2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量及其運(yùn)算

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量及其運(yùn)算一．選擇題（共10小題）1．（2024?龍崗區(qū)校級模擬）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是A． B．，， C． D．，，2．（2024?南湖區(qū)校級一模）正四面體的棱長為3，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長時(shí)，的最大值為A．2 B． C．3 D．3．（2024?金安區(qū)校級模擬）正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，，則的最小值為A．24 B．25 C．48 D．504．（2024?香坊區(qū)校級四模）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長為A． B． C． D．5．（2024?高碑店市校級模擬）已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是A． B． C．，4， D．6．（2024?昌黎縣校級模擬）定義兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模，它的方向與和同時(shí)垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則A． B．4 C． D．7．（2024?番禺區(qū)校級二模）已知空間向量，，，，則A．3 B． C． D．218．（2024?潮陽區(qū)校級三模）已知平行六面體中，，，，則A． B． C． D．9．（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知直線過點(diǎn)，，，且方向向量為，則點(diǎn)，1，到的距離為A． B． C． D．10．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)，，，是空間中給定的個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B． C．無窮多個(gè) D．前面的說法都有可能二．多選題（共5小題）11．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知正方體邊長為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，則直線平面 B．當(dāng)時(shí)，的最小值為 C．當(dāng)，，時(shí)，的取值范圍為 D．當(dāng)，且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為12．（2024?煙臺模擬）已知空間向量，，則A． B．在上的投影向量為，2， C．若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi) D．向量是與平行的一個(gè)單位向量13．（2024?民樂縣校級一模）下列命題錯(cuò)誤的是A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，，，若，其中，，且，則，，，四點(diǎn)共面 B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 C．若，共線，則 D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得14．（2024?淄博模擬）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn)．若，，，則下列說法正確的是A． B． C． D．15．（2024?張家界二模）正六棱柱的所有棱長均為2，為棱上中點(diǎn)，記正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)為，2，，，則的值可以是A．0 B． C．1 D．2三．填空題（共10小題）16．（2024?東湖區(qū)校級三模）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是．17．（2024?太原三模）已知直線過點(diǎn)，2，，且直線的一個(gè)方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．18．（2024?廣州模擬）已知，，是棱長為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的取值范圍是．19．（2024?中山市校級模擬）已知正四面體的棱長為2，若球與正四面體的每一條棱都相切，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為．20．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知空間向量，，共面，則實(shí)數(shù)．21．（2024?故城縣校級模擬）已知向量，，，若，，三個(gè)向量共面，則．22．（2024?紅河州模擬）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，，使成立，則的最小值為．23．（2024?拉薩一模）已知，，空間向量．若，則．24．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）兩個(gè)非零向量，，定義，．若，0，，，2，，則．25．（2023?浦東新區(qū)三模）空間向量，2，的單位向量的坐標(biāo)是．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量及其運(yùn)算參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?龍崗區(qū)校級模擬）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是A． B．，， C． D．，，【答案】【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)投影向量的求解公式計(jì)算即可．【解答】解：，，故向量在向量上的投影向量是：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量條件下投影向量的計(jì)算，屬于中檔題．2．（2024?南湖區(qū)校級一模）正四面體的棱長為3，點(diǎn)，是它內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段最長時(shí)，的最大值為A．2 B． C．3 D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；球【分析】設(shè)四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長，再化簡可求得其最大值．【解答】解：設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，，則在上，連接，則．因?yàn)檎拿骟w的棱長為3，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)最長，此時(shí)，，，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長，的最大值為，所以的最大值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：錐體和球體的關(guān)系，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2024?金安區(qū)校級模擬）正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，，則的最小值為A．24 B．25 C．48 D．50【答案】【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先由，再由，推出，，，再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到，結(jié)合基本不等式，即可求解結(jié)果．【解答】解：法一：因?yàn)檎拿骟w的棱長為6，所以，同理可得，，又因?yàn)橐詾榍蛐那野霃綖?的球面上有兩點(diǎn)，，，所以，由，則，，，，，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號，此時(shí)，所以．故的最小值為50．法二：由于，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，所以，由于，所以，由于，所以，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影時(shí)，最小，由于棱長為6，所以，，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．4．（2024?香坊區(qū)校級四模）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【專題】整體思想；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由題意可知，再利用，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【解答】解：由題意可知，，，，的長為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?高碑店市校級模擬）已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是A． B． C．，4， D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影【專題】空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)已知求出，即可根據(jù)投影向量的定義求出答案．