專題07 一元二次方程（講義）（4考點(diǎn)+36題型）

第07講一元二次方程目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念 3題型01識(shí)別一元二次方程 3題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值 3題型03一元二次方程的一般式 3題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值 4題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值 4題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根 4考點(diǎn)二解一元二次方程 6題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程 7題型02利用配方法解一元二次方程 8題型03利用因式分解法解一元二次方程 8題型04利用公式法解一元二次方程 8題型05利用換元法解一元二次方程 9題型06選用合適的方法解一元二次方程 9題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題 10題型08配方法的應(yīng)用 12題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況 13題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況 13題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍 14題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況 14題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍 15題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)題 16考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 18題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值 18題型02由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)代換求代數(shù)式的值 19題型03由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值 19題型04由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值 20題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù) 20題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍 21題型07與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題 21題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值 22題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用 22考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用 24題型01分裂（傳播）問(wèn)題 25題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題 26題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題 27題型04營(yíng)銷問(wèn)題 27題型05工程問(wèn)題 29題型06行程問(wèn)題 30題型07與圖形有有關(guān)的問(wèn)題 31考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)一元二次方程的相關(guān)概念理解一元二次方程的相關(guān)概念.本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過(guò)程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．一元二次方程的解法理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程的應(yīng)用能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性.

考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.一般形式：ax其中：a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)一元二次方程的解.易混易錯(cuò)1.如果明確了ax2+2.一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.4.二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.5.一元二次方程的解，要么無(wú)解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫(xiě)明x1，x2．題型01識(shí)別一元二次方程【例1】（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?1=0 B．2x+y=1 C．x+1【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+x?y=0 C．x2+2x+5=x(x?1) 題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值【例2】（2023南陽(yáng)市一模）關(guān)于x的方程m+1xm+1A．?1 B．3 C．1 D．1或?1【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）方程(m?2)xm2?2+(5+m)x+3=0是關(guān)于題型03一元二次方程的一般式【例3】（2022上·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谥校⒁辉畏匠?x2=5x?1A．3x2?5x?1=0C．3x2?5x+1=0【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將方程4x2+8x=25化成aA．4，8，25 B．4，2，?25 C．4，8，?25 D．1，2，25【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為_(kāi)_____．【變式3-3】（2023集賢縣·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．1題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=【變式4-1】（2021·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若關(guān)于x的方程x2?kx?12=0的一個(gè)根為3，則k的值為方法技巧利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時(shí)還要注意限制參數(shù)取值的其他隱含條件.題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關(guān)于x的一元二次方程2xa?2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．6 D．4【變式5-1】（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）如果x=?1是方程x2A．m>n B．m=n C．m<n D．不確定的【變式5-2】（2023渭南市月考）若關(guān)于x的方程ax2+bx?1=0的一個(gè)解為x=1，則2023?a?b=_____【變式5-3】（2023·廣東佛山·校考一模）已知a是方程2x2?5x?7=0的一個(gè)根，則代數(shù)式4題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根【例6】（2022·廣西貴港·中考真題）若x=?2是一元二次方程x2+2x+m=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根及m的值分別是（A．0，?2 B．0，0 C．?2，?2 D．?2，0【變式6-1】（2023寧德市一模）關(guān)于x的一元二次方程x2?2kx?5=0的一個(gè)根是1，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是_______．【變式6-2】（2023遵義市第十一中三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2?kx?2=0的一個(gè)根為x=1，則這個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為_(kāi)____

