2024初中數學競賽真題訓練（學生版+解析版）（共6個）

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【全國初中數學競賽】

專題01實數競賽綜合-50題真題專項訓練

一、單選題

1.（2023?全國?九年級競賽）已知〃是正整數，〃有18個正約數，n<500,設符合條件的〃恰有x個，那

么（）.

A.34x44B.5<x<6C.x>7D.x<2

2.（2023?全國?九年級競賽）若p為質數，p'+3仍為質數，則7^+33的末位數字是（）.

A.5B.7C.9D.不能確定

3.（2023?全國?九年級競賽）己知a為整數，|4/-I2a-27|是質數，則a的所有可能值的和為（）.

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

4.（2023?全國?九年級競賽）大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出乃的值在3.1415926和

3.1415927之間，成為世界上第一個把左的值精確到7位小數的人，現(xiàn)代人利用計算機已經將燈的值計算到

了小數點后515億位以上.這些數排列既無序又無規(guī)律，但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質數,

31也是質數，但314不是質數，那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中，質數是

5.（2023?全國?九年級競賽）在算式/x（8+C）=110+C中，A,B,C是三個互不相等的質數，那么5=

6.（2023?全國?九年級競賽）立方體的每一個面都寫著一個自然數，并且相對兩個面所寫兩個數之和相等，

10,12,15是相鄰三面上的數，若10的對面寫的是質數”，12的對面寫的是質數415的對面寫的是質數

c,貝!]a2+b2+c2-ab-bc-ca的值等于.

7.（2023?全國?九年級競賽）已知P，%P4+1都是質數，且P-4>40,那么滿足上述條件的最小質數。=

q=.

8.（2023?全國?九年級競賽）若a,h,。是1998的三個不同的質因數，且a<b<c,則（b+c）"=.

9.（2023?全國?九年級競賽）已知a是質數，6是奇數，且/+/）=2001,則q+b=.

10.（2023?全國?九年級競賽）若p和夕為質數，且5p+3q=91,則。=,q=.

11.（2023?全國?九年級競賽）若y,z均為質數，x=?z,且％,y,z滿足則1998x+5y+3z的值

xyz

為.

12.（2023?全國?九年級競賽）如果4,B,C是三個質數，而且Z-8=8-C=14,那么4,B,C組成的數

組（4民C）共有組.

13.（2023?全國?九年級競賽）若正整數x,y滿足2004.丫=15人則x+y的最小值是.

14.（2023?全國?九年級競賽）設M是不能表示為三個互不相等的合數之和的最大整數，則機=.

15.（2023?全國?九年級競賽）若兩個質數p,g滿足3P2+5q=517,則P+4=.

16.（2023?全國?九年級競賽）已知x,m,〃為正整數，"=5,/+加與-均為質數，則x的可能取

值的個數是.

17.（2023?全國?九年級競賽）王老師在黑板上寫了若干個連續(xù)自然數1,2,3……，然后擦去其中的三個數，

Q

已知擦去的三個數中有兩個質數，如果剩下數的平均數是19],那么王老師在黑板上共寫了個數，

擦去的兩個質數的和最大是.

18.（2023?全國?九年級競賽）萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同.如果個位數字等于前兩個數

字的和，那么這個數是.

19.（2023?全國?九年級競賽）某個質數，當它分別加上6,8,12,14之后還是質數，那么這個質數是.

20.（2023?全國?九年級競賽）將99分拆成19個質數之和，要求最大的質數盡可能大，那么這個最大質數

是.

21.（2023?全國?九年級競賽）小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼有四位數字，同時，

她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為礪，其中標b,而且%和豆都是質數，具有這種形式的

數共有個.

2

22.（2023?全國?九年級競賽）有1997個奇數，它們的和等于它們的乘積，其中只有三個數不是1,而是三

個不同的質數，那么，這樣的三個質數可以是—，，.

23.（2023?全國?九年級競賽）a,b,c都是質數，并且a+6=33,6+c=44,c+d=66,那么d=.

24.（2023?全國?九年級競賽）試將20表示成一些合數的和，這些合數的積最大是.

25.（2023?全國?九年級競賽）有一個自然數，它有4個不同的質因數，且有32個約數，其中一個質因數是

兩位數，當這個質因數盡可能大時，這個自然數最小是.

