2025年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點(diǎn)）

考點(diǎn)鞏固卷19雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點(diǎn)）

考點(diǎn)01：雙曲線的定義（妙用）

考點(diǎn)02:雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題

考點(diǎn)03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

考點(diǎn)04:求雙曲線離心率及取值范圍

考點(diǎn)05:雙曲線的中點(diǎn)弦問題

考點(diǎn)06:直線與雙曲線的綜合問題

屋方維技巧及考點(diǎn)利依

考點(diǎn)01:雙曲線的定義（妙用）

（結(jié)論1：）歸用―伊司=2a雙曲線第一定義。

,、22

（結(jié)論2：）標(biāo)準(zhǔn)方程,-￡=1由定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

（結(jié)論3：）個(gè)=e>1雙曲線第二定義。

22

雙曲線二—2r=1（a>0,b>o）的焦半徑公式：月（―c,0）,E（c,0）

ab

當(dāng)Af（Xo，%）在右支上時(shí)，|也明\=exQ+a,\MF2\=exQ-a.

當(dāng)加（七,%）在左支上時(shí)，|川耳|=一6九0-。，|〃4|=-ex0+a.

證明：由第二定義得：M在右支時(shí)，

\MF^=e\x0+—J=exa+6Z,|A￡E,|=e\x0——}=ex0-a

f2\<2、

M在左支時(shí),\MF^e^-x-^~

0=—a-ex0,\MF2\=e———x0=a—ex。。

Ic

22

1.已知雙曲線C:二-匕=l（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,耳，直線2尤+3y+%=0（%eR）與c的一條漸近

a4

線平行，若點(diǎn)。在c的右支上，點(diǎn)B（JGI）,貝『。引+|。閶的最小值為（）

A.753-3B.6C.屈-6D.8

22

2.若點(diǎn)尸是雙曲線C：上-匕=1上一點(diǎn)，F(xiàn)t,F?分別為C的左、右焦點(diǎn)，貝「耳|=8"是尸園=16”的

169

()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

f3

3.已知雙曲線C:——y2=i的右焦點(diǎn)為下，動(dòng)點(diǎn)M在直線/：x=彳上,線段F70交C于尸點(diǎn)，過尸作/的垂

32

PR

線，垂足為R，則市的值為（）

A-TB-fC-TD-T

4.過雙曲線?一《=1的右支上一點(diǎn)P,分別向OC：（x+4）2+y2=3和OCz：（x-4）2+y2=i作切線，切點(diǎn)分

別為M,N,則（兩+兩）?兩■的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

5.已知NF2是雙曲線或橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)已國=2|尸閶，且存在

則稱此橢圓或雙曲線存在“阿圓點(diǎn)”，下列曲線中存在“阿圓點(diǎn)”的是（）

R…1

22D.*端=1

A.D.-----1-------=1C.x-y=l

36351615

丫22\PF\

6.己知％F?為雙曲線C:上-匕=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是C的右支上的一點(diǎn)，則T的最小值為（

42\PF2\

A.16B.18C.8+4及D.9+”也

2

7.設(shè)點(diǎn)P是圓f+（y—3）2=l上的一動(dòng)點(diǎn)，7（0,2）,5（0-2）,則|冏-|網(wǎng)的最小值為（）.

A.逑B.應(yīng)C.6D.12

55

22

8.已知雙曲線C：土一匕=1的左右焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)尸在雙曲線C的右支上，則|P瑪|-|尸蜀=（

169

A.-8B.8C.10D.-10

9.設(shè)片，尸2為雙曲線C：y2=i的左、右焦點(diǎn)，。為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0,2）.當(dāng)|?！陓+歸。|取

最小值時(shí)，|。&|的值為（）

A.拜0B.6+&C.#-2D.76+2

22若I黑的最小值

10.已知耳工是雙曲線斗-斗■=1（〃>04>0）的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上一點(diǎn),

ablPFll

為8a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3]D.(1,2]

考點(diǎn)02：雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題

22

已知雙曲線方程為三一2r=1（4>03>。）.如圖，頂點(diǎn)2（公,%）在第一象限,

ab

/桃耳二%/咫工=，（?！担?//2工=7.對(duì)于雙曲線焦點(diǎn)三角形，有以下結(jié)論:

1.如圖，月、尸2是雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)尸為雙曲線上任意一點(diǎn)，記/月尸則的

及

面積S=...—?

CZ

tan—

2

證明：由余弦定理可知國閶2=\MF^\+\MF^-2\MF\-\MF^cos6.

