2024年中考數(shù)學(xué)《動點綜合問題》及答案

動點綜合問題（33題）

一、

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ARCO中，口。為其對角線，一動點尸從。出發(fā)，沿著。

的路徑行進，過點P作尸Q，CD,垂足為Q.設(shè)點P的運動路程為加尸Q—OQ為"，“與t的函數(shù)圖

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在等腰母△ABC中，乙BAC=90°,AB=12,動點E,尸同時從

點A出發(fā),分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動,且速度大小相同,當(dāng)點E停止運動時，點尸也隨

之停止運動，連接即，以EF為邊向下做正方形EFGH，設(shè)點E運動的路程為c（0V2：（12）,正方形

EFGH和等腰以A4bC重合部分的面積為下列圖像能反映u與C之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E,尸分別是邊AB,8c上的動點,

且滿足AE=BF,AF與DE交于點O,點河是。尸的中點，G是邊上的點，AG=2GB,則OM+

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動點P從菱形ABCD的點A出發(fā),沿邊AB■勻速運動，運動到點C

時停止.設(shè)點P的運動路程為力，PO的長為y,沙與①的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到BC中點

5.（2024.湖南長沙.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,乙5=30°,點E是8C邊上的動點，連接

AE,Z2E,過點4作/斤,可于點P.設(shè)￡?=宓，人斤=”則沙與2之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量力的取值范圍）（）

C.1D”遺

XX

二、填空題

6.（2024.江蘇揚州.中考真題）如圖，已知兩條平行線射點4是上的定點，ABJL:于點B,點、C、D分

別是"、。上的動點，且滿足AC=8。，連接CD交線段于點E,CD于點H,則當(dāng)NBAH最大

時，sinZBAH的值為.

_____________眇

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在0ABe?中，AB=4,AD=5,30°,點河為直線上一

動點,^\MA+MD的最小值為.

8.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，。及■的圓心為雙（4,0）,半徑為2,P是直線g=刀+4上的一個動點,

過點P作。河的切線,切點為Q,則PQ的最小值為

9.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，已知AAOB=50°,點P為AAOB內(nèi)部一點，點M為射線OA、點N

為射線上的兩個動點，當(dāng)△尸AW的周長最小時，則NMPN=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4（3,0）,8（0,2）,過點8作4軸的垂線

Z,P為直線Z上一動點，連接PO,9,則PO+24的最小值為.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC邊上一點、，且BE=2,點、

/是△A8C的內(nèi)心，BI的延長線交/C于點D,P是BD上一動點,連接PE、PC,則PE+PC的最小值

12.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E為邊CD的中點，F(xiàn)

為邊4D上的一動點，將4DEF沿EF翻折得△￡）上斤，連接AD,,則△面積的最小值為

13.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為1,M、N是邊BC、CD上的動點.若NMAN

=45°,則MN的最小值為

14.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，在平行四邊形ABC?中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CD、AD1.

的動點，且CE=DF.當(dāng)AE+CF的值最小時，則CE=.

三、解答題

15.（2024.江蘇蘇州.中考真題）如圖，△ABC中，47=BC,乙4cB=90°,4（—2,0）,。（6,0）,反比例函數(shù)"

=^（fc^0,T>0）的圖象與4B交于點。（小,4）,與交于點E.

⑴求?TZ,k的值；

（2）點P為反比例函數(shù)"=/（%#0避＞0）圖象上一動點（點P在之間運動，不與。，后重合），過點

尸作PM7/AB,交"軸于點雙，過點尸作尸N〃工軸，交8C于點N,連接MV,求△*!小面積的最大值，

并求出此時點P的坐標(biāo).

16.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)夕=做+6的圖象與反比例函數(shù)0=

—的圖象交于4—6,1），B（l,n）兩點.

X

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）P是直線2=—2上的一個動點，△MB的面積為21,求點P坐標(biāo);

（3）點Q在反比例函數(shù)4=5位于第四象限的圖象上，AQAB的面積為21,請直接寫出Q點坐標(biāo).

X

17.（2024.四川瀘州.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+be+3經(jīng)過點

人（3,0）,與"軸交于點J3,且關(guān)于直線劣=1對稱.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)—IWcWt時，0的取值范圍是—1,求t的值;

（3）點。是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作力軸的垂線交直線于點。，在沙軸上是否存

在點E,使得以8,。，。，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在，說明理由.