26.（2023?全國?九年級競賽）有10個質數17,19,31,41,53,71,73,79,101,103,其中任意兩個質

數都能組成一個真分數，這些真分數中，最小的是,最大的是.

27.（2023?全國?九年級競賽）a,b,c都是質數，如果（a+b）x（b+c）=342,那么6=.

28.（2023?全國?九年級競賽）所有分母小于30并且分母是質數的真分數相加，和是.

29.（2023?全國?九年級競賽）甲、乙兩人歲數之和是一個兩位數，這個兩位數是一個質數，這個質數的數

字之和是13,甲比乙也剛好大13歲，那么甲歲，乙歲.

三、解答題

30.（2023?全國?九年級競賽）有三個連續(xù)的自然數，它們的平均數分別能被三個不同的質數整除，要使它

們的和最小，這三個自然數分別是多少？

31.（2023?全國?九年級競賽）一個數是5個2,3個3,2個5,1個7的連乘積，這個數有許多約數是兩位

數，則這些兩位的約數中，最大的是幾？

32.（2023?全國?九年級競賽）一個六位數麗茄能同時被8和9整除已知a+6=c,求c的最小值.

33.（2023?全國?九年級競賽）能同時被6,7,8,9整除的五位數有多少個？

34.（2023?全國?九年級競賽）已知正整數p,g都是質數，并且7P+g與p”l1也都是質數，試求的

值.

35.（2023?全國?九年級競賽）p是質數，設g=4〃+p&+4也是質數，試確定q的值.

36.（2023?全國?九年級競賽）把20以內的質數分別填入口中（每個質數只用一次）：

N=L□J+L□J+L□J+忖□+L□J+L□I+Ln1,使/是整數，則/最大是多少？

37.（2023?全國?九年級競賽）將1999表示為兩個質數之和：1999=匚|+匚在□中填入質數，共有多少種

表示法？

3

38.（2023?全國?九年級競賽）（1）如果a是小于20的質數，且上可化為一個循環(huán)小數，那么。的取值有哪

幾個？

（2）如果。是小于20的合數，且！可化為一個循環(huán)小數，那么。的取值有哪幾個？

a

39.（2023?全國?九年級競賽）哥德巴赫猜想是說：每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和，問：168

是哪兩個兩位數的質數之和，并且其中一個的個位數字是1?

40.（2023?全國?九年級競賽）將兩個不同的兩位數的質數接起來可以得到一個四位數，比如由17,19可得

到一個四位數1719；由19,17也可得到一個四位數1917.已知這樣的四位數能被這兩個兩位數的質數的

平均數所整除，試寫出所有這樣的四位數.

41.（2023?全國?九年級競賽）4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油，每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記

錄千克數如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的

兩瓶內有多少油.

42.（2023?全國?九年級競賽）在1,0交替出現(xiàn)且以1打頭和結尾的所有整數（即101,10101,1010101,…）

中有多少個質數？

43.（2023?全國?九年級競賽）設a,b,c,d是自然數，并且/+〃+解，證明：4一定是合數.

44.（2023?全國?九年級競賽）正整數a,b,c,d滿足等式加明求證：％=0的+產8+/8+〃98是合數.

45.（2023?全國?九年級競賽）若。為自然數，則/-3”2+9是質數還是合數？給出你的證明.

46.（2023?全國?九年級競賽）請你找出6個互異的自然數，使得它們同時滿足：

（1）6個數中任兩個都互質；

（2）6個數任取2個，3個，4個，5個，6個數之和都是合數.

并簡述你選擇的數合乎條件的理由.

47.（2023?全國?九年級競賽）自然數〃使得數2〃+1與加+1均為平方數，能否同時使得數5〃+3是質數？

48.（2023?全國?九年級競賽）己知p為大于3的質數.證明：p的平方被24除的余數為1.

49.（2023?全國?九年級競賽）寫出10個連續(xù)自然數，它們個個都是合數，求這10個數.

50.（2023?全國?九年級競賽）有2,3,4,5,6,7,8,9,10和11共10個自然數：

（1）從這10個數中選出7個數，使這7個數中的任何3個數都不會兩兩互質；

（2）從這10個數中最多可以選出多少個兩兩互質的數？

4

【全國初中數學競賽】

專題01實數競賽綜合-50題真題專項訓練

一、單選題

1.(2023?全國?九年級競賽)己知〃是正整數，〃有18個正約數，n<500,設符合條件的〃恰有x個，那

么().

