人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修二)《10.1 隨機(jī)事件與概率》同步檢測(cè)題有答案

第第頁人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修二)《10.1隨機(jī)事件與概率》同步檢測(cè)題有答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．有限樣本空間(1)隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

(2)有限樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.

一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果，，，，則稱樣本空間={，，，}為有限樣本空間.2．事件(1)隨機(jī)事件

一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

A作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件.

(3)不可能事件

空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不可能事件.3．事件的關(guān)系和運(yùn)算(1)兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生或交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生或互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生，(2)多個(gè)事件的和事件、積事件

類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.對(duì)于多個(gè)事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，中至少一個(gè)發(fā)生，A∩B∩C∩(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，同時(shí)發(fā)生.4．樣本空間中樣本點(diǎn)的求法(1)列舉法

列舉法也稱枚舉法.對(duì)于一些情境比較簡(jiǎn)單，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多的概率問題，計(jì)算時(shí)只需一一列舉，即可得出隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn).注意列舉時(shí)必須按一定順序，做到不重不漏.

(2)列表法

對(duì)于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是太多的情況，可以采用列表法.通常把對(duì)問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對(duì)”，以便更直接地得到樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法.(3)樹狀圖法

樹狀圖法適用于按順序排列的較復(fù)雜問題中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，是一種常用的方法.5．用集合觀點(diǎn)看事件間的關(guān)系符號(hào)概率角度集合角度必然事件全集不可能事件空集試驗(yàn)的可能結(jié)果中的元素事件的子集的對(duì)立事件的補(bǔ)集事件A包含于事件B集合A是集合B的子集事件A等于事件B集合A等于集合B或事件A與事件B的并（和）事件集合A與B的并集或事件A與事件B的交（積）事件集合A與B的交集事件A與事件B互斥集合A與B的交集為空集，且事件A與事件B對(duì)立集合A與B互為補(bǔ)集6．古典概型(1)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：有限性和等可能性.并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型.

下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：

①樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)有限，但非等可能;

②樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(diǎn)(基本事件)個(gè)數(shù)無限，也不等可能.7．古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間A包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).8．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意的事件A，都有P（A）≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（）=1，P()=0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推廣：如果事件A1，A2，…，Am．兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B).性質(zhì)5如果，那么P（A）≤P（B）.性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P（）=P（A）＋P（B）P（）.【題型1事件的分類】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件的定義，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°C，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形，其面積為ab【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)事件：①明天上海的天氣有時(shí)有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）①經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【變式1-3】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件【題型2事件與樣本空間】【方法點(diǎn)撥】求試驗(yàn)的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗(yàn)，列舉出各個(gè)樣本點(diǎn).對(duì)于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，要保證列舉出的試驗(yàn)結(jié)果不重不漏.寫樣本空間時(shí)應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽??；二是試驗(yàn)結(jié)果是否與順序有關(guān).【例2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同，分別標(biāo)有號(hào)碼0，1，2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球．記“搖到的球的號(hào)碼小于6”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，此試驗(yàn)的樣本空間為（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在試驗(yàn)：連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo)10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是A．樣本空間中共有10個(gè)樣本點(diǎn)B．事件A中有6個(gè)樣本點(diǎn)C．樣本點(diǎn)6在事件A內(nèi)D．事件A中包含樣本點(diǎn)11【題型3事件的關(guān)系及運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件.【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設(shè)M，N為兩個(gè)隨機(jī)事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【變式3-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A．A?B B．A=BC．A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【變式3-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【題型4古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點(diǎn)撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否是古典概型；第二步，計(jì)算樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n；第三步，計(jì)算所求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k；第四步，計(jì)算所求事件A的概率，.【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書?讀好書?普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類?文學(xué)類?自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán)．甲?乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)，每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為（

）A．13 B．12 C．23【變式4-1】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的概率記為p1”，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為p2，“向上的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為p3A．p1<p2<p3 B．【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．13【變式4-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有6個(gè)大小相同?質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個(gè)小球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個(gè)小球上數(shù)字都是3的概率為（

