（3）中的結(jié)論仍然成立，則（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1），；（2）＞；（3）＝；（4）【詳解】解：（1）在與中，，∴，∴，在中，，即，∴，∴，故答案為：；；（2）如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接，，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，故答案為：＞；（3），如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：＝；（4）由（3）同理可得，∴，，若，則，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形中，M為上除點(diǎn)B、C外的任意一點(diǎn)，是等腰直角三角形，斜邊與交于點(diǎn)F，延長與的延長線交于點(diǎn)E，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：延長至G使，在與中，，∴，∴，又∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，又∵，，∴；（2）解：過點(diǎn)N作于點(diǎn)H，，在與中，，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形，然后確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．6．在等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且，，．探究：當(dāng)M、N分別在直線、上移動(dòng)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，是周長為9的等邊三角形，則的周長Q＝；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N邊、上，且時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)＝；（3）點(diǎn)M、N在邊、上，且當(dāng)時(shí)，猜想（2）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．【答案】（1）6；（2），；（3）仍然成立，理由見解析【詳解】（1）解：如圖2，延長至E，使，連接，∴，且，∴，又∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，．∴．在和中，，∴，∴，∵的周長，等邊的周長，即，則；（2）解：如圖，、、之間的數(shù)量關(guān)系．此時(shí)；（3）猜想：（2）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖，延長至E，使，連接，∵，且，∴，又∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，．∴．在和中，，∴，∴，∵的周長，等邊的周長，則；【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時(shí)，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，是等邊三角形，D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且．（1）如圖①，若，則度；（2）如圖②，D是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），求證：；（3）如圖③，若D是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形的周長為．【答案】（1）90；（2）見解析；（3）4【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，∵，即，，∴，∴，故答案為：90；（2）∵是等邊三角形，∴，∵，且，∴，在與中，，∴，∴；（3）∵是等邊三角形，，∴，，∵D為中點(diǎn)，且，∴