A.3<x<4B.5<x<6C.x>7D.x<2

【答案】C

【詳解】理由：設〃的標準分解式為"=…。J(口,。2,…，外為互異質數，/，…，％為正整數)，

則"的約數個數為(q+i)Q+i)…(%+i).

令(%+1)(%+1)…(4+1)=08=2x3-(*).

則顯然％43.

情形(i)：4=1,此時記〃=p",p為質數,a為正整數，則a+1=18,a=17,故〃=p",〃的最小值為2“>500.

情形(ii)：k=2,此時不妨記〃=pZ〃，p,q為互異質數，a,b為正整數，a<b,則(a+1)(6+1)=18,

易得(a,b)=(1,8)或(2,5),故”=p■或°?八

①若〃=則〃的最小值為3x2*>500.

②若〃=則當/2時，〃的最小值為22x3,>500；當4=2時，〃的最小值為32x2‘=288符合題意,

次小值為5?x2$>500.

情形(iii)：k=3,此時不妨記〃=2734國/為互異質數，a,b,c為正整數，a<b<c,WO

(“+l)(6+l)(c+l)=18,易得(a,b,c)=(1,2,2),故〃=pg2/又不妨令4VL

①若4K2,3,則〃的最小值為2x52x7?>500.

②若《=3,則〃的最小值為2x3?x5?=450,符合題意,次小值為2x3?x7,>500.

③若q=2,易見此時符合題意的〃有5個值:5X22X32=180,7X22X32=252.

11X22x32=396,13x22x32=468,3x22x52=30C(iiB：17x22x32>500,7x22x52>500,3x22x72>500.

綜上所述，可知符合條件的〃共有7個，x=7.

故選：C

5

2.（2023?全國?九年級競賽）若p為質數，p^+3仍為質數，則夕33+33的末位數字是（）.

A.5B.7C.9D.不能確定

【答案】A

【詳解】由"+3為質數可知p為偶數，又p為質數，則p=2.

故p”+33=233+33=（2）X2+33.

因為（2"丫的末位數字為6,故（2"）”2的末位數字為2.因此，p”+33的末位數字為5.

3.（2023?全國?九年級競賽）已知。為整數，|4/-12a-27|是質數，則。的所有可能值的和為（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【詳解】由題意知\4a2-\2a-21\=\（2a+3）（2。-9）|為質數，

故2。+3=±1或2"9=±1,

即a=-1,-2或a=5,4.

因此，a的所有可能值的和為6.

二、填空題

4.（2023?全國?九年級競賽）大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出萬的值在3.1415926和

3.1415927之間，成為世界上第一個把萬的值精確到7位小數的人，現(xiàn)代人利用計算機已經將萬的值計算到

了小數點后515億位以上.這些數排列既無序又無規(guī)律，但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質數,

31也是質數,但314不是質數,那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中，質數是

【答案】314159

【詳解】3141,31415,3141592,31415926,31415927依次能被3,5,2,2,31整除.所以314159是質

數.

5.（2023?全國?九年級競賽）在算式/x（8+C）=110+C中，力，8,C是三個互不相等的質數，那么8=.

【答案】2

【詳解】如果/,B,C都是奇數，那么（8+C）是偶數，從而Zx（8+C）是偶數，而（U0+C）是奇數，矛盾,

所以/,B,C中有偶數.質數中只有2是偶數，如果4=2或C=2,那么等號兩邊奇偶性不同，矛盾，所

6

以只有8=2.

6.（2023?全國?九年級競賽）立方體的每一個面都寫著一個自然數，并且相對兩個面所寫兩個數之和相等，

10,12,15是相鄰三面上的數，若10的對面寫的是質數a,12的對面寫的是質數6,15的對面寫的是質數

c>貝!Ia2+b2+c2-ab-be-ca的值等于.

【答案】19.

【詳解】易知a=7,b=5,c=2.

7.（2023?全國?九年級競賽）己知0,見網+1都是質數，且。-夕>40,那么滿足上述條件的最小質數2=

q=.

【答案】432.

【詳解】9=2,再考慮p-q>40.逐?嘗試.

8.（2023?全國?九年級競賽）若a,b,c是1998的三個不同的質因數，S.a<b<c,則（6+c）"=.

【答案】1600.

【詳解】1998=2x33x37>所以。=2,6=3,c=37.

9.（2023?全國?九年級競賽）已知a是質數，6是奇數，且/+/,=2001,則a+b=.