由雙曲線定義知||訝|—|/月||=2a,可得|叫「+|沙「一2|崢卜|西|=44

2b之

所以4c2=2\MF^-\MF\+ACT-2\MF^-\MF^COSO^>\MF^\MF^=

1-cos^

/-2sin—cos一

22b23,

~e2

2sin一tan

22

2.如圖，有I"小歸周=一；，4=丁工

3.離心率6=生=工=sin?=sin(a+0.

2aasina-sin/?sinor-sinp

4.若|尸5=4歸段，則有心■糜="/（）2_02.

Vi-A

5.若|。目=2,則有SARPF、="J尤-M.

6.焦半徑公式：如圖，對(duì)于雙曲線，歸司=倏+名歸閭=做-a,對(duì)雙曲線，其焦半徑的范圍為

[c-m,+00).

7.雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心I的軌跡方程為x=a（-b<y<b,y^O）.

證明：設(shè)內(nèi)切圓與？月，尸月，月月的切點(diǎn)分別為”,N,T,則由切線長定理可得

憶網(wǎng)=1則，閨叫=|耳外,|取V|TET|，因?yàn)殁疃鶫尸與上國"H用MT電H取1=2,

閨聞=閨刀+后刀=2c,所以隹T|=c-a,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（。,0）,所以點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值a.

22

8.如圖，直線丁=原左力0）與雙曲線C:三-與=1（?！?〉0）交于4,3兩點(diǎn)，。的左右焦點(diǎn)記為”,歹，

ab~

則AbZb為平行四邊形.

結(jié)論9.已知具有公共焦點(diǎn)片,鳥的橢圓與雙曲線的離心率分別為02,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且

=23,則有(地

ZFXPF2)2+(￡￡^)2=1.

6

證明：依題意，在公耳。鳥中，由余弦定理得閨閭2=戶用2+戶用2—z尸耳Hpq.cos2。

=|P^|2+|P^|2-2|P^|-|P^|.(cos2^-sin2^)=sin2冽尸用十|尸閭y+cos2現(xiàn)尸耳卜1尸閭y,

結(jié)論10.如圖，過焦點(diǎn)尸2的弦A5的長為7,則AA明的周長為4m+2人

11.已知雙曲線二-《=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,過尸2且斜率為與的直線與雙曲

ab7

線在第一象限的交點(diǎn)為4若山丹|=|4區(qū)],則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

22

12.已知雙曲線C:[-2=im>0力>0）的左焦點(diǎn)為尸，過下的直線/交圓/+丫2="于A,3兩點(diǎn)，交C

ab

的右支于點(diǎn)。，若|即=|4?|=忸。，則C的離心率為（）

A2715口歷「3Mn質(zhì)

5555

22

13.已知雙曲線C：2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)/是雙曲線C右支上一點(diǎn)，直

ab

線片加交雙曲線C的左支于N點(diǎn).若由N|=2,叵M=3,|MN|=4,且△叫工的外接圓交雙曲線C的一

條漸近線于點(diǎn)則|%|的值為（)

「3行

A.6B.逑D.3

22

22

14.如圖，已知G，8為雙曲線二-51的焦點(diǎn),過F作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,且NPFE=30。,

ab2

）

B.y=±\[lx

C.y=+\[?>xD.y=±2x

22

15.雙曲線c：0-斗=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，劣，左、右焦點(diǎn)分別為與F2,過月作直線與雙曲線C的

ab

___.1___.1

左、右兩支分別交于N兩點(diǎn).若且cosNGN8=z，則直線血4與跖的斜率之積為（）

A.-B.-C.-D.-

2323

22

16.已知雙曲線C:5-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)?.過F?作直線/與雙曲線C的右支交于

ab

A,B兩點(diǎn),若的周長為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.1冬若B.冬也C.；,2D.[2,+功

22

17.已知雙曲線C：T-1r=1（。>02>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳耳，以月入為直徑的圓在第一象限與雙曲

線C交于一點(diǎn)P,且人尸耳耳的面積為4,若雙曲線上一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為（，則該雙曲線的離心

率為（）

A.2A/2B.&C.73D.72

22

18.已知雙曲線-2=1（〃〉0/>0）的左焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與雙曲線。交于",N兩點(diǎn)，

ab

且點(diǎn)M在第一象限，滿足OM=OP.若點(diǎn)P在雙曲線C上，且而=4而，則雙曲線C的離心率為（）

A好B.巫C.2后D.逐

22

22

19.已知￡,入分別是雙曲線=r-4y=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過片作雙曲線C的漸近線丁=I）'了的垂線，

aba

垂足為尸，且與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q,若詼=2%（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）

A.V2+1B.&C,272D.孚

22

20.已知片、約為雙曲線L一當(dāng)=1（。>0,6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），貝IUPKK

ab

的內(nèi)切圓恒過定點(diǎn)（）.

