題型22 5類圓錐曲線解題技巧焦點三角形、阿基米德三角形、焦點弦、中點弦、弦長問題（硬解定理-萬能公式）-高考數學必考模型歸納（解析版）

題型225類圓錐曲線解題技巧（焦點三角形、阿基米德三角形、焦點弦、中點弦、弦長問題（硬解定理-萬能公式)技法01技法01圓錐曲線中焦點三角形的應用及解題技巧技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應用及解題技巧技法03圓錐曲線中焦點弦的應用及解題技巧技法04圓錐曲線中中點弦的應用及解題技巧技法05圓錐曲線中弦長問題（硬解定理-萬能公式）的應用及解題技巧技法01圓錐曲線中焦點三角形的應用及解題技巧圓錐曲線的焦點三角形及其相關計算圓錐曲線的焦點三角形及其相關計算是新高考卷的?？純热?，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習知識遷移橢圓焦點三角形主要結論在ΔPF1F2中,記∠F1PF2=θ,橢圓定義可知:

(1).PF1雙曲線焦點三角形主要結論如圖,F1、F2是雙曲線的焦點,設P為雙曲線上任意一點,記∠例1-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【法一】因為，所以，從而，所以．【法二】因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．例1-2．（全國·高考真題）設，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．1【法一】△PF1【法二】設，，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為.故選：D1．（上?！じ呖颊骖}）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=.【答案】3【詳解】設橢圓的焦距為，則.由橢圓定義知，由題意知，，則，則，即，所以.2．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.3．（全國·高考真題）已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【詳解】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．4．（2023·全國·高三專題練習）設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30【答案】A【分析】先利用題給條件及雙曲線定義求得的三邊長，進而求得的面積【詳解】由，可得又是是雙曲線上的一點，則，則，，又則，則則的面積等于故選：A技法02圓錐曲線中阿基米德三角形的應用及解題技巧阿基米德三角形問題及其相關計算阿基米德三角形問題及其相關計算是新高考卷的?？純热?，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習.知識遷移橢圓中的阿基米德三角形設橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過A，B兩點做橢圓切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質1:弦雙曲線中的阿基米德三角形設雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過A，B兩點做雙曲線切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過焦點,頂點Q的軌跡為準線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點I(不與A,B重合),過I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接例2．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線的切線，相交于點，又常被稱作阿基米德三角形．的面積的最小值為（

）A． B． C． D．設，，由題意可得直線AB的斜率不為0,因為直線AB過焦點，所以設直線AB的方程；聯立得，所以，由拋物線的性質可得過點，的拋物線的切線方程為：，聯立得，，即.點到直線的距離，當且僅當時取到最小值.故選：C.1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）（多選）若，，點滿足，記點的軌跡為曲線，直線，為上的動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，則下列說法中正確的是（

）A．的最小值為B．直線恒過定點C．的最小值為0D．當最小時，直線的方程為【答案】ABC【分析】由題知，點的軌跡曲線為，對于A，即可判斷；對于B，設，根據條件得到直線，由，得，即可判斷；對于C，根據條件得到，為全等的等腰直角三角形，得，即可判斷；對于D，求出四邊形的面積，得到A和B的坐標,即可判斷.【詳解】設，因為，，點滿足，所以，即，化簡得，所以點的軌跡曲線為，圓心為，半徑.對于A，因為直線，為上的動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，設圓心到直線l的距離為d,所以，故A正確；對于B，設，則，所以，以為圓心，為半徑的圓的方程為，①因為為，②由①，②相減,得直線，即，由，得，所以直線恒過定點，故B正確；對于C，因為，，根據幾何性質可知，，在中，，因為，所以，所以此時，為全等的等腰直角三角形，所以，，即有，所以，所以的最小值為0，故C正確；對于D，因為四邊形的面積為，此時四邊形為正方形，，所以直線的方程為，故D錯誤.故選：ABC.2．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點到原點的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準線方程；（2）點P是直線l上的動點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，求面積的最小值.【答案】（1）拋物線方程為，其準線方程為；（2）最小值為.【分析】（1）求出直線斜率可得即可寫出拋物線方程及準線方程；（2）利用切線求出直線的方程，聯立拋物線方程，求出弦長，再有點到直線的距離即可求出三角形面積，利用二次函數求最值即可.【詳解】（1）由題意，，即，可知拋物線方程為，其準線方程為.（2），則切線：，即；同理：.分別代入點可得，對比可知直線的方程為：.(即切點弦方程)聯解，可知，點到直線的距離為，因此，，而，故.當且僅當，即時，的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：涉及三角形面積問題，一般可利用直線聯立拋物線方程求出弦長，再由點到直線距離求出高，即可表示三角面積，屬于中檔題.3．（2023·全國·高三專題練習）拋物級的焦點到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設直線交拋物線于，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用拋物線的定義求出即可得出結論；（2）聯立直線和拋物線的方程，得出韋達定理，設切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，利用已知條件對函數求導得出切線的斜率，寫出切線方程，求出兩切線的交點坐標，利用，即可得出結論.【詳解】（1）由題意知：，則焦點到直線的距離為：，所以拋物線的方程為：；（2）證明：把直線代入消得：，又，利用韋達定理得，由題意設切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，由（1）可得：，則，所以，則切線的方程為：，切線的方程為：，則，利用韋達定理化簡整理得：，把代入整理得：，則，，則【點睛】本題主要考查了利用定義求拋物線的方程，直線與拋物線應用.做這道題的時候要注意，利用韋達定理，得出兩根的關系，設出兩切線的交點，認真計算.屬于中檔題.技法03圓錐曲線中焦點弦的應用及解題技巧圓錐曲線的焦點弦及其相關計算圓錐曲線的焦點弦及其相關計算是新高考卷的?？純热?，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習.知識遷移橢圓的斜率式焦點弦長公式(1)為橢圓的左、右焦點，過(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點，則(2)為橢圓的下、上焦點，過(或斜率為的直線與橢圓交于兩點，則雙曲線的斜率式焦點弦長公式(1)F1，F2為雙曲線C:x2a2?y2b2(2)A，B在異支弦，AB=

