題型15 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和解題技巧-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納（解析版）

題型15等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和解題技巧技法01技法01等差數(shù)列的性質(zhì)解題技巧技法02等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題技巧技法03等比數(shù)列的性質(zhì)解題技巧技法04等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題技巧技法01等差數(shù)列的性質(zhì)解題技巧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)是等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)是等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)遷移等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列例1-1．（江西·高考真題）已知等差數(shù)列，若，則.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以.例1-2．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝．因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列,所以也成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21,a5＋b5成等差數(shù)列，因而a5＋b5＝.1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃?shù)列中，，，則（

）A．210 B．190 C．170 D．150【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義知公差為，然后利用求和公式結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)求和即可；【詳解】由知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以.故選：C.2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．19 B．22 C．25 D．27【答案】A【分析】依題意由等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得，利用等差中項(xiàng)計(jì)算可得，可求出.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，由可得，所以可得，又可得，所以.故選：A3．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知等差數(shù)列滿足，，則（

）A．25 B．35 C．40 D．50【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及性質(zhì)求得答案即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，得，即①；由，得，②；由①②得，則.故選：A.4．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】24【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：245．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列，若，則的值為.【答案】【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，進(jìn)而得，再代入所求即可．【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以，故.故答案為：.技法02等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題技巧等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是等差數(shù)列的重點(diǎn)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)遷移等差數(shù)列前n項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項(xiàng)和公式是無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導(dǎo)過(guò)程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列例2-1．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【詳解】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以，例2-2．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考二模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.例2-3．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)椋瑸榈炔顢?shù)列，所以，，所以，例2-4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)，，.則，，所以.1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：C.2．（2021·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用通項(xiàng)公式和求和公式可以得到為等差數(shù)列，利用此性質(zhì)得到方程求解即得.【詳解】∵，∴是等差數(shù)列，，是其中的連續(xù)三項(xiàng)，∴，解得故選:C.【點(diǎn)睛】是以為首項(xiàng)，以數(shù)列的公差的一半為公差的等差數(shù)列，這是一個(gè)很有用的結(jié)論.3．（2024·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)及已知，設(shè)，求得，即可得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設(shè)，則，于是依次為，所以，所以.故選：B4．（2024·廣東中山·中山一中?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，構(gòu)造出符合題意的一組與的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列、都是等差數(shù)列，顯然兩個(gè)數(shù)列都不是常數(shù)列，，因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和公式為，所以不妨令為常數(shù)，且，所以時(shí)，，．，，，.故選：A5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.【答案】16【分析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，則，求解即可得到答案；方法二：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列出方程，求解即可得到答案.【詳解】方法一：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，則，，也成等差數(shù)列，，，成等差數(shù)列，所以，解得.方法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，所以，解得：，所以.故答案為：166．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程，可判斷B選項(xiàng)；解不等式，可判斷C選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，是遞增數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，可得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，D對(duì).故選：ACD.技法03等比數(shù)列的性質(zhì)解題技巧等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)是等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)是等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)遷移等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列例3-1．（全國(guó)·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝例3-2．（全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．8 D．為等比數(shù)列，則．1．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由可得，又，故，則，解得，即.故選：D2．（2023·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知為遞增的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B．1 C．16 D．32【答案】C【分析】首先化簡(jiǎn)等式，并結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求.【詳解】由題意，，聯(lián)立，則或因?yàn)槭沁f增的數(shù)列，得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.故選：C.3．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．11【答案】A【分析】設(shè)，倒序相加再由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，則，所以.故選：A4．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則.【答案】189【分析】由是等比數(shù)列，則，，，成等比數(shù)列，再根據(jù)新等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，，構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為，，，則.故答案為：189.5．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，與是方程的兩個(gè)根，則.【答案】5【分析】利用韋達(dá)定理，可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)榕c是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.技法04等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題技巧等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是等比數(shù)列的重點(diǎn)知識(shí)，也是新高考的重要考點(diǎn)，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識(shí)點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識(shí)遷移等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）例4-1．（2021·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.例4-2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．例4-3．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列對(duì)于A，，時(shí)，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【分析】方法一，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得，可得，求得，可得解；方法二，同方法一求得，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式代入運(yùn)算可得解.【詳解】方法一因?yàn)?，所以，，所以，所?又，得，所以.故選：A.方法二因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：A.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和列出與，兩式相比即可解出答案；或根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，且公比為，即可列式，代入值即可解出答案.【詳解】法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，則，，所以，解得.法二：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，且公比為，所以，即，解得..故選：C4．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．36