題型03“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納（解析版）

題型03“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧技法01技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則最大值+最小值可秒解在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則最大值+最小值可秒解.知識(shí)遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，則最大值，最小值有即倍常數(shù)（1）與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（，且）為偶函數(shù)，，（，且）為奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)為偶函數(shù)（2）與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（且）為奇函數(shù)，，（且）為奇函數(shù)例1-1．（2023上·江蘇·高三模擬）已知分別是函數(shù)++1的最大值、最小值，則倍常數(shù)=2例1-2．．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的最大值為M，最小值為m，則.【法一】倍常數(shù)=14【法二】例1-3．（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）函數(shù)，，記的最大值為，最小值為，則.【法一】倍常數(shù)=4【法二】1．（2023下·湖南?？迹┮阎瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為最小值為，則.【答案】【分析】設(shè)函數(shù)，則的最大值為，最小值為，利用是奇函數(shù)可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則的最大值為，最小值為，，則，所以是奇函數(shù)，所以，所以．故答案為：.2．（2023上·重慶?？迹┖瘮?shù)，當(dāng)時(shí)的最大值為M，最小值為N，則．【答案】【分析】求出的奇偶性即可得出的值.【詳解】由題意，在中，，函數(shù)是奇函數(shù)，，在中，當(dāng)時(shí)的最大值為M，最小值為N，故答案為：.3．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【答案】8【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，設(shè)，，可得函數(shù)在上為奇函數(shù)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，由題意，得，所以.故答案為：8.4．（2023上·山東統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則.【答案】4046【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，設(shè)，可得函數(shù)在上為奇函數(shù)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解即可.【詳解】，設(shè)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，知函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，，所?故答案為：4046.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則．【答案】2【分析】根據(jù)三角恒等變換和分類常量法可得，由函數(shù)的奇偶性可知為奇函數(shù)，則，進(jìn)而，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以的定義域?yàn)?又，設(shè)，則，∴?g(x)?為奇函數(shù)；設(shè)?g(x)?的最大數(shù)值為M，最小值為N，則，則的最大數(shù)值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為，得．故答案為：2．6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？迹┖瘮?shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】【分析】將函數(shù)解析式化為，設(shè)，則，記，則為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，設(shè)，則，所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，由，得，故答案為：7．（2015上·寧夏銀川·高三階段練習(xí)）已知分別是函數(shù)的最大值、最小值，則．【答案】2【分析】先由和角正弦公式化簡(jiǎn)，令，得是奇函數(shù)，再由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值之和.【詳解】由可得定義域?yàn)镽，，令，則，則函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)其最大值為，則其最小值為，所以，，從而．故答案為：2.8．（2022上·遼寧·聯(lián)考）已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則.【答案】15【分析】令，判斷其奇偶性，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出所求.【詳解】令，其定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)，即函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以，即故答案為：9．（2023下·黑龍江校考）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值和最小值分別為M，N，則函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為．【答案】/【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題意可知，所以.故函數(shù)在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)，令，則，所以在定義域內(nèi)為奇函數(shù).設(shè)在上的最大值為，則最小值為，所以在上的最大值為，最小值為，所以..因?yàn)?，所以圖象的對(duì)稱中心為.故答案為：.10．（2023上·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】2【分析】構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的奇偶性求值即可.【詳解】，令，易知，，即為奇函數(shù)，所以結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有.故答案為：211．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考）函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】1【分析】將函數(shù)解析式邊形為，設(shè)，則，記，由奇函數(shù)的定義得出為奇函數(shù)，得出在的最值，結(jié)合，即可求出．【詳解】，設(shè)，則，記，因?yàn)?，所以是在上的奇函?shù)，最大值為，最小值為，所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?．12．（2023下·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，的最大值為，最小值為，則.【答案】【分析】構(gòu)造，定義判斷奇偶性，利用對(duì)稱性有，即可求結(jié)果.【詳解】令，且，，所以為奇函數(shù)，且在上連續(xù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性：在上的最大、最小值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故.故答案為：技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則在模擬考試及高考考試中，會(huì)遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對(duì)函數(shù)的奇偶性，則f(a)+f(-a)可秒解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，有即倍常數(shù)例2-1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，，則．在定義域內(nèi)為奇函數(shù)所以倍常數(shù)=2，解得【答案】－2例2-2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則．，和在定義域內(nèi)為奇函數(shù)所以2倍常數(shù)=-2【答案】－21．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）函數(shù)，若，則．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.2．（2023·四川模擬）已知，若，則.【答案】【分析】令，已知為奇函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：3．（2022·上海·高三?？迹┤舳x在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，且，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)得到的對(duì)稱中心為，再結(jié)合得到的對(duì)稱中心為，然后利用對(duì)稱性求即可.【詳解】由可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以的對(duì)稱中心為，則的對(duì)稱中心為，又，則.故答案為：-5.4．（2022·青海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則．【答案】5【分析】令，根據(jù)為奇函數(shù)可求出.【詳解】令，可得為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以，則.故答案為：5.5．（2023上·上海·交大附中?？迹┰O(shè)（其中a?b?c為常數(shù)，），若.則