2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上6 八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試重難點(diǎn)題型（舉一反三）含答案

2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上專(zhuān)題06八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試重難點(diǎn)題型【舉

一反三】

【人教版】

【知識(shí)點(diǎn)1】三角形

1.三角形：由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段叫做三角形的高.

鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形上，

銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，三條高線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的垂心

4.中線(xiàn)：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn).（三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫重心）

5.角平分線(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形

的角平分線(xiàn).（三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊距離相等，三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做內(nèi)心

6.T角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

（例如自行車(chē)的三角形車(chē)架利用了三角形具有穩(wěn)定性）

，多訪(fǎng)形：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的用叫做它的內(nèi)角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn).

11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質(zhì)：

⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180。

⑵三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不用鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

⑶多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）480。⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360。.

（5）多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)：①?gòu)摹ㄟ呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（〃-3）條對(duì)角線(xiàn)，把多邊形分成（〃-2）個(gè)三

角形.

②〃邊形共有條對(duì)角線(xiàn).

2

【知識(shí)點(diǎn)2】全等三角形

1.基本定義：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

（3）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

⑷對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.

⑸對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

2.基本性質(zhì)：

⑴三角形的穩(wěn)定性：三邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

3.全等三角形的判定定理:

⑴邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑵邊角邊（S4S）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑶角邊角（A四）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑷角角邊（A4S）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑸斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

4.角平分線(xiàn)：

⑴畫(huà)法：⑵性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.

（三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊距離相等）

【知識(shí)點(diǎn)3】軸對(duì)稱(chēng)

1.基本概念：

⑴軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)

圖形.

⑵兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)

圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

（3）線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這袋線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰

所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質(zhì)：

⑴對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：

①不管是軸對(duì)稱(chēng)圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸都是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平

分線(xiàn).

②對(duì)稱(chēng)的圖形都全等.

⑵線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：

①線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

②與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

⑷等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等（等邊對(duì)等角）.

③等腰三角形的頂角角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn).底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)粕是三線(xiàn)合一（1條）.

⑸等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都筆于60。

③等邊三角形每條邊上都存在三線(xiàn)合一.

④等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)羯是三線(xiàn)合一（3條）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）.

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)：

⑵做已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：

（3）作對(duì)稱(chēng)軸：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

⑷作已知圖形關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形：

⑸在直線(xiàn)上做一點(diǎn)，使它到該直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.

《奧冽分刑

【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】

【例1】（2019秋?洛龍區(qū)校級(jí)期中）已知△48C的三邊長(zhǎng)為a,b,c,化簡(jiǎn)|a+b-c|-|b-a-c|的結(jié)果是

（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【變式1-1]（2019秋?灘溪縣期中）設(shè)三角形三邊之長(zhǎng)分別為3,8,l-2a,則。的取值范圍為（）

A.-6<a<-3B.-5<o<-2C.-2<a<5D.a<-5sHa>2

【變式1-2］（2019秋?寧都縣期中）如圖，在△ABC中，48=5,4c=3,則BC邊上的中線(xiàn)4。的取值范圍

B.0<AD<3C.1<4D<4D.3<AD<5

【變式1-3］（2019?防城港期中）在等腰△ABC中，AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,則48邊的取值范圍是（)

A.lcm<AB<4cmB.Scm<AB<10cm

C.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm

【考點(diǎn)2角平分線(xiàn)與多邊形內(nèi)角和】

[例2]（2019春?沛縣期中）如圖，在五邊形48CDE中，Z/4+ZB+Z￡=a.DP,CP分別平分/EDC,Z

)

。D.5400-Xa

La-90C.—0.

