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Page2025年菁優(yōu)高考數學解密之空間向量基本定理及坐標表示一.選擇題(共16小題)1.(2024?上海)定義一個集合,集合元素是空間內的點集,任取,,,存在不全為0的實數,,,使得.已知,0,,則,0,的充分條件是A.,0, B.,0, C.,1, D.,0,2.(2023?新鄉(xiāng)模擬)已知點、、、為空間不共面的四點,且向量,向量,則與、不能構成空間基底的向量是A. B. C. D.或3.(2023?五華區(qū)校級模擬)《易經》中的“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”充分體現了中國古典哲學與現代數學的關系,從直角坐標系中的原點,到數軸中的兩個半軸(正半軸和負半軸),進而到平面直角坐標系中的四個象限和空間直角坐標系中的八個卦限,是由簡單到繁復的變化過程.現將平面向量的運算推廣到維向量,用有序數組,,,表示維向量,已知維向量,1,1,,,,1,1,,,則A. B. C. D.存在使得4.(2023?德陽模擬)已知,,表示共面的三個單位向量,,那么的取值范圍是A., B., C., D.,5.(2023?滁州模擬)已知向量,,若,則A. B.3 C. D.66.(2024?太湖縣校級四模)如圖所示的實驗裝置中,兩個互相垂直的正方形框架的邊長均為1,活動彈子,分別在對角線,上移動,且,則的取值范圍是A. B. C. D.7.(2023?東城區(qū)校級模擬)在空間直角坐標系中.正四面體的頂點,分別在軸,軸上移動.若該正四面體的棱長是2,則的取值范圍是A., B., C., D.,8.(2022?淮北一模)在空間直角坐標系中,已知,,,,1,,則點,0,到直線的距離為A. B. C. D.9.(2021?江蘇一模)已知數組,1,,,2,,,則A.1 B. C.2 D.10.(2021?白銀模擬)已知向量,,是空間中的一個單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算:,,,其中行列式計算表示為,若向量,則A.,, B.,4, C.,8, D.,,11.(2021?讓胡路區(qū)校級三模)已知向量,,若,則A.10 B.2 C. D.12.(2020?江蘇模擬)若向量,,和,,滿足條件,則的值是A. B.0 C.1 D.213.(2020?西城區(qū)校級模擬)一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,0,,,0,,,1,,,0,,則此四面體在坐標平面上的正投影圖形的面積為A. B. C. D.114.(2023秋?新華區(qū)校級期末)在空間直角坐標系中,若,,,,則點的坐標為A.,, B.,, C.,1, D.,,15.(2023秋?合肥期末)已知,,,,2,,則等于A.,, B.,4, C.,0, D.,1,16.(2023秋?百色期末)如圖,在四面體中,是的中點,是的中點,則等于A. B. C. D.二.多選題(共3小題)17.(2024?高碑店市校級模擬)已知是空間中不共面的三個向量,則下列向量能構成空間的一個基底的是A. B. C. D.18.(2024?江寧區(qū)校級二模)在棱長為1的正方體中,、分別為、的中點,點滿足,則下列說法正確的是A.若,,則三棱錐外接球的表面積為 B.若,則異面直線與所成角的余弦值為 C.若,則△面積的最小值為 D.若存在實數,使得,則的最小值為19.(2024?船營區(qū)校級模擬)設三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序實數組,,,使得:成立.我們把叫做基底,把有序實數組,,叫做基底下向量的斜坐標.已知三棱錐.以為坐標原點,以為軸正方向,以為軸正方向,以為軸正方向,以同方向上的單位向量為基底,建立斜坐標系,則下列結論正確的是A. B.的重心坐標為 C.若,1,,則 D.異面直線與所成角的余弦值為三.填空題(共1小題)20.(2023?西安模擬)空間四邊形中,與是四邊形的兩條對角線,,分別為線段,上的兩點,且滿足,,若點在線段上,且滿足,若向量滿足,則.四.解答題(共5小題)21.(2024?安徽模擬)一般地,元有序實數對,,,稱為維向量.對于兩個維向量,,,,,,定義兩向量的數量積為,向量的模,且取最小值時,稱為在上的投影向量.(1)求證:在上的投影向量為;(2)某公司招聘時對應聘者的語言表達能力、邏輯推理能力、動手操作能力進行測評,每門總分均為10分,測評結果記為一個三維向量,,而不同崗位對于各個能力需求的比重各不相同,對于每個崗位均有一個事先確定的“能力需求向量”,,,將在上的投影向量的模稱為該應聘者在該崗位的“適合度”.其中四個崗位的“能力需求向量”如下:崗位能力需求向量會計,2,技工,2,推銷員,2,售后維修員,1,(Ⅰ)應聘者小明的測評結果為,7,,試分析小明最適合哪個崗位.(Ⅱ)已知小紅在會計、技工和某崗位的適合度分別為,,,,2,.