考點(diǎn)03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上

“2,y2“2

標(biāo)準(zhǔn)方程^2-^2=l（a>0?Z?0）/一"=l（a>0，》>0）

圖形

范圍或左一〃yW-a或定。

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性頂點(diǎn)坐標(biāo)Ai（一。,0）,42（40）4（0,-a）,，2（0,a）

質(zhì)ba

漸近線y=±~x=±x

Jayi

離心率e=，，e@（l,+?）,其中c=\la2+b2

2.要點(diǎn)理解

（l）Bi（O,-Z＞）,B2（0,力不是雙曲線上的點(diǎn)，不能稱為頂點(diǎn).

⑵雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大.

⑶雙曲線的漸近線方程要注意焦點(diǎn)所在軸的位置.

（4）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.

3.等軸雙曲線：實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.為了便于研究，方程一般寫為如一爐二加的邦）.

21.下列選項(xiàng)中，所得到的結(jié)果為4的是（）

A.雙曲線的焦距

B.8cos-5。-4的值

C.函數(shù)y=tan］：x-：）的最小正周期

D.數(shù)據(jù)2,2,4,5,6,7,7,8,10,11,15,16的下四分位數(shù)

22.過雙曲線C:￡-y2=l的右焦點(diǎn)尸作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于A,8兩

a

__.7__.1___

點(diǎn)，^OF=-OA+-OB,則該雙曲線的焦距為（）

A.2B.3C.273D.4

23.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線Y—,2=2的右焦點(diǎn)，則加的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

24.若拋物線產(chǎn)=2如的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線——產(chǎn)=2的右焦點(diǎn)，則機(jī)的值為（）

A.4B.-2C.2D.-4

2

25.已知雙曲線（7:/+工=1（,”0）的一條漸近線方程為y=缶，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

m

A.（±^,0）B.（0,±g）C.（±1,0）D.（0,±l）

26.已知雙曲線C：/一/=力。彳0）的焦點(diǎn)為（0,±2）,則c的方程為（）

A.x2-y2=1B.j2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2

27.等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,-1）,則其焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）

A.20B.2C.4D.72

28.雙曲線:匯-￡=1和雙曲線口：《=1具有相同的（）

4242

A.焦點(diǎn)B.頂點(diǎn)C.漸近線D.離心率

2222

29.已知橢圓G：J+M=l（a>b>0）與雙曲線C2:j-與=1（加>0）有公共焦點(diǎn)，記G與G在無軸上方的

abmb

兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,過G的右焦點(diǎn)作1軸的垂線交。2于M，N兩點(diǎn)，若|A同二殍則G的離心率為

（）

A.-B.-C.-D.蟲

7352

30.已知雙曲線L-匕=1（根>0,">0）與橢圓上+工=1有相同的焦點(diǎn)，則I+L的最小值為（）

mn43mn

A.6B.7C.8D.9

考點(diǎn)04:求雙曲線離心率及取值范圍

離心率

（1）離心率的意義：e越大，開口越大

22

在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度.在雙曲線二-與=1（?！?］〉0）中，雙曲線的“張口”

ab

大小是圖象的一個(gè)重要特征.因?yàn)閑=￡=①把=/1+4,所以當(dāng)白的值越大，漸進(jìn)線y=?x的

aa\a'-aa

斜率越大，雙曲線的“張口”越大，e也就越大，故e反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大,

它的“張口”越大.

⑵離心率的求法

①直接法：若可求得a,c,則直接利用e=§得解.

②齊次式法：若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程0。2+/碗+廣層=0⑦，q,r為常數(shù)，且°8），則轉(zhuǎn)化為關(guān)于

e的方程pe2+q-e+r=0求解.