考點(diǎn)二解一元二次方程解一元二次方程的方法基本思路通過(guò)“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原方程的解.特征步驟解法直接開(kāi)平方法形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程1）方程兩邊同時(shí)除以a，得x2=b2）兩邊分別開(kāi)方得x1=ba=，x2=配方法可配成(mx+a)2=b形式的一元二次方程1）移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為(mx+a)2=b（b≥0）的形式；4）求解：判斷右邊等式符號(hào)，開(kāi)平方并求解.【注意】：①當(dāng)b<0時(shí)，方程無(wú)解②當(dāng)b≥0時(shí)，方程的根是x=?因式分解法可化成(ax+b)(cx+d)=0形式的一元二次方程1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；4）求解.口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解.公式法適用所有一元二次方程1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算)；2）求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：x=?4）最后求出x1，x2。1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法選擇：1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時(shí)，首選配方法；2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平方法；3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時(shí)，可選配方法或因式分解法；5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時(shí)，可選公式法或因式分解法.根的判別式一般地，式子b2?4ac叫做一元二次方程ax根的情況與判別式的關(guān)系Δ＞0方程ax2Δ=0方程ax2Δ＜0方程ax易混易錯(cuò)1.用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.2.利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0.3.求根公式的使用條件：a≠0且b2-4ac≥0.4.使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.5.利用判別式可以判斷方程的根的情況,反之,當(dāng)方程：1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),Δ>0;2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),Δ=0;3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí),Δ<0.6.一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程【例1】（2023·天津西青·二模）方程x+62?9=0的兩個(gè)根是（A．x1=3，x2=9 B．C．x1=3，x2=?9 【變式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且a>b，則2a+b的值為【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關(guān)于x的方程：42x?5題型02利用配方法解一元二次方程【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）A．x+12=3 B．x+12=6 C．【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時(shí)，將它化為x+a2=bA．103 B．73 C．2 【變式2-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將方程2x2?12x+1=0配方成x?mA．x+32=17 B．x+32=172【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2?4x?3=0，配方得(x+m)2題型03利用因式分解法解一元二次方程【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x?2x+7=0的根是【變式3-1】（2023惠陽(yáng)區(qū)模擬預(yù)測(cè)）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx?6題型04利用公式法解一元二次方程【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2A．?43 B．?28 C．45 D．60【變式4-1】（2023·江蘇無(wú)錫·一模）方程x2?3x=1的解是______．【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·?？家荒＃┓匠蘹2+2x?2=0的解是【變式4-3】（2023長(zhǎng)嶺縣模擬）一元二次方程x2?3x+2=0根的判別式的值為題型05利用換元法解一元二次方程【例5】（2023·浙江寧波·校考一模）已知a2+b22【變式5-1】（2023羅湖區(qū)模擬預(yù)測(cè)）若x2+y2+3x【變式5-2】我們知道方程x2+2x?3=0的解是x1=1，x2=?3A．x1=1，x2=3C．x1=?1，x2【變式5-3】（2023·四川綿陽(yáng)·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如列表所示：則一元二次方程a(2x?1)2x…?30135…y…7??9?57…題型06選用合適的方法解一元二次方程【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x?2)2【變式6-2】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)9(2)x(3)2題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題【例7】（2022·浙江溫州·一模）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時(shí)除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝4±282整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項(xiàng)得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【變式7-1】下面是小明同學(xué)的錯(cuò)題本的一部分，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，幫助他補(bǔ)充完整．解方程：x?3解：x?3=2x…第一步x?2x=3?第二步x=?3?第三步(1)提示：第_____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)改正：【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：sin45°+tan45°?2（2）下面是小明同學(xué)解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：x2x2?2x+1=1，即x?1=±1第三步x1任務(wù)一：①填空：上述材料中小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是___________，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是__________；第_步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；任務(wù)二：②請(qǐng)你直接寫(xiě)出該方程的正確解．___________【變式7-4】（2023上·北京東城·九年級(jí)期末）下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：2x2?4x?p=02解：移項(xiàng)，得：2x二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2配方，得x2即(x?1)2∵p>0，∴x?1=±p∴x1=1+2p(1)第②步二次項(xiàng)系數(shù)化為1的依據(jù)是什么？(2)整個(gè)解答過(guò)程是否正確？若不正確，說(shuō)出從第幾步開(kāi)始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫(xiě)出此方程的解．題型08配方法的應(yīng)用【例8】（2023上·江西九江·九年級(jí)階段練習(xí)）材料一：解方程：x2解：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2兩邊都加42，得x2+8x+兩邊開(kāi)方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=?5，所以x1=1，在上例中，我們通過(guò)配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．材料二：對(duì)于某些二次三項(xiàng)式也可以通過(guò)配方，利用完全平方式的非負(fù)性解決其最值問(wèn)題．例如：x2∵x?32∴x?32+1≥1，即（1）解一元二次方程x2?4x?2=0，配方后可變形為（A．x?42=8 B．x?42=6 C．（2）利用配方法求?x（3）已知方程x2+y【變式8-1】（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）配方法在代數(shù)式求值、解方程、求最值問(wèn)題……中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：若代數(shù)式M=a利用配方法求M的最小值：M===∵(a?b)2≥0，∴當(dāng)a=b=1時(shí)，代數(shù)式M有最小值為1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2(2)若代數(shù)式M=a(3)已知a2+2b題型09判斷不含字母的一元二次方程的根的情況【例9】（2022·山東濱州·中考真題）一元二次方程2x2?5x+6=0A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能判定【變式9-1】（2022·遼寧撫順·中考真題）下列一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2+x?2=0 C．