若能根據這三個適合度求出小紅的測評結果,求證:會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底.22.(2022?湖北模擬)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,,分別為線段,上的動點.(1)若為線段的中點,證明:平面平面;(2)若,且平面與平面所成角的余弦值為,試確定點的位置.23.(2022?象山區(qū)校級一模)如圖,在空間四邊形中,,分別是,的重心,為的中點,試用基底表示向量和.24.(2023秋?樂山期末)已知斜棱柱中,,.設,,.(1)用基底,,表示向量,并求;(2)求向量與向量夾角的余弦值.25.(2023秋?保定期末)如圖,在空間四邊形中,,,,為的中點,在上且.(1)以,,為基底,表示;(2),,,,,求.

2025年菁優(yōu)高考數學解密之空間向量基本定理及坐標表示參考答案與試題解析一.選擇題(共16小題)1.(2024?上海)定義一個集合,集合元素是空間內的點集,任取,,,存在不全為0的實數,,,使得.已知,0,,則,0,的充分條件是A.,0, B.,0, C.,1, D.,0,【答案】【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】計算題;轉化思想;綜合法;空間向量及應用;數學運算【分析】利用空間向量的基本定理,結合充要條件,判斷選項即可.【解答】解:不全為0的實數,,,使得.所以3個向量無法構成三維空間坐標系的一組基,又因為,0,,所以對于三者不能構成一組基,故不能推出,0,,故錯誤;對于,,0,,,0,,且,0,,,0,共線,所以,0,可以屬于,此時三者不共面,故錯誤;對于,顯然三者可以構成一組基,與條件不符合,故可以推出,0,,故正確;對于,三者無法構成一組基,故不能推出,0,,故錯誤.故選:.【點評】本題考查空間向量的基本定理的應用,充要條件的判斷,是基礎題.2.(2023?新鄉(xiāng)模擬)已知點、、、為空間不共面的四點,且向量,向量,則與、不能構成空間基底的向量是A. B. C. D.或【答案】【考點】:空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】:空間向量及應用【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出.【解答】解:,與、不能構成空間基底;故選:.【點評】本題考查了向量的基本定理及其意義,正確理解空間向量的基底的意義是解題的關鍵.3.(2023?五華區(qū)校級模擬)《易經》中的“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”充分體現了中國古典哲學與現代數學的關系,從直角坐標系中的原點,到數軸中的兩個半軸(正半軸和負半軸),進而到平面直角坐標系中的四個象限和空間直角坐標系中的八個卦限,是由簡單到繁復的變化過程.現將平面向量的運算推廣到維向量,用有序數組,,,表示維向量,已知維向量,1,1,,,,1,1,,,則A. B. C. D.存在使得【答案】【考點】空間向量基底表示空間向量【專題】數學運算;綜合法;計算題;轉化思想;推理和證明【分析】類比平面向量的運算,計算可判斷每個選項的正確性.【解答】解:類比平面向量的運算,,2,2,,,,故錯誤;,故錯誤;,,,故正確;假設存在,使得,則有且,此時無解.故選:.【點評】本題考查類比推理,考查運算求解能力,屬中檔題.4.(2023?德陽模擬)已知,,表示共面的三個單位向量,,那么的取值范圍是A., B., C., D.,【答案】【考點】空間向量單位正交基底及其表示空間向量【專題】計算題;平面向量及應用【分析】運用向量垂直的條件:數量積為0,及向量模的公式,和向量數量積的定義,結合余弦函數的值域,即可計算得到.【解答】解:由,則,又,為單位向量,則,則,由,則的取值范圍是,.故選:.【點評】本題考查平面向量的數量積的定義和性質,考查向量垂直的條件,考查余弦函數的值域,考查運算能力,屬于中檔題.5.(2023?滁州模擬)已知向量,,若,則A. B.3 C. D.6【答案】【考點】空間向量數量積的坐標表示【專題】數學運算;轉化思想;轉化法;空間向量及應用【分析】根據已知條件,結合空間向量的數量積運算,即可求解.【解答】解:向量,,則,2,,2,,0,,,則,解得.故選:.【點評】本題主要考查空間向量的數量積運算,屬于基礎題.6.(2024?太湖縣校級四模)如圖所示的實驗裝置中,兩個互相垂直的正方形框架的邊長均為1,活動彈子,分別在對角線,上移動,且,則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】【考點】空間兩點間的距離公式【專題】邏輯推理;空間位置關系與距離;數學運算;數形結合;向量法【分析】以為坐標原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出結果.【解答】解:以為坐標原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,則,0,,,0,,設,則,0,,,0,,,1,,,,,,則,所以.