第6講有理數(shù)的混合運(yùn)算

第6講有理數(shù)的混合運(yùn)算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律；2．使學(xué)生能夠熟練地按有理數(shù)運(yùn)算順序進(jìn)行加，減，乘，除，乘方混合運(yùn)算；3.在運(yùn)算過(guò)程中，能靈活運(yùn)用運(yùn)算律和運(yùn)算中的符號(hào)問(wèn)題.考情分析有理數(shù)的混合運(yùn)算是實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的基礎(chǔ),學(xué)好有理數(shù)的混合運(yùn)算法則,對(duì)于后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算至關(guān)重要.中考中常常結(jié)合算術(shù)平方根、絕對(duì)值、零指數(shù)、三角函數(shù)值等形式，要求對(duì)各種表現(xiàn)形式理解準(zhǔn)確，依據(jù)相應(yīng)的概念、法則進(jìn)行計(jì)算，主要考查三步以內(nèi)的混合運(yùn)算.二、基礎(chǔ)知識(shí)·輕松學(xué)1.先后有別——有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序規(guī)定如下：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行；③如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的.【精講1】先算乘方再算乘除最后算加減，在數(shù)學(xué)中把數(shù)學(xué)基本運(yùn)算分成三個(gè)級(jí)別，除了現(xiàn)在學(xué)習(xí)的5種運(yùn)算外，還有以后要學(xué)習(xí)的開(kāi)方運(yùn)算，初中階段我們就學(xué)習(xí)這6種運(yùn)算，他們的關(guān)系如下：乘方開(kāi)方→第三級(jí)運(yùn)算乘法除法→第二級(jí)運(yùn)算加法減法→第一級(jí)運(yùn)算【精講2】如果一個(gè)算式中，只有同一級(jí)別的運(yùn)算應(yīng)該按照從左到右的順序進(jìn)行；如果一個(gè)算式中，存在不同級(jí)別的運(yùn)算則較高級(jí)的運(yùn)算優(yōu)先于較低級(jí)別的運(yùn)算.即乘方運(yùn)算優(yōu)先于乘法和除法，乘法和除法優(yōu)先于加法和減法.如果有括號(hào)，必須先計(jì)算括號(hào)里面的運(yùn)算，然后在計(jì)算括號(hào)外面的計(jì)算.2.快捷方式——有理數(shù)的運(yùn)算律：加法交換律：a+b=b+a；加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交換律：ab=ba；乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac【精講】為了提高運(yùn)算速度，要靈活運(yùn)用運(yùn)算律，還要能創(chuàng)造條件利用運(yùn)算律，如拆數(shù)，移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)等，對(duì)于復(fù)雜的有理數(shù)運(yùn)算，要善于觀察，分析，類比與聯(lián)想，從中找出規(guī)律，再運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，至此，便可在有理數(shù)的混合運(yùn)算中穩(wěn)操勝券.三、重難疑點(diǎn)·輕松破1.先后有別——有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序熟悉運(yùn)算順序應(yīng)由高級(jí)到低級(jí)的順序,計(jì)算時(shí)要認(rèn)真審題，確定正確的運(yùn)算律和運(yùn)算順序，選擇簡(jiǎn)便途徑，要按步驟謹(jǐn)慎進(jìn)行，不要急于求成，算出結(jié)果后，最后還要認(rèn)真演算，更不能在違反運(yùn)算順序的情況下強(qiáng)行“簡(jiǎn)便”計(jì)算.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤要認(rèn)真分析，找出原因，切實(shí)改正.例1計(jì)算-32eq\f(16,25)÷(-8×4)+2.52+(eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)－eq\f(3,4)－eq\f(11,12))×24解析：-32eq\f(16,25)÷(-8×4)+2.52+(eq\f(1,2)+eq\f(2,3)-eq\f(3,4)-eq\f(11,12))×24=(-32-eq\f(16,25))×(-)+6.25+12+16-18-22=1+eq\f(1,50)+6.25-12=1.02+6.25-12=-4.73.點(diǎn)評(píng)：有理數(shù)的混合運(yùn)算要注意三點(diǎn)：①小括號(hào)先算；②進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算，根據(jù)具體的算式特征，可以把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，也可以把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)，但是除法要轉(zhuǎn)化為乘法；③同級(jí)運(yùn)算，按從左往右的順序進(jìn)行，這一點(diǎn)十分重要.變式1.計(jì)算：［53－4×(－5)2－(－1)10］÷(－24－24+24).2.