18.（2024.四川南充?中考真題）已知拋物線y=—/+就+。與力軸交于點A（-l,0），8（3,0）.

rai圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與y軸交于點C,點P為線段OC上一點（不與端點重合），直線24,PB分別交拋物線

于點瓦。,設(shè)APAD面積為S，△尸BE面積為$2,求善的值；

（3）如圖2,點K是拋物線對稱軸與c軸的交點,過點K的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點

N,過拋物線頂點G作直線2〃力軸，點Q是直線I上一動點.求QM+QN的最小值.

19.（2024?吉林?中考真題）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分線.

動點P從點A出發(fā)，以V3cm^的速度沿折線AD-DB向終點B運動.過點P作PQ〃4交AC于

點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQE,且點C,E在PQ同側(cè),設(shè)點P的運動時間為t（s）（f>0）,/\PQE

與△ABC重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當(dāng)點P在線段4。上運動時，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含力的代數(shù)式

表示）.

（2）當(dāng)點E與點。重合時，求力的值.

（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍.

20.（2024.四川德陽?中考真題）如圖，拋物線夕=d—2+c與刀軸交于點人（—1,0）和點與4軸交于點C.

___________F

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0〈/42時，求g=a?一力+c的函數(shù)值的取值范圍；

（3）將拋物線的頂點向下平移1個單位長度得到點/,點P為拋物線的對稱軸上一動點，求M+

暇?的最小值.

21.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在刀軸上,

點A在第一象限，。4的長度是一元二次方程X2-5X-6=0的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位

長度的速度沿折線04-運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB—BA運

動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動.設(shè)運動時間為1秒（0〈力（3.6）,Z\OPQ的面積為S.

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在⑵的條件下，當(dāng)S=時，點河在v軸上,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使得以點。、P、M、N為

頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

22.（2024.江西?中考真題）綜合與實踐

如圖，在Rt/\ABC中，點。是斜邊上的動點（點。與點A不重合），連接CD,以CD為直角邊在CD

的右側(cè)構(gòu)造Rt/XCDE,ADCE=90°,連接BE,霽=巽=鵬.

CDCA

H2

特例感知

（1）如圖1,當(dāng)m=1時，8E與AD之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；

類比遷移

（2）如圖2,當(dāng)?。?時，猜想BE與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

（3）在（1）的條件下，點尸與點。關(guān)于。E對稱,連接。尸，即，,如圖3.已知AC=6,設(shè)入。=以四

邊形CDFE的面積為9.

①求"與①的函數(shù)表達式，并求出"的最小值；

②當(dāng)BF=2時，請直接寫出4D的長度.

23.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）綜合與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線4=皆工一2與c軸

交于點與y軸交于點C,過A,C兩點的拋物線y=a/+bcc+c（a￥0）與立軸的另一個交點為點8（

-1,0）,點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點,過點P分別作t軸和y軸的平行線，分別交直線AC

于點E,點尸.

（2）點。是立軸上的任意一點，若△ACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)EF=時，求點P的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，若點N是0軸上的一個動點,過點N作拋物線對稱軸的垂線,垂足為M,連接M4,

MP,^\NA+MP的最小值為.

24.（2024.四川廣元.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系rrO夕中，已知拋物線尸：y=—/+b宓+c經(jīng)過點

A（—3,-L）,與y軸交于點5（0,2）.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）在直線上方拋物線上有一動點C,連接OC交于點。，求器的最大值及此時點。的坐標(biāo)；

（3）作拋物線尸關(guān)于直線y=-1上一點的對稱圖象尸，拋物線F與尸只有一個公共點E（點E在沙軸右

側(cè)），G為直線上一點，以為拋物線F對稱軸上一點，若以8,瓦G,H為頂點的四邊形是平行四邊

形，求G點坐標(biāo).

25.（2024.天津.中考真題）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點0（0,0）,點力⑶0）,

點在第一象限，且OC=2,/49C=60°.