故選:.【點評】本題考查空間中兩點間距離公式等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.7.(2023?東城區(qū)校級模擬)在空間直角坐標系中.正四面體的頂點,分別在軸,軸上移動.若該正四面體的棱長是2,則的取值范圍是A., B., C., D.,【答案】【考點】空間中的點的坐標【專題】數形結合;轉化法;空間位置關系與距離【分析】根據題意畫出圖形,結合圖形,固定正四面體的位置,則原點在以為直徑的球面上運動,原點到點的最近距離等于減去球的半徑,最大距離是加上球的半徑.【解答】解:如圖所示,若固定正四面體的位置,則原點在以為直徑的球面上運動,設的中點為,則;所以原點到點的最近距離等于減去球的半徑,最大距離是加上球的半徑;所以,即的取值范圍是,.故選:.【點評】本題主要考查了點到直線以及點到平面的距離與應用問題,也考查了數形結合思想的應用問題,是綜合題.8.(2022?淮北一模)在空間直角坐標系中,已知,,,,1,,則點,0,到直線的距離為A. B. C. D.【答案】【考點】空間兩點間的距離公式【專題】數學運算;方程思想;定義法;空間向量及應用【分析】求出,,利用向量法能求出點,0,到直線的距離.【解答】解:,,,,1,,,2,,,1,,則點,0,到直線的距離為:.故選:.【點評】本題考查點到直線的距離的求法,考查向量法求點到直線的距離公式等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.9.(2021?江蘇一模)已知數組,1,,,2,,,則A.1 B. C.2 D.【答案】【考點】空間向量數量積的坐標表示【專題】方程思想;定義法;空間向量及應用;數學運算【分析】利用向量數量積公式直接求解.【解答】解:,1,,,2,,,.解得.故選:.【點評】本題考查代數式求值,考查向量數量積公式等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.10.(2021?白銀模擬)已知向量,,是空間中的一個單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算:,,,其中行列式計算表示為,若向量,則A.,, B.,4, C.,8, D.,,【答案】【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】對應思想;轉化法;空間向量及應用;數學運算【分析】根據向量的坐標公式代入計算即可得出.【解答】解:由題意得:,8,,故選:.【點評】熟練掌握向量的坐標運算是解題的關鍵.11.(2021?讓胡路區(qū)校級三模)已知向量,,若,則A.10 B.2 C. D.【考點】:平面向量數量積的坐標表示、模、夾角【專題】11:計算題;35:轉化思想;41:向量法;:平面向量及應用;65:數學運算【分析】可求出,然后根據即可得出,解出的值,然后即可得出的坐標,進而求出的值.【解答】解:,且,,解得,,.故選:.【點評】本題考查了向量坐標的加法和數乘運算,平行向量的坐標關系,考查了計算能力,屬于基礎題.12.(2020?江蘇模擬)若向量,,和,,滿足條件,則的值是A. B.0 C.1 D.2【考點】:空間向量的數量積運算【專題】:空間向量及應用;35:轉化思想;49:綜合法;65:數學運算【分析】直接代入數量積求解即可.【解答】解:因為,,和,,滿足條件,即;故選:.【點評】本題主要考查向量數量積的運算,屬于基礎題.13.(2020?西城區(qū)校級模擬)一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,0,,,0,,,1,,,0,,則此四面體在坐標平面上的正投影圖形的面積為A. B. C. D.1【考點】:空間向量運算的坐標表示【專題】11:計算題;31:數形結合;44:數形結合法;:空間向量及應用;64:直觀想象【分析】如圖,此四面體在坐標平面上的正投影圖形是,由此能求出此四面體在坐標平面上的正投影圖形的面積.【解答】解:一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,0,,,0,,,1,,,0,,如圖,此四面體在坐標平面上的正投影圖形是,此四面體在坐標平面上的正投影圖形的面積為:.故選:.【點評】本題考查四面體在坐標平面上的正投影圖形的面積的求法,考查空間直角坐標系的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.14.(2023秋?新華區(qū)校級期末)在空間直角坐標系中,若,,,,則點的坐標為A.,, B.,, C.,1, D.,,【答案】【考點】空間向量的共線與共面;空間向量及其線性運算;空間向量運算的坐標表示【專題】綜合法;數學運算;整體思想;空間向量及應用【分析】利用空間向量的坐標運算求解.【解答】解:,,,,,,.故選:.【點評】本題主要考查了空間向量的坐標運算,屬于基礎題.15.(2023秋?合肥期末)已知,,,,2,,則等于A.,, B.,4, C.,0, D.,1,【答案】【考點】空間向量線性運算的坐標表示【專題】定義法;對應思想;空間向量及應用【分析】根據空間向量的線性運算,求出向量的坐標即可.