【解答】解：因?yàn)?，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的數(shù)量積和投影向量，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?昌黎縣校級模擬）定義兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模，它的方向與和同時(shí)垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則A． B．4 C． D．【答案】【考點(diǎn)】平面向量的概念與平面向量的模；空間向量及其線性運(yùn)算【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題中條件確定，設(shè)底面△的中心為，則平面，可求得，又的方向與相同，代入計(jì)算可得答案．【解答】解：由題意，，設(shè)底面△的中心為，連接，，則平面，又，，平面，故，，，則，，在△中，，則，又的方向與相同，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量及其運(yùn)算，考查三角形中的幾何計(jì)算，屬中檔題．7．（2024?番禺區(qū)校級二模）已知空間向量，，，，則A．3 B． C． D．21【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】空間向量及應(yīng)用；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算即可求解．【解答】解：由，可得，由，，，可得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．8．（2024?潮陽區(qū)校級三模）已知平行六面體中，，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；空間向量及應(yīng)用【分析】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【解答】解：，所以，所以，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知直線過點(diǎn)，，，且方向向量為，則點(diǎn)，1，到的距離為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；空間向量的夾角與距離求解公式【專題】空間向量及應(yīng)用；整體思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式求解．【解答】解：點(diǎn)，，，點(diǎn)，1，，2，，，又直線的方向向量為，點(diǎn)，1，到的距離，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間中點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)，，，是空間中給定的個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B． C．無窮多個(gè) D．前面的說法都有可能【答案】【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算【專題】綜合法；平面向量及應(yīng)用；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案．【解答】解：設(shè)，，，，，，由得，所以，，，所以，所以滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?朝陽區(qū)校級模擬）已知正方體邊長為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，則直線平面 B．當(dāng)時(shí)，的最小值為 C．當(dāng)，，時(shí)，的取值范圍為 D．當(dāng)，且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算【專題】邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】由時(shí)，得到為的中點(diǎn)，可判定錯(cuò)誤；在上取點(diǎn)，得到求得點(diǎn)在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，可判定正確；證得平面，求得的最大值與最小值，可判定正確；求得點(diǎn)的軌跡在△內(nèi)，根據(jù)題意得到點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，且，可判定錯(cuò)誤．【解答】解：對于中，由于時(shí)，則，此時(shí)為的中點(diǎn)，在正方體中，由平面，所以直線不會(huì)垂直平面，所以錯(cuò)誤；對于中，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，因?yàn)?，即，可得點(diǎn)在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖（1）（2）所示，連接交于，此時(shí)，，三點(diǎn)共線，取到最小值即的長，由于，所以，則，所以，所以，即此時(shí)的最小值為，所以正確；對于中，當(dāng)，，時(shí)，可得點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)（包括邊界），在正方形中，可得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以，又由，所以的取值范圍為，所以正確；對于中，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)的軌跡在△內(nèi)（包括邊界），由于平面，平面，可得，又因?yàn)椋?，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，可得，同理可證，又因?yàn)?，，平面，所以平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，由于，△為邊長為的正三角形，則點(diǎn)到平面的距離為，若，則，即點(diǎn)落在以為圓心，為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)到△三邊的距離均為，即點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，又由，其軌跡長度為3倍的弧長，所以錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（2024?煙臺模擬）已知空間向量，，則A． B．在上的投影向量為，2， C．若向量，則點(diǎn)在平面內(nèi) D．向量是與平行的一個(gè)單位向量【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】空間向量及應(yīng)用；向量法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷的正誤；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷的正誤；根據(jù)共面向量基本定理判斷，是否共面，從而判斷的正誤；根據(jù)共線向量基本定理及單位向量的定義即可判斷的正誤．【解答】解：，，正確；，4，，2，，在上的投影向量為：，正確；若，即，0，，2，，，，，方程組無解，不共面，點(diǎn)不在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；向量是單位向量，且，向量是與平行的一個(gè)單位向量，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，向量加法的幾何意義，共面和共線向量基本定理，單位向量的定義，是基礎(chǔ)題．13．（2024?民樂縣校級一模）下列命題錯(cuò)誤的是A．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，，，若，其中，，且，則，，，四點(diǎn)共面 B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 C．若，共線，則 D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得【答案】【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；空間向量的共線與共面；空間向量及其線性運(yùn)算【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接利用向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運(yùn)算判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對于：由于，其中，，且，則，整理得：，故，所以，，，四點(diǎn)共面，故正確；對于：由于，，與的夾角為鈍角，故，且，故的取值范圍為，，，故錯(cuò)誤；對于：若，共線且方向相反時(shí)，則，故錯(cuò)誤；對于：若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量共線的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2024?淄博模擬）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn)．若，，，則下列說法正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；空間向量及其線性運(yùn)算【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；空間向量及應(yīng)用【分析】由題意可知，，再利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：由題意可知，，對于，，故正確；對于，又因?yàn)?