22

31.過雙曲線C:J-2=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)廠向雙曲線C的一條漸近線作垂線，垂足為￡>,線段陽

ab

與雙曲線C交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E向另一條漸近線作垂線，垂足為G,若空加=!，則雙曲線c的離心率

為（）

A.73B?&C.空D.述

33

22

32.已知居，歹2分別為雙曲線C：'-斗=l（a>0,6>0）的左，右焦點(diǎn)，過歹2作C的兩條漸近線的平行線，

ab

與兩條漸近線分別交于4B兩點(diǎn).若tan/p=g,則C的離心率為（）

A.3B.y/sC.73D.y/2

22

33.已知雙曲線C:=-1=1（。>0）>0）的左右焦點(diǎn)分別為4居，過點(diǎn)久且與漸近線垂直的直線與雙曲

ab

線C左右兩支分別交于A8兩點(diǎn)，若tan/G2g=W，則雙曲線的離心率為（）

A.叵B.至C.好D.72

552

22

34.己知雙曲線C:3-與=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為久，心，若C上存在點(diǎn)P,使得歸川=3|尸國，

ab

則C的離心率的取值范圍為（）

A.[夜,+8）B.（1,qC.[2,+oo）D.（1,2]

22

35.雙曲線C：，-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,直線/過點(diǎn)F?且平行于C的一條漸近線，

交C于點(diǎn)尸，若西質(zhì)=0,則C的離心率為（）

A.6B.2C.75D.3

22

36.己知雙曲線。:=-2=1（4>0）>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用，鳥，尸是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn),

ab

3

且線段尸片的中點(diǎn)N在另一條漸近線上.若cos/PBK=g,則雙曲線。的離心率為（）

55l

A.-B.—C.2D.布

34

22

37.已知雙曲線C:J—J=l（a>0,b>0）,直線y=。與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，直線y=-匕與雙

曲線C交于尸，。兩點(diǎn)，若|MN|=&|PQ|，則雙曲線C的離心率等于（）

A.若B.VsC.正D.好

33

22

38.已知與，F(xiàn)?分別為雙曲線,-==1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)2是雙曲線上位于

第二象限的點(diǎn).直線明與雙曲線交于另一點(diǎn)A,2|0理=由同，2AB=-M.則雙曲線的離心率為（）

A.V13B.2&C.V1TD.正

22

39.如圖，已知M為雙曲線E:=-1=l（a>0/>0）上一動(dòng)點(diǎn)，過河作雙曲線E的切線交無軸于點(diǎn)A,過

ab

22

40.設(shè)雙曲線C：——當(dāng)=1（。>02>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與雙曲線C交

ab

于A,8兩點(diǎn)，忻可=2閨⑷，亭.孽=2〃,則C的離心率為（）

A.gB.76C.y/5D.2

考點(diǎn)05:雙曲線的中點(diǎn)弦問題

雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

AB

（1）若M（x0,y0）為雙曲線5一3=1弦力B（不平行曠軸）的中點(diǎn)，貝J

b22

心3.k.=滔=e—1

（2）若M（xo.yo）為雙曲線'一卷=1弦AB（AB不平行y軸）的中點(diǎn)，貝!）

a21

kAB-kOM=廬=e2-1

在雙曲線總一3=1中，以P（q，y。）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率fc=g；

22

41.已知雙曲線C：亍-方=1（。>0力>0）,過其右焦點(diǎn)廠作一條直線分別交兩條漸近線于A3兩點(diǎn)，若A

為線段BP的中點(diǎn)，且。4,2尸，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±y/3x

C.y=±A/5XD.y=~~^x

22

42.已知雙曲線0：^—5=1（〃〉0乃>0）的左焦點(diǎn)為小圓O:x2+y2=".若過目的直線分別交。的左、

ab

右兩支于兩點(diǎn)，且圓。與耳5相切于點(diǎn)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若6=耳，則直線了=-氐與C沒有交點(diǎn)

B.若“為線段耳8的中點(diǎn)，則離心率e=J^

C.Af不可能為線段A3的中點(diǎn)

32

D.若C的離心率為3,寫到C的漸近線的距離為2e，貝l|A四=半

22

43.在平面直角坐標(biāo)系g中，過點(diǎn)P（-3,0）的直線/與雙曲線C:‘方=1（"0,6>0）的兩條漸近線相交

于A,8兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)是M（l,3）,則C的離心率為（）

A…B.1C.aD.巫

222

22

44.已知雙曲線C:f-]=l（a>0,b>0）,耳（-c,0）、居（c,0）分別為左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上有一點(diǎn)

ab

....ULlLtULU1

尸使得線段尸耳與y軸交于點(diǎn)區(qū)忸。卜|尸閶，線段EK的中點(diǎn)H滿足用/.尸8=0,則雙曲線的離心率為（）

A.3拒+屈B.3叵一曬c7+3指D.7-36

22

22

45.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知直線/與雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）的左右兩支分別交于M,N兩

ab

點(diǎn)，E是線段"N的中點(diǎn)，尸是》軸上一點(diǎn)（非原點(diǎn)），且1PMl=|PN|,3麗?胡=5^,則C的離心率為（）

A.41B.73C.2D.3

22

46.已知F是雙曲線E：A-2=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是。尸的中點(diǎn)，雙曲線E

ab

上有且僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)尸之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（）