【解答】解:,,,,2,,,,,4,.故選:.【點評】本題考查了空間向量的線性運算與坐標表示的應用問題,是基礎題目.16.(2023秋?百色期末)如圖,在四面體中,是的中點,是的中點,則等于A. B. C. D.【答案】【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】轉化法;平面向量及應用;空間向量及應用;直觀想象【分析】在四面體中,是的中點,是的中點,可得,.即可得出.【解答】解:在四面體中,是的中點,是的中點,則,..故選:.【點評】本題考查了空間向量運算性質、平面向量平行四邊形法則,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.二.多選題(共3小題)17.(2024?高碑店市校級模擬)已知是空間中不共面的三個向量,則下列向量能構成空間的一個基底的是A. B. C. D.【答案】【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示;空間向量的共線與共面;平面向量的基本定理【專題】數學運算;綜合法;方程思想;邏輯推理;空間向量及應用【分析】根據空間向量的基底向量的定義結合共面向量的定義逐項分析判斷.【解答】解:對于選項:因為,所以三個向量共面,故不能構成空間的一個基底,故錯誤;因為是空間中不共面的三個向量,對于選項:設,顯然不存在實數,使得該式成立,所以不共面,可以作為基底向量,故正確;對于選項:設,則,方程無解,即不存在實數,使得該式成立,所以不共面,可以作為基底向量,故正確.對于選項:因為,所以三個向量共面,故不能構成空間的一個基底,故錯誤.故選:.【點評】本題主要考查空間向量基本定理的應用,屬于基礎題.18.(2024?江寧區(qū)校級二模)在棱長為1的正方體中,、分別為、的中點,點滿足,則下列說法正確的是A.若,,則三棱錐外接球的表面積為 B.若,則異面直線與所成角的余弦值為 C.若,則△面積的最小值為 D.若存在實數,使得,則的最小值為【答案】【考點】球的表面積;空間向量線性運算的坐標表示【專題】對應思想;定義法;空間向量及應用;數學運算【分析】根據長方體的外接球即可求解,建立空間直角坐標系,即可根據向量的坐標運算,結合模長公式以及夾角公式即可求解,根據線面垂直的性質可得在線段上運動,,即可根據面積公式求解.【解答】解:對于:由題意,與重合,故三棱錐的外接球與以,,為長寬高的長方體的外接球相同,故半徑,表面積為,故對;對于:以為原點建系,,1,,,0,,,0,,,1,,,,由,所以,,,,故錯;對于:由得,,,,,,由可得,所以,,,當時,,故正確;對于:由得,在線段上運動,設在底面的投影為,連接,,由于,所以,故,連接,相交于,連接,,當,重合時取等號,故錯.故選:.【點評】本題考查長方體的外接球,據向量的坐標運算,線面垂直的性質等相關知識,屬于中檔題.19.(2024?船營區(qū)校級模擬)設三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序實數組,,,使得:成立.我們把叫做基底,把有序實數組,,叫做基底下向量的斜坐標.已知三棱錐.以為坐標原點,以為軸正方向,以為軸正方向,以為軸正方向,以同方向上的單位向量為基底,建立斜坐標系,則下列結論正確的是A. B.的重心坐標為 C.若,1,,則 D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】【考點】平面向量的基本定理;異面直線及其所成的角;空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】數學運算;轉化思想;平面向量及應用;計算題;空間向量及應用;綜合法【分析】根據新定義求出向量的坐標,從而判斷出項的正誤;求出、、三點的坐標,結合重心的坐標公式判斷出項的正誤,根據向量的數量積是否等于0,判斷出項的正誤;根據向量的夾角公式加以計算,判斷出項的正誤.【解答】解:對于,根據,,可得,所以,故項正確;對于,根據,,可得,,所以,0,,,0,,,1,,的重心為,即,故項正確;對于,因為,,所以,因此,不成立,故項錯誤;對于,根據,,可得,,設異面直線與所成角的為,由異面直線所成角的定義,可知,,故項錯誤.故選:.【點評】本題主要考查空間向量的數量積及其運算性質、向量加減法的坐標表示、向量的夾角公式等知識,屬于中檔題.三.填空題(共1小題)20.(2023?西安模擬)空間四邊形中,與是四邊形的兩條對角線,,分別為線段,上的兩點,且滿足,,若點在線段上,且滿足,若向量滿足,則.【答案】.【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】數學運算;計算題;綜合法;轉化思想;邏輯推理;空間向量及應用【分析】直接利用向量的線性運算求出結果.【解答】解:空間四邊形中,與是四邊形的兩條對角線,,分別為線段,上的兩點,且滿足,,若點在線段上,且滿足,如圖所示:由于,故,整理得,所以,故,,,所以.故答案為:.