備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學考點一遍過考點31直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

專題31直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.理解以下判定定理：·如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.·如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：·如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行.·如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.·垂直于同一個平面的兩條直線平行.（2）能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.一、直線與平面平行的判定與性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行?線面平行圖形語言符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行2．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行?線線平行圖形語言符號語言作用①作為證明線線平行的依據(jù)．②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).二、平面與平面平行的判定與性質(zhì)1．平面與平面平行的判定定理文字語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行?面面平行圖形語言符號語言a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β作用證明兩個平面平行2．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.簡記為：面面平行?線線平行圖形語言符號語言作用證明線線平行3．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系三、常用結(jié)論（熟記）1．如果兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．2．如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線．3．夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．4．經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．5．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．6．如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行．7．如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．8．如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行．考向一線面平行的判定與性質(zhì)線面平行問題的常見類型及解題策略：(1)線面平行的基本問題①判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件．②結(jié)合題意構(gòu)造圖形作出判斷．③舉反例否定結(jié)論或反證法證明．(2)線面平行的證明問題判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義(無公共點)；②利用線面平行的判定定理()；③利用面面平行的性質(zhì)()；④利用面面平行的性質(zhì)().(3)線面平行的探索性問題①對命題條件的探索常采用以下三種方法：a.先猜后證，即先觀察與嘗試，給出條件再證明；b.先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；c.把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．②對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).典例1能保證直線a與平面α平行的條件是A．a(chǎn)?α，b?α，a∥bB．b?α，a∥bC．b?α，c∥α，a∥b，a∥cD．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b且AC＝BD【答案】A【解析】根據(jù)線面平行的判定定理可知A正確，注意線面平行的判定定理的條件缺一不可．B．b?α，a∥b，a可能在a內(nèi)，錯誤；C．b?α，c∥α，a∥b，a∥c，a可能在a內(nèi)，錯誤；D．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b且AC＝BD，a可能與a相交，錯誤.故選A．1．如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．MN//AP B．MN//BC．MN//平面BB1D1D典例2如圖，四棱錐P?ABCD中，AD//BC，，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點.（1）求證：AP//平面BEF；（2）求證：GH//平面PAD.【解析】（1）如圖，連接EC，∵AD//BC，，∴BC=AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點.又∵F是PC的中點，∴FO//AP，又∵FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP//平面BEF.（2）如圖，連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH//PD，又∵PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH//平面PAD.又∵O是AC的中點，H是CD的中點，∴OH//AD，∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，∴OH//平面PAD.又∵FH∩OH=∴平面OHF//平面PAD，又∵GH?平面OHF，∴GH//平面PAD.2．如圖所示，在三棱柱中，點分別是棱上的點，點是棱上的動點，，若平面，試判斷點在何位置.考向二面面平行的判定與性質(zhì)判定面面平行的常見策略：(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用).典例3如圖，直角梯形ABCD與梯形EFCD全等，其中AB//CD//EF，，且ED⊥平面ABCD，點G是CD的中點．（1）求證：平面BCF//平面AGE；（2）求平面BCF與平面AGE的距離．【解析】（1）∵AB//CD，，G是CD的中點，∴四邊形ABCG為平行四邊形，∴BC//AG，又∵AG?平面AEG，BC?平面AEG，∴BC//平面AEG，∵直角梯形ABCD與梯形EFCD全等，EF//CD//AB，∴EF=AB，∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴BF//AE，又∵AE?平面AEG，BF?平面AEG，∴BF//平面AEG，∵BF∩BC=B，∴平面BCF//平面AGE．（2）設(shè)點C到平面AGE的距離為d，易知AE=EG=AG=2由VC?AGE得，即，∵平面BCF//平面AGE，∴平面BCF與平面AGE間的距離為．3．