A.|>+00]B.[2,+oo）C.（1,2]D.[3,+oo）

22

47.已知雙曲線C：二-斗=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為兄2為虛軸上端點(diǎn).M是砥中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

ab

0M交雙曲線右支于N,若FN垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為（）

A.五B.2C.舊D.這

3

48.在圓錐PO中，已知高P0=2,底面圓的半徑為4,M為母線PB的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列

四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)為（）

①圓的面積為4兀；

②橢圓的長軸長為歷；

3

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為：；

④拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為疲

5

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

22

49.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:5-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，K,過片的

ab

直線與雙曲線C的右支相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)Q月作ONLPGBML尸片，垂足分別為且M為線段PN

的中點(diǎn)，|ON|=a,則雙曲線C的離心率為（）

A9RA/^+10A/3+1nV13

222

22

50.已知雙曲線C：L-2L=1右支上的一點(diǎn)p,經(jīng)過點(diǎn)尸的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A,B

45

兩點(diǎn).若點(diǎn)42分別位于第一、四象限，。為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P為A2的中點(diǎn)時(shí)，|國，礪卜（）

81279

A.—B.9C.—D.—

842

考點(diǎn)06:直線與雙曲線的綜合問題

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（％,為）,（.％）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+3、%%（或"+%、％%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

22

51.已知雙曲線C:1—==l（a>0,6>0）,月，外分別是C的左、右焦點(diǎn).若C的離心率e=2,且點(diǎn)（4,6）在

ab

c±.

（I）求C的方程;

(2)若過點(diǎn)外的直線/與C的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn)，與拋物線V=16x交于P,。兩點(diǎn)，試問是否存在

12

常數(shù)2,使得西一網(wǎng)為定值？若存在，求出常數(shù)4的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

52.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，點(diǎn)尸(2,-0)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)。(0,2)的直線/與雙曲線交于E,尸兩點(diǎn)，AOEF的面積為2后，求直線/的方程.

53.如圖，已知雙曲線C：5-￡=l(a>0,b>0)的離心率為2,點(diǎn)］竽,2］在C上，A,B為雙曲線的左、

右頂點(diǎn)，尸為右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP和直線x=l交于點(diǎn)N,直線NB交C的右支于點(diǎn)。.

yfx=i

⑴求c的方程；

(2)探究直線尸。是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)S/,S2分別為"BN和ANP。的外接圓面積，求居的取值范圍.

22_

54.已知雙曲線C:=-1=l(a>0力>0)的虛軸長為2后，點(diǎn)尸(3,-2)在C上.設(shè)直線/與C交于4,8兩點(diǎn)(異

ab

于點(diǎn)P),直線A尸與BP的斜率之積為g.

⑴求C的方程；

(2)證明：直線/的斜率存在，且直線/過定點(diǎn).

22

55.已知橢圓C：L+匕=1的左右焦點(diǎn)分別是不鳥，雙曲線E的頂點(diǎn)恰好是F、、F”且一條漸近線是V=%.

(1)求E的方程:

⑵若E上任意一點(diǎn)H(異于頂點(diǎn))，作直線期交C于AB,作直線得交C于P,Q,求|的+4儼。|的最小

值.

22

56.己知雙曲線C：，-斗=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長為2,設(shè)歹為C的右焦點(diǎn)，T為C的左頂點(diǎn)，過尸的直

ab

線交C于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線A3斜率不存在時(shí)，的面積為9.

⑴求C的方程；

(2)當(dāng)直線AB斜率存在且不為。時(shí)，連接7A,分別交直線％于P,。兩點(diǎn)，設(shè)M為線段的中點(diǎn)，

證明：AB1FM.

22

57.已知雙曲線C芯-方=1(。>0,6>0)的一條漸近線方程為x+0y=O,點(diǎn)網(wǎng)2后6)在C上.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過雙曲線C的左焦點(diǎn)R作互相垂直的兩條直線〃4,且4與C交于A,B兩點(diǎn)，4與C交于9E兩點(diǎn)，M為

線段的中點(diǎn)，N為線段DE的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).