2222

【變式2-1］（2019春?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形48CD中，ND48的角平分線(xiàn)與N48c的外角平

分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，且ND+NC=210°,則NP=（）

D.40°

【變式2?2】（2019秋?香洲區(qū)期中）如圖，在四邊形48C。中，NA+NO=a,N48c的平分線(xiàn)與N8CD的

平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則NP=（）

D

A

A.90°-￡B.-LaC.900+LD.360°-a

222

【變式2-3］（2018秋?遵義期中）如圖，在四邊形A8co中，乙48c與/8CD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)￡恰好在4。

A.ZA+ZD-45°B.工（NA+ND）+45°

2

C.180°-（NA+ND）D.i-Z/A+^ZD

22

【考點(diǎn)3多邊形內(nèi)角和與外角和】

【例3】（2019秋?岳池縣期中）一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140。，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出

發(fā)的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

【變式3-1］（2019春?內(nèi)江期中）馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了2個(gè)內(nèi)角，其和

等于830°,則該多邊形的邊數(shù)是（）

A.7B.8C.7或8D.無(wú)法確定

【變式3-2］（2019春?諸城市期中）過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作7條對(duì)角線(xiàn)，則此多邊形的內(nèi)角和是外角

和的（）

A.4倍B.5倍C.6倍D.3倍

【變式3?3】（2019?涼山州期中）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°,那

么原多邊形的邊數(shù)為（）

A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9

【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】

【例乙】（2018秋?利津縣期中）如圖，4B//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的對(duì)數(shù)是（）

A

B

A.4B.3C.2D.1

【變式4-1]（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知，ZCAB=ZDAE,AC=AD,增加下列條件：①AB=

AE-,@BC=ED；③/C=ND；④/8=N￡；（5）Z1=Z2.其中能使的條件有（）

C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式4-2]（2018秋?東臺(tái)市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫(huà)出唯一△ABC的是（）

A.48=6,8c=5,ZA=50°B.AB=5,BC=6,AC=13

C.ZA=50°,N8=80°,AB=8D.ZA=40°,ZB=50°,NC=90°

【變式4?3】（2018秋?東臺(tái)市期中）如圖，給出下列四組條件:

①A8=DE,BC=EF,AC=OF；

@AB=DE,BC=EF,NB=/￡；

@ZB=Z￡,NC=NF,BC=EF：

@AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使△48C@Z\DEF的條件共有（）

【考點(diǎn)5等腰三角形中的分類(lèi)討論思想】

【例5】（2018春?郵城縣期中）等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm,其中一邊長(zhǎng)為3cm,則該等腰三角形的腰長(zhǎng)

為（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.8cm

【變式5-1]（2018春?金水區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線(xiàn)與另一腰所在的直線(xiàn)的夾角為

40°,則此等腰三角形的頂角是（）

A.50B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【變式5-2]（2019秋?綏棱縣期中）已知一個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為5cm.一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分成的

兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.10cm

【變式5-3】（2018秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半,

則其頂角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【考點(diǎn)6三種雙角平分線(xiàn)應(yīng)用】

【例6】（2018春?翠屏區(qū)校級(jí)期中）已知△48C,下列說(shuō)法正確的是（只填序號(hào)）.

①如圖⑴，若點(diǎn)P是248c和4C8的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，貝ljNP=90°+!/4：

2

②如圖（2）,若點(diǎn)P是外角NCBF和/8CE的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則NP=90°-工/4

2

③如圖（3）,若點(diǎn)P是N48C和外角N4CE的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，貝IJNP=L/A

【變式6-1]（2019秋?新洲區(qū)期中）如圖，△48C中，ZBAC=70a,N48c的平分線(xiàn)與/4CB的外角平分

【變式6-2]（2019秋?高密市期中）如圖，N4C0是△A8C的外角，N八8c的平分線(xiàn)與NACO的平分線(xiàn)交

于點(diǎn)4，N48D的平分線(xiàn)與N4CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)4，若NA=60°,則/八2的度數(shù)為

，A1

A

4

BCD

【變式6-3]（2018秋?江漢區(qū)校級(jí)期中）如圖，△48C中，ZC=104°,8F平分N48C與△48C的外角平

分線(xiàn)AE所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F,則NF=.

