2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之拋物線

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之拋物線一．選擇題（共10小題）1．（2024?威海二模）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過點，且與在第一象限的交點為，若，則A．2 B．4 C．8 D．122．（2024?六盤水模擬）拋物線的焦點坐標為A． B． C． D．3．（2024?唐山一模）已知拋物線的焦點為，以為圓心的圓與交于，兩點，與的準線交于，兩點，若，則A．3 B．4 C．6 D．84．（2024?石家莊模擬）拋物線的準線方程是A． B． C． D．5．（2024?全國）拋物線的焦點為，上的點到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．6．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則A． B． C． D．37．（2024?泰州模擬）拋物線的準線方程為A． B． C． D．8．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是A． B． C． D．9．（2024?成都三模）已知點，分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為A．6 B． C． D．10．（2024?岳陽模擬）拋物線的焦點坐標是A．， B．， C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為12．（2024?回憶版）拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個13．（2024?博白縣模擬）過拋物線的焦點的直線與相交于，兩點，則A． B． C． D．14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則A．的最小值為2 B．當直線的斜率為時， C．設直線，的斜率分別為，，則 D．過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則15．（2024?齊齊哈爾模擬）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點，若，則A．直線的斜率為 B． C． D．三．填空題（共5小題）16．（2024?衡陽模擬）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），為坐標原點），，則．17．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，，與軸交于點，，若，則．18．（2024?天津）的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線于第一象限交于點，則原點到直線的距離為．19．（2024?鄭州二模）拋物線的準線方程為，則實數(shù)的值為．20．（2024?德陽模擬）已知為拋物線的焦點，過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點、，若拋物線在、兩點處的切線相交于點，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線在，兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．22．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為，的面積為．已知，，設過點的動直線與拋物線交于、兩點，直線，與的另一交點分別為，．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．23．（2024?涼山州模擬）為拋物線上一點，過作兩條關于對稱的直線分別交于，，，兩點．（1）求的值及的準線方程；（2）判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．24．（2024?河南模擬）設拋物線的焦點為，，是上一點且，直線經(jīng)過點．（1）求拋物線的方程；（2）①若與相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為，，且關于原點的對稱點為，證明：直線，的傾斜角之和為．25．（2024?湖北模擬）已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點，，當直線的傾斜角為時，．（1）求拋物線的標準方程和準線方程；（2）記為坐標原點，直線分別與直線，交于點，，求證：以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之拋物線參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?威海二模）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線過點，且與在第一象限的交點為，若，則A．2 B．4 C．8 D．12【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解【分析】過點作軸的垂線，垂足為，利用斜率求出點的坐標，然后代入拋物線方程即可得解．【解答】解：過點作軸的垂線，垂足為，因為直線的斜率為，所以，則，所以點坐標為，代入得，整理得，解得或（舍去）．故選：．【點評】本題考查了拋物線的定義，重點考查了拋物線的性質，屬基礎題．2．（2024?六盤水模擬）拋物線的焦點坐標為A． B． C． D．【答案】【考點】拋物線的性質【專題】計算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】直接利用拋物線的簡單性質求解即可．【解答】解：拋物線的焦點坐標為．故選：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基礎題．3．