2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共16小題）1．（2024?上海）定義一個(gè)集合，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，，，存在不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得．已知，0，，則，0，的充分條件是A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，2．（2023?新鄉(xiāng)模擬）已知點(diǎn)、、、為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與、不能構(gòu)成空間基底的向量是A． B． C． D．或3．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）《易經(jīng)》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”充分體現(xiàn)了中國(guó)古典哲學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系，從直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，到數(shù)軸中的兩個(gè)半軸（正半軸和負(fù)半軸），進(jìn)而到平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)象限和空間直角坐標(biāo)系中的八個(gè)卦限，是由簡(jiǎn)單到繁復(fù)的變化過程．現(xiàn)將平面向量的運(yùn)算推廣到維向量，用有序數(shù)組，，，表示維向量，已知維向量，1，1，，，，1，1，，，則A． B． C． D．存在使得4．（2023?德陽模擬）已知，，表示共面的三個(gè)單位向量，，那么的取值范圍是A．， B．， C．， D．，5．（2023?滁州模擬）已知向量，，若，則A． B．3 C． D．66．（2024?太湖縣校級(jí)四模）如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個(gè)互相垂直的正方形框架的邊長(zhǎng)均為1，活動(dòng)彈子，分別在對(duì)角線，上移動(dòng)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．7．（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）在空間直角坐標(biāo)系中．正四面體的頂點(diǎn)，分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，8．（2022?淮北一模）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，1，，則點(diǎn)，0，到直線的距離為A． B． C． D．9．（2021?江蘇一模）已知數(shù)組，1，，，2，，，則A．1 B． C．2 D．10．（2021?白銀模擬）已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，，，其中行列式計(jì)算表示為，若向量，則A．，， B．，4， C．，8， D．，，11．（2021?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知向量，，若，則A．10 B．2 C． D．12．（2020?江蘇模擬）若向量，，和，，滿足條件，則的值是A． B．0 C．1 D．213．（2020?西城區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，0，，，0，，，1，，，0，，則此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為A． B． C． D．114．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．，， B．，， C．，1， D．，，15．（2023秋?合肥期末）已知，，，，2，，則等于A．，， B．，4， C．，0， D．，1，16．（2023秋?百色期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則等于A． B． C． D．二．多選題（共3小題）17．（2024?高碑店市校級(jí)模擬）已知是空間中不共面的三個(gè)向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是A． B． C． D．18．（2024?江寧區(qū)校級(jí)二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是A．若，，則三棱錐外接球的表面積為 B．若，則異面直線與所成角的余弦值為 C．若，則△面積的最小值為 D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為19．（2024?船營(yíng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)三個(gè)向量不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得：成立．我們把叫做基底，把有序?qū)崝?shù)組，，叫做基底下向量的斜坐標(biāo)．已知三棱錐．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向，以同方向上的單位向量為基底，建立斜坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是A． B．的重心坐標(biāo)為 C．若，1，，則 D．異面直線與所成角的余弦值為三．填空題（共1小題）20．（2023?西安模擬）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對(duì)角線，，分別為線段，上的兩點(diǎn)，且滿足，，若點(diǎn)在線段上，且滿足，若向量滿足，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?安徽模擬）一般地，元有序?qū)崝?shù)對(duì)，，，稱為維向量．對(duì)于兩個(gè)維向量，，，，，，定義兩向量的數(shù)量積為，向量的模，且取最小值時(shí)，稱為在上的投影向量．（1）求證：在上的投影向量為；（2）某公司招聘時(shí)對(duì)應(yīng)聘者的語言表達(dá)能力、邏輯推理能力、動(dòng)手操作能力進(jìn)行測(cè)評(píng)，每門總分均為10分，測(cè)評(píng)結(jié)果記為一個(gè)三維向量，，而不同崗位對(duì)于各個(gè)能力需求的比重各不相同，對(duì)于每個(gè)崗位均有一個(gè)事先確定的“能力需求向量”，，，將在上的投影向量的模稱為該應(yīng)聘者在該崗位的“適合度”．其中四個(gè)崗位的“能力需求向量”如下：崗位能力需求向量會(huì)計(jì)，2，技工，2，推銷員，2，售后維修員，1，（Ⅰ）應(yīng)聘者小明的測(cè)評(píng)結(jié)果為，7，，試分析小明最適合哪個(gè)崗位．（Ⅱ）已知小紅在會(huì)計(jì)、技工和某崗位的適合度分別為，，，，2，．若能根據(jù)這三個(gè)適合度求出小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果，求證：會(huì)計(jì)、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．22．（2022?湖北模擬）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若為線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若，且平面與平面所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置．23．（2022?象山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的重心，為的中點(diǎn)，試用基底表示向量和．24．（2023秋?樂山期末）已知斜棱柱中，，．設(shè)，，．（1）用基底，，表示向量，并求；（2）求向量與向量夾角的余弦值．25．（2023秋?保定期末）如圖，在空間四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，在上且．（1）以，，為基底，表示；（2），，，，，求．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示參考答案與試題解析一．選擇題（共16小題）1．（2024?上海）定義一個(gè)集合，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，，，存在不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得．已知，0，，則，0，的充分條件是A．，0， B．，0， C．，1， D．