【考點(diǎn)7線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的應(yīng)用】

【例7】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在△48C中，AB=AC,NB4C為鈍缸8c=6,AB.4c的垂直平

分線(xiàn)分別交8c于點(diǎn)D、E,連接AD、AE,那么△4）￡的周長(zhǎng)為.

【變式7-1]（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在△A8C中，。〃、EN分別垂直平分47和8c交48于M、N,

NACB=118。，則NMCA/的度數(shù)為.

【變式7-2]（2019秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在△DAE中，ZDAE=30°,線(xiàn)段4E,AD的中垂線(xiàn)分別交直線(xiàn)

DE于8和C兩點(diǎn)，則NB4C的大小是.

【變式7-3]（2018秋?老河口市期中）如圖，△ABC的邊48,AC的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P,連接P8,PC,

若/4=70°,則NBPC的度數(shù)是

【考點(diǎn)8利用軸對(duì)稱(chēng)變換求最值】

【例8】（2017秋?襄州區(qū)期中）如圖，NAO8=30°,乙4。8內(nèi)有一定點(diǎn)P,且OP=12,在上有一點(diǎn)

Q,。8上有一點(diǎn)R,若也。。/?周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是

【變式8-1］（2018秋?洛龍區(qū)校級(jí)期中）如圖，等腰三角形48c的面積是16,且底邊8c長(zhǎng)為4,腰4c的

垂直平分線(xiàn)EF分別交邊4C,八8于點(diǎn)EF,若點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CMD周

長(zhǎng)的最小值是

【變式8-2］（2019秋?北塘區(qū)期中）如圖，在五邊形48CDE中，ZBAE=13C,ZB=ZE=90°,在8C,

DE上分別找一點(diǎn)M,N,使得△4MN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則N4MN+N4VM的度數(shù)為.

【變式8-3］（2019?黃岡期中）如圖，AC,8。在48的同側(cè)，AC=2,BD=3,A8=8,點(diǎn)M為48的中點(diǎn),

若NCMD=120°,則8的最大值是

D

【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)】

【例9】（2019秋?吉縣期中）如圖：在△陽(yáng)C中，BE、CF分別是4C、48兩邊上的高，在8E上截取8D=

AC.在CF的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CG=48,連接4）、AG.

（1）求證：AD=AG；

（2）4D與4G的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-1］（2019?內(nèi)江期中）如圖，△4CD和△8CE都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=90°,45交

C。于點(diǎn)F,8D分別交CE、AE于點(diǎn)G、H.試猜測(cè)線(xiàn)段AE和8D的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式9-2］（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在△48C中，4?是8c邊上的中線(xiàn)，E是4D上一點(diǎn),

連接8E并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)F,AF=EF,求證：AC=BE.

【變式9-3］（2019秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△48C和△4DE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=DAE=90

°,線(xiàn)段8D,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

E

A

RC

【考點(diǎn)10靈活運(yùn)用30°直角三角形】

[M10](2018秋?天臺(tái)縣期中)如圖，在RtAA8c中,CM平分N4CB交A3于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN//BC

交AC于點(diǎn)N,且MN平分/AMC,若AN=L

(1)求N8的度數(shù)；

(2)求CN的長(zhǎng).

X

BC

【變式10-1](2019秋?江津區(qū)校級(jí)期中)已知：如圖8c中，48=47,ZC=30°,AB1AD,AD=4cm.求

8c的長(zhǎng).

A

BDC

【變式10-2】(2019秋?重慶校級(jí)期中)如圖，己知△48C中，48=4二，ZBAC=120°,AC的垂直平分線(xiàn)

EF交47于點(diǎn)￡,交BC于點(diǎn)F,且CF=3.求8F.

BN------------------/-------

【變式10-3】(2018春?槐蔭區(qū)期中)如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)0,E分別在邊8C,AC上，且。E〃

AB,過(guò)點(diǎn)E作￡F_LDE,交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求NF的大小；

(2)若8=3,求OF的長(zhǎng).