【答案】1999.

【詳解】a=2,6=1997.

10.（2023?全國?九年級競賽）若p和g為質數，且5p+3q=9I,則。=,<7=.

【答案】P=17q=2.

【詳解】因91為奇數，則p,q不可能都為奇數，其中有且只有?個是偶數，而偶質數2是唯一的，若p=2,

則g=27,與q為質數矛盾，故。=17,夕=2.

11.（2023?全國?九年級競賽）若y,z均為質數，*=廣，且-六z滿足1=則1998x+5y+3z的值

xyz

為.

【答案】20005.

【詳解】由已知可知yz+xz=3砂.而》=產，則x+xz=3xy,乂XKO,即z+1=3y.顯然z#2，則z=5,y=2

即x=10,故1998》+5y+3z=20005.

12.（2023?全國?九年級競賽）如果4B,C是三個質數，而且N-8=8-C=14,那么4,B,C組成的數

組（48,C）共有組.

【答案】1.

【詳解】因為4-8=8-C=14,—C=28.于是4—都不是3的倍數，從而4B,C除

7

以3的余數都不相同.Z,8,C中必有一個是3的倍數，但3的倍數中只有3才是質數，故C=3,8=17,4=31,

均為質數，這是唯一解，亦即符合題意的數組（48,C）共有1組.

13.（2023?全國?九年級競賽）若正整數x,y滿足2004K=15人則x+y的最小值是.

【答案】673.

【詳解】2004x=15y,即668x=5y.又5與668互質，所以x的最小值是5,y的最小值是668.因此x+V

的最小值為5+668=673.

14.（2023?全國?九年級競賽）設掰是不能表示為三個互不相等的合數之和的最大整數，則〃?=.

【答案】17.

【詳解】最小三個合數為4,6和8,4+6+8=18.故17是不能表示為三個互不相等的合數之和的整數.

當，18時，若加=2上>18,貝IJ/M=4+6+2x（4-5）：

若〃?=2左則=4+9+2（笈-7）.

因此，任意大于18的整數均可表示為三個互不相等的合數之和.故機=17.

15.（2023?全國?九年級競賽）若兩個質數p,夕滿足3P2+5^=517,則P+g=.

【答案】15或103

【詳解】若p,q均為奇數，則3P?+5q為偶數，與已知矛盾.因此，p,q中至少有一個為偶數.

因p,g均為質數，所以，2=2或4=2.

當夕=2時，3x22+5g=517nq=101（質數）.

此時，p+q=2+101=103.

當4=2時、3P2+5*2=517np=13（質數）.

此時，p+q=13+2=15.

16.（2023?全國?九年級競賽）已知x,m,"為正整數，機+〃=5,x?+m與卜?均為質數，則x的可能取

值的個數是.

【答案】2

【詳解】Eld題設，/n可取1,2.3,4.相應地，”可為4,3.2?1.并且m與〃一奇一偶.

故X?+"2與,一奇一偶.

又V+m與卜均為質數,

8

因此，f+切=2或|/_〃|=2,

解得x=l,"?=l或f-"=±2.

當X=1,07=1時，〃=4.

|x2-?|=3.

所以，X=I符合條件.

當*2-”=2時，/=〃+2€{3,4,5,6},

貝!]x=2.

此時，n=2,m=3,x2+m=7.

所以，x=2符合條件.

當公-〃=-2時，x2=n-2e{-l,0,l,2},

則x=l.

當x=1時，?=3,m=2,x'+m=3-是質數.

所以，x=l符合條件.

因此，x的可能取值有2個.

17.（2023?全國?九年級競賽）王老師在黑板上寫了若干個連續(xù)自然數1,2,3……，然后擦去其中的三個數,

Q

己知擦去的三個數中有兩個質數，如果剩下數的平均數是191,那么王老師在黑板上共寫了個數，

擦去的兩個質數的和最大是.

【答案】3960,

【詳解】剩下的數的個數應是9的倍數.因為1?39的平均數是20,所以剩下的數的個數應不大于39.

不大于39的9的倍數的數最大是36,即剩下36個數，推知王老師共寫了36+3=39個數.

Q

19-X36=716,

9

1+2+3+???+39=780,

780-716=64.

擦去的三個數之和是64,其中和小于64的兩個質數最大是29和31,或37和23.

故共寫了39個數，擦去兩個質數的和最大是60.