，0，【答案】【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用空間向量的基本定理，結(jié)合充要條件，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：不全為0的實(shí)數(shù)，，，使得．所以3個(gè)向量無法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，又因?yàn)椋?，，所以對(duì)于三者不能構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，0，，，0，，且，0，，，0，共線，所以，0，可以屬于，此時(shí)三者不共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出，0，，故正確；對(duì)于，三者無法構(gòu)成一組基，故不能推出，0，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．2．（2023?新鄉(xiāng)模擬）已知點(diǎn)、、、為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與、不能構(gòu)成空間基底的向量是A． B． C． D．或【答案】【考點(diǎn)】：空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】：空間向量及應(yīng)用【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出．【解答】解：，與、不能構(gòu)成空間基底；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的基本定理及其意義，正確理解空間向量的基底的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）《易經(jīng)》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”充分體現(xiàn)了中國(guó)古典哲學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系，從直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，到數(shù)軸中的兩個(gè)半軸（正半軸和負(fù)半軸），進(jìn)而到平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)象限和空間直角坐標(biāo)系中的八個(gè)卦限，是由簡(jiǎn)單到繁復(fù)的變化過程．現(xiàn)將平面向量的運(yùn)算推廣到維向量，用有序數(shù)組，，，表示維向量，已知維向量，1，1，，，，1，1，，，則A． B． C． D．存在使得【答案】【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；推理和證明【分析】類比平面向量的運(yùn)算，計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性．【解答】解：類比平面向量的運(yùn)算，，2，2，，，，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；，，，故正確；假設(shè)存在，使得，則有且，此時(shí)無解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查類比推理，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．4．（2023?德陽模擬）已知，，表示共面的三個(gè)單位向量，，那么的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】空間向量單位正交基底及其表示空間向量【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用【分析】運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，及向量模的公式，和向量數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可計(jì)算得到．【解答】解：由，則，又，為單位向量，則，則，由，則的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量垂直的條件，考查余弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2023?滁州模擬）已知向量，，若，則A． B．3 C． D．6【答案】【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解．【解答】解：向量，，則，2，，2，，0，，，則，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?太湖縣校級(jí)四模）如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，兩個(gè)互相垂直的正方形框架的邊長(zhǎng)均為1，活動(dòng)彈子，分別在對(duì)角線，上移動(dòng)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式【專題】邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合；向量法【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，設(shè)，則，0，，，0，，，1，，，，，，則，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）在空間直角坐標(biāo)系中．正四面體的頂點(diǎn)，分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，固定正四面體的位置，則原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)到點(diǎn)的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑．【解答】解：如圖所示，若固定正四面體的位置，則原點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則；所以原點(diǎn)到點(diǎn)的最近距離等于減去球的半徑，最大距離是加上球的半徑；所以，即的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合題．8．（2022?淮北一模）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，1，，則點(diǎn)，0，到直線的距離為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用【分析】求出，，利用向量法能求出點(diǎn)，0，到直線的距離．【解答】解：，，，，1，，，2，，，1，，則點(diǎn)，0，到直線的距離為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查向量法求點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（2021?江蘇一模）已知數(shù)組，1，，，2，，，則A．1 B． C．2 D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用向量數(shù)量積公式直接求解．【解答】解：，1，，，2，，，．解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值，考查向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（2021?白銀模擬）已知向量，，是空間中的一個(gè)單位正交基底．規(guī)定向量積的行列式計(jì)算：，，，其中行列式計(jì)算表示為，若向量，則A．，， B．，4， C．，8， D．，，【答案】【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)公式代入計(jì)算即可得出．【解答】解：由題意得：，8，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．11．（2021?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知向量，，若，則A．10 B．2 C． D．【考點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；：平面向量及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】可求出，然后根據(jù)即可得出，解出的值，然后即可得出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值．