22

58.設(shè)雙曲線C：三-1=1(a>0，b>0)的一條漸近線為x-3y=0,焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.A，

ab

4分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線/過點(diǎn)7(2,0)交雙曲線于點(diǎn)M,N,記直線以&，N4的斜率為左,

k?.

⑴求雙曲線。的方程；

(2)求證》為定值.

22

59.設(shè)雙曲線E:二-2=1(。>0力>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,\F^\=2y[5,

且E的漸近線方程為y=±gx,直線/交雙曲線E于P,。兩點(diǎn).

(1)求雙曲線E的方程；

(2)當(dāng)直線/過點(diǎn)(4,0)時(shí)，求衣.雙的取值范圍.

60.已知雙曲線uryFm〉。)的左、右焦點(diǎn)分別為4,且，點(diǎn)尸為雙曲線上一點(diǎn)，且囪日明卜4

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；

⑵已知直線K：，=辰+1與雙曲線c交于M,N兩點(diǎn)，且凡"，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求％的值.

參考答案與試題解析

考點(diǎn)鞏固卷19雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點(diǎn)）

考點(diǎn)01：雙曲線的定義（妙用）

考點(diǎn)02:雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題

考點(diǎn)03:雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

考點(diǎn)04:求雙曲線離心率及取值范圍

考點(diǎn)05:雙曲線的中點(diǎn)弦問題

考點(diǎn)06:直線與雙曲線的綜合問題

春龍桀技巧5次點(diǎn)刮珠

考點(diǎn)01:雙曲線的定義（妙用）

（結(jié)論1：）歸用―/司=2。雙曲線第一定義。

,、22

（結(jié)論2：）標(biāo)準(zhǔn)方程營=1由定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

（結(jié)論3：）個(gè)=e>1雙曲線第二定義。

22

雙曲線j—2r=1（a>0,b>o）的焦半徑公式：耳（―c,0）,F2（C,0）

ab

當(dāng)M5,%）在右支上時(shí)，|MF}\=ex0+a,\MF?|=ex0-a.

當(dāng)M（%,%）在左支上時(shí)，|MF；|=-ex。一a,|Mg|=-ex。+a.

證明：由第二定義得：M在右支時(shí)，

Q

M在左支時(shí),|A/fJ|=X-----=-a—€XQ,||=e-------x0—ci-cx0°

22

1.已知雙曲線C:=-匕=l（a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為G，B，直線2尤+3y+m=0（加eR）與c的一條漸近

a4

線平行，若點(diǎn)。在c的右支上，點(diǎn)3（JGI）,貝”。引+|。閶的最小值為（）

A.后一3B.6C.753-6D.8

【答案】C

【分析】由直線2x+3y+m=0（meR）與C的一條漸近線平行，可求得a=3,從而可求出c,則可求出片,入

的坐標(biāo)，結(jié)合圖形可知|。句+|%RZ）3|+|必|-2aN忸耳|-2a,從而可求得答案.

fV22

【詳解】因?yàn)殡p曲線C：J-匕=1（。＞0）,所以雙曲線的漸近線方程為y=±-X,

a4a

因?yàn)橹本€2%+3y+機(jī)=0（機(jī)wR）與C的一條漸近線平行，

所以2'=2得。=3,

a3

所以。2=〃2+/=9+4=13,

所以月（—瓦,0）,耳（屈,0）,

因?yàn)?（屈,1）,所以忸司=J（2可＞+儼=后,

因?yàn)辄c(diǎn)。在C的右支上，

所以|D31+|盟|=|081+|。國-2a2忸耳|-2a=屈-6,

所以||+|*|的最小值為屈一6,

故選：C

22

2.若點(diǎn)尸是雙曲線C：三-乙=1上一點(diǎn)，片,F?分別為C的左、右焦點(diǎn)，貝臚|丹;|=8"是“忸囚=16”的

169

()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【分析】首先求得焦半徑的最小值,然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.

【詳解】a=4,b=3,c=>/42+32=5,

當(dāng)點(diǎn)尸在左支時(shí)，1PF/的最小值為c-a=l,

當(dāng)點(diǎn)尸在右支時(shí)，IPF/的最小值為a+c=9,

因?yàn)槎鷟=8,則點(diǎn)P在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義|尸閭-|尸司=|尸閭-8=2a=8,解得|正名=16；

當(dāng)I?詞=16,點(diǎn)P在左支時(shí)，|母;|=8；在右支時(shí)，|/蜀=24；推不出忸耳|=8；

故為充分不必要條件，

故選：D.

丫2