）A．15 B．16 C．19【題型5概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體問題，準(zhǔn)確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計(jì)算概率.【例5】（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）若事件A,B為兩個(gè)互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【變式5-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實(shí)數(shù)A．54,2 B．54,32【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）袋子中有5個(gè)質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)白球，3個(gè)是紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)?P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【題型6古典概型與其他知識(shí)的綜合】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于古典概型與其他知識(shí)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).找出滿足條件的情況，從而確定樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）今年5月底，中央開始鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，地?cái)傇谌珖?guó)遍地開花．某地政府組織調(diào)研本地地?cái)偨?jīng)濟(jì)，隨機(jī)選取100名地?cái)倲傊髁私馑麄兠吭碌氖杖肭闆r，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個(gè)組5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計(jì)每月每名地?cái)倲傊魇杖氲谋姅?shù)和中位數(shù)（單位：千元）；(2)已知從收入在10,20的地?cái)倲傊髦杏梅謱映闃映槿?人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人收入都來自15,20的概率．【變式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人們?cè)絹碓疥P(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/0,5050,100100,150150,200200,250空氣質(zhì)量等級(jí)空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于50,100和150,200監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【變式6-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一期末）公司檢測(cè)一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，共計(jì)1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值統(tǒng)計(jì)如下所示.(1)求a的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值x以及方差s2(2)若按照分層抽樣的方法在質(zhì)量指標(biāo)值為185,205的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，再從這5件中任取3件，求至少有2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)在195,205的概率.【變式6-3】（2022秋·四川成都·高二階段練習(xí)）某電視臺(tái)為宣傳本省，隨機(jī)對(duì)本省內(nèi)15~65歲的人群抽取了n人，回答問題“本省內(nèi)著名旅游景點(diǎn)有哪些”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示組號(hào)分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組15,25a0.5第2組25,3518x第3組35,45b0.9第4組45,5590.36第5組55,653y(1)分別求出a、b、x、y的值；(2)從第2?3?4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.(3)求出直方圖中，前三組（第1?2?3組）的平均年齡數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）？參考答案【題型1事件的分類】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件的定義，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°C，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形，其面積為ab【解題思路】根據(jù)隨機(jī)事件的概念判斷即可【解答過程】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；C．長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形，其面積為D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列四個(gè)事件：①明天上海的天氣有時(shí)有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】判斷選項(xiàng)中每個(gè)事件為隨機(jī)事件還是必然事件還是不可能事件，可得答案.【解答過程】由題意可知，①明天上海的天氣有時(shí)有雨為隨機(jī)事件；②東邊日出西邊日落為必然事件；③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；④守株待兔為隨機(jī)事件，故必然事件有1個(gè)，故選：B.【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列事件中，是隨機(jī)事件的是（

）①經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，剛好是紅燈；②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上；④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【解題思路】由隨機(jī)事件，不可能事件和必然事件的定義判斷即可.【解答過程】解：由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；對(duì)于②，骰子最大的點(diǎn)數(shù)為6，2顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和不可能為14，故②是不可能事件；對(duì)于④，每年有12個(gè)月，13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月，故④是必然事件.故選：A.【變式1-3】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件【解題思路】根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的定義判斷.【解答過程】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件，故A正確；在B中，事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件，故B正確；在C中，事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件，故D正確．故選：C．【題型2事件與樣本空間】【方法點(diǎn)撥】求試驗(yàn)的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗(yàn)，列舉出各個(gè)樣本點(diǎn).對(duì)于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，要保證列舉出的試驗(yàn)結(jié)果不重不漏.寫樣本空間時(shí)應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽?。欢窃囼?yàn)結(jié)果是否與順序有關(guān).【例2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則樣本空間為（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【解題思路】列舉出所有可能結(jié)果，由此可得樣本空間.【解答過程】?jī)蓚€(gè)小孩的所有結(jié)果是：男男，男女，女男，女女，則所有樣本空間為{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．故選：C.【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同，分別標(biāo)有號(hào)碼0，1，2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球．記“搖到的球的號(hào)碼小于6”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)樣本空間及樣本點(diǎn)的定義即可求解.【解答過程】由題意可知，事件A={0,1,2,3,4,5},共6個(gè)樣本點(diǎn).故選：C.【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，此試驗(yàn)的樣本空間為（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【解題思路】利用列舉法可得答案【解答過程】解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，此試驗(yàn)的樣本空間為｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝故選：D.【變式2-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在試驗(yàn)：連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo)10次，觀察命中的次數(shù)中，事件A=“至少命中6次”，則下列說法正確的是A．樣本空間中共有10個(gè)樣本點(diǎn)B．事件A中有6個(gè)樣本點(diǎn)C．樣本點(diǎn)6在事件A內(nèi)D．事件A中包含樣本點(diǎn)11【解題思路】連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo)10次，可能全部脫靶，最好的情況是全部命中，故有11個(gè)樣本點(diǎn)；事件A={6,7,8,9,10}，由此判斷選項(xiàng)。【解答過程】樣本空間中有11個(gè)樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)；事件A中有5個(gè)樣本點(diǎn)，故B錯(cuò)；樣本點(diǎn)中沒有11，故D錯(cuò).故選：C.【題型3事件的關(guān)系及運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)事件之間的關(guān)系，結(jié)合具體問題，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件.【例3】（2022秋·上海徐匯·高二期末）設(shè)M，N為兩個(gè)隨機(jī)事件，如果M，N為互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M與N一定為互斥事件 D．M與N一定不為互斥事件【解題思路】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的定義，再借助維恩圖即可求解.【解答過程】因?yàn)镸，N為互斥事件，則有以下兩種情況，如圖所示（第一種情況）（第二種情況）無論哪種情況，M∪N均是必然事件．故A正確．如果是第一種情況，M∪N不是必然事件，故B不正確，如果是第一種情況，M與N不一定為互斥事件，故C不正確，如果是第二種情況，M與故選：A.【變式3-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（