【點評】本題考查的知識要點:空間向量的線性運算,主要考查學生的理解能力和計算能力,屬于基礎題.四.解答題(共5小題)21.(2024?安徽模擬)一般地,元有序實數對,,,稱為維向量.對于兩個維向量,,,,,,定義兩向量的數量積為,向量的模,且取最小值時,稱為在上的投影向量.(1)求證:在上的投影向量為;(2)某公司招聘時對應聘者的語言表達能力、邏輯推理能力、動手操作能力進行測評,每門總分均為10分,測評結果記為一個三維向量,,而不同崗位對于各個能力需求的比重各不相同,對于每個崗位均有一個事先確定的“能力需求向量”,,,將在上的投影向量的模稱為該應聘者在該崗位的“適合度”.其中四個崗位的“能力需求向量”如下:崗位能力需求向量會計,2,技工,2,推銷員,2,售后維修員,1,(Ⅰ)應聘者小明的測評結果為,7,,試分析小明最適合哪個崗位.(Ⅱ)已知小紅在會計、技工和某崗位的適合度分別為,,,,2,.若能根據這三個適合度求出小紅的測評結果,求證:會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底.【答案】(Ⅰ)證明過程見解答;(2)小明在會計崗位上的“適合度”最高,即小明最適合會計崗位;證明過程見解答.【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底【專題】數學運算;綜合法;轉化思想;空間向量及應用【分析】(Ⅰ)由已知得取最小值時,為在上的投影向量,由定義得,根據二次函數最小值即可求得,進而證明;(Ⅱ)分別求得小明在會計、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求量”上的投影向量的模,根據定義即可求解;設崗位的“能力需求向量”為,,,小紅的測評結果為,,,列出方程組,分析方程組解的情況即可證明.【解答】解:(Ⅰ)證明:取最小值時,為在上的投影向量,,是關于的二次函數,且二次項系數大于0,結合二次函數的性質,當且僅當時,取最小值,在上的投影向量為.(2)設小明在會計、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求向量”上的投影向量分別為,,,,則,,,,小明在會計崗位上的“適合度”最高,即小明最適合會計崗位;證明:由題意,設崗位的“能力需求向量”為,,,小紅的測評結果為,,,則,則求出小紅的測評結果的充分必要條件是這個關于,,的三元一次方程組有唯一解,記,,,則,設,,,則方程組變形為,②①得,則方程組化簡為,消去,化簡得⑥,若,則此時關于的方程要么無解要么有無窮多解,與題意不符,,又方程有且僅有一解,,即,若,由向量的共線定理得,使得,則,與假設矛盾,不成立,故與不共線,同理可知與不共線,,,可以作為空間中的一組基底,即會計、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底.【點評】本題考查向量基本定理及空間向量的基底、投影向量、二次函數的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是難題.22.(2022?湖北模擬)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,,分別為線段,上的動點.(1)若為線段的中點,證明:平面平面;(2)若,且平面與平面所成角的余弦值為,試確定點的位置.【答案】(1)證明見解答;(2)為的三等分點處.【考點】平面與平面垂直;空間向量運算的坐標表示【專題】綜合題;轉化思想;綜合法;空間角;邏輯思維;運算求解【分析】(1)可證平面,從而,,平面,進而可證平面平面;(2)以為坐標原點,,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,,求平面與平面的法向量,利用向量法求的值,可知定點的位置.【解答】(1)證明:由底面,可得,又在正方形中,,且,則平面,有,由,為線段的中點,可得,又,則平面,從而平面平面;(2)解:以為坐標原點,,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設,則,0,,,0,,,1,,,1,,,0,,由(1)可知,0,為平面的法向量,由,可知,設,,則,1,,,0,,可得,,,,0,,設平面的一個法向量為,,,則,即,令,則,,平面的一個法向量為,1,,,,解得或,即為的三等分點處.【點評】本題考查面面垂直的證明,以及利用面面角確定點的位置,屬中檔題.23.(2022?象山區(qū)校級一模)如圖,在空間四邊形中,,分別是,的重心,為的中點,試用基底表示向量和.【答案】.【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示;平面向量的基本定理【專題】綜合法;數學運算;計算題;整體思想;平面向量及應用【分析】根據向量的加,減,數乘公式,結合幾何圖形,即可用基底表示.【解答】解:;所以,,所以.【點評】本題考查了平面向量基本定理,屬于基礎題.24.(2023秋?樂山期末)已知斜棱柱中,,.設,,.(1)用基底,,表示向量,并求;(2)求向量與向量夾角的余弦值.