【考點(diǎn)11靈活運(yùn)用“三線(xiàn)合一”】

【例11】（2018秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知等邊△ABC中，。是AC的中點(diǎn)，E是8c延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),

且CE=CD,DM1BC,垂足為M,求證：M是8E的中點(diǎn).

【變式11-1】（2018秋?湖里區(qū)校級(jí)期中）如圖，△48C中，AC=2AB,4?平分N8AC交8c于D,E是4D

上一點(diǎn)，且E4=￡C,求證：EBLAB.

【變式11-2】（2019春?廣饒縣期中）己知△48C中，ZA=9O0,AB=AC,。為8c的中點(diǎn).

（1）如圖，若￡、F分別是AB、4?上的點(diǎn)，且BE=AF.求證：ZWEF為等腰直角三角形；

（2）若E,F分別為48,C4延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，仍有8E=4F,其他條件不變，那么是否仍為等腰直

角三角形？證明你的結(jié)論.

【變式115］（2018秋?研口區(qū)期中）如圖，在等邊△陽(yáng)C中，。是八8上一點(diǎn)，￡是8c延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AD

=CE,DE交AC于點(diǎn)F.

（1）求證：DF=EF；

（2）過(guò)點(diǎn)D作OH_LAC于點(diǎn)H,求理.

H

D

B---------------c-----E

【考點(diǎn)12復(fù)雜的尺規(guī)作圖】

【例12】（2019秋?羅平縣期中）作圖題，求作一點(diǎn)P,使PM=PN,且到/AO8的兩邊距離也相等.

【變式12-1】（2019春?東陽(yáng)市期中）如羽，已知△A8C.

（1）用尺規(guī)作△aBC的角平分線(xiàn)8D（保留痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）畫(huà)8c邊上的高AE；

（3）畫(huà)48邊上中線(xiàn)CF；

（4）在4C邊上找點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)8與點(diǎn)C的距離相等.

【變式12-2】（2019春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡：

已知：如圖，ZABC,射線(xiàn)8c上一點(diǎn)D.

求作：等腰△P8。，使線(xiàn)段8。為等腰的底邊，點(diǎn)P在N48C內(nèi)部，點(diǎn)P到NA8C兩邊的距離相等.

【變式12-3】（2018?惠山區(qū)二模）如圖，已知8c（4CVA8V8C）,請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按

下列要求作圖（不要求寫(xiě)作法，但要俁留作圖痕跡）：

（1）在邊8（7上確定一點(diǎn)P,使得P4+PC=BC

（2）作出一個(gè)△DEF,使得：①ADEF是直角三角形；②ADEF的周長(zhǎng)等于邊8c的長(zhǎng).

【例13】（2018秋?杭州期中）如圖，Z\A8c中，AB=AC,?！甏怪逼椒?8,BE1AC,AFLBC,求NEFC的

度數(shù).

【變式13-1】（2019秋?沛縣期中）如圖，在AA8c中，AB=AC=2,NB=NC=40°,點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上

運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8、C重合），連接A。，作/4。￡=40。，DE交線(xiàn)段4C于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)NBOA=115°時(shí)，ZBAD=°,ZEDC=°,NDEC=°；點(diǎn)。從8向C

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，N8DA逐漸變（填“大”或“小”）；

（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD0△￡）（?￡,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式13-2】（2018秋?泗陽(yáng)縣期中）已知，在△48C中，點(diǎn)。在8c上，點(diǎn)E在8c的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且8。=

8ACE=CA.

（1）如圖1,若N8AC=90°,Z8=45°,試求/DAE的度數(shù)；

（2）若NBAC=90",N8=60°,則ND4E的度數(shù)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）；

（3）如圖2,若/8AC>90°,其余條件不變，探究ND4E與N84C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

BDBDC

圖1圖2

(1)如圖①，已知N84C=90°,ZBAD=60°,求NCDE的度數(shù).

(2)如圖①，已知/84C=90°,當(dāng)點(diǎn)D在8c(點(diǎn)8、C除外)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究NB4D與NCDE的數(shù)

量關(guān)系；

(3)如圖②，若N84CW90°,試探究N84。與NCDE的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)14等腰三角形中的新定義問(wèn)題】

【例14】(2019秋?椒江區(qū)校級(jí)期中)定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這

兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的“三階等腰線(xiàn)”.