（1）填空:如圖①，點C的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為；

（2）若P為立軸的正半軸上一動點，過點P作直線Z，c軸,沿直線I折疊該紙片，折疊后點O的對應(yīng)點

O,落在土軸的正半軸上,點C的對應(yīng)點為C.設(shè)OP=九

①如圖②,若直線I與邊CB相交于點Q,當(dāng)折疊后四邊形PO'C'Q與00ABe重疊部分為五邊形時，

O'C與相交于點E.試用含有t的式子表示線段BE的長，并直接寫出t的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)日wtw#■時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

oa

26.（2024.湖南.中考真題）已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過點A（-2,5）,點。（電,"）,。但，紡）是此二

次函數(shù)的圖像上的兩個動點.

⑴求此二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,此二次函數(shù)的圖像與步軸的正半軸交于點B,點P在直線AB的上方，過點P作PC，立軸于

點。，交于點。,連接AC,DQ,PQ.若g=傷+3,求證言文的值為定值；

⑶如圖2,點P在第二象限，g=—2g,若點河在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為X1-l,過點河作AWLc軸

于點N,求線段AW長度的最大值.

27.（2024.廣東.中考真題）【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點是直線夕=姐（0>0）上第一象限內(nèi)的兩個動點（。。>?？冢?，以線

段BD為對角線作矩形ABCD,4D〃c軸.反比例函數(shù)夕="的圖象經(jīng)過點A.

X

【構(gòu)建聯(lián)系】

（1）求證：函數(shù)V="的圖象必經(jīng)過點C.

X

（2）如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E落在沙軸上，且點B的坐標(biāo)為（1,2）

時，求k的值.

【深入探究】

（3）如圖3,把矩形ABCD沿折疊，點C的對應(yīng)點為E.當(dāng)點E,4重合時,連接AC交8。于點P.

以點。為圓心，AC長為半徑作?O.若OP=3囂，當(dāng)。。與4ABC的邊有交點時，求R的取值范圍.

交于點。.點。是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AC,OC,直線AC交拋物線的對稱軸于點M,若點P是直線AC上方拋物線上一點，且

S"MC=2SADW求點P的坐標(biāo)：

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點,是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三

角形,若存在,請直接寫出滿足條件的點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

29.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+be+c(a￥O)的圖像

經(jīng)過原點和點人(4,0).經(jīng)過點4的直線與該二次函數(shù)圖象交于點8(1,3),與9軸交于點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點。的坐標(biāo)；

(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線上方時,過點P作PE，①軸于點E,與直線

交于點。，設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為m.

①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P,使得^BPD與△AOC相似.若存在,請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線y=—率？+尻+c與比軸交于/,8兩點，與4軸交于點。，點

O

A坐標(biāo)為(-1,0),點B坐標(biāo)為(3,0).

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點P是直線上方拋物線上一個動點，過點P作7軸的垂線交直線于點。，過點P作y軸的垂

線，垂足為點E，請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標(biāo);若沒有

最大值，請說明理由.

（3）點M為該拋物線上的點，當(dāng)=45°時,請直接寫出所有滿足條件的點雙的坐標(biāo).

31.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，拋物線m=姐2+E+c與立軸交于人，口兩點，與夕軸交于點C,OC

=OA,AB=4,對稱軸為直線h-.x=—1,將拋物線為繞點O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線紡，拋物線紡與"

軸交于點。，頂點為E,對稱軸為直線b

（1）分別求拋物線仇和統(tǒng)的表達式；

⑵如圖1,點尸的坐標(biāo)為（—6,0）,動點河在直線h上，過點M作MN//x軸與直線為交于點N,連接

FM,DN.求IW+MN+ON的最小值；

（3）如圖2,點H的坐標(biāo)為（0,-2），動點P在拋物線統(tǒng)上，試探究是否存在點P，使NPEH=24DHE?

若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

32.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,拋物線y=a（＞—%y+A；交c軸于O,4（4,0）兩點，頂點為6（2,23）.點

。為08的中點.

___________F

（1）求拋物線y=a（a;—h）2+k的表達式；

（2）過點。作CH，OA,垂足為H,交拋物線于點E.求線段CE的長.

（3）點D為線段OA上一動點（。點除外）,在。。右側(cè)作平行四邊形OCFD.

①如圖2,當(dāng)點F落在拋物線上時，求點F的坐標(biāo)；

②如圖3,連接BD,BF,求BD+BF的最小值.

33.（2024?重慶?中考真題）在RtZVLBC中，AACB=90°,=過點B作〃人C.