18.（2023?全國?九年級競賽）萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同.如果個位數字等于前兩個數

字的和，那么這個數是.

【答案】167,257,347或527.

9

【詳解】因為這個數是質數，所以個位數不可能取0，1,2,4,6,8,也不可能是5.如果末位數字是3

或9,那么數字和就是3或9的兩倍，這就不是質數了.所以個位數只能是7,這個三位質數可以是167,

257,347或527中的任一個.

19.（2023?全國?九年級競賽）某個質數，當它分別加上6,8,12,14之后還是質數，那么這個質數是.

【答案】5

【詳解】滿足條件的最小質數是5.

下面以整數中被5除所得余數分為五類,即5人,5左+1,5無+2,5左+3,5上+4“為整數）,其中以類型的數中,

除5外，其余均為合數；

若質數M為%+1類型，則M+14=5左+1+14=5（4+3）為合數；

若質數M為%+2類型，則"+8=5左+2+8=5（%+2）為合數：

若質數M為5+3類型,則"+12=5上+3+12=5（"3）為合數；

若質數M為%+4類型，則”+6=5%+4+6=5（左+2）為合數.

綜上所述：只有質數5分別加上6,8,12,14之后為11,13,17,19,它們均為質數，其他四類數不滿足

條件.

20.（2023?全國?九年級競賽）將99分拆成19個質數之和，要求最大的質數盡可能大，那么這個最大質數

是.

【答案】61

【詳解】因為最小的質數是2,所求最大質數應小于99-2x18=63,小于63的最大質數是61,所求最大

質數是61,而99可分拆成16個2,2個3和1個61的和.

21.（2023?全國?九年級競賽）小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼有四位數字，同時，

她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為礪，其中/8,而且％和瓦都是質數，具有這種形式的

數共有個.

【答案】8

【詳解】若兩位數不與而均為質數，則。，6均為奇數且不為5,滿足題意的數有下面8個：

1331,3113,1771,7117,7337,3773,9779,7997.

22.（2023?全國?九年級競賽）有1997個奇數，它們的和等于它們的乘積，其中只有三個數不是1,而是三

個不同的質數，那么，這樣的三個質數可以是,,.

【答案】5759

【詳解】設。，6,c為三個不同的質數，根據題意，1994+a+6+c=a0c.

取a=3,b=5,得1994+3+5+c=15c,解出c=143不是質數；

10

取。=3,6=7,得1994+3+7+c=21c,解出c=y-不是整數;

取。=5,6=7,得1994+5+7+c=35c,解出c=59.

故5,7,59是滿足題意的三個質數.

23.（2023?全國?九年級競賽）a,b,c都是質數，并且a+6=33,6+c=44,c+d=66,那么"=.

【答案】53

【詳解】質數中只有2是偶數，由條件易知，a=2,所以b=33-a=31,c=44-b=13,d=66-c=53.

24.（2023?全國?九年級競賽）試將20表示成一些合數的和，這些合數的積最大是.

【答案】1024

【詳解】把一個數分拆成幾個數的和，再把這些加數相乘，當分拆的加數盡可能多地為3時，此時的乘積

為最大.

此題是把20表示成一些合數的和，只能是把20分拆成與3最接近的數4.

則20=4+4+4+4+4,而4x4x4x4x4=1024,此時為最大.

25.（2023?全國?九年級競賽）有一個自然數，它有4個不同的質因數，且有32個約數，其中一個質因數是

兩位數，當這個質因數盡可能大時，這個自然數最小是.

【答案】11640

【詳解】最大的兩位質數是97,而題中這個自然數有32個約數，它必形如p3xgxrx97,其中p,q,r為

不同的質數.

當。=2,4=3,廠=5時，這個自然數最小，是23x3x5x97=11640.

26.（2023?全國?九年級競賽）有10個質數17,19,31,41,53,71,73,79,101,103,其中任意兩個質

數都能組成一個真分數，這些真分數中，最小的是,最大的是.

17101

【答案】而而

【詳解】要使分數值最小，分子、分母的差應盡可能大；要使分數值最大，分子、分母的差應盡可能小.

但在（17,19）,（71,73）,（101,103）這三組差相同的數組成的分數中，貴最大，益最小.

27.（2023?全國?九年級競賽）a,b,c都是質數，如果（a+6）x3+c）=342,那么6=.