(1)請(qǐng)你在圖1,圖2中用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為36°的等腰三角形的“三階等腰線(xiàn)”，并標(biāo)注每

個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).(若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種).

(2)如圖3,/XABC中，Z8=36°,八。和OE是aA8c的“三階等腰線(xiàn)”，點(diǎn)。在8c邊上，點(diǎn)￡在4?

邊上，且AD=8。，DE=CE,設(shè)NC=x。，試畫(huà)出示意圖，并求出x所有可能的值.

【變式14-1】(2019春?市北區(qū)期中)(本題畫(huà)圖時(shí)，直接用直尺畫(huà)出相關(guān)線(xiàn)段即可，不需尺規(guī)作圖，直接

標(biāo)注等腰三角形頂角度數(shù)即可，不需寫(xiě)出求解過(guò)程)

把一張頂角為36°的等腰三角形紙片折疊兩次，得到3個(gè)等腰三角形，你能辦到嗎？圖1是其中的一種

方法（虛線(xiàn)表示折痕）

定義：如果兩條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的三分線(xiàn)

（1）請(qǐng)你在圖1后面用另一種不同的方法畫(huà)出頂角為36°的等腰三角形的三分線(xiàn)

①標(biāo)注折痕（折痕用虛線(xiàn)表示）

②標(biāo)注得到的每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；

（若兩種方法分得的三角形形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）

（2）請(qǐng)你在圖2中用兩種不同的方法畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線(xiàn)，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形

頂角的度數(shù)（不必標(biāo)注折痕，若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）

圖1圖2

【變式14-2】（2019春?順德區(qū)期中）如昊一個(gè)三角形能被一條線(xiàn)段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱(chēng)這條線(xiàn)

段為這個(gè)三角形的特異線(xiàn)，稱(chēng)這個(gè)三角形為特異三角形.

（1）如圖1,△48C是等腰銳角三角形，AB=AC（AB>BC）,若N48C的角平分線(xiàn)8。交AC于點(diǎn)D,且

BD是△ABC的一條特異線(xiàn)，則N8DC=度；

（2）如圖2,ZX/IBC中，N8=2NC,線(xiàn)段4?的垂直平分線(xiàn)交4c于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)￡.求證：4￡是4

A8C的一條特異線(xiàn)；

（3）如圖3,已知△ABC是特異二角形，且N4=30°,N8為鈍角，求出所有可能的N8的度數(shù)（如有

需要，可在答題卡相應(yīng)位置另外畫(huà)圖）.

【變式14-3】（2018秋?濱湖區(qū)期中）【定義】數(shù)學(xué)課上，陳老師對(duì)我們說(shuō)，如果1條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分

成2個(gè)等腰三角形，那么這1條線(xiàn)段就稱(chēng)為這個(gè)三角形的“好線(xiàn)”，如果2條線(xiàn)段將一個(gè)三角形分成3

個(gè)等腰三角形，那么這2條線(xiàn)段就稱(chēng)為這個(gè)三角形的“好好線(xiàn)”.【理解】如圖①，在aABC中，N4

=36°,/C=72；請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫(huà)出它的“好線(xiàn)”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù).

如圖②，已知△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫(huà)出它的“好好線(xiàn)”，并標(biāo)

出所分得的等腰三角形底角的度數(shù).

【應(yīng)用】

（1）在△ABC中，已知一個(gè)內(nèi)角為42°,若它只有“好線(xiàn)”，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可

能值:

（2）在△A8C中，ZC=27°,4。和。E分別是△ABC的“好好線(xiàn)”，點(diǎn)。在8c邊上，點(diǎn)￡在48邊上,

且AD=DC,BE=DE,請(qǐng)你根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并求N8的度數(shù).