（2024?唐山一模）已知拋物線的焦點為，以為圓心的圓與交于，兩點，與的準線交于，兩點，若，則A．3 B．4 C．6 D．8【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】方程思想；轉化思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據(jù)拋物線及圓的幾何性質易得圓的半徑，再利用拋物線的焦半徑公式求出點的橫坐標，從而可得點縱坐標，即可求解．【解答】解：拋物線方程為：，，焦點為，準線方程為，圓心到準線的距離為，又，圓的半徑為，，即，，，代入中可得，．故選：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質，圓的幾何性質，方程思想，屬基礎題．4．（2024?石家莊模擬）拋物線的準線方程是A． B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】拋物線的開口向左，且，由此可得拋物線的準線方程．【解答】解：拋物線的開口向左，且，拋物線的準線方程是故選：．【點評】本題考查拋物線的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．5．（2024?全國）拋物線的焦點為，上的點到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】求得拋物線的焦點和準線方程，由拋物線的定義和點到直線的距離公式，解得，可得拋物線的方程；【解答】解：拋物線的焦點，，準線方程為，上的點到的距離等于到直線的距離，可得，解得，故選：．【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基礎題．6．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則A． B． C． D．3【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；數(shù)學運算；綜合法【分析】由拋物線的性質，結合拋物線的定義求解．【解答】解：已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，則，即拋物線的方程為，又點，，，是拋物線上兩個不同的點，且，則，即，即，即，則．故選：．【點評】本題考查了拋物線的性質，重點考查了拋物線的定義，屬中檔題．7．（2024?泰州模擬）拋物線的準線方程為A． B． C． D．【答案】【考點】求拋物線的準線方程【專題】數(shù)學運算；對應思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據(jù)拋物線的性質得出準線方程．【解答】解：拋物線方程可化為，，拋物線的準線方程為．故選：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質，屬基礎題．8．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；圓與圓錐曲線的綜合【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】設，由取得最小值時，最大，最小即可求解．【解答】解：如圖所示：因為，，設，則，當時，取得最小值，此時，最大，最小，且．故選：．【點評】本題主要考查圓與拋物線的綜合知識，考查計算能力，屬于中檔題．9．（2024?成都三模）已知點，分別是拋物線和圓上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為A．6 B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；直線與圓；轉化思想；數(shù)學運算【分析】設點的坐標為，，是軸上一點，令，可解得，進而，最后運用兩點的距離公式及三角形的性質可求解．【解答】解：設點的坐標為，，是軸上一點，由拋物線的性質知點的坐標為，則，，令，則，將，代入化簡得，即點滿足，所以，設點坐標為，，所以．故選：．【點評】本題考查拋物線的幾何性質，考查兩點的距離公式，考查三角形的基礎知識，屬于中檔題．10．（2024?岳陽模擬）拋物線的焦點坐標是A．， B．， C． D．【答案】【考點】拋物線的性質【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用拋物線的標準方程，轉化求解即可．【解答】解：拋物線的開口向上，，所以拋物線的焦點坐標．故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．二．多選題（共5小題）11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為【答案】【考點】直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結合韋達定理求出的值，可判斷選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷選項；利用三角形三邊關系可判斷選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷選項．【解答】解：易知拋物線的焦點為，對于選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，因為，則在直線上，設直線的方程為，聯(lián)立可得，則△，由韋達定理可得，，因為，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時，直線的斜率為，對；對于選項，當時，則在直線上，，則，對；對于選項，當和不平行時，則、、三點不共線，所以，，錯；對于選項，設，，當時，，由選項可得，所以，，即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，對．故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，考查圓錐曲線中的最值問題解決方法，是中檔題．12．（2024?回憶版）拋物線的準線為，為上的動點，過作的一條切線，為切點，過點作的垂線，垂足為，則A．