如圖，四邊形為矩形，，，，四點共面，且和均為等腰直角三角形，.（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，，，求三棱錐的體積．1．已知m,n為兩條不重合直線，α,β為兩個不重合平面，下列條件中，α//β的充分條件是A．m//n,m?α,n?β B．m//n,m⊥α,n⊥βC．m⊥n,m//α,n//β D．m⊥n,m⊥α,n⊥β2．平面α與平面β平行的條件可以是A．α內(nèi)的一條直線與β平行 B．α內(nèi)的兩條直線與β平行C．α內(nèi)的無數(shù)條直線與β平行 D．α內(nèi)的兩條相交直線分別與β平行3．下列命題中，錯誤的是A．平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．平行于同一個平面的兩個平面平行C．若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行D．若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面4．如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1和BB1的中點,過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G,H,則HG與AB的位置關(guān)系是A．平行 B．相交C．異面 D．平行和異面5．設(shè)，表示兩個不同的平面，表示一條直線，則下列命題正確的是A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則6．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，若經(jīng)過D1BA．矩形 B．菱形C．平行四邊形 D．正方形7．如圖，在長方體中，若分別是棱的中點，則必有A． B．C．平面平面 D．平面平面8．正方體的棱長為3，點E在上，且，平面α∥平面（平面α是圖中的陰影平面），若平面平面，則AF的長為A．1 B．1.5C．2 D．39．在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別是棱A1B1,B1C1的中點,O是AC與BD的交點,平面OEFA． B．C． D．10．如圖所示，在三棱臺中，點在上，且，點是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是A．平面 B．直線C．線段，但只含1個端點 D．圓11．下列三個命題在“_______”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中為直線，為平面），則此條件是__________.①；②；③.12．如圖,在長方體中，E,F,G,H分別為CC',C'D',D'D,CD的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH內(nèi)運動,則M滿足時,有MN//平面B'BDD'．13．下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在的棱的中點,能得出14．如圖,已知空間四邊形ABCD,E,F,G,H分別是其四邊上的點且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,當EFGH是菱形時,=.15．如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，AB的中點，M點是正方形內(nèi)的動點，若平面，則M點的軌跡長度為__________．16．如圖，棱長為2的正方體中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________.17．如圖,四邊形與均為平行四邊形，分別是的中點.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.18．如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點.(1)當?shù)扔诤沃禃r,BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.19．如圖1，在梯形中，，，，過，分別作的垂線，垂足分別為，，已知，，將梯形沿，同側(cè)折起，使得平面平面，平面平面，得到圖2.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.20．如圖，P是ΔABC所在平面外一點，A',（1）求證：平面A'B'（2）求ΔA'B21．如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分別在(1)若BE=1,在折疊后的線段AD上是否存在一點P,使得CP//平面ABEF?若存在,求出(2)求三棱錐A?CDF的體積的最大值,并求出此時點F到平面ACD的距離.1．（2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面2．（2019年高考北京卷理數(shù)）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．3．（2016新課標全國Ⅱ理科）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號）4．（2019年高考全國Ⅰ卷理節(jié)選）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；5．（2019年高考江蘇節(jié)選）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；6．（2018江蘇節(jié)選）在平行六面體中，．求證：．7．(2017新課標全國Ⅱ理科節(jié)選)如圖，四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點．（1）證明：直線平面PAB.8．（2017北京理科節(jié)選）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求證：M為PB的中點.變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】取B1C1中點E，連接ME,NE，B由三角形中位線定理可得ME//B1D1，∴ME//由四邊形BB1EN∴NE//平面BB1D1D，∴又MN?平面MNE，∴MN//平面BB故選C．2．【解析】過作平面交于，連接.因為三棱柱，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.又平面，平面，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又，，所以，，故是的中位線，所以當是的中點時，平面.3．【解析】（1）∵四邊形為矩形，∴，又平面，平面，∴平面.∵和均為等腰直角三角形，且，∴，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，平面，，∴平面平面.（2）∵為矩形，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，在中，∵，∴，∴.∴.【名師點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——割補法、等體積法．①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決．②等體積法：應(yīng)用等體積法的前提是幾何體的體積通過已知條件可以得到，利用等體積法可以用來求解幾何體的高，特別是在求三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三棱錐的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．