【考點(diǎn)15翻折變換中的角度問(wèn)題】

【例15】（2019春?東臺(tái)市校級(jí)期中）△A8C,直線(xiàn)DE交A8于D,交AC于￡,將沿DE折疊，使4

落在同一平面上的4處，ZA'的兩邊與B。、CE的夾角分別記為Nl,Z2.

（1）如圖①，當(dāng)4落在四邊形BDEC內(nèi)部時(shí)，探索N4與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式15-1】（2019春?淮陰區(qū)期中）如圖（1）,/XABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)。、￡分別是△A8C邊上

的兩點(diǎn)，

研究（1）：如果沿直線(xiàn)DE折疊，則N8DA'與N4的關(guān)系是.

研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想N8D“、ZCEA'和N4的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想N8O“、ZCEA,和N4的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

BBB

圖1圖2圖3

【變式15-2】（2019秋?李滄區(qū)期中）圖形在折登過(guò)程中會(huì)形成相等的邊和相等的角，下面是同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)

課上所做的三角形、四邊形折疊實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程解決問(wèn)題:

問(wèn)題（一）

如圖①，一張三角形48c紙片，點(diǎn)0、￡分別是8c邊上兩點(diǎn).

研究（1）：如果沿直線(xiàn)DE折疊，使4點(diǎn)落在CE上，則N8M'和NA的數(shù)量關(guān)系是;

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想N8D1、NCEA'和NA的數(shù)量關(guān)系是；

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想N8D4'、NCE4和N4的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題（二）

研究（4）：將問(wèn)題（一）推廣，如圖④，將四邊形48co紙片沿EF折疊，使點(diǎn)48落在四邊形EFCD

的內(nèi)部時(shí)，N1+N2與NA、N8之間的數(shù)量關(guān)系是.（直接寫(xiě)出結(jié)論）

【變式15-3】（2019春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把△48C沿DE折疊，使點(diǎn)4落在點(diǎn)A'處,

請(qǐng)你判斷N1+N2與NA有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由

思考（2）如圖2,8/平分乙48C,Q平分NAC8,把△48C折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)/重合，若Nl+N2=100°,

求/8/C的度數(shù)；

拓展（3）如圖3,在銳角△48C中，BF_L4;于點(diǎn)F,CG_LA8于點(diǎn)G,BF、CG交于點(diǎn)H,把△48C折疊

使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索N8HC與N1+N2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【考點(diǎn)16三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

【例16】（2019秋?全椒縣期中）已知△48C中，AC=BC,/C=120°,點(diǎn)D為48邊的中點(diǎn)，ZEDF=60

°,DE、DF分別交AC、8c于E、F點(diǎn).

（1）如圖1,若EF〃48.求證：DE=DF.

（2）如圖2,若EF與48不平行.則問(wèn)題（1）的結(jié)論是否成立？說(shuō)明理由.

【變式16-1】（2018秋?開(kāi)州區(qū)期中）在AABC中，4B=4C,點(diǎn)。為射線(xiàn)CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），

以AD為一邊在4。的右側(cè)作△4DE,使4D=4EZDAE=ZBAC,過(guò)點(diǎn)E作EF〃8C,交直線(xiàn)4c于點(diǎn)F,

連接CE.

（1）如圖①，若N84C=60°,則按邊分類(lèi)：Z\CEF是三角形；

（2）若N8AC<60°.

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段CB上移動(dòng)時(shí)，判斷的形狀并證明；

②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，ACEF是什么三角形？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出相應(yīng)的圖形并直接寫(xiě)出

結(jié)論（不必證明）.

AA

【變式16-2】（2018秋?十堰期中）在△48C中，AB=AC,D是直線(xiàn)8c上一點(diǎn)，以4。為一條邊在AD的右

側(cè)作△4DE,使AE=A。，ZDAE=ZBAC,連接CE.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在8c延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，若N8AC=25°,則NOCE=.

（2）設(shè)N8AC=a,ZDC￡=p.