與相切 B．當，，三點共線時， C．當時， D．滿足的點有且僅有2個【答案】【考點】拋物線的焦點與準線【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算【分析】選項中，拋物線的準線為，判斷是圓的一條切線；選項中，當、、三點共線時，求出點，計算即可；選項中，當時，與并不垂直；選項中，由得出在的中垂線上，判斷該直線與拋物線有兩交點．【解答】解：對于，拋物線的準線為，是的一條切線，選項正確；對于，的圓心為，當、、三點共線時，，所以，選項正確；對于，當時，或，對應的或，當時，，，與不垂直，當時，，，與不垂直，選項錯誤；對于，焦點，由拋物線的定義知，則等價于在的中垂線上，該直線的方程為，它與拋物線有兩交點，選項正確．故選：．【點評】本題考查了直線與拋物線方程應用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．13．（2024?博白縣模擬）過拋物線的焦點的直線與相交于，兩點，則A． B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想【分析】由焦點的坐標即可判斷；結合拋物線的定義，即可判斷；由平面向量的坐標運算，結合韋達定理即可判斷．【解答】解：由題意可得，即，所以，故正確，錯誤；設，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去整理得，則，，所以，故正確；又，則，故正確．故選：．【點評】本題考查拋物線的定義與性質，屬于基礎題．14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則A．的最小值為2 B．當直線的斜率為時， C．設直線，的斜率分別為，，則 D．過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】對于，利用即可判斷；對于，將代入即可判斷；對于，求出與的斜率即可求解；對于，證明即可．【解答】解：由題意可設直線方程為，且，，，，由聯(lián)立得，故，；對于，由拋物線定義知，，故，當?shù)忍柍闪r，不符合題意，故錯誤；對于，由知，正確；對于，，，故，，故，由，，得，故正確；對于，直線的方程為，令，得，故，故為的中點，故正確．故選：．【點評】本題考查拋物線的性質以及直線與拋物線的綜合應用，屬于中檔題．15．（2024?齊齊哈爾模擬）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點，若，則A．直線的斜率為 B． C． D．【答案】【考點】拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算；轉化思想【分析】由，以及拋物線方程求得，，再由斜率公式判斷；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，，即可求出判斷；由拋物線的定義求出，即可判斷；由，求得，為鈍角，可判斷．【解答】解：對于，易得，，由，可得在的垂直平分線上，則的橫坐標為，代入拋物線可得，即，，則直線的斜率為，故正確；對于：由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設，，則，則，代入拋物線得，解得，則，，，故錯誤；對于，故正確；，，，則為鈍角，又，，，則為鈍角，故正確．故選：．【點評】本題主要考查拋物線的性質，考查運算求解能力，屬中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?衡陽模擬）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），為坐標原點），，則．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】方程思想；運算求解；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】由題意可得直線的斜率和直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和拋物線的焦半徑公式，解方程可得，可得所求值．【解答】解：的焦點為，，準線方程為，由，可得直線的斜率為，直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即為，設，，，，可得，，由，可得，解得，，，則．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的定義、方程和性質，以及直線和拋物線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．17．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以點為圓心，以為半徑的圓與交于點，，與軸交于點，，若，則．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算；綜合法【分析】求得拋物線的焦點和準線方程，由向量相等推得，由拋物線的定義推得四邊形為菱形，再由兩點的距離公式求得的縱坐標，可得所求值．【解答】解：拋物線的焦點為，準線為，設，，，由，可得，垂足為，且，由拋物線的定義可得，且四邊形為菱形，，，，．由，解得，則．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的定義和方程、性質，以及圓的性質，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．18．（2024?天津）的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線于第一象限交于點，則原點到直線的距離為．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維；運算求解【分析】推導出，從而，進而，聯(lián)立，得，求出直線的方程為，由此能求出原點到直線的距離．【解答】解：的圓心與拋物線的焦點重合，，，，聯(lián)立，得或，兩曲線與第一象限交于點，，直線的方程為，即，原點到直線的距離為．故答案為：．