x2+x+5=0 【變式9-2】（2020·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2+1=2x C．x2?2x=3 【變式9-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)一個(gè)常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2?2x+_____方法技巧若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或題型10判斷含字母的一元二次方程根的情況【例10】（2022·湖北荊州·中考真題）關(guān)于x的方程x2?3kx?2=0實(shí)數(shù)根的情況，下列判斷正確的是（A．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式10-1】（2020·山東濰坊·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+(k?3)x+1?k=0根的情況，下列說(shuō)法正確的是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定題型11由方程根的情況確定字母的值或取值范圍【例11】（2022·北京·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（A．?4 B．?14 C．14【變式11-1】（2022·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x?1=0A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)>?1且a≠0 C．a(chǎn)≥?1且a≠0 D．a(chǎn)>?1【變式11-2】（2022·江蘇淮安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（A．?2 B．?1 C．0 D．1【變式11-3】（2023綿陽(yáng)市模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x?1=0題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況【例12】（2022上·福建福州·九年級(jí)福建省福州銅盤(pán)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)如果方程有一個(gè)根為正數(shù)，求m的取值范圍．【變式12-1】（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β=5，求m的值．【變式12-2】（2022·北京朝陽(yáng)·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求a的值．【變式12-3】（2023·廣東江門(mén)·二模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6，另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍【例13】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃╆P(guān)于x的一元二次方程m?3x2?2x+1=0A．m<4且m≠3 B．m>4 C．m≥4 D．m≤4且m≠3【變式13-1】（2022株洲市二中二模）若關(guān)于x的方程kx2?3x?94A．k=0 B．k≥?1且k≠0 C．k≥?1 D．k>?1【變式13-2】（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+2m?1=0有(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，滿足x1【變式13-3】（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+2k?1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x(1)求k的取值范圍；(2)若x12?【變式13-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)關(guān)于x的方程x2?x+m=0,(m?1)x2+2x+1=0題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)題【例14】（2020·湖北荊州·中考真題）定義新運(yùn)算a?b，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足a?b=a+ba?b?1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如4?3=(4+3)(4?3)?1=7?1=6，若x?k=xA．有一個(gè)實(shí)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【變式14-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2?ab，例如3?2=22?3×2=?2，則關(guān)于x的方程A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【變式14-2】（2020·河南·中考真題）定義運(yùn)算：m☆n=mn2?mn?1．例如:4☆2=4×22A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0QUOTE≠0，Δ≥0）的兩個(gè)根是x1和x2，則x1，x2與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?【擴(kuò)展】用根與系數(shù)的關(guān)系求值時(shí)的常見(jiàn)轉(zhuǎn)化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x21）平方和x12+2）倒數(shù)和1x1+1x3）差的絕對(duì)值|x1-x2|=(4)x1x5易混易錯(cuò)1.如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1,x2，那么x1+x2＝?p，2.以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2-（x1+3.運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.4.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△≥0.題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例1】（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?a=0的兩根分別記為x1，x2，若x1A．7 B．?7 C．6 D．?6【變式1-1】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知m，n是一元二次方程x2+3x?2=0的兩根，則2m?nA．?3 B．?2 C．?13 【變式1-2】（2023漢壽縣一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的兩個(gè)根，則abA．?23 B．?32 C．32【變式1-3】（2022·湖南婁底·中考真題）已知實(shí)數(shù)x1,x2是方程x【變式1-4】（2021·湖北黃岡·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．【變式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2?4x?1=0的兩根為x1,方法技巧求含有兩根的代數(shù)式的值將所求代數(shù)式通過(guò)因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果.題型02由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)代換求代數(shù)式的值【例2】（2023潛江市模擬）若α、β為方程2x2?5x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2αA．?13 B．12 C．14 D．15【變式2-1】（2021·江蘇南通·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m3+【變式2-2】（2021·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2題型03由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過(guò)降次求代數(shù)式的值【例3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）已知x1，x2是方程x2?x?2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式A．4045 B．4044 C．2022 D．1【變式3-1】（2023連云港市檢測(cè)）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α3+8β+6的值為（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【變式3-2】（2021上·湖北武漢·九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數(shù)式2aA．19 B．20 C．14 D．15【變式3-3】（2021·湖北武漢·中考真題）已知a，b是方程x2?3x?5=0的兩根，則代數(shù)式2aA．-25 B．-24 C．35 D．36【變式3-4】已知α、β是方程x2+x?1=0的兩根，則α4β?βA．7 B．8 C．9 D．10【變式3-5】（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β是方程x2+2x?1=0的兩根，則α3題型04由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值【例4】（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2m?1x+m2=0的兩實(shí)數(shù)根為x1，A．?3 B．?1 C．?3或3 D．?1或3【變式4-1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2?m=0的兩實(shí)數(shù)根為x1,x2A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或2【變式4-2】（2022·廣東佛山·二模）若a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2?2kx＋4k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2＋b2＝12，則k的值是（