【答案】(1);;(2).【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】計算題;轉化思想;數學運算;邏輯推理;綜合法;平面向量及應用【分析】(1)直接利用向量的線性運算和數量積運算求出結果;(2)利用向量的夾角運算求出結果.【解答】解:(1)斜棱柱中,,.設,,,故:..(2),...【點評】本題考查的知識要點:向量的線性運算,向量的夾角運算,向量的數量積運算,主要考查學生的理解能力和計算能力,屬于中檔題.25.(2023秋?保定期末)如圖,在空間四邊形中,,,,為的中點,在上且.(1)以,,為基底,表示;(2),,,,,求.【答案】(1);(2).【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【專題】轉化思想;綜合法;數學運算;空間向量及應用【分析】(1)利用空間向量的加減運算,即可求解;(2)利用空間向量的數量積,即可求解.【解答】解:(1).(2),,,,,,,.【點評】本題考查了空間向量的運算,屬于基礎題.

考點卡片1.平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內容:如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量,那么對這一平面內任一,有且僅有一對實數λ1、λ2,使.2、基底:不共線的e1、e2叫做平面內表示所有向量的一組基底.3、說明:(1)基底向量肯定是非零向量,且基底并不唯一,只要不共線就行.(2)由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.2.球的表面積【知識點的認識】球的表面積依賴于球的半徑r,計算公式為.【解題方法點撥】﹣計算公式:表面積計算公式為.﹣實際應用:如何根據實際問題中的球尺寸進行表面積計算.【命題方向】﹣球的表面積計算:考查如何根據球的半徑計算表面積.﹣實際應用:如何在實際問題中應用球的表面積計算.3.異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角:直線a,b是異面直線,經過空間任意一點O,作直線a′,b′,并使a′∥a,b′∥b.我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.異面直線所成的角的范圍:θ∈(0,].當θ=90°時,稱兩條異面直線互相垂直.2、求異面直線所成的角的方法:求異面直線的夾角關鍵在于平移直線,常用相似比,中位線,梯形兩底,平行平面等手段來轉移直線.3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識:4.平面與平面垂直【知識點的認識】平面與平面垂直的判定:判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直的性質:性質定理1:如果兩個平面垂直,則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.性質定理2:如果兩個平面垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.性質定理3:如果兩個相交平面都垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面.性質定理4:三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直.5.空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),在坐標平面xOy,xOz,yOz內的點分別可以表示為(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c).2、點P(a,b,c)關于x軸的對稱點的坐標為(a,﹣b,﹣c,)點P(a,b,c)關于y軸的對稱點的坐標為(﹣a,b,﹣c,);點P(a,b,c)關于z軸的對稱點的坐標為(﹣a,﹣b,c,);點P(a,b,c)關于坐標平面xOy的對稱點為(a,b,﹣c,);點P(a,b,c)關于坐標平面xOz的對稱點為(a,﹣b,c,);點P(a,b,c)關于坐標平面yOz的對稱點為(﹣a,b,c,);點P(a,b,c)關于原點的對稱點(﹣a,﹣b,﹣c,).3、已知空間兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)則線段P1P2的中點坐標為()6.空間兩點間的距離公式【知識點的認識】空間兩點間的距離公式:已知空間兩點P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),則兩點的距離為,特殊地,點A(x,y,z)到原點O的距離為.7.空間向量及其線性運算【知識點的認識】1.空間向量:在空間內,我們把具有大小和方向的量叫做向量,用有向線段表示.2.向量的模:向量的大小叫向量的長度或模.