【解答】解：，且，，解得，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?江蘇模擬）若向量，，和，，滿足條件，則的值是A． B．0 C．1 D．2【考點(diǎn)】：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】：空間向量及應(yīng)用；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接代入數(shù)量積求解即可．【解答】解：因?yàn)?，，和，，滿足條件，即；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?西城區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，0，，，0，，，1，，，0，，則此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為A． B． C． D．1【考點(diǎn)】：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；：空間向量及應(yīng)用；64：直觀想象【分析】如圖，此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形是，由此能求出此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積．【解答】解：一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，0，，，0，，，1，，，0，，如圖，此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形是，此四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積的求法，考查空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（2023秋?新華區(qū)校級(jí)期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．，， B．，， C．，1， D．，，【答案】【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；空間向量及其線性運(yùn)算；空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；空間向量及應(yīng)用【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023秋?合肥期末）已知，，，，2，，則等于A．，， B．，4， C．，0， D．，1，【答案】【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【專題】定義法；對(duì)應(yīng)思想；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，求出向量的坐標(biāo)即可．【解答】解：，，，，2，，，，，4，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．16．（2023秋?百色期末）如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則等于A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；空間向量及應(yīng)用；直觀想象【分析】在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，．即可得出．【解答】解：在四面體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量運(yùn)算性質(zhì)、平面向量平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）17．（2024?高碑店市校級(jí)模擬）已知是空間中不共面的三個(gè)向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面；平面向量的基本定理【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想；邏輯推理；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合共面向量的定義逐項(xiàng)分析判斷．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋匀齻€(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故錯(cuò)誤；因?yàn)槭强臻g中不共面的三個(gè)向量，對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，顯然不存在實(shí)數(shù)，使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，方程無解，即不存在實(shí)數(shù)，使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以三個(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?江寧區(qū)校級(jí)二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是A．若，，則三棱錐外接球的表面積為 B．若，則異面直線與所成角的余弦值為 C．若，則△面積的最小值為 D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為【答案】【考點(diǎn)】球的表面積；空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球即可求解，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合模長(zhǎng)公式以及夾角公式即可求解，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得在線段上運(yùn)動(dòng)，，即可根據(jù)面積公式求解．【解答】解：對(duì)于：由題意，與重合，故三棱錐的外接球與以，，為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同，故半徑，表面積為，故對(duì)；對(duì)于：以為原點(diǎn)建系，，1，，，0，，，0，，，1，，，，由，所以，，，，故錯(cuò)；對(duì)于：由得，，，，，，由可得，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故正確；對(duì)于：由得，在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)在底面的投影為，連接，，由于，所以，故，連接，相交于，連接，，當(dāng)，重合時(shí)取等號(hào)，故錯(cuò)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的外接球，據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，線面垂直的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．19．（2024?船營(yíng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)三個(gè)向量不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得：成立．我們把叫做基底，把有序?qū)崝?shù)組，，叫做基底下向量的斜坐標(biāo)．已知三棱錐．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向，以同方向上的單位向量為基底，建立斜坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是A． B．的重心坐標(biāo)為 C．若，1，，則 D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】【考點(diǎn)】平面向量的基本定理；異面直線及其所成的角；空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；計(jì)算題；空間向量及應(yīng)用；綜合法【分析】根據(jù)新定義求出向量的坐標(biāo)，從而判斷出項(xiàng)的正誤；求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合重心的坐標(biāo)公式判斷出項(xiàng)的正誤，根據(jù)向量的數(shù)量積是否等于0，判斷出項(xiàng)的正誤；根據(jù)向量的夾角公式加以計(jì)算，判斷出項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于，根據(jù)，，可得，所以，故項(xiàng)正確；對(duì)于，根據(jù)，，可得，，所以，0，，，0，，，1，，的重心為，即，故項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，因此，不成立，故?xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)，，可得，，設(shè)異面直線與所成角的為，由異面直線所成角的定義，可知，，故項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量加減法的坐標(biāo)表示、向量的夾角公式等知識(shí)，屬于中檔題．