）A．?1 B．3 C．?1或3 D．?3或1【變式4-3】（2019·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2?(k?1)x?k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【變式4-4】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且x2x1+x1x2＝x1【變式4-5】（2022·四川巴中·中考真題）α、β是關(guān)于x的方程x2?x+k?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且α2?2α?β=4，則k的值為題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)【例5】（2020·江蘇南京·中考真題）關(guān)于x的方程(x?1)(x+2)=ρ2（ρ為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【變式5-1】（2023秦淮區(qū)9年紀(jì)月考）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【變式5-2】（2021·江蘇南京·一模）關(guān)于x的方程3x2?7x+4=0A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根【變式5-3】關(guān)于x的方程x?2x+1=p2（A．有兩個(gè)相異正根 B．有兩個(gè)相異負(fù)根 C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍【例6】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+(2m+1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且2xA．m≥3 B．m≤?4 C．3≤m≤4 D．?3≤m≤4【變式6-1】（2023·四川綿陽(yáng)·三模）已知關(guān)于x的方程4x2?k+5x?k?9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2A．?18<k<?10 B．0<k<8C．?9<k<?5 D．?18<k<?10且k≠?13【變式6-2】（2023·山東日照·二模）關(guān)于x的一元二次方程2x2?2x+3m?1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2【變式6-3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程x2?2m+1x+m2=0m≠0有兩實(shí)數(shù)根題型07與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題【例7】（2023上·湖南婁底·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義運(yùn)算：a?b=a1?b，若a，b是方程x2?x+14A．?1 B．0 C．1 D．±1【變式7-1】．（2022上·貴州銅仁·九年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a?b=a2+2ab?b2，例如：3?5=A．107 B．-3 C．17 【變式7-2】（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義運(yùn)算“※”：m※n=mnm+n．例如，4※2=4×2×4+2=48．若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程【變式7-3】（2023上·遼寧阜新·九年級(jí)校考階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義：a◆b=a2+3ab+2b題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值【例8】（2023·湖北武漢·一模）如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2+m=3，n2+n=3，那么代數(shù)式A．16 B．15 C．12 D．9【變式8-1】（2023武昌區(qū)聯(lián)考）若a≠b，且a2?4a+1=0,b2?4b+1=0則11+a2+1【變式8-2】（2022·湖北鄂州·中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則1a+1b的值為【變式8-3】（2021上·重慶黔江·九年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)m，n?(m≠n)滿足等式m2?2m?1=0，n2?2n?1=0，則題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用【例9】（2023重慶市9年紀(jì)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求k的取值范圍；(2)如果x1，x2是方程的兩個(gè)解，令w=x【變式9-1】（2023·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且【變式9-2】（2022上·四川遂寧·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2?2x?1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)x1

考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用1、用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問(wèn)題的答案.2、與一元二次方程有關(guān)應(yīng)用題的常見(jiàn)類型：1)變化率問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解“增長(zhǎng)了”與“增長(zhǎng)到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.解決此類問(wèn)題時(shí)，務(wù)必要記住公式a(1±x)n=b，其中a為增長(zhǎng)(或降低)的基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)(或降低)的變化率，n為增長(zhǎng)(或降低)的次數(shù)，b為增長(zhǎng)(或降低)后的數(shù)量.即：2)利潤(rùn)和利潤(rùn)率問(wèn)題在日常生活中，經(jīng)常遇到有關(guān)商品利潤(rùn)的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用其中已知量與未量之間的等量關(guān)系建立方程模型，并通過(guò)解方程來(lái)解決問(wèn)題.要正確解答利潤(rùn)或利潤(rùn)率問(wèn)題，首先要理解進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)及利潤(rùn)率之間的關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)×100%.3)面積問(wèn)題幾何圖形的面積問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，通常涉及三角形、長(zhǎng)方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式，從中找到等量關(guān)系解決問(wèn)題.有關(guān)面積的應(yīng)用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.常見(jiàn)類型1：如圖1，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為x，則陰影部分的面積為(a?2x)(b?2x)．常見(jiàn)類型2：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則空白部分的面積為(a?x)(b?x)．常見(jiàn)類型3：如圖3，矩形ABCD長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為x，則4塊空白部分的面積之和能轉(zhuǎn)化為(a?x)(b?x)．4)分裂（傳播）問(wèn)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是原細(xì)胞或傳染源在不在總數(shù)中.其一般思路是先分析問(wèn)題情境，明確是分裂問(wèn)題還是傳播問(wèn)題，然后找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.①傳播問(wèn)題：傳染源在傳播過(guò)程中，原傳染源的數(shù)量計(jì)入傳染結(jié)果，若傳染源數(shù)量為1，每一個(gè)傳染源傳染x個(gè)個(gè)體，則第一輪傳染后，感染個(gè)體的總數(shù)為1+x，第二輪傳染后感染個(gè)體的總數(shù)為(1+x)2.