，所以，所以，，故錯(cuò)誤；對于，，故錯(cuò)誤；對于，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算進(jìn)而數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?張家界二模）正六棱柱的所有棱長均為2，為棱上中點(diǎn)，記正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)為，2，，，則的值可以是A．0 B． C．1 D．2【答案】【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)特征與向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，算出當(dāng)在下底面的某個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，；當(dāng)在上底面的某個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，，進(jìn)而可得正確答案．【解答】解：若與重合，則；若與重合，則．若點(diǎn)在下底面的某個(gè)頂點(diǎn)處（不與重合）時(shí)，根據(jù)與底面垂直，可得，所以．；同理可得點(diǎn)在上底面的某個(gè)頂點(diǎn)處（不與重合）時(shí)，．綜上所述，的值可以是或1．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、正棱柱的結(jié)構(gòu)特征等知識，考查了計(jì)算能力、概念的理解能力，屬于中檔題．三．填空題（共10小題）16．（2024?東湖區(qū)校級三模）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是，0，．【答案】，0，．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】計(jì)算題；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由向量在向量上的投影向量為，，計(jì)算即可求出答案．【解答】解：向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為，，0，，0，，故答案為：，0，．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?太原三模）已知直線過點(diǎn)，2，，且直線的一個(gè)方向向量為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可．【解答】解：由題知，直線過點(diǎn)，2，，且直線的方向向量為，點(diǎn)，0，，所以，所以點(diǎn)，0，到的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查空間中點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?廣州模擬）已知，，是棱長為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的取值范圍是，．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，，結(jié)合夾角的定義可得，可得其最大值；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可知，可得其最小值．【解答】解：正方體表面上任意兩點(diǎn)間距不超過體對角線長，則，，故，，而，，，故，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，取，0，，當(dāng)，重合為，1，時(shí)，則，1，，1，，取得最大值3；由對稱性，設(shè)在下底面，，，，，由在下底面知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，也在下底面時(shí)取等，此時(shí)，，共面，設(shè)中點(diǎn)為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，重合時(shí)取等，又因?yàn)?，可得，例如，?，，，1，，則，所以，不重合時(shí)，的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查空間向量與立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．19．（2024?中山市校級模擬）已知正四面體的棱長為2，若球與正四面體的每一條棱都相切，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；綜合法【分析】將該正四面體補(bǔ)成正方體，則可得球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合四面體以及正方體和球的切接問題，求出的最大值以及最小值，即可求得答案．【解答】解：由題意知正四面體的棱長為2，故可將該正四面體補(bǔ)成如圖示正方體，正方體棱長為，四面體的每條棱皆為正方體的面對角線，由于球與正四面體的每一條棱都相切，故球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，球的直徑為正方體的棱長，則半徑；設(shè)為的中點(diǎn)，則，則，由于點(diǎn)在正四面體面的外部（含正四面體面表面）運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)位于的中點(diǎn)處時(shí)，最大，即為正方體內(nèi)切球直徑，此時(shí)取到最大值；在正四面體中，設(shè)為中點(diǎn)，連接，，則，，，，平面，則平面，而平面，故平面平面，則球的球心在平面內(nèi)，則的內(nèi)切圓即為球的一個(gè)小圓，設(shè)該圓與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)和都位于球的同一個(gè)大圓所在的平面上，此時(shí)該大圓上劣弧所對弦長最短，即點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，最小；設(shè)內(nèi)切圓圓心為，則內(nèi)切圓半徑為，，則，中，，，故，在中，則，即的最小值為，故的最小值為，故的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將正四面體補(bǔ)成為正方體，將球轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球問題，結(jié)合多面體和球的切接問題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知空間向量，，共面，則實(shí)數(shù)3．【答案】3．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；空間向量的共線與共面【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解．【解答】解：，，共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，，即，解得．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的共面定理，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?故城縣校級模擬）已知向量，，，若，，三個(gè)向量共面，則．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間向量及應(yīng)用；定義法；方程思想【分析】根據(jù)向量共面定理求解．【解答】解：由題意，設(shè)，即，5，，，，3，，，，所以解得，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量共面定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024?紅河州模擬）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，，使成立，則的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】空間向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】設(shè)，根據(jù)，得，再利用基本不等式求得最值．【解答】解：設(shè)，則由題意有，又，因?yàn)?，所以，即，即，由，，可得：，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，考查基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．23．（2024?拉薩一模）已知，，空間向量．若，則1．【答案】1．【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【專題】平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；邏輯推理；綜合法【分析】根據(jù)，從而可求出，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，即，得．故答案為?．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．24．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）兩個(gè)非零向量，，定義，．若，0，，，2，，則．【答案】．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【專題】立體幾何；整體思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)給出的兩向量的坐標(biāo)，求出對應(yīng)的模，運(yùn)用向量數(shù)量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．