畫(huà)法幾何與土木建筑制圖課件：點(diǎn)、直線的投影及兩直線的相對(duì)位置

點(diǎn)、直線的投影及兩直線的相對(duì)位置3.1點(diǎn)的投影3.2直線的投影▲重點(diǎn)：掌握點(diǎn)、直線在第一分角中各種位置的投影特性和作圖方法；掌握直線上點(diǎn)的投影特性；掌握一般直線傾角和實(shí)長(zhǎng)的求法?！粢话憷斫猓簝牲c(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)；平行、相交、交叉直線以及一邊平行于投影面的直角的投影特性；●難點(diǎn)：用直角三角形法求一般直線的傾角及實(shí)長(zhǎng)。

3.1點(diǎn)的投影一、符號(hào)規(guī)定：1．空間點(diǎn)：用大寫(xiě)字母表示，如A、B、C…2．水平投影用小寫(xiě)字母表示，如a、b、c…3．正面投影用帶撇的小寫(xiě)字母表示，如a'、

b'

、c'

…4．側(cè)面投影用帶兩撇的小寫(xiě)字母表示，如a''

、

b''

、c''

…二、點(diǎn)的三面投影1、點(diǎn)的三面投影規(guī)律：(1)aa'⊥OX(2)a'a''⊥OZ(3)aaYH⊥OYH(4)a''aYW⊥OYW(a)立體圖(b)投影圖1(c)投影圖2aVYHWHZYWOa'a''HXaXaZaYHZYWOa'a''XaXaZaYHaYWXVWHYOZa'Aa''axayaza(a)立體圖2、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)：A點(diǎn)到W面的距離為x坐標(biāo)，即；Aa''=

a'aZ=aay=aXO=xA點(diǎn)到V面的距離為y坐標(biāo)，即；Aa'=

aax=a''az=ayO=yA點(diǎn)到H面的距離為z坐標(biāo)，即；Aa=a'ax=a''ay=azO=z點(diǎn)的投影與坐標(biāo)VWa'AHXYOZa''axayaz(b)投影圖aYHZYWOa'a''XaXaZaYHaYWa例1：已知D（20，10，15），作點(diǎn)的三面投影

XZYHYWdXdYdZZdZdXdY201015XYHYWOOdd'd''c'例2：特殊位置（投影面內(nèi)）點(diǎn)的三面投影

VWHXYOZBb'AaCb''c''ca''a'b(a)

投影面內(nèi)點(diǎn)的立體圖(b)

投影面內(nèi)點(diǎn)的投影圖XZYHYWOb'bb''aa'a''c''c'ce''ef'd'e'e例2續(xù)：特殊位置（投影軸上）點(diǎn)的三面投影

VWHXYOZDd'FfEd''e''f'd(a)

投影軸上點(diǎn)的立體圖(b)

投影軸上點(diǎn)的投影圖XZYHYWOdf''f''fe'd''b'a'a3、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置：A在B之左10mmA在B之前5mmA在B之下7mmVWHYOZAa'Bb''a''baXZYHO△y=5△x=10△z=7b'b''ba''XYWfdc''VHXW4、重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性H面上重影V面上重影W面上重影a(b)YHZYWOa'a''Xb'b''cYWOc'(d')d''XYHZeYWOe'e''(f'')XYHf'Za(b)a'b''BYOAb'a''VHXWYc'(d')CDc''d''dcVHXWYFEOOe'f'e''(f'')efbb''a''b'3.2直線的投影幾個(gè)概念：直線實(shí)長(zhǎng)AB；直線的投影長(zhǎng)ab、a'b'、a''b''；直線對(duì)投影面的傾角，對(duì)H面的傾角用α表示，對(duì)V面的傾角用β表示，對(duì)W面的傾角用γ表示。一、兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。aYHZYWOa'XαAB⊥H面投影積聚為一點(diǎn)

a(b)AB∥H面投影反映實(shí)長(zhǎng)ab=ABAB傾斜于H面投影比實(shí)長(zhǎng)短ab=ABcosα二、直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性HABabHABabHABa(b)投影面垂直線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面平行線正垂線（垂直于Ｖ面）鉛垂線（垂直于H面）側(cè)垂線（垂直于W面）正平線（只平行于Ｖ面）水平線（只平行于H面）側(cè)平線（只平行于W面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面三、各種位置直線的投影特性投影特性:a'b'積聚為一點(diǎn)

ab∥OYHa''b''∥OYWab=a''b''=ABaVa'(b')b''BWHXZYOba''A立體圖a'(b')abb''a''XZYWYHO投影圖1.投影面垂直線投影特性正垂線a(b)Va'b''BHXZYOA立體圖投影特性:ab積聚為一點(diǎn)

a'b'∥a''b''∥OZa'b'=a''b''=AB投影圖a(b)a'b'b''a''XZYWYHOb'a''W1.投影面垂直線投影特性（續(xù)）鉛垂線a''(b'')a''(b'')abXZYWYHOb'a'aVa'BHXZYObA立體圖投影特性:

a''b''