②分裂問(wèn)題：細(xì)胞在分裂過(guò)程中，原細(xì)胞數(shù)目不計(jì)入分裂總數(shù)中，若原細(xì)胞數(shù)目為1，每一個(gè)細(xì)胞分裂為x個(gè)細(xì)胞，則第一次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x，第二次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x2.5)碰面問(wèn)題（循環(huán)）問(wèn)題①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m．∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分．∴m=1②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m．∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)．∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊．∴m=n（n－1）題型01分裂（傳播）問(wèn)題【例1】（2021·黑龍江·中考真題）有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【變式1-1】（2022·天津和平·一模）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則下列方程正確的是（）A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【變式1-2】（2023·廣東陽(yáng)江·一模）自2023年1月以來(lái)，甲流便肆虐橫行，成為當(dāng)前主流流行疾?。骋恍^(qū)有1位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非常快，小區(qū)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個(gè)人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)是否超過(guò)1500人患了甲流？【變式1-3】（2022上·云南紅河·九年級(jí)期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國(guó)已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題【例2】（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）某校八年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)），共需安排15場(chǎng)比賽，則八年級(jí)班級(jí)的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-1】（2023上·云南昆明·九年級(jí)期末）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱：CBA），分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）．2022-2023CBA常規(guī)賽共要賽240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）A．80個(gè) B．120個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式2-2】（2023上·廣東惠州·九年級(jí)期末）參加一次活動(dòng)的每個(gè)人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動(dòng)？設(shè)有x人參加活動(dòng)，可列方程為（）A．12xx?1=10 B．xx?1=10【變式2-3】某學(xué)習(xí)小組的成員互贈(zèng)新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組成員的人數(shù)是_________．題型03增長(zhǎng)率問(wèn)題【例3】（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A．2001+x2=242 C．2001+2x=242 【變式3-1】（2022·安徽·校聯(lián)考一模）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為a分鐘，經(jīng)過(guò)去年下半年和今年上半年兩次整改后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)比去年上半年減少了70%，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時(shí)長(zhǎng)的下降率為x，則可列方程為（

）A．a(chǎn)1?x2=70%C．a(chǎn)1?x2=30%【變式3-2】（2022·上?！ぶ锌颊骖}）某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，已知6、7月的增長(zhǎng)率相同，則增長(zhǎng)率為_(kāi)______．題型04營(yíng)銷問(wèn)題【例4】（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為6元．當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí)，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，每瓶售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計(jì)劃該飲料日均總利潤(rùn)為700元，且盡快減少庫(kù)存，則每瓶該飲料售價(jià)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【變式4-1】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)校考期末）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出200件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每星期可多賣出8件，店里每周利潤(rùn)要達(dá)到8450元．若設(shè)店主把該商品每件售價(jià)降低x元，則可列方程為（

）A．60?x200+8x=8450 C．20?x200+40x=8450 【變式4-2】（2022上·重慶·九年級(jí)重慶一中校考期中）端午節(jié)又稱端陽(yáng)節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以10元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出80袋，問(wèn)此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)可達(dá)到1440元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為（）A．(16?x?10)(200+80x)=1440 B．(16?x)(200+80x)=1440C．(16?x?10)(200?80x)=1440 D．(16?x)(200?80x)=1440【變式4-3】（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【變式4-4】（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考三模）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長(zhǎng)率相同．(1)求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率；(2)若A產(chǎn)品每套盈利2萬(wàn)元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫(kù)存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬(wàn)元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬(wàn)元，則每套A產(chǎn)品需降價(jià)多少？題型05工程問(wèn)題【例5】（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了m+25小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【變式5-1】（2022·重慶·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）“端午臨中夏，時(shí)清日復(fù)長(zhǎng)”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門(mén)店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開(kāi)工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開(kāi)工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式5-2】（2022·重慶·?？家荒＃┠彻局鳡I(yíng)鐵路建設(shè)施工．