【答案】7

【詳解】如果a,b,c都是奇數，那么a+6與6+c都是偶數，它們的乘積應是4的倍數，不可能是342,

所以a,b,c中必有質數2.如果b=2,則a+6與b+c都是奇數，它們的乘積不可能是342,所以“，。中

有一個是2.

II

因為342=2x3x3x19

=(3x3)x(2xl9)

=9x38

=(2+7)(7+31),

所以b=7.

28.（2023?全國?九年級競賽）所有分母小于30并且分母是質數的真分數相加，和是

【答案】5苗

1121234123456197

【詳解】所有這些真分數分別是亍彳不丁丁父不，'^,7'，'亍…五?它們的和是

2-13-15-17-111-113-117-119-123-129-1

----+-----+-----+-----+-+----------++----------4-+------

2222222222

=-+1+2+3+5+6+8+9+11+14

2

=59-.

29.（2023?全國?九年級競賽）甲、乙兩人歲數之和是一個兩位數，這個兩位數是一個質數，這個質數的數

字之和是13,甲比乙也剛好大13歲，那么甲歲，乙歲.

【答案】4027

【詳解】兩位的質數，個位數字只能是1,3,7,9,但1,3都不合題意，因為1+9或3+9都達不到13,

如果個位數字是9,那么十位數字是13-9=4,但49不是質數，因此，個位數字只能是7,十位數字是13-7=6,

即甲、乙兩人歲數之和是67,甲是坦士U=40歲，乙是40-13=27歲.

2

三、解答題

30.（2023?全國?九年級競賽）有三個連續(xù)的自然數，它們的平均數分別能被三個不同的質數整除，要使它

們的和最小，這三個自然數分別是多少？

【答案】29,30,31.

【詳解】解：這三個數的平均數就是當中一個數，據題意，當中一個數為2x3x5=30,即這三個數為29,

30,31.

31.（2023?全國?九年級競賽）一個數是5個2,3個3,2個5,1個7的連乘積，這個數有許多約數是兩位

數，則這些兩位的約數中，最大的是幾？

【答案】96.

12

【詳解】我們可以將兩位數從大到小排列成99,98,97,96,95,...

看一看其中誰是第一個所說數的約數.

99=11x9,98=7x7x2,97是質數,都不是所說數的約數.

96=3x2$是這個數的約數.

所求的數是96.

32.（2023?全國?九年級競賽）?-個六位數3434人能同時被8和9整除已知a+6=c,求c的最小值.

【答案】最小值4.

【詳解】由〃=3434ab是9的倍數,知3+4+3+4+a+6=14+〃+6是9的倍數，故a+b=4或13；由〃是

8的倍數，知前是8的倍數，從而不是8的倍數.

易見。=4,6=0符合條件，且使。+6=c取最小值4.

33.（2023?全國?九年級競賽）能同時被6,7,8,9整除的五位數有多少個？

【答案】179個

【詳解】6,7,8,9的最小公倍數是7x8x9=504.

504個連續(xù)的數中，恰有一個被504整除.

從10000到9999,共90000個五位數，因為90000:504=178.5…，所以其中被504整除的數，每兩個相差

504,在數軸上共形成178個區(qū)間，即被504整除的數（區(qū)間的端點）有179個.因此，能同時被6,7,8,

9整除的五位數有179個.

34.（2023?全國?九年級競賽）已知正整數p,q都是質數，并且7p+g與網+11也都是質數，試求/，+/的

值.

【答案】17

【詳解】解：因為7p+q>2,且7p+q是質數，所以7p+q必為正奇數.

因此，p,q中必有一個偶質數2.

（i）若P=2,此時7。+夕=14+夕及2q+ll均為質數.

設4=3上+1皆為非負整數）,則"14=3左+15=3（上+5）,它不是質數；

設q=3A+2（人為非負整數），則2g+ll=6左+15=3（2左+5）,它不是質數.

因此，q應是弘型的質數，當然只能9=33.

（ii）若勺=2,此時7p+g=7p+2與2p+ll均為質數.

設p=3左+11為非負整數），則7p+2=2整+9=3（74+3）,它不是質數.

設p=3/+2*為非負整數），則2。+11=6—+15=3（2?+5）,它不是質數.

13

因此，p應為非型的質數，亦只能是P=3.

綜合（i）、（ii）知，p=2,g=3或p=3,g=2,所以p“+/=3?+2^=17.