①當(dāng)點(diǎn)。在8c延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線(xiàn)8c上（不與8,C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)

備用圖備用圖

【變式16-3】（2019秋?洪山區(qū)期中）（1）如圖1,己知△A8C中，ZBAC=9Q°,AB=AC,直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A,8O_L直線(xiàn)m,CE_L直線(xiàn)m,垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、4、E二點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有N8D4

=^AEC=ZBAC,求證：DE=BD+CE

（3）拓展與應(yīng)用：如圖3,D、E是D'4E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），

點(diǎn)F為N8AC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且△刖「和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若NBDA=NAEC=N

BAC,求證：為等邊三角形

圖3專(zhuān)題06八年級(jí)數(shù)學(xué)上

冊(cè)期中考試重難點(diǎn)題型【舉一反三】

【人教版】

【知識(shí)點(diǎn)a三角形

1.三角形：由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足間的線(xiàn)段叫做三角形的高.

鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形上，

銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，三條高線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的垂心

4.中線(xiàn)：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn).（三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫重心）

5.角平分線(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形

的角平分線(xiàn).（三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊距離相等，三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做內(nèi)心

6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.

（例如自行車(chē)的三角形車(chē)架利用了三角形具有穩(wěn)定性）

7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的甭叫做它的內(nèi)角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)帶線(xiàn).

11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質(zhì)：

⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180。

⑵三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不用鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

⑶多邊形內(nèi)角和公式：〃邊形的內(nèi)角和等于（〃-2）?180。（4）多邊形的外角和：多邊形的外角和為360。.

（5）多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)：①?gòu)摹ㄟ呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（〃-3）條對(duì)角線(xiàn)，把多邊形分成（〃-2）個(gè)三

角形.

②〃邊形共有幽心條對(duì)角線(xiàn).

2

【知識(shí)點(diǎn)2】全等三角形

1.基本定義：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

⑶對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

⑷對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.

⑸對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

2.基本性質(zhì)：

⑴三角形的穩(wěn)定性：三邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑵邊角邊（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑶角邊角（AS4）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑷角角邊（A4S）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

⑸斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

4.角平分線(xiàn)：

⑴畫(huà)法：（2）性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.

（三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊距離相等）

【知識(shí)點(diǎn)3】軸對(duì)稱(chēng)

1.基本概念：

⑴軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)

圖形.

⑵兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)折段，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)

圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).

⑶線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰

所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質(zhì)：

⑴對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：

①不管是軸對(duì)稱(chēng)圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸都是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平

分線(xiàn).

②對(duì)稱(chēng)的圖形都全等.

⑵線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：

①線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

②與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.

⑷等腰三角形的性質(zhì):

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等（等邊對(duì)等角）.

③等腰三角形的頂角角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)，底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是三線(xiàn)合一（1條）.

⑸等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60。

③等邊三角形每條邊上都存在三線(xiàn)合一.

④等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是三線(xiàn)合一（3條）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）.

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)：

⑵做已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：

⑶作對(duì)稱(chēng)軸：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

⑷作已知圖形關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形：

⑸在直線(xiàn)上做一點(diǎn)，使它到該直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.

【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】

【例1】已知△ABC的三邊長(zhǎng)為小b,c,化簡(jiǎn)|a+〃-c|-|b-a-c|的結(jié)果是＜）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷出。+力-c與“。的符號(hào)，再把要求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得出

答案.

【答案】解：?二△a次？的三邊長(zhǎng)分別是〃、氏c,

a+b>cfh-?<c,

?\a+b-c>0,b-a-c<0,

/.\a+b-c\-\b-a-c\=a+b-c-(-b+a+c)=a+b-c+b-a-c=2(b-c)；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形的三邊關(guān)系、絕對(duì)值、整式的加減，關(guān)鍵

是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出"b-c與，h-a-c的符號(hào).

【變式1-1】設(shè)三角形三邊之長(zhǎng)分別為3,8,1-2小則。的取值范圍為()

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.-2<d<5D.aV?5或a>2

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊列出不等式組求出其解即

可.