三．填空題（共1小題）20．（2023?西安模擬）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對(duì)角線，，分別為線段，上的兩點(diǎn)，且滿足，，若點(diǎn)在線段上，且滿足，若向量滿足，則．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；空間向量及應(yīng)用【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：空間四邊形中，與是四邊形的兩條對(duì)角線，，分別為線段，上的兩點(diǎn)，且滿足，，若點(diǎn)在線段上，且滿足，如圖所示：由于，故，整理得，所以，故，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?安徽模擬）一般地，元有序?qū)崝?shù)對(duì)，，，稱為維向量．對(duì)于兩個(gè)維向量，，，，，，定義兩向量的數(shù)量積為，向量的模，且取最小值時(shí)，稱為在上的投影向量．（1）求證：在上的投影向量為；（2）某公司招聘時(shí)對(duì)應(yīng)聘者的語言表達(dá)能力、邏輯推理能力、動(dòng)手操作能力進(jìn)行測(cè)評(píng)，每門總分均為10分，測(cè)評(píng)結(jié)果記為一個(gè)三維向量，，而不同崗位對(duì)于各個(gè)能力需求的比重各不相同，對(duì)于每個(gè)崗位均有一個(gè)事先確定的“能力需求向量”，，，將在上的投影向量的模稱為該應(yīng)聘者在該崗位的“適合度”．其中四個(gè)崗位的“能力需求向量”如下：崗位能力需求向量會(huì)計(jì)，2，技工，2，推銷員，2，售后維修員，1，（Ⅰ）應(yīng)聘者小明的測(cè)評(píng)結(jié)果為，7，，試分析小明最適合哪個(gè)崗位．（Ⅱ）已知小紅在會(huì)計(jì)、技工和某崗位的適合度分別為，，，，2，．若能根據(jù)這三個(gè)適合度求出小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果，求證：會(huì)計(jì)、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．【答案】（Ⅰ）證明過程見解答；（2）小明在會(huì)計(jì)崗位上的“適合度”最高，即小明最適合會(huì)計(jì)崗位；證明過程見解答．【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用【分析】（Ⅰ）由已知得取最小值時(shí)，為在上的投影向量，由定義得，根據(jù)二次函數(shù)最小值即可求得，進(jìn)而證明；（Ⅱ）分別求得小明在會(huì)計(jì)、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求量”上的投影向量的模，根據(jù)定義即可求解；設(shè)崗位的“能力需求向量”為，，，小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果為，，，列出方程組，分析方程組解的情況即可證明．【解答】解：（Ⅰ）證明：取最小值時(shí)，為在上的投影向量，，是關(guān)于的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，在上的投影向量為．（2）設(shè)小明在會(huì)計(jì)、技工、推銷員、售后維修員的“能力需求向量”上的投影向量分別為，，，，則，，，，小明在會(huì)計(jì)崗位上的“適合度”最高，即小明最適合會(huì)計(jì)崗位；證明：由題意，設(shè)崗位的“能力需求向量”為，，，小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果為，，，則，則求出小紅的測(cè)評(píng)結(jié)果的充分必要條件是這個(gè)關(guān)于，，的三元一次方程組有唯一解，記，，，則，設(shè)，，，則方程組變形為，②①得，則方程組化簡(jiǎn)為，消去，化簡(jiǎn)得⑥，若，則此時(shí)關(guān)于的方程要么無解要么有無窮多解，與題意不符，，又方程有且僅有一解，，即，若，由向量的共線定理得，使得，則，與假設(shè)矛盾，不成立，故與不共線，同理可知與不共線，，，可以作為空間中的一組基底，即會(huì)計(jì)、技工和崗位的“能力需求向量”能作為空間中的一組基底．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量基本定理及空間向量的基底、投影向量、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．22．（2022?湖北模擬）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若為線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若，且平面與平面所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置．【答案】（1）證明見解答；（2）為的三等分點(diǎn)處．【考點(diǎn)】平面與平面垂直；空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】（1）可證平面，從而，，平面，進(jìn)而可證平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，求平面與平面的法向量，利用向量法求的值，可知定點(diǎn)的位置．【解答】（1）證明：由底面，可得，又在正方形中，，且，則平面，有，由，為線段的中點(diǎn)，可得，又，則平面，從而平面平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，由（1）可知，0，為平面的法向量，由，可知，設(shè)，，則，1，，，0，，可得，，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，1，，，，解得或，即為的三等分點(diǎn)處．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，以及利用面面角確定點(diǎn)的位置，屬中檔題．23．（2022?象山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的重心，為的中點(diǎn)，試用基底表示向量和．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；平面向量的基本定理【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想；平面向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)向量的加，減，數(shù)乘公式，結(jié)合幾何圖形，即可用基底表示．【解答】解：；所以，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023秋?樂山期末）已知斜棱柱中，，．設(shè)，，．（1）用基底，，表示向量，并求；（2）求向量與向量夾角的余弦值．【答案】（1）；；（2）．【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；綜合法；平面向量及應(yīng)用【分析】（1）直接利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果；（2）利用向量的夾角運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：（1）斜棱柱中，，．設(shè)，，，故：．．（2），．．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．25．（2023秋?保定期末）如圖，在空間四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，在上且．（1）以，，為基底，表示；（2），，，，，求．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間向量及應(yīng)用【分析】（1）利用空間向量的加減運(yùn)算，即可求解；（2）利用空間向量的數(shù)量積，即可求解．【解答】解：（1）．（2），，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．2．