【解答】解：設(shè)向量，的夾角為，，0，，，2，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是熟記向量的數(shù)量積公式，是新定義中的基礎(chǔ)題．25．（2023?浦東新區(qū)三模）空間向量，2，的單位向量的坐標(biāo)是．【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；空間向量的共線與共面【專題】向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】得出，從而得出的單位向量坐標(biāo)為：，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：，的單位向量的坐標(biāo)為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了單位向量的定義及求法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的概念與平面向量的?！局R點(diǎn)的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個(gè)單位的向量；長度為0的向量為零向量．向量的模的大小，也就是的長度（或稱模），記作||．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．單位向量長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．相等向量長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯(cuò)誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)常考點(diǎn)，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．3．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量與不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ＝．通過這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了．【解題方法點(diǎn)撥】例：復(fù)數(shù)z＝+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60°．解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．∴復(fù)數(shù)z＝+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60°．故答案為：60°．點(diǎn)評：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量（，1）與向量（，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)常考點(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．4．空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為||，||特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作；②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如的相反向量記為﹣．5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定與任何向量平行；②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：（2）結(jié)合律：．3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量．1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同；②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反；③當(dāng)λ＝0時(shí)，＝．④|λ|＝|λ|?||的長度是的長度的|λ|倍．2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）結(jié)合律：注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如等無法計(jì)算．5．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同；②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反；③當(dāng)λ＝0時(shí)，＝．④|λ|＝|λ|?||的長度是的長度的|λ|倍．2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①②（λ+μ）＝+（2）結(jié)合律：注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如等無法計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計(jì)算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．6．空間向量的共線與共面【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作．與任意向量是共線向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量、（），的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得．（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得．【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使成立，或充分利用空間向量的運(yùn)算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計(jì)算得出，從而．（2）表示與所在的直線平行或重合兩種情況．空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使．滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)，反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式．這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果與為共線向量，則（）A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝﹣C．x＝，y＝﹣D．x＝﹣，y＝分析：利用共線向量的條件，推出比例關(guān)系求出x，y的值．解答：∵＝（2x，1，3）與＝（1，﹣2y，9）共線，故有＝＝．∴x＝，y＝﹣．故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．B．C．D．分析：根據(jù)共面向量定理，說明M、A、B、C共面，判斷選項(xiàng)的正誤．解答：由共面向量定理，說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．7．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量、，在空間中任取一點(diǎn)O，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作＜，＞．2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量、，則||||cos＜，＞叫做向量與的數(shù)量積，記作?，即?＝||||cos＜，＞（2）幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積，或的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積．3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：＝λ（）＝?（）（2）分配律：．4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號，而不能用符號，也不能用（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)時(shí)，由＝0不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我粋€(gè)與垂直的非零向量，都有【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式||＝求解即可．特別注意準(zhǔn)確求解已知兩向量之間的夾角大小．利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷時(shí)，須指明，；（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量，，的線性形式，然后利用數(shù)量積說明兩直線的方向向量垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線垂直．【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），則?＝﹣7分析：通過2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），∴＝（1，﹣3，1），∴?＝1×0+2×