【點評】本題考查圓心坐標、拋物線方程、直線方程、點到直線距離等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．（2024?鄭州二模）拋物線的準線方程為，則實數(shù)的值為．【答案】．【考點】拋物線的焦點與準線【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想；數(shù)學運算；綜合法【分析】由焦點在軸上的拋物線的準線方程可得所求值．【解答】解：拋物線的準線方程為，由題意可得，解得．故答案為：．【點評】本題考查拋物線的方程和性質，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．20．（2024?德陽模擬）已知為拋物線的焦點，過點且傾斜角為的直線與拋物線相交于不同的兩點、，若拋物線在、兩點處的切線相交于點，則4．【答案】4．【考點】拋物線的切線方程及性質；利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程；直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學運算；綜合法；整體思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】設，，，，設直線，代入拋物線方程，消去得，根據(jù)韋達定理可得，，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，求出點的坐標，即可求出的值．【解答】解：設，，，，拋物線在、兩點處的切線為，，由，且直線的傾斜角為，因此，設直線，代入拋物線方程，消去得，，則，，所以，由拋物線，可得，對求導數(shù)，得到，則拋物線在，兩點處的切線的斜率為，切線的斜率為，所以直線的方程為，即，①則直線的方程為，即，②，由①②解得，，所以點的坐標為，根據(jù)兩點間距離公式：．故答案為：4．【點評】本題考查了拋物線的方程，重點考查了韋達定理及導數(shù)的幾何意義，屬中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，為的中點，且點到拋物線的準線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線在，兩點的切線相交于點，求點的橫坐標．【答案】（1）；（2）．【考點】直線與拋物線的綜合【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；數(shù)學運算；綜合法【分析】（1）設直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用焦點弦長公式出最小值即可求解；（2）設切線方程與拋物線聯(lián)立，由判別式等于0化簡切線方程，并求出交點坐標即可求解．【解答】解：（1）由題知直線的斜率不為0，設直線，聯(lián)立，得，則△，，由拋物線的定義，知點到拋物線準線的距離，所以當時，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在，兩點處的切線與坐標軸不垂直，設在點，處的切線方程為，即，聯(lián)立，得，則△，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點，處的切線方程為，設，，由，得，由（1）知，所以，所以點的橫坐標為．【點評】本題考查了直線與拋物線的位置關系，重點考查了焦點弦長公式及直線的方程，屬中檔題．22．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上一點，直線的斜率為，的面積為．已知，，設過點的動直線與拋物線交于、兩點，直線，與的另一交點分別為，．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線過定點．【考點】拋物線的標準方程；拋物線的焦點與準線；直線與拋物線的綜合【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想【分析】（Ⅰ）求得直線的斜率和三角形的面積，解方程可得，進而得到拋物線的方程；（Ⅱ）分別求得直線，的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和三點共線的性質，結合直線恒過定點可得結論．【解答】解：（Ⅰ）設準線與軸的交點為，直線的斜率為，，又，，解得，故拋物線的方程為：．（Ⅱ）設，，，，過點的直線的方程為：．則聯(lián)立，整理得：，由韋達定理可得：，．又設，，，，可得的直線方程為：，由，，三點共線可得：，化簡可得：，同理，由，，三點共線可得：，可得，，綜上可得的直線方程為：，變形可得：，所以直線過定點．【點評】本題考查拋物線的方程和性質，以及直線和拋物線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．23．（2024?涼山州模擬）為拋物線上一點，過作兩條關于對稱的直線分別交于，，，兩點．（1）求的值及的準線方程；（2）判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）是定值；．【考點】拋物線的定點及定值問題【專題】綜合法；計算題；數(shù)學運算；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）將點代入拋物線方程求的值，利用拋物線方程求準線方程；（2）設直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理，直線與對稱可知，直線與斜率互為相反數(shù)，可證明直線斜率為定值．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，得，故所求拋物線方程為，拋物線的準線方程為．（2）由題意不妨設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，消去得：，△，由韋達定理得，因為直線與關于對稱，，且，所以，即，即，由韋達定理得，所以直線的斜率為定值．【點評】本題主要考查拋物線的性質，直線與拋物線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．