(1)原計(jì)劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計(jì)劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計(jì)劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計(jì)劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預(yù)計(jì)二季度平地施工里程會(huì)減少7a千米，隧道施工里程會(huì)減少2a千米，橋梁施工里程會(huì)增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會(huì)增加12題型06行程問(wèn)題【例6】（2021·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請(qǐng)問(wèn)甲走的步數(shù)是_______．【變式6-1】（2021·安徽宣城·?？家荒＃┘住⒁覂蓚€(gè)機(jī)器人分別從相距70m的A、B兩個(gè)位置同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后多少分鐘第一次同時(shí)到達(dá)同一位置？(2)如果甲、乙到達(dá)A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后多少分鐘第二次同時(shí)到達(dá)同一位置？題型07與圖形有有關(guān)的問(wèn)題【例7】一份攝影作品【七寸照片（長(zhǎng)7英寸，寬5英寸）】，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設(shè)照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（

）A．2(7+x)(5+x)=7×5 B．(7+x)(5+x)=2×7×5C．2(7+2x)(5+2x)=7×5 D．(7+2x)(5+2x)=2×7×5【變式7-1】（2022·河南洛陽(yáng)·一模）春意復(fù)蘇，鄭州綠化工程正在如火如荼地進(jìn)行著，某工程隊(duì)計(jì)劃將一塊長(zhǎng)64m，寬40m的矩形場(chǎng)地建設(shè)成綠化廣場(chǎng)如圖，廣場(chǎng)內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其余區(qū)域進(jìn)行綠化．若使綠化區(qū)域的面積為廣場(chǎng)總面積的80%，求小路的寬，設(shè)小路的寬為xm，則可列方程（

）A．(64?2x)(40?x)=64×40×80% B．C．64x+2×40x?2x2=64×40×80%【變式7-2】（2023·河北衡水·二模）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若n=8，則矩形A的水平邊長(zhǎng)為_(kāi)________；（2）請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長(zhǎng)：_________；（3）若矩形A，B的面積相等，則n=_________．【變式7-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在一塊長(zhǎng)15米、寬10米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為126平方米，則修建的路寬應(yīng)是多少米？

【變式7-4】（2021深圳市模擬）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB=xm.（1）若花園的面積為192m2,求x的值；（2）若在P處有一棵樹(shù)與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），求花園面積S的最大值.【變式7-5】（2022上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）某科研單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形ABCD空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為532m(2)現(xiàn)將矩形花園的四個(gè)角建成休閑活動(dòng)區(qū)，如圖2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、△DPN均為全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，設(shè)EF＝HG＝MN＝①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．【變式7-6】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎喝鐖D，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t((1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？(2)是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的23？如果存在，求出相應(yīng)的t【變式7-7】（2020上·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，CD＝4，BD＝a．（1）當(dāng)∠APC＝90°，a＝14時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；（2）若∠APC＝90°時(shí)，點(diǎn)P有兩個(gè)符合要求即P1，P2，且P1P2＝2，求a的值；（3）若∠APC＝120°時(shí)，點(diǎn)P有且只有一個(gè)點(diǎn)符合要求，求a的值．

第07講一元二次方程答案解析考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念題型01識(shí)別一元二次方程【例1】（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?1=0 B．2x+y=1 C．x+1【答案】A【提示】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；B、含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；C、不是整式方程，故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；D、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，故是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)要注意：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2．【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+x?y=0 C．x2+2x+5=x(x?1) 【答案】D【提示】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，逐項(xiàng)提示判斷即可．【詳解】解：A、x2B、ax2+2x?3=0C、x2+2x+5=x(x?1)整理后得D、x2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值【例2】（2023南陽(yáng)市一模）關(guān)于x的方程m+1xm+1A．?1 B．3 C．1 D．1或?1【答案】C【提示】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程m+1x∴m+1=2且m+1≠0解得：m=1．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）方程(m?2)xm2?2+(5+m)x+3=0是關(guān)于【答案】?2【提示】根據(jù)一元二次方程的定義知，m2?2=2，且m?2≠0，據(jù)此可以求得【詳解】解：∵方程(m?2)xm2∴m2?2=2解得m=?2；故答案是：?2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．題型03一元二次方程的一般式【例3】（2022上·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谥校⒁辉畏匠?x2=5x?1A．3x2?5x?1=0C．3x2?5x+1=0【答案】C【提示】把等號(hào)右邊的式子移到等號(hào)左邊即可解題．【詳解】解：3移項(xiàng)得：3故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握移項(xiàng)變號(hào)的基本步驟．【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將方程4x2+8x=25化成aA．4，8，25 B．4，2，?25 C．4，8，?25 D．1，2，25【答案】C【提示】將4x【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4x∴a=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為_(kāi)_____．【答案】x2?2x=0/-2x+x【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程．【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：x2-2x=0．故答案為：x2-2x=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023集賢縣·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程a?1x2+x+a2A．1 B．?1 C．1或?1 D．1【答案】B【提示】根據(jù)一元二次方程的定義和題意列出a滿足的條件求解即可．【詳解】解：由題意，a2解得：a=?1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關(guān)鍵．題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=【答案】1【提示】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．