⑴如圖1,若點。在點8的左側(cè)，連接CD,過點A作AELCD交于點E.若點E是的中點，求

證：AC=2BD；

⑵如圖2,若點。在點B的右側(cè)，連接AO,點斤是的中點，連接并延長交47于點G,連接CR.

過點F作出，BG交4B于點河，CN平分/ACB交BG于點N,求證：AM=CN+^BD；

（3）若點。在點B的右側(cè)，連接AD,點尸是40的中點，且A尸=AC.點P是直線47上一動點,連接

FP,將尸P繞點廠逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到尸Q,連接8Q,點R是直線上一動點，連接BR,QR.在點P

的運動過程中，當(dāng)BQ取得最小值時,在平面內(nèi)將ABQR沿直線QR翻折得到△TQR,連接FT.在點

R的運動過程中，直接寫出察的最大值.

動點綜合問題（33題）

一、

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ARCO中，口。為其對角線，一動點尸從。出發(fā)，沿著。

的路徑行進，過點P作尸Q，CD,垂足為Q.設(shè)點P的運動路程為加尸Q—OQ為"，“與t的函數(shù)圖

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定CD的長，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+BP=4時，PQ=CD=2,此時點P在BC邊上，

設(shè)此時BP=a,則BD=4—a,AD=BC=2+a,

在RtNBCD中，RD?—BC2=B,

即：（4—a）2—（a+2）2=22,

解得:a=W，

o

:.AD=a+2=,

o

故選：B.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖,在等腰Rt/\ABC中，/R4C=90°,4B=12,動點E,F同時從

點A出發(fā),分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當(dāng)點E停止運動時，點尸也隨

之停止運動，連接即，以所為邊向下做正方形即GH,設(shè)點E運動的路程為力（0<*<12）,正方形

EFGH和等腰AtZWLBC重合部分的面積為下列圖像能反映“與力之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】A

【分析】本題考查動態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確g與力分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的

關(guān)系，以及對應(yīng)點是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項分析當(dāng)與重合時，及當(dāng)力44時圖象的走勢，和

當(dāng)力>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解:當(dāng)HG與重合時，設(shè)在石=力，由題可得：

EF—EH—V2x,BE—12—x,

在Rt^EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2,

???（方方）2+（囂力）2=（12—力y,

/.x=4,

當(dāng)0V/&4時，g=（V2T）2=2x2,

V2>O,

圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)HG在下方時，設(shè)4￡=/，由題可得：

/.EF=V2x,BE=12—rc,

???ZAEF=ZB=45°,ZA=AEOB=90°,

???/\FAE-/\EOB,

.AE=EO

??國一麗’

?xEO

V2x12—6'

12—T

:?EO="廣,

v2

當(dāng)4VcV12時，g=（V2x）?x—（12—6）3?=—/+126,

v2

*/—1V0,

圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確,

故選：4

3.（2024.四川瀘州.中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點E,尸分別是邊上的動點,

且滿足=B斤，AF與。E交于點O,點加?是。F的中點，G是邊上的點，AG=2G8,則OM+

_____________眇

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明

AADE空^BAF（SAS）得到AADE=ABAE,進而得到ZDOF=90°,則由直角三角形的性質(zhì)可得OM=

如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG,連接易證明4FBG空/XFBH（SAS）,則FH=FG,可

得當(dāng)三點共線時，DF+HF有最小值，即此時（W+^FG有最小值，最小值即為0H的長的一半，

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=y/AD2+AH2=10,責(zé)任O2W+:FG的最小值為5.

【詳解】解：?.?四邊形ABGD是正方形，

AD=AB,NDAB=AABC=90°,

又AE=BF,

：.AADEn△BAF(SAS),

???/ADE=/BAF,

：./.DOF=AADO+/DAO=ABAF+/.DAO=/.DAB=90°,

???點河是。F的中點，

；.OM=，DF;

如圖所示，在AB延長線上截取BH=BG,連接FH,

?：NFBG=NFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

：.^FBG篤AFBH(SAS),

：.FH=FG,

：.OM+-j-FG=^DF+三HF=g(DF+HF),

.?.當(dāng)H、。、F三點共線時，OF+HF有最小值，即此時OM+yFG有最小值，最小值即為的長的一半,

???AG=2GB,AB=6,

:,BH=BG=2,

AH—8,

在Rt/\ADH中，由勾股定理得DH=y/Alf+AH2=10,

.?.OM+/FG的最小值為5,

故選：B.

