2024-2025學年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)高一上冊期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.4.函數(shù)（）的圖象大致為A. B.C. D.5.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調遞減，則（）A. B. C.2 D.46.函數(shù)值域為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（）A.4 B.5 C. D.8.已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)，滿足，且，當時，．給出以下結論：①；②；③為R上的減函數(shù)；④為奇函數(shù).其中正確結論的序號是（）A.①②④ B.①② C.①③ D.①④二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.（多選）下列選項正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為8C.最小值為2D.函數(shù)（）的最大值是010.已知命題：函數(shù)的圖象與軸有交點，命題：，.若，全為真命題，則實數(shù)的取值可以是（）A. B.0 C. D.11.已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（）A.， B.的值域為C.若，且，則 D.若，則二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______13.已知一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為______.14.我們知道，設函數(shù)的定義域為，如果對任意，都有，，且，那么函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形.若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數(shù)的值為______；若，則實數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）若集合，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.16.（1）計算：；（2）已知，求下列各式值：①；②17.已知函數(shù)（1）當時，寫出函數(shù)的解析式和單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最大值.18.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且（1）求、的值及的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調性，并用定義證明；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)，.（1）若，，求，最小值；（2）若恒成立，①求證：；②若，且恒成立，求的取值范圍.2024-2025學年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】確定集合A中元素，根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.【詳解】由題意得集合，，故，故選:C.2.若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用充分不必要條件的定義，結合集合的包含關系求出的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，得，所以.故選：B3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式并求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故選：D4.函數(shù)（）的圖象大致為A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由奇偶性排除選項；由,可排除選項,從而可得結果.【詳解】因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于軸對稱，可排除選項；因為,可排除選項,故選A.本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.5.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調遞減，則（）A. B. C.2 D.4【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，列式求出，進而求出函數(shù)值.【詳解】由冪函數(shù)在上單調遞減，得，解得，因此，.故選：A6.函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】令，，可得，利用函數(shù)單調性求值域.【詳解】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，時，有最小值，所以函數(shù)的值域為.故選：C7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（）A.4 B.5 C. D.【正確答案】D【分析】利用分段函數(shù)的單調性，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，列式求解即可.【詳解】由函數(shù)是上增函數(shù)，得，解得，所以實數(shù)的值可以是.故選：D8.已知函數(shù)的定義域為R，對任意實數(shù)，滿足，且，當時，．給出以下結論：①；②；③為R上的減函數(shù)；④為奇函數(shù).其中正確結論的序號是（）A.①②④ B.①② C.①③ D.①④【正確答案】D【分析】利用抽象函數(shù)的關系式，令判斷①的正誤；令，判斷②的正誤；令，可得當時，，再令，結合單調性的定義判斷③的正誤；令判斷④的正誤；【詳解】因為，則有：令，可得，即，解得，故①正確；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故②錯誤；令，可得，即因為，則，可得，所以，令，不妨設，可得，即，因為，則，則，可得，即，所以為上增函數(shù)，故③錯誤；令，可得，即，整理得，所以為奇函數(shù)，故④正確；故選：D．思路點睛：由題意采用賦值法，可解決①②，在此基礎上繼續(xù)對各個選項逐一驗證可得答案．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.（多選）下列選項正確的是（）A.若，則的最小值為2B.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為8C.的最小值為2D.函數(shù)（）的最大值是0【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，結合基本不等式的公式，即可依次求解．