快捷方式——有理數(shù)的運(yùn)算律的靈活運(yùn)用在小學(xué)里已學(xué)過(guò)乘法的交換律、乘法的結(jié)合律和分配律，這些知識(shí)為有理數(shù)乘法運(yùn)算律的學(xué)習(xí)作了很好的鋪墊，應(yīng)用有理數(shù)乘法的運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，但它仍舊屬于有理數(shù)的乘法運(yùn)算，因此應(yīng)遵循有理數(shù)的乘法運(yùn)算的步驟：確定積的符號(hào)；把絕對(duì)值相乘.例2計(jì)算：解析：原式===8―3=5點(diǎn)評(píng)：本例按常規(guī)運(yùn)算順序，應(yīng)先算小括號(hào)里的減法，運(yùn)算較繁，觀察算式中的數(shù)字特征，可發(fā)現(xiàn)首尾兩數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)這一跡像，抓住算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，利用運(yùn)算定律，適當(dāng)改變運(yùn)算順序，可得如上新穎解法.由上運(yùn)算可知，把原算式根據(jù)運(yùn)算法則統(tǒng)一為乘法，再次運(yùn)用乘法交換律，利用倒數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，最后又根據(jù)數(shù)學(xué)特征，運(yùn)用乘法分配律，順利達(dá)到目的.本例在求解過(guò)程中，不斷創(chuàng)新，尋求新的解法，這樣既把所學(xué)知識(shí)用活，用巧，又培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，必須有這種學(xué)習(xí)精神，才能在素質(zhì)教育的大道上不斷進(jìn)取!變式2：計(jì)算:－42－3×22×(－1)÷(―1).例3計(jì)算：解析：原式==.也可這樣來(lái)算：原式===.對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算.如何分段呢?主要有：(1)運(yùn)算符號(hào)分段法.有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算.在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段.一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來(lái)，最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和.(2)括號(hào)分段法，有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的.在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算.(3)分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算.(4)絕對(duì)值符號(hào)分段法.絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的，因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算.變式3：計(jì)算：.3.注意分清運(yùn)算符號(hào)與性質(zhì)符號(hào)在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，時(shí)常出現(xiàn)“－”或“+”號(hào)的問(wèn)題.在一個(gè)運(yùn)算式中“－”號(hào)有兩重意義：一是表示性質(zhì)，如負(fù)數(shù)、相反數(shù)；二是運(yùn)算符號(hào)，表示減去，所以要根據(jù)具體情況去正確理解.“+”號(hào)也是一樣.因此在具體運(yùn)算要特別注意區(qū)別運(yùn)算符號(hào)與性質(zhì)符號(hào)，尤其是“－”問(wèn)題，千萬(wàn)不能大意.例4計(jì)算：［(－3)3－(－5)3］÷［(－3)－(－5)］.解析:［(－3)3－(－5)3］÷［(－3)－(－5)］＝［－27－(－125)］÷［(－3)－(－5)］＝［－27+125］÷［－3+5］＝98÷2＝49.點(diǎn)評(píng):本題一眼看上去都是“－”號(hào)，所以一定要依據(jù)運(yùn)算順序逐一解決每一個(gè)“－”號(hào)，這里的(－3)3與(－5)3都是“－”的奇次方，結(jié)果都是“－”的.再看每個(gè)中括號(hào)中的后面一項(xiàng)的前面又都是減號(hào)，所以可以利用加法的法則，使之轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.變式4計(jì)算：－2｛－1－［－18(1－2)－10］｝.4.有理數(shù)的運(yùn)算技巧有些有理數(shù)的計(jì)算題可以用不同的方法算出，若要選取較為簡(jiǎn)便的算法，那就要注意觀察和掌握一點(diǎn)技巧了.(1)注意看有沒(méi)有含零的因子例5計(jì)算：.解析：∵，∴.點(diǎn)評(píng)：此題要注意看有沒(méi)有含零的因子，若先計(jì)算，就耗時(shí)費(fèi)力了.(2)注意看能不能湊整例6計(jì)算：.解析：原式==100＋80－44=136.點(diǎn)評(píng)：此題要注意看有沒(méi)有能湊成整十、整百、整千、整萬(wàn)等的一部分和，若有，這樣加起來(lái)就容易些.(3)注意看能否拆項(xiàng)相消例7計(jì)算：.解析：原式===.點(diǎn)評(píng)：本題含有省略號(hào)，若不注意觀察，拆項(xiàng)相消，按一般步驟去計(jì)算，將十分繁瑣.(4)注意看有沒(méi)有相約的例8計(jì)算：.解析：.