球的表面積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的表面積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：表面積計(jì)算公式為．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的球尺寸進(jìn)行表面積計(jì)算．【命題方向】﹣球的表面積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用球的表面積計(jì)算．3．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：4．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．5．空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、在x、y、z軸上的點(diǎn)分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣b，﹣c，）點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為（a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為（a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣a，b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）6．空間兩點(diǎn)間的距離公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩點(diǎn)間的距離公式：已知空間兩點(diǎn)P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），則兩點(diǎn)的距離為，特殊地，點(diǎn)A（x，y，z）到原點(diǎn)O的距離為．7．空間向量及其線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為||，||特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作；②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如的相反向量記為﹣．5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定與任何向量平行；②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：（2）結(jié)合律：．3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量．1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同；②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反；③當(dāng)λ＝0時(shí)，＝．④|λ|＝|λ|?||的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的|λ|倍．2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）結(jié)合律：注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如等無法計(jì)算．8．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作．與任意向量是共線向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量、（），的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得．（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使得．【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡(jiǎn)、計(jì)算得出，從而．（2）表示與所在的直線平行或重合兩種情況．空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使．滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)，反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果與為共線向量，則（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共線向量的條件，推出比例關(guān)系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）與＝（1，﹣2y，9）共線，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根據(jù)共面向量定理，說明M、A、B、C共面，判斷選項(xiàng)的正誤．解答：由共面向量定理，說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．9．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量．2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{，，}表示．3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{，，}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以，，的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量，，都叫做坐標(biāo)向量．通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面．4．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量＝，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得＝．把x，y，z稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作＝（x，y，z）．【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得，若存在，則假設(shè)成立；若不存在，則假設(shè)不成立．2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．10．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間向量基本定理如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量．【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得，若存在，則假設(shè)成立；若不存在，則假設(shè)不成立．【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．11．空間向量基底表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x+y+z．任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量．2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{，，}表示．【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得，若存在，則假設(shè)成立；若不存在，則假設(shè)不成立．﹣基底表示：任何空間向量都可以表示為基底向量的線性組合：其中是基底向量，c1，c2，c3是系數(shù)．﹣線性組合：通過解線性方程組找到系數(shù)c1，c2，c3．【命題方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空間中的任意向量．12．空間向量單位正交基底及其表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{，，}表示．2．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量＝，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得＝．把x，y，z稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作＝（x，y，z）．【解題方法點(diǎn)撥】1．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．2．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）