記為||,||特別地:①規(guī)定長度為0的向量為零向量,記作;②模為1的向量叫做單位向量;3.相等的向量:兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4.負向量:兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量.如的相反向量記為﹣.5.平行的向量:兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量.6.注意:①零向量的方向是任意的,規(guī)定與任何向量平行;②單位向量不一定相等,但單位向量的模一定相等且為1;③方向相同且模相等的向量稱為相等向量,因此,在空間,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量;④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量;⑤一般來說,向量不能比較大?。?.加減法的定義:空間任意兩個向量都是共面的,它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.2.加法運算律:空間向量的加法滿足交換律及結合律.(1)交換律:(2)結合律:.3.推廣:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量:(求空間若干向量之和時,可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形,則它們的和為:零向量.1.空間向量的數乘運算實數λ與空間向量的乘積仍是一個向量,稱為向量的數乘運算.①當λ>0時,與的方向相同;②當λ<0時,與的方向相反;③當λ=0時,=.④|λ|=|λ|?||的長度是的長度的|λ|倍.2.運算律空間向量的數乘滿足分配律及結合律.(1)分配律:①②(λ+μ)=+(2)結合律:注意:實數和空間向量可以進行數乘運算,但不能進行加減運算,如等無法計算.8.空間向量的共線與共面【知識點的認識】1.定義(1)共線向量與平面向量一樣,如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,記作.與任意向量是共線向量.(2)共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量.2.定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量、(),的充要條件是存在實數λ,使得.(2)共面向量定理如果兩個向量、不共線,則向量與向量、共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使得.【解題方法點撥】空間向量共線問題:(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數λ,使成立,或充分利用空間向量的運算法則,結合具體圖形,通過化簡、計算得出,從而.(2)表示與所在的直線平行或重合兩種情況.空間向量共面問題:(1)利用向量法證明點共面、線共面問題,關鍵是熟練地進行向量表示,恰當應用向量共面的充要條件,解題過程中注意直線與向量的相互轉化.(2)空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對(x,y),使.滿足這個關系式的點P都在平面MAB內,反之,平面MAB內的任一點P都滿足這個關系式.這個充要條件常用以證明四點共面.證明三個向量共面的常用方法:(1)設法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合;(2)尋找平面α,證明這些向量與平面α平行.【命題方向】1,考查空間向量共線問題例:若=(2x,1,3),=(1,﹣2y,9),如果與為共線向量,則()A.x=1,y=1B.x=,y=﹣C.x=,y=﹣D.x=﹣,y=分析:利用共線向量的條件,推出比例關系求出x,y的值.解答:∵=(2x,1,3)與=(1,﹣2y,9)共線,故有==.∴x=,y=﹣.故選C.點評:本題考查共線向量的知識,考查學生計算能力,是基礎題.2.考查空間向量共面問題例:已知A、B、C三點不共線,O是平面ABC外的任一點,下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是()A.B.C.D.分析:根據共面向量定理,說明M、A、B、C共面,判斷選項的正誤.解答:由共面向量定理,說明M、A、B、C共面,可以判斷A、B、C都是錯誤的,則D正確.故選D.點評:本題考查共線向量與共面向量,考查學生應用基礎知識的能力.是基礎題.9.空間向量基本定理、正交分解及坐標表示【知識點的認識】1.空間向量基本定理如果三個向量,,不共面,那么對空間任一向量,存在一個唯一的有序實數組x,y,z,使=x+y+z.任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底,,,都叫做基向量.2.