【答案】解：由題意，得

8-3<1-2a<8+3,

即5<1-2a<ll,

解得：-5<a<-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形三邊關(guān)系建立不等式組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，不等式組的解法的運(yùn)用，解

答時(shí)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系建立不等式組是關(guān)鍵.

【變式1-2］如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3,則8。邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍是()

A.2<AD<SB.0<AD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【分析】先延長(zhǎng)4。到￡且AD=DE,并連接BE,由于N4OC=NBQ￡,AD=DE,利用S4S易證△

ADC^AEDB,從而可得AC=8E,在△ABE中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得2VAEV8,從而易求

1VAOV4.

【答案】解：延長(zhǎng)AO到￡使A￡>=Z)￡,連接BE,

a：AD=DE,ZADC=ZBDE,BD=DC,

AAADC^AEDB(SAS)

：,BE=AC=3,

在△AE8中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

???1VAOV4,

，/的取值范圍是1V/V4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【變式1-3】在等腰△ABC中，AB=AC,其周長(zhǎng)為20cvn,則AB邊的取值范圍是()

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<\0cm

C.4cm<AB<ScmD.4cm<AB<\0cm

【分析】設(shè)A5=AC=JG則BC=20-2X,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

【答案】解：:在等腰△4BC中，AB=AC,其周長(zhǎng)為20CM,

??,設(shè)A6=AC=xcm,貝ij8C=(20-2A)cm,

?f2x>20-2x

20-2x>0'

解得5cm<x<10cm.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次不等式組，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2角平分線(xiàn)與多邊形內(nèi)角和】

【例2】如圖，在五邊形A8CQE中，NA+N8+NE=a,DP,CP分別平分NEDC,/BCD,則NP的度數(shù)

是()

A.90°+豈B.-90°C.D.5400-Xa

2222

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540。，由NA+NB+NE=a,可求N8CD+N8E的度數(shù)，再根據(jù)角

平分線(xiàn)的定義可得NPDC與NPCO的角度和，進(jìn)一步求得NP的度數(shù).

【答案】解：???五邊形的內(nèi)角和等于540°,NA+N5+NE=a,

???/BCZHN以%=5400-a,

?NBCD、NCDE的平分線(xiàn)在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O,

：?/PDC+/PCD=L(/BCD+NCDE)=270°-La,

22

/.ZP=180°-(270°=工-90。，

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線(xiàn)的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵.注意整體思

想的運(yùn)用.

【變式2-1］如圖，在四邊形438中，N0A8的角平分線(xiàn)與NA4C的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P,且NZHNC

=210°,則NP=()

A.10°B.15°C.30°D.40,

【分析】利用四邊形內(nèi)角和是360°可以求得ND4B+NABC=150°.然后由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角

的定義求得的度數(shù)，所以根據(jù)△A8P的內(nèi)角和定理求得NP的度數(shù)即可.

【答案】解：如圖，VZD+ZC=210°,ZDAB+ZABC+ZC+ZD=36OC,

：.^DAB+ZABC=\50°.

又???NOAB的角平分線(xiàn)與NA8C的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P,

：,^PAB+^ABP=1-ZDAB+ZABC+-(180°-NABC)=90°+—(ZDAB+ZABC)=165°,

222

AZP=180°-(N必3+NA8P)=15°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角與外角.熟知“四邊形的內(nèi)角和是360°”是解

題的關(guān)鍵.

【變式2-2］如圖，在四邊形ABCO中，/A+NO=a,NABC的平分線(xiàn)與NBC。的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,則/

+工

C.90°D.360°-a

2

【分析】先求出NA8C+NBCO的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求解/P的度

數(shù).

【答案】解：???四邊形A8CQ中，NABC+N8CQ=360°-(N4+NO)=360°-a,

?.?P8和尸。分別為NA8C、N8c。的平分線(xiàn)，

：?4PBC+/PCB=L(NABC+NBCD)=-1(360°-a)=180°■豈，

222

則/P=1800-QPBC+/PCB)=180°-(180°?L)=1.