(2)F1，F2為雙曲線C:y2a2?x2b2=1a>0,b>橢圓的傾斜角式焦點弦長公式

(1)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，過F1傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A,B兩點，則AB=2ab2a2?雙曲線的傾斜角式焦點弦長公式

(1)F1，F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，過F1傾斜角為θ的直線l與雙曲線交于A,B兩點，則AB=2ab拋物線的的傾斜角式焦點弦長公式

(1)焦點在x軸上,AB=2psin2例3-1．（2022·全國·高三專題練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點，求弦長．由雙曲線得，又所以．例3-2．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=．【法一】先求出傾斜角，代入AB=【法二】解得

所以【法三】設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：1．（全國·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點，F為C的焦點，若,則k=A． B． C． D．【答案】D【詳解】將y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.設交點的橫坐標分別為xA,xB,則xA+xB=-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴將②代入①得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,滿足Δ>0.故選D.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

3．（2023·北京·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標為4，則．【答案】【分析】根據拋物線定義有，結合已知即可求參數p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標為4，即，所以，即.故答案為：技法04圓錐曲線中中點弦的應用及解題技巧圓錐曲線的中點弦及其相關計算圓錐曲線的中點弦及其相關計算是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習.知識遷移橢圓中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點,則

k3.拋物線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點,則kAB=py04.中點弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有點差法妙解中點弦問題

若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為Ax將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子,可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

（1）設點:若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=化簡可得y1+例4．（全國·高考真題）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【法一】kAB.kOM=?b2a2，解得b2【法二】設、，所以，運用點差法，所以直線的斜率為，設直線方程為，聯立直線與橢圓的方程，所以；又因為，解得.1．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點，，弦的中點為，則直線的方程為．【答案】.【詳解】設圓心，直線的斜率為，弦AB的中點為，的斜率為，則，所以由點斜式得．2．（江蘇·高考真題）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據點差法得，再根據焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得，，即，聯立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設，，利用點差法得到，設直線，，，求出、的坐標，再根據求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設，，則，，所以，即所以，即，設直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設，，設直線，，，則，，，因為，所以聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.5．（全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.【答案】（1）

（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯立得,所以于是.試題解析：解：（Ⅰ）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）設直線,,把代入得故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.考點：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計算能力、邏輯推理能力.技法05圓錐曲線中弦長問題（硬解定理-萬能公式）的應用及解題技巧圓錐曲線的弦長萬能公式（硬解定理）及其相關計算圓錐曲線的弦長萬能公式（硬解定理）及其相關計算是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習.知識遷移弦長公式若直線與圓雉曲線相交于兩點，則弦長圓錐曲線弦長萬能公式（硬解定理）設直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設直線和曲線的兩交點為Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB例5．（2023·全國·高三專題練習）已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于兩點，則弦的長為（

）A． B． C． D．【法一】硬解定理直接計算即可【法二】由橢圓得，，所以，所以右焦點坐標為，則直線的方程為，設，聯立，消y得，，則，所以.1．（2023·內蒙古通遼·?？寄M預測）已知橢圓E：的離心率為，且過點.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線m過橢圓E的右焦點和上頂點，直線l過點且與直線m平行.