【詳解】對于A，當時，，故A錯誤，對于B，∵，，，則，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為8，故B正確，對于C，令，，在上單調遞增，則y的最小值為，故C錯誤，對于D，當時，，當且僅當，即時，等號成立，故，即函數(shù)y的最大值為0，故D正確．故選：BD．10.已知命題：函數(shù)的圖象與軸有交點，命題：，.若，全為真命題，則實數(shù)的取值可以是（）A. B.0 C. D.【正確答案】ACD【分析】分別求出命題為真命題的值范圍即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象與軸有交點，顯然，因為的圖象在軸下方，則，而，解得或，即命題：或；當時，，當且僅當時取等號，由，，得，解得，即命題：，由，全為真命題，得或，所以實數(shù)的取值可以是或或.故選：ACD11.已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（）A.， B.的值域為C.若，且，則 D.若，則【正確答案】AC【分析】由函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，結合指數(shù)函數(shù)的性質分析可得的值，判斷選項A；可得函數(shù)的解析式，求函數(shù)值域，分析函數(shù)的奇偶性和單調性判斷選項BCD．【詳解】函數(shù)的圖像過原點，∴，即，，由，有，時，；時，，由的圖像無限接近直線，但又不與該直線相交，∴，，，故A正確；由于，∴，故B錯誤；，函數(shù)定義域為R，上，單調遞減；在上，單調遞增，，為偶函數(shù)，故若，且，則，即，故C正確，由于上，單調遞減，故若，則，故D錯誤；故選：AC．二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______【正確答案】，.【分析】利用全稱量詞命題的否定直接寫出結論.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是：，.故，.13.已知一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為______.【正確答案】【分析】利用給定的解集求出與的關系，再代入解不等式.【詳解】由不等式的解集為，得是方程的二根，且，則，于是，不等式化為，整理得，解得或，所以不等式的解集為.故14.我們知道，設函數(shù)的定義域為，如果對任意，都有，，且，那么函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形.若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數(shù)的值為______；若，則實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】①.2②.【分析】由題意可得，代入計算即可得，結合函數(shù)的單調性與對稱性即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的圖象關于點0,1成中心對稱，得，即，整理得，解得，故函數(shù)，所以函數(shù)在R上都單調遞減，因此函數(shù)在R上單調遞減，令，由函數(shù)的圖象關于點0,1成中心對稱，得的圖象關于對稱，且在R上單調遞減，所以由，得即，于是，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故2；四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）若集合，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）或；（2）【分析】（1）利用集合交集的定義得到，，代入方程求解即可；（2）利用子集的定義，分，，，，由根與系數(shù)的關系，列式求解即可.【小問1詳解】因為集合，又集合，所以，，將代入方程可得，解得或當時，，符合題意；當時，，符合題意.綜上所述，或；【小問2詳解】若，則當時，方程無解，則，解得當時，則，無解；當時，則，無解；當時，則，無解.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為16.（1）計算：；（2）已知，求下列各式的值：①；②【正確答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用指數(shù)運算法則計算即得.（2）①②根據(jù)給定條件，利用指數(shù)冪的運算性質計算即得.【詳解】（1）.（2）①由，兩邊平方得，則，而，則，所以；②由①知，，，所以.17.已知函數(shù)（1）當時，寫出函數(shù)的解析式和單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最大值.【正確答案】（1），遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為；（2）【分析】（1）利用分段函數(shù)表示出函數(shù)，再借助二次函數(shù)單調性求出單調區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調區(qū)間，再按與區(qū)間的位置及區(qū)間端點離的遠近分類，并結合單調性求出最大值.【小問1詳解】當時，,所以，當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為.【小問2詳解】依題意，，，函數(shù)上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數(shù)在上單調遞減，；當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，；當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而，則；當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而，則；當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而，則；當時，，函數(shù)在上單調遞減，，所以函數(shù)在上的最大值.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求、的值及的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調性，并用定義證明；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1），；（2）單調遞增，證明見解析；（3）.【分析】（1）由求出、的值并驗證，進而求出的解析式.（2）借助指數(shù)函數(shù)單調性判斷單調性，再利用增函數(shù)的定義證明即可.（3）由奇函數(shù)化不等式為，再利用單調性和定義域列出關于的不等式求解.【小問1詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，由，得，解得，，，函數(shù)是在上的奇函數(shù)，所以，.【小問2詳解】由（1）知，，函數(shù)在上單調遞增，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)上單調遞增.【小問3詳解】不等式恒成立，即，而函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)