35.（2023?全國?九年級競賽）p是質數，設g=4，+p4+4也是質數，試確定q的值.

【答案】149

【詳解】解：因為4被3除余1,所以4。被3除余1,因此，4〃+4被3除余2.

如果則質數。不被3整除，??被3除余1,推知/被3除余1.

所以《=4。+04+4被3整除.而g>3,所以此時g為合數，與g是質數的條件不符，因此，只能p=3.

當加P=3時，^=43+34+4=149.經檢驗，149確是質數，合乎要求.

36.（2023?全國?九年級競賽）把20以內的質數分別填入口中（每個質數只用一次）：

/=口+口+□口+上口+口口+口+口H,使4是整數，則/最大是多少？

【答案】10

,=2+3+5+]1+13+17+19

【詳解】解:=。

7

37.（2023?全國?九年級競賽）將1999表示為兩個質數之和：1999=口+匚在□中填入質數，共有多少種

表示法?

【答案】一種

【詳解】解：根據奇偶數的性質：奇數=奇數+偶數.

而在所有的偶數中只有2是質數，所以兩個口中必有一個是質數2,另一個質數是1997,只有這一種填法.

所以只有一種填法.

38.（2023?全國?九年級競賽）（1）如果a是小于20的質數，且,可化為一個循環(huán)小數，那么a的取值有哪

a

幾個？

（2）如果a是小于20的合數，且！可化為一個循環(huán)小數，那么。的取值有哪幾個？

a

【答案】（1）3,7,11,13,17,19；（2）6,9,12,14,15,18

【詳解】解：（1）小于20的質數有：2,3,5,7,II,13,17,19.除了2和5以外，其余各數的倒數均

可化為循環(huán)小數,故a可取3,7,11,13,17,19.

（2）由（1）知，只要合數a的因數中含有2或5以外的質數，則該數的倒數可化為循環(huán)小數，故a可取6,

9,12,14,15,18.

14

39.(2023?全國?九年級競賽)哥德巴赫猜想是說：每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和，問：168

是哪兩個兩位數的質數之和，并且其中一個的個位數字是1?

【答案】71和97

【詳解】解：個位數字是1的兩位質數有11,31,41,61,71.

其中168-11=157,168-31=137,168-41=127,168-61=107,都不是兩位數，只有168-71=97是兩位數，

而且是質數，所以168=71+97是唯一的解.

40.(2023?全國?九年級競賽)將兩個不同的兩位數的質數接起來可以得到一個四位數，比如由17,19可得

到一個四位數1719；由19,17也可得到一個四位數1917.已知這樣的四位數能被這兩個兩位數的質數的

平均數所整除，試寫出所有這樣的四位數.

【答案】1353,5313,1947,4719,2343,4323,2937,3729

【詳解】解：設方,不是符合題意的兩個兩位數的質數，按題意有

labcd=(ab+cd)k，

200ab+2cd=(ab+cd)k，

198ab=(ab+cd)(k-2)(左為正整數).

因為不是質數，且不能整除(％+應)，所以(4-2)含有約數(4-2)%,198含有約數(%+萬).

因為(益+%)是偶數，且在(11+13=)24與(89+97=)186之間，而198在24與186之間的偶數約數只有66,

所以ab+cd=66-

而66=13+53=19+47=23+43=29+37,

故所求數有8個，分別是1353,5313,1947,4719,2343,4323,2937,3729.

41.(2023?全國九年級競賽)4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油，每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記

錄千克數如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的

兩瓶內有多少油.

【答案】12kg

【詳解】解：由于每只瓶都稱了三次，因此，記錄數據之和是4瓶油(連瓶)重量之和的3倍，即4瓶油

(連瓶)共重(8+9+10+ll+12+13)+3=21(kg).

而油重之和及瓶重之和均為質數，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質數，所以只有兩種可能：

(i)油重之和為19kg,瓶重之和為2kg,每只瓶重，1kg,最重的兩瓶內的油為13-gx2=12(kg).

15

19197

（ii）汕電之和為2kg,瓶重之和為19kg,每只瓶用kg,最重的兩瓶內的油為13--x2=7kg,這與

油重之和2kg矛盾.

因此，最重的兩瓶內共有12kg油.

42.（2023?全國?九年級競賽）在1,0交替出現(xiàn)且以1打頭和結尾的所有整數（即101,10101,1010101,…）

中有多少個質數？

【答案】101

【詳解】解：只有一個質數101.