專題沖關(guān)專題沖關(guān)1．【答案】B【解析】當m//n時，若m⊥α，可得n⊥α，又n⊥β，可知α//β.故選B.2．【答案】D【解析】若兩個平面α,β相交,設(shè)交線是l,則有α內(nèi)的直線m與l平行,得到m與平面β平行,從而可得A是不正確的;而B中兩條直線可能是平行于交線l的直線,所以也不能判定α與β平行;C中的無數(shù)條直線也可能是一組平行于交線l的直線,因此也不能判定α與β平行.由平面與平面平行的判定定理可得D項是正確的.3．【答案】C【解析】如果兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線可能平行，可能異面．4．【答案】A【解析】∵E,F分別是AA1,BB1的中點,∴EF//AB．又AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,∴AB//平面EFGH.又AB?平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB//GH.5．【答案】C【解析】若，，則或，A不正確；若，，則，或相交，B不正確；若，，可得沒有公共點，即，C正確；若，，則或相交，D不正確.故選C．6．【答案】C【解析】長方體ABCD?A1B1C1D1中，平面AA1D1D與平面BB1C1C平行，又經(jīng)過D7．【答案】D【解析】選項A，由中位線定理可知：，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故A選項是錯誤的；選項B，由中位線定理可知：，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故B選項是錯誤的；選項C，由中位線定理可知：，而直線與平面相交，故直線與平面也相交，故平面與平面相交，故C選項是錯誤的；選項D，由三角形中位線定理可知：，所以有平面，平面，而，因此平面平面，故本題選D．8．【答案】A【解析】因為平面α∥平面，平面平面，平面平面，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.9．【答案】D【解析】如圖所示，∵E，F(xiàn)分別是棱A1B1,B1C1的中點,∴EF∥AC，則平面OEF即平面EFCA與平面BCC1B1相交于CF,即直線m；由CF∥OE，可得CF∥平面OD1E，故平面OD1E與平面BCC1B10．【答案】C【解析】過D作DN∥A1C1，交B1C1于N，連結(jié)BN，∵在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵點M是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的軌跡是線段DN，且M與D不重合，∴動點M的軌跡是線段，但只含1個端點．故選C．11．【答案】【解析】①，或，由；②，，；③，或，由．故答案為．12．【答案】M在線段FH上移動【解析】當M在線段FH上移動時,有MH//DD'.而HN//BD,∴平面MNH//平面B'BDD'.又MN?平面MNH,∴MN//平面B'BDD'.13．【答案】①④【解析】對于①,該正方體的對角面平面MNP,得出平面MNP;對于②,直線AB與平面MNP不平行;對于③,直線AB與平面MNP不平行;對于④,直線AB與平面MNP內(nèi)的直線NP平行.14．【答案】【解析】∵AC∥平面EFGH,AC?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,∴AC∥EF.∴.①由四邊形EFGH是菱形知EH∥FG,EH?平面BCD,FG?平面BCD,∴EH∥平面BCD．而EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD,∴.②由①②得.又EF=EH,AC=m,BD=n,所以.15．【答案】【解析】如圖所示，取的中點，的中點，連接，，，．可得：四邊形是平行四邊形，.同理可得：．，平面平面，點是正方形內(nèi)的動點，平面，點在線段上，點的軌跡長度．故答案為．16．【答案】【解析】在正方體中，因為平面平面，所以平面平面，且，所以N為AB的中點（如圖），所以該截面為等腰梯形.因為正方體的棱長為2，所以MN=，CD1=，MD1=，所以等腰梯形MNCD1的高MH=，所以截面面積為.17．【解析】(1)連接,則必過與的交點,連接,則為的中位線,所以,又平面平面，所以平面.(2)因為分別為平行四邊形的邊的中點,所以,又平面平面,所以平面.又為中點,所以為的中位線,所以,又平面平面,所以平面,又與為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以平面平面.【名師點睛】在立體幾何中，常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的．在解決問題的過程中，要靈活運用平行關(guān)系的判定定理.（1）應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟：上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．（2）利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟:第一步：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線；第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論．18．【解析】(1)如圖所示,取D1為線段A1C1的中點,此時=1.連接A1B,交AB1于點O,連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知,四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴點O為A1B的中點.∵D1為A1C1的中點,O為A1B的中點,∴OD1∥BC1,∵OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.∴當=1時,BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,∴.又平面AB1D1∩平面ACC1A1=AD1,平面BDC1∩平面ACC1A1=DC1,∴AD1∥DC1,∴AD=D1C1,DC=A1D1,∴=1.19．【解析】（1）設(shè)，取中點，連接，∵四邊形為正方形，∴為中點，∵為中點，∴且，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵平面平面，∴平面平面，又，則平面，又∵，，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面，∴平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離，∴.20．【解析】（1）連接PA'、PC'，并延長分別交BC、AB于點M，∵A'、C'分別是ΔPBC、Δ∴PA'=∴A'∵A'C'?平面ABC，∴A'C'同理，A'B'∵A'C'∩A'B∴平面A'B'（2）由（1）知A'C'∵MN=12AC∴A'C'同理可得：A'B'=13AB則ΔA故ΔA'B'C'21．【解析】(1)線段上存在一點,使得平面,此時.理由如下:當時,,過點作交于點,連接,則有==,∵,∴,故,又,故有,故四邊形為平行四邊形,∴,又∴平面平面,∴平面.(2)設(shè),∴==,故==,∴當時,有最大值,且最大值為3,此時=,在中,由余弦定理得===,∴=,==,設(shè)點到平面的距離為,由于,即=,∴=,即點到平面的距離為.直通高考直通高考1．【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件.故選B．【名師