【詳解】把x=1代入方程x2解得a=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式4-1】（2021·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若關(guān)于x的方程x2?kx?12=0的一個(gè)根為3，則k的值為【答案】?1【提示】將x=3代入方程可得一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，將x=3代入方程x2?kx?12=0得：解得k=?1，故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵．題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關(guān)于x的一元二次方程2xa?2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．6 D．4【答案】C【提示】根據(jù)一元二次方程的概念可求出a的值，根據(jù)解為x=1可求出m的值，由此即可求解．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2x∴a?2=2，解得，a=4，∴一元二次方程2x∵解為x=1，∴2×12+m=4∴a+m=4+2=6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數(shù)式求值的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）如果x=?1是方程x2+mx+n=0A．m>n B．m=n C．m<n D．不確定的【答案】A【分析】把方程的解代入方程，得到m，n的關(guān)系式，判斷m，n的大小．【詳解】解：把x=?1代入方程有：1?m+n=0∴m?n=1>0∴m>n．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到m，n的關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023渭南市月考）若關(guān)于x的方程ax2+bx?1=0的一個(gè)解為x=1，則【答案】2022【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=1，再求代數(shù)式的值．【詳解】解：把x=1代入方程ax2+bx?1=0即a+b=1，所以2023?a?b=2023?(a+b)=2023?1=2022．故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值，“知解必代”是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮阎猘是方程2x2?5x?7=0的一個(gè)根，則代數(shù)式4【答案】14【分析】根據(jù)方程的根的定義，把x=a代入方程求出2a【詳解】解：∵a是方程2x∴2a整理得，2a∴4a故答案是：14．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數(shù)式的值，理解一元二次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根【例6】（2022·廣西貴港·中考真題）若x=?2是一元二次方程x2+2x+m=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根及m的值分別是（A．0，?2 B．0，0 C．?2，?2 D．?2，0【答案】B【提示】直接把x=?2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一個(gè)根．【詳解】解：根據(jù)題意，∵x=?2是一元二次方程x2把x=?2代入x2(?2)2解得：m=0；∴x2∴x(x+2)=0，∴x1=?2，∴方程的另一個(gè)根是x=0；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算．【變式6-1】（2023寧德市一模）關(guān)于x的一元二次方程x2?2kx?5=0的一個(gè)根是1，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是【答案】?5【提示】根據(jù)方程的一個(gè)根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∴關(guān)于x的一元二次方程x2∴1?2k?5=0，∴k=?2，∴x2解得x1=1，∴方程的另一個(gè)根是-5．故答案為：-5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關(guān)鍵．【變式6-2】（2023遵義市第十一中三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2?kx?2=0的一個(gè)根為x=1，則這個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為【答案】-2【提示】由題目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答題．【詳解】解：將x=1代入一元二次方程x2?kx?2=0有：方程x(x+2)(x?1)=0即方程的另一個(gè)根為x=-2故本題的答案為-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數(shù)以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系數(shù)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二解一元二次方程題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方程【例1】（2023·天津西青·二模）方程x+62?9=0的兩個(gè)根是（A．x1=3，x2=9 B．C．x1=3，x2=?9 【答案】D【提示】根據(jù)直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】解：x+62x+62∴x+6=±3，∴x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運(yùn)用直接開(kāi)平方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且a>b，則2a+b的值為【答案】6+3/【提示】先利用直接開(kāi)平方法解方程得到a=2+3，b=2?3，然后把它們代入【詳解】解：(x?2)2x?2=±3解得x1=2+3∵方程(x?2)2=3的兩根為a、b，且∴a=2+3，b=2?∴2a+b=2(2+3故答案為：6+3【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關(guān)于x的方程：42x?5【答案】x1=?【提示】變形后利用直接開(kāi)方法解方程即可．【詳解】整理得：22x?5∴22x?5∴22x?5=33x?1∴x1=?7【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟記直接開(kāi)平方法的解方程的步驟，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算即可．題型02利用配方法解一元二次方程【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）A．x+12=3 B．x+12=6 C．【答案】C【提示】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x?1=0時(shí)，將它化為x+a2=bA．103 B．73 C．2 【答案】B【提示】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵3x∴3x2+6x=1則x2+2x+1=1∴a=1，b=4∴a+b=7故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將方程2x2?12x+1=0配方成x?mA．x+32=17 B．x+32=172【答案】D【提示】先二次項(xiàng)化系數(shù)為1，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：2x二次項(xiàng)化系數(shù)為1得：x2移項(xiàng)得：x2配方得：x2整理得：x?32故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2?4x?3=0，配方得(x+m)2【答案】?2【提示】根據(jù)配方法的一般步驟先把常數(shù)項(xiàng)?3移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)?4的一半的平方，即可得出答案．【詳解】解：x2x2x2(x?2)2則m=?2．故答案為：?2．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法的一般步驟是本題的關(guān)鍵，配方法的一般步驟是（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．題型03利用因式分解法解一元二次方程【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x?2x+7=0的根是【答案】x1=2【提示】由兩式相乘等于0，則這兩個(gè)式子均有可能為0即可求解．【詳解】解：由題意可知：x?2=0或x+7=0，∴x1=2或故答案為：x1=2或【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算細(xì)心即可．【變式3-1】（2023惠陽(yáng)區(qū)模擬預(yù)測(cè)）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】13【提示】利用因式分解法解方程，得到x1=4，【詳解】解：∵x2∴(x?4)(x?9)=0，∴x1=4，∵3+6=9，∴x2∴三角形的周長(zhǎng)為：3+6+4=13；故答案為：13.