若〃22,則—…+*1=空皿舊1.

99

1（\2m+2_1

當〃=2加+1時，-------=102,n+---+102+1,得力為合數；

99

當〃=2超時,9整除,11整除10=+1,所以4為合數.

因此，只有101是質數.

43.（2023?全國?九年級競賽）設a,b,c,〃是自然數，并且/+〃=c?+/,證明：a+b+c+d一定是合數.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：因為“，b,c,d是自然數，

所以。2萬-府-。，屋-d都是偶數,

即河=（/+〃+°2+.2）-（〃+6+。+</）是偶數.

又因為a?+/=/+，，所以/+/+。2+/=2（d+62）是偶數，從而有

a+b+c+d^（a2+b2+c2+d2）-M=2（a2+b2）-M,它一定是偶數.

jB.a+h+c+d>2,于是a+b+c+d是個合數.

44.（2023?全國?九年級競賽）正整數a,b,c,d滿足等式加明求證：氏="爪+*?+c的+〃%是合數.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：由正整數的質因數分解的唯一性，可求得這樣的正整數p,q,八s,使

a-pq,b-rs,c-pr,d-qs.

則k=（pq嚴*+（rs）=+（pr嚴8+嚴

=（pl殃+產8）（產8+/8）

故〃是合數.

16

45.(2023?全國?九年級競賽)若。為自然數，則/-3/+9是質數還是合數？給出你的證明.

【答案】當。=1或2時，/-3/+9是質數：當a是大于2的自然數時，/-3/+9是合數.證明見解析

【詳解】解：a4-3a2+9=a4+6?2+9-9a2

=(/+3)2—(3a>

=(a2+3a+3)(a2-3a+3).

對于自然數a,/+3a+3>l,所以當/一3。+3W1時，/一3/+9為合數.

(i)若q2_3a+3wl，則/_3a+2#0,即awl且32.

又/-3a+3=(a-'|)+^>0.

(ii)若a?-3a+3=1,則a=1或。=2.

a=104,a4-3a2+9=7;a=20't,a4-3a2+9=13.

綜合(i)、(ii)知：當a=l或2時，/一302+9是質數；當a是大于2的自然數時，/-3〃2+9是合數.

46.(2023?全國?九年級競賽)請你找出6個互異的自然數，使得它們同時滿足：

(1)6個數中任兩個都互質；

(2)6個數任取2個，3個，4個，5個，6個數之和都是合數.

并簡述你選擇的數合乎條件的理由.

【答案】a,.=zxlx2x3x4x5x6+l(z=l,2,---,6),理由見解析

【詳解】解:選擇6個互異自然數為a,=ixlx2x3x4x5x6+l(i=l,2,…,6),

只須證明任兩個都互質不失一般性，證/和互質.

設"與能有公因數4則d整除(見一。2)，

即d整除(5-2)xlx2x3x4x5x6.

所以d是Ix2x3x4x5x6中的一個因子.

但由42=2x1x2x3x4x5x6+1知，”不整除色.

故”只能是1,即電與牝互質?

由的構成結構可知，其中任兩個的和被2整除，任三個的和被3整除，任四個的和被4整除，

任五個的和被5整除，任六個的和被6整除，即六個數中任取2個，3個，4個，5個，6個數之和為合數.

47.(2023?全國?九年級競賽)自然數”使得數2〃+1與3〃+1均為平方數，能否同時使得數5〃+3是質數？

17

【答案】不能

【詳解】設2"+1=左2,3”+1=/(鼠〃［均為自然數)，則

5〃+3=4(2〃+1)-(3〃+1)

=4后2-m2

=(2k+m)(2k-m).

當2%-wwl時，5〃+3是合數.

當2A=加+1時，5〃+3=24+加=2"?+1,

且(加-1)2=機2-(2加+1)+2=(3〃+1)-(5〃+3)+2=-2〃<0,矛盾.

所以5〃+3不能是質數.

48.(2023?全國?九年級競賽)已知p為大于3的質數.證明：p的平方被24除的余數為1.

【答案】證明見解析

【詳解】證法1只需證p2-l=(p-l)(p+l)能被24整除.因p為大于3的質數，則p為奇數，所以，P-1

與P+1為兩個連續(xù)的偶數，且其中之一為4的倍數.故(p-l)(p+l)能被8整除