）A．A?B B．A=BC．A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【解題思路】由題意，得到事件A，B所包含的基本事件，由此分析判斷即可．【解答過程】解：由題意可知，A={1，2}，B={2，3}，所以A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，則A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3，故ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．恰有1名女生與恰有2名女生 B．至多有1名女生與全是男生C．至多有1名男生與全是男生 D．至少有1名女生與至多有1名男生【解題思路】根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此選出正確選項(xiàng)．【解答過程】“從中任選2名同學(xué)參加演講比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女．恰有1名女生與恰有2名女生是互斥且不對(duì)立的兩個(gè)事件，故A正確；至多有1名女生與全是男生不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；至多有1名男生與全是男生既互斥又對(duì)立，故C錯(cuò)誤；至少有1名女生與至多有1名男生不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：A．【變式3-3】（2022·高一單元測(cè)試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A．A?D B．B∩D=? C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【解題思路】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，則A?D，A∪C=D，可判斷A,C;事件B與D是互斥事件,判斷B;A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示至少有一名男生，由此判斷D.【解答過程】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故A?D，A∪C=D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D=?，故B正確，A∪B表示的是2名全是男生或2名全是女生，B∪D表示2名全是女生或名至少有一名男生，故A∪B≠B∪D，D錯(cuò)誤，故選：D.【題型4古典概型的判斷及其概率的求解】【方法點(diǎn)撥】第一步，閱讀題目，判斷試驗(yàn)是否是古典概型；第二步，計(jì)算樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n；第三步，計(jì)算所求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)k；第四步，計(jì)算所求事件A的概率，.【例4】（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）為培養(yǎng)學(xué)生“愛讀書?讀好書?普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類?文學(xué)類?自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán)．甲?乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)，每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為（

）A．13 B．12 C．23【解題思路】根據(jù)古典概型公式即可求解.【解答過程】記人文社科類?文學(xué)類?自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán)分別為a,b,c，則甲?乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)的基本事件有a,a,而這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)包含的基本事件有a,a,故這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率P=3故選：A.【變式4-1】（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的概率記為p1”，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率記為p2，“向上的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率記為p3A．p1<p2<p3 B．【解題思路】用列舉法結(jié)合古典概型的公式求出p1，p2，【解答過程】把隨機(jī)擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果列表如下：1,62,63,64,65,66,61,52,53,54,55,56,51,42,43,44,45,46,41,32,33,34,35,36,31,22,23,24,25,26,21,12,13,14,15,16,1共有36種等可能的結(jié)果，其中“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的有10種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的有18種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的有27種情況，所以“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”的概率p1“向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率p2“向上的點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”的概率p3因?yàn)?18所以p1故選：A．【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．13【解題思路】根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式即可求解.【解答過程】將四塊三角形區(qū)域編號(hào)如下，由題意可得總的涂色方法有24若相鄰的區(qū)域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種，故所求概率P=2故選：A.【變式4-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有6個(gè)大小相同?質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個(gè)小球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個(gè)小球上數(shù)字都是3的概率為（