單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直,且長都為1,則這個基底叫做單位正交基底,常用{,,}表示.3.空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底{,,},以點O為原點,分別以,,的正方向建立三條數軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標軸,這樣就建立了一個空間直角坐標系O﹣xyz.其中,點O叫做原點,向量,,都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面.4.空間向量的坐標表示對于空間任意一個向量,一定可以把它平移,使它的起點與原點O重合,得到向量=,由空間向量基本定理可知,存在有序實數組{x,y,z},使得=.把x,y,z稱作向量在單位正交基底,,下的坐標,記作=(x,y,z).【解題方法點撥】1.基底的判斷判斷三個向量能否作為基底,關鍵是判斷它們是否共面,若從正面判斷難以入手,可以用反證法結合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進行判斷.假設不能作為一個基底,看是否存在一對實數λ、μ使得,若存在,則假設成立;若不存在,則假設不成立.2.空間向量的坐標表示用坐標表示空間向量的解題方法與步驟為:(1)觀察圖形:充分觀察圖形特征;(2)建坐標系:根據圖形特征建立空間直角坐標系;(3)進行計算:綜合利用向量的加、減及數乘計算;(4)確定結果:將所求向量用已知的基向量表示出來.3.用基底表示向量用基底表示向量時,(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及數乘向量的運算律進行.(2)若沒給定基底時,首先選擇基底.選擇時,要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.10.空間向量基本定理及空間向量的基底【知識點的認識】空間向量基本定理如果三個向量,,不共面,那么對空間任一向量,存在一個唯一的有序實數組x,y,z,使=x+y+z.任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底,,,都叫做基向量.【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底,關鍵是判斷它們是否共面,若從正面判斷難以入手,可以用反證法結合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進行判斷.假設不能作為一個基底,看是否存在一對實數λ、μ使得,若存在,則假設成立;若不存在,則假設不成立.【命題方向】﹣向量定理和基底:考查如何應用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底.11.空間向量基底表示空間向量【知識點的認識】1.空間向量基本定理如果三個向量,,不共面,那么對空間任一向量,存在一個唯一的有序實數組x,y,z,使=x+y+z.任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底,,,都叫做基向量.2.單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直,且長都為1,則這個基底叫做單位正交基底,常用{,,}表示.【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底,關鍵是判斷它們是否共面,若從正面判斷難以入手,可以用反證法結合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進行判斷.假設不能作為一個基底,看是否存在一對實數λ、μ使得,若存在,則假設成立;若不存在,則假設不成立.﹣基底表示:任何空間向量都可以表示為基底向量的線性組合:其中是基底向量,c1,c2,c3是系數.﹣線性組合:通過解線性方程組找到系數c1,c2,c3.【命題方向】﹣基底表示:考查如何利用基底向量表示空間中的任意向量.12.空間向量單位正交基底及其表示空間向量【知識點的認識】1.單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直,且長都為1,則這個基底叫做單位正交基底,常用{,,}表示.2.空間向量的坐標表示對于空間任意一個向量,一定可以把它平移,使它的起點與原點O重合,得到向量=,由空間向量基本定理可知,存在有序實數組{x,y,z},使得=.把x,y,z稱作向量在單位正交基底,,下的坐標,記作=(x,y,z).【解題方法點撥】1.空間向量的坐標表示用坐標表示空間向量的解題方法與步驟為:(1)觀察圖形:充分觀察圖形特征;(2)建坐標系:根據圖形特征建立空間直角坐標系;(3)進行計算:綜合利用向量的加、減及數乘計算;(4)確定結果:將所求向量用已知的基向量表示出來.2.用基底表示向量用基底表示向量時,(1)

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