24．（2024?河南模擬）設拋物線的焦點為，，是上一點且，直線經(jīng)過點．（1）求拋物線的方程；（2）①若與相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為，，且關于原點的對稱點為，證明：直線，的傾斜角之和為．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．【考點】根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標準方程；拋物線的定點及定值問題【專題】向量與圓錐曲線；整體思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】（1）由化簡得，再根據(jù)定義得，代入即可的拋物線方程；（2）①設切點坐標為，通過導數(shù)求出切線方程，將點代入即可；②設直線的方程為，，，聯(lián)立得，，然后計算即可．【解答】（1）解：因為，所以，所以，所以，又是上一點，所以，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）解：①設切點坐標為，因為，所以，切線的斜率為，所以切線方程為，將代入上式，得，所以，所以切點坐標為．②證明：由①得，直線，的斜率都存在，要證：直線，的傾斜角之和為，只要證明：直線，的斜率之和為0．設直線的方程為，，，，則，，由得，所以，，又△，即，所以，即直線，的傾斜角之和為．【點評】本題考查了拋物線的性質，重點考查了直線與拋物線的位置關系，屬中檔題．25．（2024?湖北模擬）已知拋物線，過焦點的直線與拋物線交于兩點，，當直線的傾斜角為時，．（1）求拋物線的標準方程和準線方程；（2）記為坐標原點，直線分別與直線，交于點，，求證：以為直徑的圓過定點，并求出定點坐標．【答案】（1）拋物線的方程為，準線方程為．（2）證明見解析，定點坐標為和．【考點】拋物線的焦點弦及焦半徑【專題】數(shù)學運算；方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（1）根據(jù)已知得出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)過焦點的弦長公式，列出關系式，即可得出；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程根據(jù)韋達定理得出，的關系．進而表示出，的方程，求出，的坐標，得出圓的方程．取，即可得出定點坐標．【解答】解：（1）由已知可得，拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線與直線的方程，可得，設，，，，由韋達定理可得，所以，所以，所以拋物線的方程為，準線方程為．（2）證明：設直線，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，所以，，又，，所以，同理可得，設圓上任意一點為，則由，可得圓的方程為，整理可得，令，可得或，所以為直徑的圓過定點，定點坐標為和．【點評】直線或圓過定點問題，先根據(jù)已知表示出直線或圓的方程，令變參數(shù)為0，得出方程，求解即可得出求出定點的坐標．

考點卡片1．利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程【知識點的認識】曲線在某點上的切線方程可以通過該點的導數(shù)值和坐標求得．【解題方法點撥】﹣求導：計算函數(shù)的導數(shù)f'（x）．﹣切線方程：利用導數(shù)值作為切線的斜率，結合點的坐標，寫出切線方程．﹣公式：切線方程為y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是點的橫坐標．【命題方向】常見題型包括求解曲線在特定點的切線方程，分析函數(shù)的局部行為．曲線y＝在點（2，）處的切線方程為_____．解：由題意得，則曲線在點（2，）處的切線斜率k＝y(tǒng)'|x＝2＝＝﹣，故曲線在（2，）處的切線方程為y﹣＝﹣（x﹣2），即6x+25y﹣32＝0．故答案為：6x+25y﹣32＝0．2．拋物線的標準方程【知識點的認識】拋物線的標準方程的四種種形式：（1）y2＝2px，焦點在x軸上，焦點坐標為F（，0），（p可為正負）（2）x2＝2py，焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，），（p可為正負）四種形式相同點：形狀、大小相同；四種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．下面以兩種形式做簡單的介紹：標準方程y2＝2px（p＞0），焦點在x軸上x2＝2py（p＞0），焦點在y軸上圖形頂點（0，0）（0，0）對稱軸x軸焦點在x軸長上y軸焦點在y軸長上焦點（，0）（0，）焦距無無離心率e＝1e＝1準線x＝﹣y＝﹣3．根據(jù)拋物線上的點求拋物線的標準方程【知識點的認識】已知拋物線上的點（x1，y1），可以代入標準方程y2＝2px或x2＝2py來求解p的值．【解題方法點撥】1．代入點坐標：將點（x1，y1）代入拋物線方程．2．解出p：通過方程解得p的值，確定拋物線的標準方程．【命題方向】﹣給定點坐標，計算拋物線的標準方程．﹣利用點坐標確定拋物線參數(shù)p．4．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質：5．求拋物線的準線方程【知識點的認識】準線是與焦點平行的直線，距離焦點的距離等于p．準線的方程為或根據(jù)拋物線的對稱軸決定．【解題方法點撥】1．確定準線的位置：準線的方程取決于p的值．2．代入標準方程：使用p計算準線的方程．【命題方向】﹣給定拋物線參數(shù)，求準線的方程．﹣根據(jù)拋物線的標準方程確定準線方程．6．直線與拋物線的綜合【知識點的認識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點撥】研究直線與拋物線的位置關系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關系求解，同時應注意“設而不求”和“整體代入”方法的應用．直線y＝k