）A．15 B．16 C．19【解題思路】列出事件所含基本事件，根據(jù)古典概型求解即可.【解答過程】任取兩個(gè)小球，則出的球中有數(shù)字3的事件有(1,3),(1,3),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,4),(3,5),(3,6)，共9個(gè)基本事件，其中所取出的兩個(gè)小球上數(shù)字都是3的基本事件共1個(gè)，所以所取出的兩個(gè)小球上數(shù)字都是3的概率P=1故選：C.【題型5概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)具體問題，準(zhǔn)確表示事件，分析事件之間的關(guān)系，結(jié)合概率的基本性質(zhì)，計(jì)算概率.【例5】（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）若事件A,B為兩個(gè)互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【解題思路】根據(jù)互斥事件的含義可判斷①；根據(jù)題意可知B?A，從而判斷②；根據(jù)概率的性質(zhì)可判斷③④【解答過程】∵事件A,B為兩個(gè)互斥事件，A∩B=?，∴P(AB)=0，故①正確；∵事件A,B為兩個(gè)互斥事件，則B?A，∴PABP(A∪BP(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A)+P(B)，故④正確，綜上，①③④正確，故選：A．【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，則P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解題思路】由對(duì)立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式求P(A+B).【解答過程】因?yàn)镻(C)=0.6，事件B與C對(duì)立，所以P(B)=0.4，又P(A)=0.3，A與B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故選：C.【變式5-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且PA=2?a，PB=4a?5，則實(shí)數(shù)A．54,2 B．54,32【解題思路】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質(zhì)列式即可作答.【解答過程】因隨機(jī)事件A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)=3a?3，依題意及概率的性質(zhì)得0<P(A)<10<P(B)<10<P(A+B)≤1，即解得54所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是54故選：C.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）袋子中有5個(gè)質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)白球，3個(gè)是紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)?P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【解題思路】利用古典概型概率公式求出P(A),P(B),P(A∩B)，即可判斷A、C；利用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)求出P(A∪B)，即可判斷B、D.【解答過程】P(A)=35,P(B)=P(A∩B)=3×25×4=P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)=35+P(A∪B)+P(A∩B)=3故選：C.【題型6古典概型與其他知識(shí)的綜合】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于古典概型與其他知識(shí)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出所求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).找出滿足條件的情況，從而確定樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【例6】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習(xí)）今年5月底，中央開始鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，地?cái)傇谌珖?guó)遍地開花．某地政府組織調(diào)研本地地?cái)偨?jīng)濟(jì)，隨機(jī)選取100名地?cái)倲傊髁私馑麄兠吭碌氖杖肭闆r，并按收入（單位：千元）將攤主分成六個(gè)組5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中t的值，并估計(jì)每月每名地?cái)倲傊魇杖氲谋姅?shù)和中位數(shù)（單位：千元）；(2)已知從收入在10,20的地?cái)倲傊髦杏梅謱映闃映槿?人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人收入都來自15,20的概率．【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有長(zhǎng)方形的面積和為1，列方程可求出t的值，利用中位數(shù)兩邊的頻率相同可求出中位數(shù)，平均數(shù)等于各組中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，再把所有的積加起來可得平均數(shù)；（2）利用分層抽樣的比例求出10,15和15,20的人數(shù)，然后利用列舉法把所有情況列出來，再利用古典概型的概率公式求解即可.【解答過程】（1）每月每名地?cái)倲傊魇杖氲谋姅?shù)為：22.5(千元)由0.02+0.02+0.03+0.08+t+0.01×5=1，則t=0.04由0.02+0.02+0.03×5=0.35，由0.5?0.35則中位數(shù)為20+1.875=21.875(千元)，（2）由分層抽樣可知10,15應(yīng)抽取2人記為1，2，15,20應(yīng)抽取3人記為a，b，c，則從這5人中抽取2人的所有情況有：1,2,記其中2人收入都來自15,20為事件A，情況有a,b,則PA【變式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人們?cè)絹碓疥P(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量指數(shù)(μg/0,5050,100100,150150,200200,250空氣質(zhì)量等級(jí)空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于50,100和150,200監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，再從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【解題思路】(1)根據(jù)頻率的定義可求得n，從而求得m，進(jìn)一步計(jì)算每組的頻率，從而完成頻率分布直方圖；(2)根據(jù)分層抽樣的定義可以確定空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分別抽取4天和1天，再根據(jù)古典概率模型計(jì)算公式即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)?.004×50=20n，解得因?yàn)?0+40+m+10+5=100，解得m=25，40100×50=0.008，25100×50=0.005，完成頻率分布直方圖如圖：（2）空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)和[150,200)的監(jiān)測(cè)天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽取的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[50,100)的4天分別記為a,b,c,d，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[150,200)的1天記為e．從中任取2天的基本事件分別為(