點(diǎn)評(píng)：此題把其中的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，要注意看分子分母相互間能否有約分的.變式5.計(jì)算:2+4+6+…+2000四、課時(shí)作業(yè)·輕松練A.基礎(chǔ)題組1.有三個(gè)有理數(shù)，其和為正，積為負(fù)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中A.沒(méi)有一個(gè)正數(shù)B.有一個(gè)正數(shù)C.有兩個(gè)正數(shù)D.有三個(gè)正數(shù)2.下列各數(shù)中，最大的是A.（-3-2）2B.（-3）×（-2）2C.（-3）2÷（-2）2D.-32×（）23.下列各式結(jié)果等于0的是（）A.12+12B.（-1）2+12C．＋（-1）2D．（-1）４－１２4．下列計(jì)算結(jié)果為正的是A．2-（-3）B．（-2）3＋5C．－（-3）4D．（-5）×（-1）×（-6）5．下列各式計(jì)算正確的是（）A．-7-2×5＝（-7-2）×5B．3÷×＝3÷１＝3C．3÷÷＝3÷（÷）D．－（－32）＝96.計(jì)算-3-32+32÷×3的結(jié)果是（）A.-3B.87C.15D.69 7.計(jì)算：（1）1--（）.（2）-22+（-2）3.（3）（-2）2+（-22）.（4）-52-52.B.提升題組8.若m與2互為相反數(shù)，n與互為倒數(shù)，則mn=____.9.計(jì)算：（1）-22-（-3）2×（-1）2-（-1）3.（2）.（3）.(4)1eq\f(1,2)÷eq\f(3,4)÷(-2)+eq\f(1,2)÷[(-eq\f(1,2))2-(1eq\f(1,2))2]×|-9eq\f(1,2)|-0.752.10.設(shè)a△b=a2﹣2b，則（﹣2）△（3△2）的值為．11.37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159=12.閱讀下列材料，回答問(wèn)題材料1：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即與互為倒數(shù)，也就是說(shuō)，a÷b=x,則b÷a=.材料2：乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把所得積相加，即（a+b）c=ac+bc.利用上述材料，巧解下題：（）÷（-+-）.中考試題初體驗(yàn)1.（2012廣東佛山）與2÷3÷4運(yùn)算結(jié)果相同的是（） A． 2÷3÷4 B． 2÷（3×4） C． 2÷（4÷3） D． 3÷2÷42.（2013湖北宜昌）計(jì)算：（﹣20）×（﹣）+．3.（2013湖南常德）計(jì)算；（π﹣2）0++（﹣1）2013﹣（）﹣2．五我的錯(cuò)題本參考答案變式練習(xí)變式1.解析:［53－4×(－5)2－(－1)10］÷(－24－24+24)＝［125－4×25－1］÷(－24)＝24÷(－24)＝－1.變式2：解析:－42－3×22×(－1)÷(―1)＝－16－12×(－1)×(―)＝－16－(4―12)×(―)＝－16+(3―9)＝－22.變式3：解原式===.變式4解析:－2｛－1－［－18(1－2)－10］｝＝－2｛－1－［－18(－)－10］｝＝－2｛－1－［－24+39－10］｝＝－2｛－1－［+5］｝＝－2｛－6｝＝12.變式5.解析:令S=2十4+…+1998+2000，反序?qū)懗?，有S=2000+1998+…+4+2，兩式相加，有2S=(2+2000)+(4+1998)+…+(1998+4)+(2000+2)=2002+2002+…+2002(l000個(gè)2002)=2002×1000=2002000,S=1001000課時(shí)作業(yè)·輕松練A.基礎(chǔ)題組1.C.解析：積為負(fù)數(shù)，說(shuō)明有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，和為正，說(shuō)明有正數(shù)，所以選C.2.A.解析：A.（-3-2）2=（-5）2=25.B.（-3）×（-2）2=（-3）×4=-12C.（-3）2÷（-2）2=9÷4=D.-32×（）2=-9×=，故最大的是A.3.D.解析：（-1）４－１２=1-1=0，故選D.4.A.解析：A．2-（-3）=2+3=5；B．（-2）３＋5=-8+5=-3C．－（-3）４=-81D．（-5）×（-1）×（-6）=-30，故選A．5．D．解析：A．-7-2×5＝-7-10，錯(cuò)誤；B．3÷×＝3××，錯(cuò)誤；C．3÷÷＝3××，錯(cuò)誤；D．－（－32）＝9，正確.6.D．解析：-3-32+32÷×3=-3-9+9×3×3=-12+81=697.解析：（1）1--（）=1-+=（2）-22+（-2）3=-4-8=-12（3）（-2）2+（-22）=4-4=0（4）-52-52=-25-25=-50B.提升題組8.-8解析：m與2互為相反數(shù)，所以m=-2,n與互為倒數(shù),所以n=3，所以mn=（-2）3=-8.9.解析：（1）原式=-4-9×1-（-1）=-4-9+1=-12；（2））原式====（3））原式==(4原式=eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×（-eq\f(1,2)）+eq\f(1,2)÷（eq\f(1,4)-eq\f(9,4)）×eq\f(19,2)-eq\f(9,16)=-1+eq\f(1,2)×（-eq\f(1,2)）×eq\f(19,2)-eq\f(9,16)=-1-eq\f(19,8)-eq\f(9,16)=-1-2-eq\f(6,16)-eq\f(9,16)=-3eq\f(15,16)10.﹣6．解析：∵a△b=a2﹣2b，∴3△2=32﹣2×2=5，∴（﹣2）△（3△4）=（﹣2）△5=（﹣2）2﹣2×5=﹣6．11解析：原式=37.9×0.0038+0.0121×37.9+6.21×0.159，=37.9×（0.0038+0.0121）+6.21×0.159，=37.9×0.0159+6