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，以及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確求出第三邊的長(zhǎng)度，以及掌握三角形的三邊關(guān)系.【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx?6【答案】x【提示】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法可進(jìn)行求解．【詳解】解：xxx?6解得：x1【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．題型04利用公式法解一元二次方程【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2A．?43 B．?28 C．45 D．60【答案】D【提示】Δ＝b2?4ac，給【詳解】解：x2∵a=1，∴Δ＝?42故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·江蘇無(wú)錫·一模）方程x2?3x=1的解是【答案】x【提示】利用公式法解方程即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴a=1，∴Δ=∴x=?b±解得x1故答案為：x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·?？家荒＃┓匠蘹2+2x?2=0的解是【答案】x【提示】利用公式法計(jì)算即可．【詳解】∵x2a=1,b=2,c=?2,Δ∴x=?2±∴x故答案為：x1【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握公式法解方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023長(zhǎng)嶺縣模擬）一元二次方程x2?3x+2=0根的判別式的值為【答案】1【提示】首先找出一元二次方程x2?3x+2=0中a=1，b=?3，c=2，然后根據(jù)根的判別式【詳解】解：∵一元二次方程x2?3x+2=0中a=1，b=?3，∴Δ=b故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式Δ=b題型05利用換元法解一元二次方程【例5】（2023·浙江寧波·校考一模）已知a2+b22【答案】3【提示】把a(bǔ)2+b2看作一個(gè)整體，設(shè)【詳解】解：設(shè)a2據(jù)題意，得y2解得y1∵a2∴y2∴a2故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是將a2【變式5-1】（2023羅湖區(qū)模擬預(yù)測(cè)）若x2+y2【答案】5【提示】設(shè)x2+y2=m【詳解】解：設(shè)x2+y即m2解得m1=5，∵x2∴x2故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解一元二次方程的一般方法和步驟是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】我們知道方程x2+2x?3=0的解是x1A．x1=1，x2=3C．x1=?1，x2【答案】D【提示】把方程(2x+3)2+2(2x+3)?3=0看作關(guān)于【詳解】把方程(2x+3)2+2(2x+3)?3=0看作關(guān)于∴2x+3=1或2x+3=?3，∴x1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程求解方法中的換元法,熟悉換元法的解題步驟是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·四川綿陽(yáng)·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如列表所示：則一元二次方程ax…?30135…y…7??9?57…【答案】x1=?1【提示】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題得到一元二次方程ax2+bx+c=7的解為x1=?3，x2=5，再把方程a(2x?1【詳解】解：由表值值數(shù)據(jù)得x=?3或x=5時(shí)，y=7，∴一元二次方程ax2+bx+c=7的解為x把方程a(2x?1)2+b(2x?1)+c=7∴2x?1=?3或2x?1=5，解得x1=?1，即一元二次方程a(2x?1)2+b(2x?1)+c=7的解為x故答案為：x1=?1，【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)與x題型06選用合適的方法解一元二次方程【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2【答案】x1【提示】利用配方法解方程即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得x2∴x2∴x?22兩邊開(kāi)平方，得x?2=±3，∴x1【點(diǎn)睛】本題考查用配方法解一元二次方程，解答關(guān)鍵是根據(jù)方程特征選擇適當(dāng)方法解方程．【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x?2)2【答案】x1=4，【提示】直接開(kāi)平方求解即可得到答案；【詳解】解：兩邊開(kāi)平方可得，x?2=±2，即x=±2+2，∴x1=2+2=4，∴方程的解為：x1=4，【點(diǎn)睛】本題考查直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法及選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄇ蠼猓咀兪?-2】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程(1)9(2)x(3)2【詳解】（1）解：9x3x23x+x?4x?2x+1=0或4x?∴x1=?（2）x2x2x?x?∴x1=2+5（3）2x2x?2x?3=0或∴x1=3題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題【例7】（2022·浙江溫州·一模）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時(shí)除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝4±282整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項(xiàng)得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【答案】D【提示】A.不能兩邊同時(shí)除以（x﹣1），會(huì)漏根；B.化為一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【詳解】解：A.不能兩邊同時(shí)除以（x﹣1），會(huì)漏根，故A錯(cuò)誤；B.化為一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B錯(cuò)誤；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C錯(cuò)誤；D.利用因式分解法解答，完全正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式7-1】下面是小明同學(xué)的錯(cuò)題本的一部分，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，幫助他補(bǔ)充完整．解方程：x?3解：x?3=2x…第一步x?2x=3?第二步x=?3?第三步(1)提示：第____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)改正：【答案】(1)一；(2)改正見(jiàn)解析【提示】（1）開(kāi)方時(shí)忽略一種情況，第一步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）先開(kāi)方，分兩種情況再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，求出解即可．【詳解】（1）兩邊同時(shí)開(kāi)方，得x?3=2x或x?3=?2x，所以第一步錯(cuò)誤．故答案為：一；（2）x?32=4開(kāi)方，得x?3=2x或x?3=?2x，x?2x=3或x+2x=3?x=3或3x=3所以x1=?3，【點(diǎn)睛】本題主要考查了用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，掌握直接開(kāi)方法解一元二次方程的步驟時(shí)解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【答案】?jī)晌煌瑢W(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過(guò)程見(jiàn)解析【提示】根據(jù)因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．（×）小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，（×）正確解答：3移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?去括號(hào)，得x?33?x+3則x?3=0或6?x=0，解得x1=3，【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：sin45°+（2）下面是小明同學(xué)解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：x2x2?2x+1=1，即x?1=±1第三步x1任務(wù)一：①填空：上述材料中小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是_，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是_