4.（2024.甘肅.中考真題）如圖1,動點P從菱形的點人出發(fā)，沿邊AB-BC勻速運動，運動到點。

時停止.設(shè)點P的運動路程為力，PO的長為y,y與①的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到BC中點

時，PO的長為（）

圖1圖2

A.2D.2V2

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)2=0時，PO=49=4,當(dāng)點P運動到點B時，PO=BO=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)，得

AAOB=ABOC=90°,繼而得到AB=BC=y/O^+OB*2=2函，當(dāng)點P運動到BC中點時，PO的長為

解得即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理,直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象,得到當(dāng)土=0時，PO=AO=4,

當(dāng)點P運動到點B時，PO=BO=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AAOB=ABOC=90°,

故AB=BC=y/O^+OB2=2V5,

當(dāng)點P運動到BC中點時，PO的長為yBC=V5,

故選C.

5.（2024.湖南長沙.中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AB=6,NB=30°,點E是8c邊上的動點，連接

AE,DE,過點［作人斤，于點P.設(shè)DE=x,A尸=9,則夕與土之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量c的取值范圍）（）

【答案】。

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的

性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過D作DH_LBC,交BC延長線于H,則/DHE=90°,根據(jù)菱形的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=AD==6,ZADF=ADEH,ZDCH==30°,進而利用含30度角的

直角三角形的性質(zhì)DH=±CD=3,證明AAFD?4DHE彳導(dǎo)到*=聾■，然后代值整理即可求解.

2L）HDE/

【詳解】解:如圖，過。作DH_LBC,交BC延長線于H,則乙DHE=90°,4/

?.?在菱形ABGD中，48=6,乙8=30°,

:.AB"CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

：.NADF=NDEH,4DCH=ZB=30°,

在RtACDH中，DH=]CD=3,

?.?AF±DE,

：.AAFD=/.DUE=90°,又AADF=ADEH,

???/\AFD?/\DHE,

.AF=AD

??成一市’

DE=x,AF=y,

.y_-6_

.?3%'

，

,,yx

故選：c.

二、填空題

6.(2024.江蘇揚州?中考真題)如圖，已知兩條平行線。、為，點4是人上的定點，，，2于點B，點。分

別是"、。上的動點，且滿足人。=連接CD交線段于點E,BH，CD于點則當(dāng)NBAH最大

時，sin/R4H的值為.

[分析】證明AACE空"DE(ASA)，得出BE=AE=^AB,根據(jù)BH_LCD,得出2BHE=90°,說明點H在

以BE為直徑的圓上運動，取線段BE的中點。，以點O為圓心，OB為半徑畫圓,則點H在0O上運動，說明

當(dāng)與OO相切時■最大，得出OH_L根據(jù)AO=AE+OE=3OE,利用=

黑=:，即可求出結(jié)果.

oCyzJ/0

【詳解】解：?.?兩條平行線4、[2,點I是牛上的定點，4BJ_于點B,

.?.點8為定點，的長度為定值，

；Zi///2,

A4ACE=4BDE,4CAE=4DBE,

?/AC=BD,

：.&ACEZ^BDE(ASA),

；.BE=AE=[AB,

?：BH±CD,

：.ABHE=90°,

:.點、H在以BE為直徑的圓上運動,

如圖，取線段BE的中點O,以點。為圓心，OB為半徑畫圓,

則點H在QO上運動，

當(dāng)與OO相切時最大，

：.OH±AH,

?；AE=OB=2OE,

：.AO^AE+OE^3OE,

?：OH=OE,

..OHOE1

??ssg”談二

故答案為：!.

o

【點睛】本題主要考查了圓周南定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等

知識點，解題的關(guān)鍵是確定點H的運動軌跡.

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在DABCD中，48=4,AD=5,4ABe=30°,點河為直線BC上一

動點，則M4+MD的最小值為

【答案】@

【分析】如圖，作A關(guān)于直線的對稱點4,連接4。交于AT,則AH=A'H,AH±BC,AM'A'M',

當(dāng)M,M'重合時，AM+Aff）最小，最小值為再進一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解:如圖，作力關(guān)于直線BC的對稱點4,連接4。交BC于AT,則4H■=Aff_LBC,入河，=

A'M',

：.當(dāng)初,AT重合時，AM+7WD最小，最小值為40,

?/AB=4,AABC=30°,在QABCD中，

AH=^AB=2,ADHBC,

AA'=2AH=4,AA'±AD,

AD=5,

A'

=/邛+52=何,

故答案為：何

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知

識點是解題的關(guān)鍵.