積聚為一點(diǎn)

ab∥a'b'∥OXab=a'b'=ABb'投影圖W1.投影面垂直線投影特性（續(xù)）側(cè)垂線aba'b'b''a''XZYWYHOαγ正平線投影特性:

①ab∥OX

，a''b''∥OZ；②a'b'=AB；③a'b'與投影軸的夾角反映α,γ

b''aVa'BHXZYbA立體圖b'a''W投影圖αγ2.投影面平行線投影特性正平線2.投影面平行線投影特性（續(xù)）aba'b'b''a''XZYWYHOγβb''aVa'BHXZObA立體圖b'a''W水平線投影特性:

①a'b'∥OX

，a''b''∥OYW；②

ab=AB；③ab與投影軸的夾角反映β,γ

βγ投影圖Y水平線b''aba'b'a''XZYHOαβ側(cè)平線投影特性:

①ab∥OYH

，a'b'∥OZ

；②

a''b''=AB；③a''b''與投影軸的夾角反映α,β

b''aVa'BHXZObA立體圖b'a''Wβα投影圖YYW2.投影面平行線投影特性（續(xù)）側(cè)平線b''ba''b'

三個(gè)投影的長(zhǎng)度都小于實(shí)長(zhǎng)，且都傾斜于各投影軸，都不能反映真實(shí)的傾角；

ab=ABcosαa'b'=ABcosβ，a''b''=ABcosγaZYWOa'XYH投影圖3.一般位置直線投影特性立體圖四、用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角ZA-ZBZA-ZBa'b'baAB實(shí)長(zhǎng)ZA–ZBAB實(shí)長(zhǎng)

利用直角三角形求一般線的實(shí)長(zhǎng)和傾角的方法，稱直角三角形法。例1：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角αXXOOa'b'ababZA–ZB空間分析方法一方法二ααYB-YAa'b'baAB實(shí)長(zhǎng)AB實(shí)長(zhǎng)例2：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)V面的傾角βXOa'b'aba'b'空間分析方法一方法二XOYB–YA△Y△Yββ

總結(jié)：若已知直角三角形的四個(gè)要素（兩直角邊、斜邊、夾角）中的任意兩個(gè)，就可以利用直角三角形法解一般直線的相關(guān)問(wèn)題。它們的關(guān)系如下圖：圖中H面投影長(zhǎng)表示水平投影長(zhǎng)，其他類推；△Z、△Y、△X表示坐標(biāo)差。H面投影長(zhǎng)V面投影長(zhǎng)W面投影長(zhǎng)△Z實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)△Y△Xk五、直線上的點(diǎn)1

、幾何條件：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在該直線的同面投影上。如下圖，已知AB線K點(diǎn)的H投影，求K點(diǎn)的另兩個(gè)投影XOa'b'aba''b''YHYWZk'k''立體圖投影圖mabnm2、直線上的點(diǎn)和直線本身有兩種投影關(guān)系：從屬性關(guān)系和定比性關(guān)系。例3：如下圖所示，已知側(cè)平線AB和M、N兩點(diǎn)的H和V投影，判斷M點(diǎn)和N點(diǎn)是否在AB上，結(jié)果，M點(diǎn)在，N點(diǎn)不在。XOa'b'baXOa'b'baXOa'b'YHYWZn''m'n'n'm'n'm'mmnnm''nb已知求W投影判斷其從屬關(guān)系用定比性判斷a''b''六、兩直線的相對(duì)位置平行兩直線的各組同面投影都互相平行且同面投影長(zhǎng)度之比相等（定比性）1、兩直線之間的相對(duì)位置有三種：平行、相交、交叉；垂直是相交和交叉的特殊情況。一、兩直線平行立體圖投影圖XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badc2、如果兩直線相交，則它們的各組同面投影一定相交，并且，各組同面投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影特性。二、兩直線相交立體圖投影圖XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badck'kk''3、交叉直線—既不平行又不相交的空間兩直線立體圖投影圖XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badca交叉兩直線可能會(huì)有一組或兩組同面投影互相平行，但決不會(huì)三組同面投影都互相平行。平行與交叉的叛別ACDBbdcH3、交叉直線（續(xù)）立體圖投影圖XOa'b'YHYWZc'd'b''d''c''a''badca交叉兩直線也可能會(huì)有一組兩組甚至三組同面投影都相交，但它們的交點(diǎn)一定不符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。相交與交叉的叛別ACDBbdcⅡⅠ1(2)H1'2'1(2)4、兩直線垂直—相交垂直或交叉垂直立體圖垂直相交DMBCZAEKkHbadc直角投影特性：在直角的投影中，只要其中有一直角邊平行于某一投影面，則它在該面上的投影還是直角Fe(f)NLIJN1L1l(l1)n(n1)j(j1)J1I1i(i1)垂直交叉4、兩直線垂直（續(xù)）立體圖BCAbac直角投影特性證明已知:AB⊥BC,BC∥H面，而AB傾斜于H面，