8.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，。及■的圓心為雙（4,0）,半徑為2,P是直線g=刀+4上的一個動點,

過點P作。河的切線,切點為Q,則PQ的最小值為

【分析】記直線?/=劣+4與2，9軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM;由直線解析式可求得點4K的坐

標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直痢三角形，由相切及勾股定理得：PQ=^PM2-QM2,由QM=2,則

當(dāng)最小時，PQ最小，點P與點K重合，此時■最小值為KM,由勾股定理求得的最小值，從而求得

結(jié)果.

【詳解】解：記直線夕=,+4與c,夕軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM,

當(dāng)必=0,夕=4,當(dāng)夕=0,即2+4=0,

解得：x=—4,

即K(O,4),A(—4,0);

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=^,

：./\OAK,△OKM均是等腰直角三角形，

AAKO=AMKO=45°,

AAKM=90°,

?：QP與。M相切，

ZPQM=90°,

APQ=y/PM2-QM'2,

?：QM=2,

當(dāng)PQ最小時即PM最小，

當(dāng)PA/_LAK時，取得最小值，

即點P與點K重合,此時P7W最小值為KM,

在Rt/\OKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=472

/.PQ=732^4=2V7,

/.PQ最小值為26.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線

是解題的關(guān)鍵.

9.(2024.黑龍江綏化.中考真題)如圖，已知AAOB=50°,點P為AAOB內(nèi)部一點,點河為射線OA、點、N

為射線上的兩個動點，當(dāng)△PMN的周長最小時，則NMPN=

【答案】80°/80度

【分析】本題考查了軸對稱一最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點P關(guān)于。4,

OB的對稱點打,三.連接OP、,OP?.則當(dāng)初，N是月￡與。力，OB的交點時，^PMN的周長最短,根據(jù)對

稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:作P關(guān)于。4,OB的對稱點呂，連接。月，OP2.則當(dāng)是舄g與。4,03的交點時，

△PMN的周長最短,連接PiP、P?P,

???P、舄關(guān)于04對稱，

NPQP=2ZMOF,OPr=OP,PXM=PM,AOPVM=NOPM,

同理，/P20P=2ZNOP,OP=OP2,ZOP2N=AOPN,

/.乙P\OP?=4PQP+NROP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB=100°,OP、=OPLOP,

：.△ROg是等腰三角形.

A4ORN=/ORW=40°,

AZMPN=ZMPO+ANPO=AOP2N+4OP、M=80°

故答案為：80°.

10.(2024.四川成者B?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系rcOy中，已知4(3,0),8(0,2),過點口作"軸的垂線

I,P為直線I上一動點,連接PO,E4,則PO+_R4的最小值為.

【答案】5

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點A關(guān)于直線/的對稱點A,,

連A'O交直線，于點。，連AC,得到AC=A'C,A'A±Z,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，得到

當(dāng)O,P,4三點共線時，PO+_R4的最小值為40,再利用勾股定理求40即可.

【詳解】解:取點A關(guān)于直線Z的對稱點A',連A'O交直線Z于點。，連AC,

則可知AC=4。，ArA±l,

PO+PA^PO+PA'>AO,

即當(dāng)O,P,4三點共線時，PO+24的最小值為4。,

1/直線I垂直于g軸，

/.AA_L7軸，

???4(3,0),石(0,2),

f

??.AO=3,AA=4f

???在凡△449中，

A'O=y/O^+AA'2=V32+42=5,

故答案為：5

11.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC邊上一點、，且BE=2,點、

/是△A8C的內(nèi)心，BI的延長線交/C于點D,P是BD上一動點,連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為.

_______W

【答案】

【分析】在AB取點F,使BF=BE=2,連接PF,CF,過點F作FH_LBC于H,利用三角形內(nèi)心的定義可得

出/4BD=/CBD,利用SAS證明△BFP空△BEP,得出PF=PE,則PE+PC=PF+PSCF,當(dāng)C、

P、F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出9,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【詳解】解:在48取點F,使BF=BE=21,連接PF,CF,過點F作FH_LBC于H,

是△ABC的內(nèi)心，

:.BI平分NABC,

ZABD=ZCBD,

叉BP=BP,

：.△BFP空ABEP(SAS),

：.PF=PE,

：.PE+PC=PF+POCF,

當(dāng)。、。、干三點共線時，。石+。。最小，最小值為CF,

?：FH±BC,AABC=60°,

ZBFH=30°,

:.BH=[BF=I,

：.FH=^BF2-BH'2=V3,CH=BC—BH=7,

：.CF=^CH2+FH2=2V13,

.?.PE+PC的最小值為

故答案為：2，瓶.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，

明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.(2024.山東煙臺.中考真題)如圖，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E為邊CD的中點，F(xiàn)

為邊4D上的一動點，將4DEF沿EF翻折得AD'EF,連接AD,,,則AABD'面積的最小值為

【答案】20V3-16/-16+20V3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8,AB〃CD,AABC=60°,由折疊性質(zhì)得到ED=DE=4,

進而得到點。在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作EM_LAB交4B延長線于“，交圓E于

。，此時。到邊AB的距離最短，最小值為。M■的長，即此時△ABZ7面積的最小，過。作C7V_LAB于N,根

據(jù)平行線間的距離處處相等得到雨=C7V,故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=5沖即可求解.

【詳解】解：在UABCD中,4BCD=120°,AB=8,

:.CD=AB=8,AB//CD,AABC^180°-ABCD=60°,

:E為邊CD的中點、,

：.DE=CE=~CD=4：,

?：△DEF沿EF翻折得4DEF,

:.ED=DE=4,

點。在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作EM_LAB交AB延長線于河，交圓￡于/7，此時

。到邊的距離最短，最小值為D'M的長，即△ABD面積的最小，

過。作CN_LAB于N,

?：AB//CD,

:.EM=CN,

在Rt^BCN中，10,"JBN=60°,

CN—BC-sin60°=10x—=5A/3,

D'M=ME-ED'=5V3-4,

△ABZ7面積的最小值為/x8x（5遮-4）=20同一16,

故答案為：20A/3—16.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知

識，綜合性強的填空壓軸題，得到點D'的運動路線是解答的關(guān)鍵.

13.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1,河、N是邊BC、CD上的動點.若AMAN

=45°,則的最小值為.

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】將AADN順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP,再證明篤△AMN(SAS),從而得到MN=MP=BM+

BP=BM+DN,再設(shè)設(shè)CN=a,CM=b，得到MN=2—a—b,利用勾股定理得到C7V2+CM2=MN2,即a2

+/=(2—a—6)2,整理得到(2—a)(2—b)=2,從而利用完全平方公式得到MN=2-a-b>-2+

2J(2—a)(2—b),從而得解.

【詳解】解：?.?正方形ABCD的邊長為1,

:.AD=AB=BC=CD=1,ABAD=NABC=4c=ZD=90°,

將AADN順時針旋轉(zhuǎn)90°得到/XABP,則AADN空/\ABP,

：.4DAN=/BAP,ND=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

:.,&P、B、M、。共線,

：/M4N=45°,

/./MAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°—4MAN=45°=AMAN,

________________________________F

?/AP=AN,AMAP=AMAN,AM=AM,

：.AMAP名AN(SAS'),

:.MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

設(shè)CN=a,CM=b，則DN=l—a,BM=l—b,

:.MN=BM+DN=2—a—b,

???/C=90°,

:.CN?+CM?=MN?,即a?+I)?=(2-a-b)2,

整理得：(2—a)(2—b)=2,

MN—2—CL—b

——2+(2—CL)+(2—b)

——2+(V2—a)2+(J2—I)?

=—2+(V2—(z)2—2,2—a,V2—b+(V2—b)2+2,2—a?A/2—b

=-2+(V2—CL-V2—6)2+2J(2—a)(2—b)

>_2+2J(2—Q)(2—b)

——2+2y/2,

當(dāng)且僅當(dāng)^二F,即2—0=2—6=2，也即Q=b=2—2時，7VW取最小值-2+2村,

故答案為：-2+2，^.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式等知識,

證明和得到（2—a）（2—b）=2是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖,在平行四邊形ABCD中，A8=2,=4,石、F分別是邊CD、AD上

的動點，且CE=。尸.當(dāng)AE+CF的值最小時，則CE=.

【答案】善